05、二元线性方程组与二阶行列式 - 副本
二阶行列式
a2 a3
a15
a16
18
2.解不等式
x
0
x 0, 1
x2 3.求函数的最值 y 2
x 1
y min 1,无最大值
探索研究：
一、1)计算行列式 9 的值； 2）你能否从1）中的结果得出一个一般的结论？ 并证明你的结论。
3
5 11 12 ， 10 22
4
7 28 ， 2 8
基本步骤：
1）把方程变为标准形式，即
a1x b1y c1 , a2x b2y c2 .
形式；
2）正确写出行列式
Dx x D 3）当 D 0 时，写出二元一次方程组的解为 y D y D
D、D x、D y ；
巩固练习：
1.展开并化简下列行列式：
D
Dx
5 11 4 15
8
5 15 4 11 31 0,
11
6 15
186 ,
Dy
5
8
4 6
62,
Dx 186 x 6, D 31
Dy y D
62 2. 31
所以，原方程组的解为
x 6 y 2
行列式应用于解二元一次方程组
德国数学家莱布尼兹是与牛顿齐 名的微积分的创始人，同时他又是 数学史上最伟大的符号学者之一， 堪称符号大师，他曾说：“要发明， 就要挑选恰当的符号，要做到这一 点，就要用含义简明的少量符号来 表达和比较忠实地描绘事物内在本 质，从而最大限度地减少人的思维 劳动”．他创造的数学符号有商 “ a”、比“a:b”、相似“∽”、 b ”、交“ ” 全等“≌”、并“ 等，最有名的 要算积分和微分符号了．
工程数学线性代数第六版 第一章
第1章 行 列 式行列式是线性代数中常用的工具.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法.§1 二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组为消去未知数x2，以a22与a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得（a11a22-a12a21）x1=b1a22-a12b2；类似地，消去x1，得（a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1a21.当a11a22-a12a21≠0时，求得方程组（1）的解为（2）式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母a11a22-a12a21是由方程组（1）的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（1） 中的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表a a（3）a a，表达式a11a22-a12a21称为数表（3）所确定的二阶行列式，并记作数a i j（i=1，2；j=1，2）称为行列式（4）的元 素或元.元素a i j的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标表明该元素位于第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式（4）的（i，j）元.上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1. 1，把a11到a22的实连线称为主对角线，a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.利用二阶行列式的概念， （2）式中x1，x2的分子也可写成图1. 1二阶行列式，即若记那么（2）式可写成注意这里的分母D是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中第1列的元素a11，a21所得的二阶行列式，x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中第2列的元素a12，a22所得的二阶行列式.例1求解二元线性方程组解 由于因此二、三阶行列式定义1设有9个数排成3行3列的数表a a aa21a22a23（5）a a a，记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.2所示的对角线法则：图中有三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.图1.2例2计算三阶行列式解 按对角线法则，有D=1×2×（-2）+2×1×（-3）+（-4）×（-2）×4-1×1×4-2×（-2）×（-2）-（-4）×2×（-3）=-4-6+32-4-8-24=-14.例3求解方程解 方程左端的三阶行列式D = 3x +4x+18-9x-2x-12 =x-5x+6，由x2-5x+6=0解得x=2或x=3.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下而先介绍有关全排列的知识，然后引出n阶行列式的概念.§2全排列和对换一、排列及其逆序数把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示，可计算如下：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n-1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上，只有1种取法.于是P n=n·（n-1）·…·3·2·1=n！.例如用1，2，3三个数字作排列，排列总数P3=3·2·1=6，它们是123，231，312，132，213，321.对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设p1p2…p n为这n个自然数的一个排列，考虑元素p i（i=1，2，…，n），如果比p i大的且排在p i前面的元素有t i个，就说p i这个元素的逆序数是t i.全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数.例4求排列32514的逆序数.解 在排列32514中：3排在首位，逆序数t1 =0；2的前面比2大的数有一个（3），故逆序数t2=1；5是最大数，逆序数t3=0；1的前面比1大的数有三个（3、2、5），故逆序数t4=3；4的前面比4大的数有一个（5），故逆序数t5=1，于是这个排列的逆序数为二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证 仍不妨设元素为从1开始的自然数（从小到大为标准次序）.先证相邻对换的情形.设排列为a1…a l abb1…b m；对换a与b，变为a1…a l bab1…b m.显然，a1，…，a1；b1，…，b m这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变；当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a1…a l abb1…b m与排列a1…a l bab1…b m的奇偶性不同.再证一般对换的情形.设排列为a1…a l ab1…b m b c1…c n，把它作m次相邻对换，变成a1…a l ab b1…b m c1…c n，再作m+1次相邻对换，变成a1…a l bb1…b m ac1…c n.总之，经2m+1次相邻对换，排列a1…a l ab1…b m bc1…c n变成排列a1…a l bb1…b m ac1…c n，所以这两个排列的奇偶性相反.推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.证 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此知推论成立. 证毕§3n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为容易看出：（i）（6）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.因此， （6）式右端的任一项除正负号外可以写成a1p1a2p2a3p3.这里第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成p1p2p3，它是1，2，3三个数的某个排列.这样的排列共有6种，对应（6）式右端共含6项.（i i）各项的正负号与列标的排列对照.带正号的三项列标排列是123，231，312；带负号的三项列标排列是132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.因此各项所带的正负号可以表示为（-1）t，其中t为列标排列的逆序数.总之，三阶行列式可以写成其中t为排列p1p2p3的逆序数，∑表示对1，2，3三个数的所有排列p1p2p3取和：仿此，可以把行列式推广到一般情形.定义2设有n2个数，排成n行n列的数表a a…aa a…aa a…a，作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号（-1）t，得到形如（-1）t a1p1a2p2…a npn的项，其中p1p2…p n为自然数1，2，…，n的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有n！个，因而形如（7）式的项共有n！项.所有这n！项的代数和∑（-1）t a1p1a2p2…a np n称为n阶行列式，记作简记作de t（a i j），其中数a i j为行列式D的（i，j）元.按此定义的二阶、三阶行列式，与§1中用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的.当n = 1时，一阶行列式︳a︳=a，注意不要与绝对值记号相混淆.主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式；特别，主对角线以下和以上的元素都为0的行列式叫做对角行列式.例5证明（1）下三角形行列式（2）对角行列式证（1）由于当j＞i时，a i j=0，故D中可能不为0的元素a i pi，其下标应有p i≤ i，即p1≤1，…，p n≤n，而p1+…+p n=1+…+n，因此p1=1，…，p n=n，所以D中可能不为0的项只有一项（-1t a11a22…a nn.此项的符号（-1）t=（-1）0=1，所以D=a1a…a.（2）由（1）即得.§4行列式的性质记行列式D T称为行列式D的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等.证 记D=de t（a i j）的转置行列式D T=de t（b i j），即D T的（i，j）元为b i j，则b ij=a j i（i，j=1，2，…，n），按定义下证D=D.对于行列式D的任一项其中1…i…j…n为标准排列，t为排列p1…p i…p j…p n的逆序数，对换元素与成这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列1…j…i…n的逆序数为r，则r为奇数；设新的列标排列p1…p j…p i…p n的逆序数为t1，则（-1）t1=-（-1）t.故（-1）=-（-1）1=（-1）（-1）1=（-1）1，于是这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性.经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此。
2019年二阶三阶行列式及线性方程组.ppt
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22b1a22 -a12b2 a11a22 -a12a21
x2
=
a11b2 a11a22
-b1a21 - a12a21
提示: [a11x1+a12x2=b1] a21a11a21x1+a12a21x2=b1a21 [a21x1+a22x2=b2] a11 a11a21x1+a11a22x2=a11b2 (a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和
a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2
得
x1
=
b1a22 a11a22
- a12b2 - a12a21
x2
=
a11b2 -b1a21 a11a22 -a12a21
我们用符号 a11 a1 a2 2
表示代数和a11a22-a12a21 这样就有
对角线法则
二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上
二元素之积所得的差
a11 a1 a2 2 1 a2
高中数学之七《行列式和线性方程组》
些二项式各取一项作成相应行（或列）而余行（或列）不变的两个行列式的和。
定理 6 把行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以一个数 k ，加到另一行（或另一
列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。 （四）按一行（或一列）展开三阶行列式
把行列式中某一元素所在的行与列划去后，剩下的元素按原行列顺序排列所组成的行列 式，叫做原行列式中对应于这个元素的余子式。
的乘积的和等于零。
（五）三元线性方程组
一个三元线性方程组，当其中方程的个数与未知数的个数相同时，它的一般形式是
aa12xx
b1 y c1z d1 b2 y c2 z d
2
a3 x b3 y c3 z d3
如 果 当 x x1，y y1，z z1 时 ， 方 程 组 的 每 个 方 程 左 右 两 边 的 值 相 等 ， 那 么
如果当 x x1，y y1 时，方程组 I 中的每个方程左右两边的值相等，也就是说
x x1，y y1 适 合 方 程 组 I ， 那 么 x x1，y y1 叫 做 方 程 组 I 的 一 个 解 ， 记 为
x y
x1 y1
，或简记为
x1，y1
。方程组
I
的所有的解构成的集合叫做方程组
设行列式中某一元素位于第 i 行第 j 列，把对应于这个元素的余子式乘上 1 i j 后所得
到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式。
定理 1 行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式
的乘积的和。
定理 2 行列式某一行（或一列）的各元素与另一行（或一列）对应元素的代数余子式
a1 b1 ， 6
a2 b2
并且规定它就表示
二阶行列式定义
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
注：
a11 a12 a21 a22
an1 an2
代数和
不同行不同列的 n个元素的乘积
a1n
a2n
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
ann
取遍了所有可能
n阶行列式即为取遍所有可能的不同行不同列元素乘积的代数和。
下面我们引入一些概念，对排列进行简单的分类。
标准次序：由小到大的排列次序。
定义2：在n个 元素的任一个排列中，若某两个元素排列的次序 与标准次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个排 列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数。 逆序数为奇数的排列叫奇排列，逆序数为偶数的排列叫 偶排列。
例4：求排列 32514 的逆序数。
得到三阶行列式的定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
对角线法则（划线法定义）：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
教学要求
1、仔细听讲，适当做好笔记； 2、课后认真复习，按时提交作业； 3、对不懂的问题，及时提出，可以成立讨论小组交流讨论。
成绩评定
1、本课程为考查课； 2、最终成绩按五级制（最终成绩由平时和期末卷面成绩构成） 3、平时成绩包括：出勤、作业、课堂笔记等。
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
线性代数入门二元线性方程组与二阶行列式
线性代数入门二元线性方程组与
二阶行列式
线性方程组是线性代数课程中最基本的研究对象，对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组，行列式是一个有力的研究工具。
本节先复习二元一次方程组的解法，并由此引入二阶行列式的概念及计算公式。
（由于公式较多，故正文采用图片形式给出。
）
一、解二元一次方程组的“消元法”复习。
二、一般情形下二元线性方程组的解。
（“线性”是“一次”的同义语，线性方程就是指中学阶段介绍的“一次方程”。
）
三、二阶行列式概念的引入。
四、对二阶行列式概念的补充说明。
（在线性代数中“数表”本身称为矩阵，也是线性代数的基本研究对象，注意行列式不是“数表”，而是由“数表”中各元素经过运算后得到的一个“数”！）
五、利用二阶行列式表示一般的二元线性方程组的解。
六、利用二阶行列式解二元线性方程组举例。
最后指出，初学者不要认为行列式只是一个用来表示方程组解的简化记号，行列式在线性代数中有着丰富的内容和应用，这一点随着学习的深入会逐步体会到。
例如当系数行列式d=0时，就无法如本例这样解出唯一的一组解（因为0不能作分
母），此时线性方程组无解或有无穷多组解，我们将在“线性方程组”一章中对此作详细介绍。
（想阅读“高等数学入门”系列文章的读者可在的“历史文章”菜单中查找。
）。
线代1.1-1.3
线性代数天津城市建设学院 理学院上页 下页在以往的学习中，我们接触过二元、 三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导 出的线性方程组常常含有相当多的 未知量，并且未知量的个数与方程 的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程的个数相 等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行 列式这个计算工具.上页 下页第一章内容提要§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7行列式•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.上页 下页§1二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.二元线性方程组 由消元法，得⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2(a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − a12b2(a11a22 − a12a21 ) x2 = a11b2 − b1a21 当 a11a22 − a12 a21 ≠ 0 时，该方程组有唯一解 b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = x2 = a11a22 − a12a21 a a −a a11 22 12 21上页下页二元线性方程组⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.b1a22 − a12 b2 ⎧ ⎪ x1 = a a − a a ⎪ 11 22 12 21 ⎨ ⎪ x = a11b2 − b1a21 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩上页下页二元线性方程组⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2其求解公式为我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.a11 数表 a 21a12 a22a11 记号 a21a12 a22b1a22 − a12 b2 ⎧ ⎪ x1 = a a − a a ⎪ 11 22 12 21 ⎨ ⎪ x = a11b2 − b1a21 ⎪ 2 a11a22 − a12 a21 ⎩表达式 a11a22 − a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即D=a11 a21a12 a22= a11a22 − a12 a21a 其中， ij ( i = 1, 2; j = 1, 2) 称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列. 下页上页原则：横行竖列二阶行列式的计算 ——对角线法则主对角线 副对角线a11 a21a12 a22= a11a22 − a12 a21即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积上页下页⎧ a11 x1 + a12 x2 = b1 二元线性方程组 ⎨ ⎩ a21 x1 + a22 x2 = b2若令D= b1 b2 a12 a22a11 a21a12 a22 D2 =(方程组的系数行列式)D1 =a11 a21b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为b1 a12 D1 b2 a22 , x1 = = D a11 a12 a21 a22a11 b1 D2 a21 b2 . x2 = = D a11 a12 a21 a22上页下页例1求解二元线性方程组 ⎧ 3 x1 − 2 x2 = 12⎨ ⎩ 2 x1 + x2 = 1解因为 D =3 −2 2 1= 3 − ( −4) = 7 ≠ 012 − 2 D1 = = 12 − ( −2) = 14 1 1 3 12 D2 = = 3 − 24 = −21 2 1D1 14 = = 2, 所以 x1 = 7 D D2 −21 x2 = = = −3 7 D上页 下页二、三阶行列式定义 设有9个数排成3行3列的数表a11 a21 a31a11 a21副对角线a12 a22 a32a13a13 a23 a33原则：横行竖列引进记号 主对角线a12 a22 a32a31a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 a33二阶行列式的对角线法则 并不适用！ 下页上页称为三阶行列式.上页下页上页下页三、三阶行列式与三元线性方程组上页下页上页下页上页下页上页下页§2全排列及其逆序数上页下页上页下页上页下页上页下页排列的记号j1 j2 j3…jn ——— 一个n级排列• （ j1 j2 j3…jn ）——— 所有n级排列 • 例如：（ j1 j2 j3 ）表示所有3级排列 当j1=2、j2=3、j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 当j1=3、j2=1、j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312上页 下页二、逆序与逆序数对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 逆序3 2 5 1 4逆序 逆序思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.上页 下页定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 排列 i1 i 2i n的逆序数通常记为 t ( i1 i2in ) .奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数 等于零，因而是偶排列.上页 下页计算排列的逆序数的方法逆序数计算方法1：(从最左面的的数开始算) 前 → 后设 p1 p 2p是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定 n由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1大的数排在 p1 前面，记为 t 1 ； 再看有多少个比 p 2 大的数排在 p 2前面，记为 t 2 ; ……则此排列的逆序数为 t = t1 + t 2 +最后看有多少个比 p n 大的数排在 p n前面，记为 t n ;+ tn逆序数计算方法1：(从最右面的的数开始算) 后 → 前 逆序数计算方法1：(从最小的数开始算) n个数的任一n元排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为 t1;再看有多少个比2大的数排在2前 面，记为t2;继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，记tn=0;则此排列的 逆序数为: t =t +t + +t1 2 n上页下页例1：求排列 32514 的逆序数.解：法一 左 → 右 法二 右 → 左 法三 小→大 练习： 解：t (32514) = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5 t (32514) = 0 + 0 + 2 + 1 + 2 = 5t (32514) = 3 + 1 + 1 = 5求排列 453162 的逆序数.t=9上页下页三、例题与讲解例：判断排列135…(2k-1)246…(2k）的奇偶性。
线性代数第一章二元、三元方程组与二阶与三阶行列式
20 2020/7/4
a00b
例2：计算
0 D
0
c e
d f
0 0
g00h
解 D是一个4!=24项的代数和.
在这24项中,除了 acfh, adeh, bdeg, bcfg 这四项之外,
其余的项都至少含有一个0因子,因而为0.
上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为: 1234,1324,4321,4231.
12 n ;
n
对角行列式
1
2
n n 1
1 2 12 n.
n
次对角行列式
24 2020/7/4
0 001 0
0 0200
例4 计算 Dn
n 1 0 0 0 0
0 000n
00
00
解 Dn
n 1 0
00
010
200
1 n1n2 321n n!
a31 a32 a33
a31 a32 a33
9 2020/7/4
1 2 4
例2：计算三阶行列式 D 2 2 1
3 4 2
解：D 122 21 3 (4)(2) 4
114 2(2)(2) (4) 2(3)
4 (6) 32 4 8 24
14
0 xy
abc
练习：x 0 z 0, b c a 3abc a3 b3 c3.
当 a11a22 a12a21 0 时， 得方程组（1）的惟一解：
2020/7/4
x1
b1 a 2 2 a1 1a 2 2
a12b2 a12a21
;
b1 a12
=
b2 a22 a11 a12
D1 D
a21 a22
1、行列式的概念 (1)
24
a1n
(2) D
an1 an 2
a2 n1 a2 n a a a ? 1n 2 n1 n1 ann
(1)
n ( n1) 2
a1n a2 n1 an1
2 3 0 0 0 1 0 1 3 1
课后练习：计算 D
0 4
2 1 0 5
58
a11 a12 a31 a32 a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3 a13 a33 a13 a23 a33
令： a21 a22 a23 D
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 a31 a32 b3
a22
a11a22 ann aii
i 1
n
an 2 ann
（3）对角线行列式（主对角线之外元素都为0）
a11 D a22 ann
思考：(1)课本第8页例3
a11a22 ann aii
i 1
n
0 0 0 1 D 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0
a11 D
a12 a1n
简记为: D aij
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
当n=1时， a11 , a11 A11 a12 A12 a1n A1n , 当n>1时， 其中A1j是元素a1j的代数余子式。
2.展开定理：n阶行列式等于任一行（或列）的n个元 素与对应的代数余子式乘积之和。即：
1 0 5
1 3 1
58
注：对角线法不适用于高阶行列式的计算。 例：四阶行列式D中第三列元素依次为 1, 2, 0, 1 ，它们 的余子式依次分别为 5, 3, 7, 4 ，求D.
第一章 行列式
于是方程组Ⅰ的解可简写为：
当D =
a11 a 21
a12 a 22
a11 b1 b1 a12 a b b a 22 ≠ 0 时，方程组Ⅰ有唯一解 x1 = 2 , x 2 = 21 2 . a11 a12 a11 a12 a 21 a 22 a 21 a 22
(1) × a 22 − (2) × a12 得： (a11a 22 − a12 a 21 ) x1 = b1a 22 − b2 a12 . (2) × a11 − (1) × a 21 得： (a11a 22 − a12 a 21 ) x2 = b2 a11 − b1 a 21 .
则 x1 =
b1 a 22 − b2 a12 b a −b a , x 2 = 2 11 1 21 . 这时， 我们要求 a11a 22 − a12 a 21 ≠ 0 . a11 a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21
理学院田宝玉
(第 5 页/共 20 页)
第一章
行列式
§1.2 n 阶行列式的定义及性质
一、二阶行列式与三阶行列式的关系 先规定一阶行列式的定义. 一阶行列式 二阶行列式 三阶行列式
a11 = a11
a11 a 21
（注：这是行列式符号而非绝对值符号）
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 = a11 (−1)1+1 a 22 + a12 (−1)1+ 2 a 21 a 22
同二元方程组，我们采取相同的办法，我们记
a11 a21 a31
a12 a22 a32
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
二阶行列式(1)
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2源自b1 , b2 .若记
D a11 a12 ,
系数行列式
a21 a22
aa1211
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
3 D
同济大学线性代数全套教学课件
定义 例如
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
a1 al a b b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn
a1 al b a b1 bm
a1 al b b1 bma c1 cn
备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形.
4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1
a21
x1
a22 x2
b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a a a a )x a b b a
例如 在排列32514中， 逆序
32514
逆序 逆序
思考题：还能找到其它逆序吗？
答：2和1，3和1也构成逆序.
20
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
排列 i1i2 的i逆n 序数通常记为 t(i1.i2 in ) 奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列.
思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数 等于零，因而是偶排列.
3
第一章
• 内容提要
行列式 •行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
(2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母
是由方程组(1)的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组(1)中的位置，排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表。
表达式称为数表(3) 所确定的二阶行列式，并记作
数a
ij （i=1,2;j=1,2）称为行列式(4)的元素或元。
元素a
ij
的第一个下标i称为
行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j 列。
位于第i行第j 列的元素称为行列式(4)的（i，j）元。
上述二阶行列式的定义，可用对角法到来记忆。
参看图l.1，把a11到a11的实联线称为主对角线，a12到a21的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差。
利用二阶行列式的概念，(2)式中的分子也可写成二阶行列式，即
那么(2) 式可写成
二、三阶行列式
(6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式.
上述定义表明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.2所示的对角线法则:图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线，三条虚线看做是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.
例2 计算三阶行列式
解按对角线法则，有
例3 求解方程
解方程左端的三阶行列式
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下面先介绍有关全排列的知识，然后引出n 阶行列式的概念.。
1.2行列式的定义
1.三阶行列式定义：
• 定义2 设由32个元素 算式：
aij (i, j 1,2,3)
组成的
a11 a31
a12 a32
a13 a 23 a33
a 21 a 22
称为三阶行列式，其值等于所有不同行不同列的 三个元素乘积的代数和：
称为二阶行列式，记为
a11 D a21
a12 a22
【完】
即
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12a21
※ ① 从左上角到右下角称为行列式的主对角线， 左下角到右上角称为行列式的次对角线。 如图： a11 a12
－
a 21
a 22
＋
实连线称为主对角，虚线连线称为次对角线 ② 二阶行列式的值等于主对角线上两元素之积 减去副对角线上两元素之积。
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
三项 “＋”
三项 “－”
例4：
1 2 3 3 1 2 1 1 1 3 3 3 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 18
D D2 D
a11 D a21 a11 b1 D1 a21 b2
a12 称为系数行列式； a22 a11 a1 b12 a12 D2 当D≠0时，有 a21 a2 b22 a22
例3 解方程组
2 xபைடு நூலகம் 3 x 2 8 x1 2 x 2 3
二阶行列式
Dx 0,or Dy 0
•
系数行列式 判别式。
D a1
b1
也为二元一次方程组解的
a2 b2
巩固练习 数学课本第91页，练习9.3 （1）
• 课堂小结 • ①二阶行列式的展开法则； • ②用二阶行列式来解二元一次方程组.
精品课件！
精品课件！
作业布置
数学练习部分第51页，习题9.3A 组，第1、2、3题．
• ③举例说明，当二元一次方程组的系数行 列式的值为零时，方程组的解会有怎样的 可能？
• 答：（1）当D≠0时，方程组(*) 的唯一解可以表示
成
x
DX D
y
Dy D
• （2）当D=0时, Dx Dy 0 方程组(*)有无穷组解；
• (3) 当D=0时,
方程组(*) 无解。
什么叫二阶行列式？
定义：
二阶行列式的展开满足：对角线法则
实线表示的对角线叫主对角 线，虚线表示的对角线叫副对角线。 二阶行列式是这样两项的代数和： 一个是从左上角到右下角的对角线 (又叫行列式的主对角线)上两个元素 的乘积，取正号；另一个是从右上 角到左下角的对角线(又叫次对角线) 上两个元素的乘积，取负号．
由于行列式D是由方程组（*）中未知数X、Y的系数组 成的，通常被叫做方程组（*）的系数行列式；行列式 DX和DY分别是用方程组（*）的常数项C1C2替换行列 式D中X的系数a1a2或Y的系数b1b2后得到的
例2用行列式解下列二元一次方程组：
1、54xx
11y 15 y
8 6
所以X = DX = 6, Y = DY = 2
例1．展开并化简下列行列式：
二元线性方程组与二阶行列式_应用工程数学_[共2页]
![二元线性方程组与二阶行列式_应用工程数学_[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/550578e0f111f18582d05a96.png)
解方程是代数中一个基本的问题，特别是在中学代数中，解方程占用重要的地位．譬如最熟悉的一元一次方程问题，如果知道一段导线电阻r ，它的两端电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以由关系式ir v =求出来．在中学代数中，还解过一元、二元、三元以至四元一次方程组．主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组．这一章主要引进行列式来解线性方程组，主要介绍n 阶行列式的定义、性质及其计算方法．此外还要介绍用n 阶行列式求解n 元线性方程组的克莱姆法则．之后在更一般的情况下来讨论线性方程组的问题．
线性方程组的理论在数学中是最基本的也是最重要的内容．
1.1 二阶及三阶行列式
1.1.1 二元线性方程组与二阶行列式
在中学代数中学过，对于二元线性方程组
1111221211
2222a x a x b a x a x b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
. （1）
为消去未知数2x ，以22a 与12a 分别乘上述两方程的两端，然后两个方程相减，得
112212*********()a a a a x b a b a −=−,
同理，消去未知数1x ，得
112212212112211()a a a a x a b a b −=−．
若112212210a a a a −≠，则
122212112211
111122122111221221
b a b a a b a b x x a a a a a a a a −−=
=−−，． （2）
可以看出，（2）中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得．其中11221221
a a a a −。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 一、线性代数的地位与作用
• 二、《高等数学Ⅱ》的基本内容与历史简介
• 三、本课程的特点与学习方法 • 四、关于参考书的说明
一、线性代数的地位与作用
1、代数是现代数学的三大基石之一；
（集合、拓扑、代数）
2、线性代数是高等代数的主体，而高等代 c 数是代数类数学的基础； 初等代数 高等代数 近世代数
↑
性质2
a12
a21 b21 a22
a21 a22
b11
a12
b21 a22
;
ka11 性质3 ka21
Байду номын сангаас
a12 a11 k a22 a21
a a a a 11 12 21 22 性质4 . a21 a22 a11 a12
2、二元线性方程组的一 般解公式 b1a22 b2a12 x1 a11a22 a12 a21
a11b2 a21b1 x2 a11a22 a12 a21
其中 a11a22 a12a21 0
Cramer 法则
定理 二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
概念高度粗象 结构精确肯定 论证确切严密 应用及其广泛
2、主要任务
矩阵代数 解线性方程组（齐次、非齐次） 线性空间与线性变换* （高度抽象） 线性规划
3、学习方法
着眼于“概念”与“结构”； 着力于抽象思维能力的训练与提高； 致力于及时消化巩固.
四、关于参考书的说明
Ch1 行列式
§1.1 二元线性方程组与二阶行列式 一、二元线性方程组↓与 二阶行列式 二、二阶行列式的性质↓（4个）
的一般解为
D1 x1 , D
D2 x2 . D
( D 0)
其中 D
a11
a12
a21 a22
, D1
b1 b2
a12 a22
, D2
a11
b1
a21 b2
.↑
二阶行列式的性质
性质1
a11
a12
a21 a22
a11 b11
a11 a12
a21 a22
a11
;
a12
a12 ; a22
作业：
1、如何学好《高等数学Ⅱ》？
c
2、p10：1；
c
4 . （用Cramer 法则）
下次课内容
§1.2 三元线性方程组与三阶行列式
一、三元线性方程组
c c
二、三阶行列式 三、三阶行列式的性质（4个）
c 四、余子式、代数余子式
二元线性方程组
1、二元线性方程组的一 般形式
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
(古典代数学)
（抽象代数学）
线性代数 3、经济类、管理类各专业必备的数学基础.
二、《高等数学Ⅱ》的基本内容与历史简介 1、基本内容 行列式 矩 阵
线 线 性 性 方 程 （应用） 规 划 组
图解法
单纯形法 经济应用
2、历史简介 开创于18世纪中叶之前 成形于19世纪 发展于20世纪
三、本课程的特点与学习方法 1、特点