概率母函数
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那么 Z 是一个服从泊松分布的随机变量。这和我们用一般方法得出的结论相同。
独立随机变量的和（随机变量数是一个随机变量）
定理：令������, ������1,������2,… , ������������是独立可数的随机变量，其中{Xi}是独立同分布的，那么它们的 PGF 相同，为GX
证明：
证毕。 推论：
（2） 伯努利分布——p1 = ������, ������0 = 1 − ������ = ������
（3） 几何分布——������������ = ������������������−1, ������ = 1 − ������
（4） 二项分布——������~������������������(������, ������)
（5） 泊松分布
（6） 负二项分
唯一性定理
如果 X 和 Y 有 PGF，分别是Gx和GY，
Iff 指当且仅当。 证明：我们只需要证明（a）能推出（b）即可。他们的收敛半径都≥ 1，那么他们有唯一 的指数展开序列。
如果Gx = Gy，那么这两个序列有相同的系数。 证毕。
例
子
：如果
X
的
PGF
为 ps ，其中
概率母函数
Z. Chen
前言
生成函数在数学上的适用范围很广，在具体数学这门课中，我们主要学习了如何用生
成函数求解递推式的封闭形式以及求和的封闭形式。在概率论中，生成函数同样起到了很
大的作用。这篇小论文主要总结了我在学习概率母函数的过程中看到的一些定理和性质，
希望能对其他同Fra Baidu bibliotek起到参考作用。考虑一个实数序列
如果 H 是一个很简单的函数，那么我们可以把 Y 的 PGF GY用GX的形式表现出来。这在求 复合函数的时候很有用。 例如，如果������ = ������ + ������������。
矩
定理：令 X 是一个可数的随机变量，同时���������(���������)(1)是 X 的 PGF������������(������)在������ = 1处的 r 阶导。那 么 证明：（不严格的证明）
考虑一个可数随机变量 X，例如，他是一个离散的，非负值的随机变量。可以写作
（当 X 有有限多个可取值时，我们可以让 X 不能取到的数出现的概率都为 0）。它的概率生 成函数（PGF）被定义为
注意，当 s=1 时，GX（1） = 1 ，所以当|s| ≤ 1 时收敛的情况是肯定可以出现的。同时， ������������(0) = ������0。对于一些常见分布，PGF 的形式如下： （1） 常分布——当������������ = 1, ������������ = 0, ������ ≠ ������
1−qs
q=1-p，那么我们可以得到结论
给定一个函数 A(s)，且已知它是变量 X 的 PGF，那么我们可以得到pk = P(X = k)，获得pk 有以下两种方法： 1） 展开 A(s)，同时
2） 对 A(s)进行求导，那么 k 阶导的常数项就是pk。 我们可以把 PGF 的概念扩展到 X 的函数上。那么 Y=H（X）的 PGF 如下
证明略。 例子：一只母鸡下了 N 个蛋，������~������������������������������������������(������)。鸡蛋孵化的概率为 p，求孵化出小鸡的概 率。 解：定义小鸡个数的随机变量为 Z， 对于N 和������������，概率生成函数为
所以
Z 服从泊松分布，������~������oisson(������������).
，它的’ordinary’ 生成函
数被定义成以下形式：
其中 s 的值使得函数值收敛。那么我们就可以针对这样一个序列，定义一个收敛半径R(≥ 0)使得级数在|s| < R时绝对收敛，同时在|s| > R时发散。������(������)可以是任意阶可微的，或者 是按项可积的，当|s| < R。
概率母函数的定义和一些性质
证毕。 推论：令������1, ������2, … , ������������是独立可数的随机变量，它们的 PGFs 分别为 ������������1 (s), GX2 (������), … , ������������������ (������)，，
例子：寻找 n 个服从泊松分布的独立随机变量������������~������������������������������������������(������������)的和。 解：对于������������ , 所以
（在这里要假设求和和 r 阶导顺序是可以互换的）。那么这个序列在|s| ≤ 1时是收敛的。所 以 证毕。 特殊地， 同时
那么 例如：对于泊松分布，我们有
独立随机变量的和（随机变量数已知）
定理：定义 X 和 Y 是独立可数的随机变量（注意，并没有要求他们是同分布的），它们的 PGFs 是������������(������)和������������(������)。那么定义������ = ������ + ������， 证明：
独立随机变量的和（随机变量数是一个随机变量）
定理：令������, ������1,������2,… , ������������是独立可数的随机变量，其中{Xi}是独立同分布的，那么它们的 PGF 相同，为GX
证明：
证毕。 推论：
（2） 伯努利分布——p1 = ������, ������0 = 1 − ������ = ������
（3） 几何分布——������������ = ������������������−1, ������ = 1 − ������
（4） 二项分布——������~������������������(������, ������)
（5） 泊松分布
（6） 负二项分
唯一性定理
如果 X 和 Y 有 PGF，分别是Gx和GY，
Iff 指当且仅当。 证明：我们只需要证明（a）能推出（b）即可。他们的收敛半径都≥ 1，那么他们有唯一 的指数展开序列。
如果Gx = Gy，那么这两个序列有相同的系数。 证毕。
例
子
：如果
X
的
PGF
为 ps ，其中
概率母函数
Z. Chen
前言
生成函数在数学上的适用范围很广，在具体数学这门课中，我们主要学习了如何用生
成函数求解递推式的封闭形式以及求和的封闭形式。在概率论中，生成函数同样起到了很
大的作用。这篇小论文主要总结了我在学习概率母函数的过程中看到的一些定理和性质，
希望能对其他同Fra Baidu bibliotek起到参考作用。考虑一个实数序列
如果 H 是一个很简单的函数，那么我们可以把 Y 的 PGF GY用GX的形式表现出来。这在求 复合函数的时候很有用。 例如，如果������ = ������ + ������������。
矩
定理：令 X 是一个可数的随机变量，同时���������(���������)(1)是 X 的 PGF������������(������)在������ = 1处的 r 阶导。那 么 证明：（不严格的证明）
考虑一个可数随机变量 X，例如，他是一个离散的，非负值的随机变量。可以写作
（当 X 有有限多个可取值时，我们可以让 X 不能取到的数出现的概率都为 0）。它的概率生 成函数（PGF）被定义为
注意，当 s=1 时，GX（1） = 1 ，所以当|s| ≤ 1 时收敛的情况是肯定可以出现的。同时， ������������(0) = ������0。对于一些常见分布，PGF 的形式如下： （1） 常分布——当������������ = 1, ������������ = 0, ������ ≠ ������
1−qs
q=1-p，那么我们可以得到结论
给定一个函数 A(s)，且已知它是变量 X 的 PGF，那么我们可以得到pk = P(X = k)，获得pk 有以下两种方法： 1） 展开 A(s)，同时
2） 对 A(s)进行求导，那么 k 阶导的常数项就是pk。 我们可以把 PGF 的概念扩展到 X 的函数上。那么 Y=H（X）的 PGF 如下
证明略。 例子：一只母鸡下了 N 个蛋，������~������������������������������������������(������)。鸡蛋孵化的概率为 p，求孵化出小鸡的概 率。 解：定义小鸡个数的随机变量为 Z， 对于N 和������������，概率生成函数为
所以
Z 服从泊松分布，������~������oisson(������������).
，它的’ordinary’ 生成函
数被定义成以下形式：
其中 s 的值使得函数值收敛。那么我们就可以针对这样一个序列，定义一个收敛半径R(≥ 0)使得级数在|s| < R时绝对收敛，同时在|s| > R时发散。������(������)可以是任意阶可微的，或者 是按项可积的，当|s| < R。
概率母函数的定义和一些性质
证毕。 推论：令������1, ������2, … , ������������是独立可数的随机变量，它们的 PGFs 分别为 ������������1 (s), GX2 (������), … , ������������������ (������)，，
例子：寻找 n 个服从泊松分布的独立随机变量������������~������������������������������������������(������������)的和。 解：对于������������ , 所以
（在这里要假设求和和 r 阶导顺序是可以互换的）。那么这个序列在|s| ≤ 1时是收敛的。所 以 证毕。 特殊地， 同时
那么 例如：对于泊松分布，我们有
独立随机变量的和（随机变量数已知）
定理：定义 X 和 Y 是独立可数的随机变量（注意，并没有要求他们是同分布的），它们的 PGFs 是������������(������)和������������(������)。那么定义������ = ������ + ������， 证明：