曲线运动知识归纳

曲线运动要点归纳
要点一曲线运动的特点
1．轨迹是一条曲线．
2．曲线运动的速度方向
(1)质点在某一点(或某一时刻)的速度方向沿曲线在该点的切线方向．
(2)曲线运动的速度方向时刻改变．速度是描述运动的一个重要的物理量，它既有大小，又有方向．如果物体在运动过程中只有速度大小的改变，而速度方向不变，则物体只能做直线运动．因此，若物体做曲线运动，表明物体的速度方向时刻变化．
3．运动性质是变速运动
(1)无论物体做怎样的曲线运动，由于轨迹上各点的切线方向不同，物体的速度时刻发生变化，因此，曲线运动一定是变速运动．
(2)曲线运动是否为匀变速运动决定于物体是否受到恒力作用，如抛体运动中，由于物体只受重力作用，其加速度不变，故物体做匀变速运动，这与物体的运动轨迹无关．要点二物体做曲线运动的条件
1．曲线运动是变速运动，凡物体做变速运动必有加速度，而加速度是由于力的作用产生的，因而做曲线运动的物体在任何时刻所受合外力皆不为零，不受力的物体不可能做曲线运动．
2．当物体受到的合外力的方向与运动方向在一条直线上时，运动方向(速度方向)只能沿该直线(或正或反)，其运动依然是直线运动．
3．当物体受到合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上，而是成一定角度时，合外力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度．一般情况下，这时的加速度不仅反映了速度大小的变化快慢，还包含了速度方向的变化快慢．其运动必然是曲线运动．4．当合外力为恒力(F与v不共线)时，加速度也恒定，物体的速度均匀变化，物体做匀变速曲线运动；当合外力变化时，物体做非匀变速曲线运动(变加速度的曲线运动)．应该注意的是，曲线运动不一定要求合外力变化．因此，一个物体是否做曲线运动，与力的大小及力是否变化无关，关键是看合外力的方向与速度方向是否在同一直线上．
在比较中可知：
(1)在变速直线运动(加速直线运动或减速直线运动)中，加速度方向(即合外力方向)与速度方向在同一直线上，加速度只改变速度的大小，不改变速度的方向．
(2)在曲线运动中，加速度方向(合外力方向)与速度方向不在同一条直线上，加速度可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向.
1.运动轨迹和外力、速度的关系
(1)把加速度和合力F都分解到沿曲线切线和法线(与曲线切线垂直)方向上，沿切线方向的分力F1使质点产生切线方向的加速度a1，当a1和v同向时，速度增大，如图5－1－3甲所示，此时的合力方向一定与速度方向成锐角；当a1和v反向时，速度减小，如图乙所示，此时的合力方向一定与速度方向成钝角；如果物体做曲线运动的速率不变，说明a1＝0，即F1＝0，此时的合力方向一定与速度方向垂直．
沿法线方向的分力F2产生法线方向上的加速度a2，它使质点改变了速度的方向．由于曲线运动的速度方向时刻在改变，合力的这一作用效果对任何曲线运动总是存在的．可见，在曲线运动中合力的作用效果可分成两个方面：产生切线方向的加速度a1，改变速度的大小；产生法线方向的加速度a2，改变速度的方向，这正是物体做曲线运动的原因．若a1＝0，则物体的运动为匀速率曲线运动；而若a2＝0，则物体
的运动为直线运动．
(2)运动轨迹的确定
①物体的轨迹与初速度和合外力有关，物体的运动
轨迹一定夹在合外力与速度方向之间．
②运动轨迹与速度相切，并偏向合外力一侧，因此
轨迹是平滑的曲线．
(3)合外力方向的确定
物体所受合外力的方向指向轨迹的弯曲方向的内
侧．即运动轨迹必夹在速度方向与合力方向之间．
2．力与运动的关系
(1)认识这个问题，应分清物体做曲线运动的条件和做匀变速运动的条件，物体做曲线运动的条件是加速度与初速度不在同一直线上，而做匀变速运动的条件是加速度的大小和方向恒定不变，二者之间没有必然联系．
(2)物体运动的形式，按速度分类有匀速和变速；按径迹分类，有直线和曲线，其原因取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下：
①F＝0，静止或匀速运动．
②F≠0，变速运动．
③F为恒量，匀变速运动．
④F为变量，非匀变速运动．
⑤F和v0方向在同一直线上，直线运动．
⑥F和v0方向不在同一直线上，曲线运动．
归纳总结
1．物体做曲线运动时，其速度方向是沿曲线上该点的切线方向．
2．速度方向时刻改变，即速度一定时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动．
3．速度变化包括大小和方向的变化，故变速运动包括曲线运动与直线运动.
平抛运动的特点及规律
1.平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动（运动的合成）
2. 运动的规律 ⎪⎩⎪
⎨⎧==202
1)1(at y t v x
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+===220)2(y x y x v v v gt v v v
平抛特点总结：
1．运动时间只由高度决定
设想在高度H 处以水平速度v o 将物体抛出，若不计空气阻力，则物体在竖直方向的运动是自由落体，由公式可得：
，由此式可以看出，物体的运动时间只与
平抛运动开始时的高度有关。

2．水平位移由高度和初速度决定
平抛物体水平方向的运动是匀速直线运动，其水平位移
，将
代入得：
，由此是可以看出，水平位移是由初速度和平抛开始时的高度决定的。

例1 如图1所示，在同一平面内，小球a 、b 从高度不同的两点，分别以初速度v a 、v b 沿水平方向抛出，经过时间t a 、t b 后落到与两抛出点水平距离相等的点。

若不计空气阻力，下列关系式正确的是（ ） A ．t a >t b ，v a <v b B ．t a >t b ，v a >v b C ．t a <t b ，v a <v b D ．t a <t b ，v a >v b
分析与求解：由图可以看出小球ａ抛出时的高度大于小球b ，由公式
或“1”中结论可知，小球a 运动时间大于
小球b 运动时间。

由题意知，两小球的水平位移相等，由公式s=vt 或“2”中结论可知，小球a 的初速度大于小球b 的初速度。

因此，本题正确选项是A 。

3．在任意相等的时间里，速度的变化量相等
由于平抛物体的运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的和合运动。

运动中，其水平运动的速度保持不变，时间里，水平方向的分速度的变化量为零，竖直
方向的分速度的变化量为，而时间里合速度的变化量为两个方向速度变化量的矢量和，其大小为：
，方向竖直向下。

由此可知，在相等的时间
里，速度的变化量相等，
由此也可以知道，在任意相等的时间里，动量的变化量相等。

4．任意时刻，速度偏向角的正切等于位移偏向角正切的两倍
如图2所示，物体被以水平初速度v o抛出后，t时刻其速度的偏向角为图中的α角，位移的偏向角为图中的β角，则：，
，由此两式可知：。

5．任意时刻，速度矢量的反向延长线必过水平位移的中
点
设平抛开时后，t时刻速度矢量的反向延长线与这段时间里水
平位移矢量的交点为A，图3中的角α与图2中的α相同，即：
，而。

6．从斜面上沿水平方向抛出物体，若物体落在斜面上，物体与斜
面接触时的速度方向与水平方向的夹角的正切是斜面倾角正切的
二倍
设物体被从倾角为θ的斜面上的O点以水平初速度v o抛出，t时
刻落在斜面上距O点为L的A点，速度矢量v方向与水平方向的夹角为α。

则，物体O点运动到A点过程中在水平方向和竖直方向上分别有：，，由此三式可得：。

其实，从图4可以看出，物体落在斜面时的位移偏向角等于
斜面的倾角θ，由结论“4”亦可得出此结论。

例2如图5所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿
水平方向抛出后落在斜面上。

物体与斜面接触时速度与水平方
向的夹角φ满足（）
A．tanφ=sinθB．tanφ=cosθ
C．tanφ=tanθD．tanφ=2tanθ
分析与求解：由上述结论或证明过程可知，本题选D。

7．从斜面上水平抛出的物体，若物体落在斜面上，物体与斜面接触时速度方向与斜面的夹角与物体抛出时的初速度无关
由结论“6”的证明可知，物体落在斜面时的速度方
向与斜面夹角为（α-θ），而
，由此式可以看出，物体落在斜面上时，速度方向与斜面
的夹角与初速度无关，只取决于斜面的倾角。

圆周运动
圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本单元的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。

另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

（一）匀速圆周运动
定义：做圆周运动的质点，若在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。

运动学特征：v 大小不变，T 不变，ω不变，向a 大小不变；v 和向a 的方向时刻在变，匀速圆周运动是加速度不断改变的变速运动。

动力学特征：合外力大小恒定，方向始终指向圆心
f 1T =f 2T 2π=π=ωω
=π=r r T 2v =a 0222
222v r T 4r f 4r r v ω=π=π=ω=
竖直面内的圆周运动（几种典型模型）：
竖直面内的圆周运动最高点处的受力特点及分类： 物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1）绳
弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有
即gR v ≥，否则不能通
过最高点。

①当
R v m
mg 2
=，即当v =0v =gR 时，0v 为小球恰好过最高点的临界速度。

②当mg ＜R v m 2，即v ＞0v =gR 时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球
能过最高点
③当mg ＞R
v m 2
，即v ＜0v =gR 时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

当物体以gR v =
1过最高点时，求当物体到达最低点的速度、最低点绳子的拉力大小 由 2
12221212mv mv R mg -=得：gR v 52=
R
v m mg T 2
=- 得T ＝ 6mg
应注意：A 、绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零；B 、杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零
2）杆与圆管
弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小v 可以取任意值。

但可以进一步讨论：①当v =0时，杆对球的支持力F N = mg ，此为过最高点的临界条件。

当
gR v >时物体受到的
弹力必然是向下的，
v 越大mg R
mv mg F ≥=+2
N F 越大；当gR v <时物体受到的弹力必然是向上的，m g ＞N F ＞0且N F 仍为支持力，v 越大N F 越小；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。

②当弹力大小F <mg 时，向心力有两解：mg ±F ；当弹力大小F >mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F ＝mg 时，向心力等于零。

3）汽车过拱桥
弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有：
gR v mg R
mv F mg ≤∴≤=-,2
否则车将离开桥面，做平抛运动。

桥面问题
（1）汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力
汽车在桥上运动经过最高点时，由汽车所受重力G 及桥对其支持力N F 提供向心力。

如图所示。

G －N F =R v m 2所以N F =G －R v m 2
汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。

（2）汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力
如图，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向
心力。

则有：N F —G=R v m 2，所以N F =G+R v m
2
由牛顿第三定律知，车对桥的压力就为G+R v m
2，大于车的重力。

而且v 越
大，车对桥的压力就越大 离心现象的研究及应用
（1）定义：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动。

（2）离心现象条件分析
①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B 所示
②当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A 所示。

③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F '＜2
ωmr ，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C 所示。

（3）离心运动的应用和危害
利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等。

汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太大；二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力。

圆周运动习题练习
例题解析
例1. 如图所示，用细管弯成半径为r 的圆弧形轨道，并放置在竖直平面内，现有一小球在细管内运动，当小球通过轨道最高点时，若小球速度____________时，会对细管上部产生压力；若小球速度____________时，会对细管下部产生压力。

例2. 一根水平轻质硬杆以恒定的角速度ω绕竖直OO'转动，两个质量均为m 的小球能够沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为k 的弹簧连接，弹簧原长为l 0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。

分析和解答：当两球绕轴OO'做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l 、L 表示A 、B 两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程：
对球有：①A m lk l l k L l ω2
00=---()() 对球有：②
B m l L k L l ω2
+=-()()0 由①、②联解得
l l m k m k
L m k l m k m k
=-+=--+0
22
22
22
213113ωωωωω()
()()
例3. 如图所示是离心试验器的原理图。

可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力，离心实验器转动时，被测者做匀速圆周运动，现观察到图中的直线AB （即垂直于座位的直线）与水平杆成30°角，求被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？
分析和解答：被试验者做匀速圆周运动所需要的向心力由他所受重力和座位对他的支持力的合力提供，如图所示。

F m g F m r N N s
i n c o s 30302
°①
°②==⎧⎨
⎩
ω
由①式可得：°
F m g
m g G N
===s i n 3022 被试验者对座位的压力和座位对他的支持力是一对作用力和
反作用力，所以他对座位的压力大小是他所受重力的2倍。

例4. 如图所示，轻杆长1m ，其两端各连接质量为1kg 的小球，杆可绕距B 端0.2m 处的轴O 在竖直平面内自由转动，轻杆由水平从静止转至竖直方向，A 球在最低点时的速度为4m/s 。

求：（g 取10m/s 2）
①A 小球此时对杆的作用力大小及方向； ②B 小球此时对杆的作用力大小及方向。

例5. 内壁光滑，两端封闭的试管长5cm ，内有质量为1kg 的小球，试管一端装在水平转轴O 上，在竖直面上绕O 做匀速转动。

已知转动过程中，试管底部受到小球压力的最大值是最小值的3倍，求转动的角速度。

分析和解答：
以试管中小球为研究对象，受力分析如图所示：
在最高点，球受管底压力为，则：①N N m g m L 11
2
+=ω在最低点，球受管底支持力为，则：②N N mg m L
222-=ω
由
①
、
②
两
式
可
得
：
N N m g 21
2-= 而，所以，代入①式可得：N N N m g 211
3== 22
m g m L
=ω 即ω==220g
L
r a d s /
例6. 如图所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g 取10m/s 2）
分析和解答：设物体M 和水平面保持相对静止，当ω具有最小值时，M 有向圆心运动的趋势，所以M 受到的静摩擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离M 分析受力，有 T f M r m -=ω12
又T m g =
0310206021
2
...××-=ω ω1
29=./r a ds 当ω具有最大值，M 有离开圆心趋势，M 受的最大静摩擦力2N 、指向圆心，隔离M 受力分析有
T f M r m +=ω22
又T m g = 0310*******
...××+=ω ω265=
./r a ds 所以的范围是ωω2965././r a d s r a d s ≤≤ 习题练习
1. 关于物体做曲线运动的条件，以下说法中正确的是（ ）
A. 初速度不为零的质点，受到与初速度的方向不在同一条直线上的外力作用
B. 质点受到外力作用
C. 质点加速度的方向必须发生变化
D. 质点受到的外力与加速度有一夹角
2. 质点作匀速圆周运动，下列物理量中，不变的是（ ） A. 速度 B. 角速度 C. 向心加速度 D. 周期
3. 小球被细绳拴着做匀速圆周运动，轨道半径为R ，向心加速度为a ，那么（ ）
A. 小球运动的角速度是ω=a R /
B. 小球在t 时间内通过的路程S a
R t =· C. 小球做圆周运动的周期T R a =2π/
D. 小球在t 时间内（细线）转过的角度θ=a R
t /· 4. 平抛物体的运动规律可以概括为两点：①水平方向做匀速运动，②竖直方向做自由落
体运动。

为了研究平抛物体的运动，可做下面的实验：如图1所示，用小锤打击弹性金属片，A 球就水平飞出，同时B 球被松开，做自由落体运动，两球总是同时落到地面。

这个实验（ ）
图1
A. 只能说明上述规律中的第①条
B. 只能说明上述规律中的第②条
C. 不能说明上述规律中的任何一条
D. 能同时说明上述两条规律
5. 从离地4.9m 高处，以6m/s 的速度水平抛出一只小球，小球从抛出到落地之间速度改变量的大小为（ ） A. 6m/s B. 12m/s C. 9.8m/s D. 15.8m/s
6. 一飞机以200m/s 的速度在高空沿水平线做匀速直线飞行。

每相隔1s 先后从飞机上落下A 、B 、C 三个物体，不计空气阻力。

在运动过程中（ ） A. A 在B 前200m ，B 在C 前200m B. A 、B 、C 在空气中排列成一条抛物线 C. A 、B 、C 排列在一条竖直线上，间距不变
D. A 、B 、C 排列在一条竖直线上，间距不断增大
7. 长l 的绳子的一端系一质量为m 的小球，以另一端为圆心，使小球在光滑水平面内做匀速圆周运动。

当角速度为ω时，绳子就要断裂。

若用同样长的这样两股绳子系住小球m ，使它仍在此水平面内作匀速圆周运动，则绳子不断裂的最大的角速度应为（ ） A. ω B. 4ω C.
2ω
D.
1
2
ω 8. 在下图2所示中，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端作圆周运动。

当小球运动到最高点时，即时速度v Lg =1
2
，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是（ ）
图2
A.
1
2
m g 的拉力 B.
1
2m g 的压力 C. 零
D. 3
2
m g 的压力
9. 将小球以3m/s 的速度平抛出去，它落地时的速度为5m/s ，求球在空中运行的时间和位移（g 取10m/s 2）
10. 如图3所示，在倾角为37°的斜坡上，从A 点水平抛出一个物体，物体落在斜坡的B 点，测得A 、B 两点间距离是75m ，求物体抛出时初速度的大小，并求落到B 点时的速度
大小。

图3
（gm s ===1037063708
2
/s i n .c o s .，°，°） 11. 如图4所示，一个向左匀速行驶的车厢，车厢内有一高为h 的架子，其边缘处有一小球。

当车突然以加速度a 匀加速行驶时，小球从边缘处脱落，若小球未与车厢后壁相碰，求它落地点与架子边缘的水平距离。

图4
12. 如图5所示，在水平转盘上，距转动轴20cm 处有一个质量是20g 的小木块，当转盘的转动周期为2s 时，木块与转盘之间没有相对滑动，问木块受几个力，每个力是多大？方向怎么？
图5
13. 一辆汽车以10m/s 的速度在平直公路上匀速行驶，汽车对路面的压力是4×104N 。

该汽车以同样速率驶过半径为R ＝40m 的凸形桥顶时，汽车对桥面的压力为多少？（g 取10m/s 2）
14. 如图6所示，长为L ＝1m 的轻质木杆，一端固定一个质量m=2kg 的小球，以支架上的O 点为轴在竖直面内做圆周运动，支架质量M ＝5kg ，当小球运动到最高点时v ＝2m/s ，则此时支架对地面的压力为多少？若要使支架对地面的压力为零，则小球运动到最高点时速度又该为多少？（g 取10m/s 2）
图6
1. A
2. BD
3. ABCD
4. B
5. C
6. D
7. C
8. B
9.
v m sv m s 0
2036==//； 10. 0.4s ；1.4m ，与竖直方向成arc tg
32
11.
a h
g
12. 重力，大小为0.2N ，方向竖直向下；支持力，大小为0.2N ，方向竖直向上；静摩擦力，大小为0.04N ，方向始终沿水平方向指向转轴。

13.
3104×
14. 62N ；
35m s /。