构造全等三角形的方法技巧

D

C

B A

【知识点1】

倍长中线（线段）造全等专题

几何证明题，用现有的条件没有办法证明出结论时，考虑添加辅助线。添加辅助线方法：遇到三角形的中线或中点，通常用倍长中线法，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

【例题讲解】

例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.

解题思路：直接求中线的取值范围，有点困难，考虑用中线法，再利用三角形三边关系得解。答案：1

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：

BD=CE

解题思路：求证线段相等的方法，一般可以用全等，或者等角对等边，此题

中BD 和CE 不在同一个三角形中，所以考虑用全等，观察下来，此图中没有 全等的三角形，需要通过辅助线来链接，这里点F 是中点，利用中点构造全 等，过点D 作DG ∥AC ，交BC 于点G ，易证∆DFG 全等于∆EFC ，再通过等 腰和平行线的性质得证。

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

解题思路：倍长中线AD 到点G ，等到一对全等三角形∆DBG 和∆DCA,从而得等 腰三角形BEG ，利用角的等量代换，得到∠FAE=∠AEF 从而得证。

【练一练】

1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.

求证：AE 平分BAC ∠

2：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

解题思路：倍长AE 到点F ，连接DF ，证明∆ADF 全等于∆ADC

第 1 题图

A

B

F D

E

C

【方法总结】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC中， AD是BC边中线

方式1：直接倍长

E，使DE=AD

延长AD到

方式2：间接倍长

BE

作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E ，连接

在AB上任取一点M，连接MD，延长MD到N，使DN=MD，连接CN

【知识点2】

“截长补短法”专题训练

在几何证明题中，涉及到添加辅助线时，我们经常采用“截长补短法”，即在最长的线段上截取，使之分割成两条短线段之和；或在一条短线段上补充，使补充的线段等于另一条短线段，然后证明这两条短线段之和等于长线段。这种方法常在涉及线段和或差的题目中应用。线段的和或差可以出现在条件中，也可以出现在结论中（形如：a+b=c ，c －b=a 等）。

【例题讲解】

例1、已知：如图1，在ABC ∆中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C 。求证：AB+BD=CD 。

解题思路：在线段DC 上截取DE=DB ，连接AE ，证明AB=AE=CE ，等量代换得证。

例2、已知：如图，在ABC ∆中，AB=AC ，DE ⊥AB ，DG ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E 、G 、F 。 求证：DE+DG=BF 。

证明思路：

方法一：截长补短法：过点D 作DH ⊥BF 与H ，证明∆BDE 全等于∆DBH. 方法二：面积法，连接AD ，利用面积公式来证。

B

D C

A

G

F E D

C B

A

E

D

F

C

B

A

例3、如图，已知在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BF=CD+DF ，若∠ABE=x°。求∠CBF 的度数。（用含x 的代数式表示）

解题思路：延长BC 到点G ，使CG=DF ，连接FG 交CD 于点O,易 证∆FDO 全等于∆GCO,再证∆ABE 全等于∆CBO,答案：2x.

【方法总结】常用辅助线添加方法——截长补短

适用截长补短法的情形：

条件中出现线段和差或者结论中出现线段和差时 适用技巧：

1.大部分题目能用截长法也能用补短法；

2.注意题目中有公共点的线段，利用公共点截长补短；

3.有时候需要对已知线段进行等量代换。

1、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

解题思路：倍长FD 到点G ，使FD=DG ，连接BG,EG ，证明∆GEF 是等 腰三角形。答案：BE+CF ＞EF 。

F

E

D

C

B

A

2、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.

3、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

解题思路：过点T 作TH ⊥AB ，证明CD=CT ，再证明∆CDE 全等于∆THB ，

得到CE=BT ，等式性质得CT=BE.

∵∠ADM+∠DAM=90°，∠ADM=∠CDT ，∠DAM=∠DAC ，（等角的余角相等）∴∠DAC+∠CDT=90°，又∵∠ATC+∠DAC=90° ∴∠ATC=∠CDT ，∴CD=CT

4、已知：如图，在ABC ∆中，AD ⊥BC 于点D ，AB+BD=CD 。求证：∠B=2∠C 。

D

A

B

C

M

T

E

E D C

B A

C

D

B

A