立体几何常考定理总结(八大定理)
高中立体几何八大定理
高中立体几何八大定理1. 应用背景立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
高中阶段，学生在立体几何方面需要掌握一些基本定理和方法，以应对各种问题。
其中，高中立体几何的八大定理是关键内容之一。
这八大定理包括：等腰三角形的基本性质、等腰梯形的性质、平行线分线段成比例、相似三角形对应边成比例、直角三角形勾股定理、勾股定理的逆定理、正方体对角线长度与边长关系以及柱台体积比例定理。
掌握这些定理可以帮助我们解决与立体几何相关的问题，并提升解题能力。
2. 八大定理详解2.1 等腰三角形的基本性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
其基本性质包括：•等腰三角形两底角相等：即等腰三角形两个底边所对应的两个内∠相等。
•等腰三角形的顶角平分底角：即等腰三角形的顶角等于底边所对应的内∠的一半。
2.2 等腰梯形的性质等腰梯形是指具有两个底边平行且等长，并且两个非底边也相等的四边形。
其性质包括：•等腰梯形两对角线相等：即等腰梯形的两条对角线长度相等。
•等腰梯形的底角和顶角互补：即等腰梯形的一个底角和一个顶角之和为180°。
2.3 平行线分线段成比例平行线分线段成比例是指一条直线与另外两条平行线相交，将这两条平行线所夹区域上的一条线段与另一条线段所构成的比值，与这两条平行线上任意一点到交点处所构成的两个部分比值相等。
2.4 相似三角形对应边成比例相似三角形是指具有对应∠相等且对应边成比例关系的三角形。
其性质包括：•相似三角形对应边成比例：即相似三角形的对应边之间的长度比值相等。
2.5 直角三角形勾股定理直角三角形勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和。
即对于直角三角形ABC，满足AB² + BC² = AC²。
2.6 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是指如果一个三边长满足a² + b² = c²，那么这个三边长构成一个直角三角形。
高中立体几何八大定理
a mnA m ,n
作用：线线垂直 线面垂直
那么这条直线垂直于这个平面
a
A n
m
六、直线与平面垂直的性质定理：
文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
图形语言： 符号语言：
a a // b
b
a b
作用：线面垂直 线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言：
线就和交线平行。 图形语言：
l // 符号语言： l
l // m m
l m
作用：线面平行 线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：
a
b
abA
//
a∥
b∥
作用：线线平行
面面平行
四、平面与平面平行的性质定理 : 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 图形语言 :
//
符号语言 :
a a // b
b
作用 : 面面平行 线线平行
, 那么所得的两条交线平行
1
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五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直， 图形语言： 符号语言：
a
符号表示：
a
a
注：线面垂直 面面垂直 八、 平面与平面垂直的性质定理： 文字语言： 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一
个平面 图形语言：
A
常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何八个定理
三个角的求法
线线垂直与平行
线面平行的判定定理
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该线与此平面平行。（内外平行）
线线平行→线面平行
异面直线所成的角
先找出异面直线所成的角（利用平行）
再放入某个三角形中计算。
证明线线平行常用的方法
平行公理
三角形中位线
平行四边形对边平行
平行线分线段成比例
四边形对角线情况
平行四边形（平分）
矩形（平分
、相等）
棱形（平分、相互垂直）
正方形（平分直于交线的直线与另一个平面垂直。
面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。证明两个面垂直就要证明一个面内的一条直线垂直与另一个平面。
线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
二面角
在二面角α-L-β的棱L上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱L的射线OA和OB；则则射线ＯＡ和ＯＢ构成的∠ＡＯＢ叫做二面角的平面角。
面面平行的判定定理
一个面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两平面平行（两条、相交、平行）
线线平行→线面平行→面面平行
线面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。（两个平行平面相交，交线平行）
直线与平面所成的角
确定直线与平面的交点。
过直线上的任意一点（端点）作平面的垂线，确定垂足和斜线段在平面的射影斜线和射影所成的角就是斜线和射影平面所成的角。
求解由垂线和斜线段、射影组成的直角三角形。
证明线线垂直常用的方法
立体几何常考法则总结(八大法则)
立体几何常考法则总结(八大法则)立体几何是数学中的一个分支，涉及到空间中的物体、图形和曲线。
在解决立体几何问题时，掌握一些常考的法则非常重要。
本文将总结八个常考的立体几何法则，供您参考。
1. 图形的投影图形的投影是指将三维图形在某个平面上的投影。
常见的投影有平行投影和透视投影。
平行投影时，图形的各个点在投影平面上的位置与其在真实空间中的位置保持平行关系。
透视投影则会考虑到离观察点距离的因素，使得远离观察点的部分缩小。
2. 球面的性质球面是立体几何中的一个重要概念。
球面的性质包括球心、半径、表面积和体积等。
球面上的点到球心的距离都相等，半径决定了球面的大小。
通过半径的变化，可以求得球面的表面积和体积。
3. 平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系有三种可能：平行、相交和重合。
平面与直线平行时，其法向量垂直于直线的方向向量。
平面与直线相交时，它们一定有一个交点。
平面与直线重合时，它们完全重合，有无数个交点。
4. 直线的投影直线的投影是指将三维空间中的直线在某个平面上的投影。
直线的投影可以通过确定平行于投影面的直线来实现。
根据直线在投影面上的投影长度，可以判断直线和投影面的位置关系。
5. 平行四边形的性质平行四边形是具有两对平行边的四边形。
平行四边形的对角线互相平分，并且对角线相互垂直。
平行四边形的面积可以通过底边长和高来计算。
6. 立体图形的拓展表面积立体图形的拓展表面积是指将其展开为平面图形后，各个面的面积之和。
将立体图形展开为平面图形可以更方便地计算面积。
常见的立体图形包括正方体、长方体、圆柱体和圆锥体等。
7. 三棱锥的性质三棱锥是一个底面为三角形的四面体。
三棱锥的底面三边的中位线交于一个点，该点到底面各顶点的距离相等。
三棱锥的体积可以通过底面积和高来计算。
8. 平行六面体的性质平行六面体是具有六个平行四边形作为底面和顶面的立体图形。
平行六面体的相对面积相等，并且对应边互相平行。
平行六面体的体积可以通过底面积和高来计算。
高中立体几何八大定理
线面位置关系的八大定理之南宫帮珍创作一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言：作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m 作用：线面平行⇒线线平行 三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：作用：线线平行⇒ 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平αbalmβα面相交,那么所得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a bbαβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言：作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言：作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：符号暗示：aaααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭aβααbanmAαa注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：lAB ABAB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直BAlβα。
立体几何的八大定理
l ⊥b ab
=
O
a
b
⇒l⊥α
ab⊥ ⊥αα⇒a∥b
4． 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 一个平面过另 一个平面的垂 判定定理 线，则这两个平 面垂直
两个平面垂直， 则一个平面内 性质定理 垂直于交线的 直线与另一个 平面垂直
图形语言
符号语言
ll⊂ ⊥βα⇒α⊥β
αlαl⊂ ⊥⊥ ∩aβββ＝a⇒
l⊥α
2
符号语言
∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a⊂α，
b⊂α，∴α∥β
∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b，
∴a∥b
1
3．直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一条直线与一个 平面内的两条相 判定定理 交直线都垂直，则 该直线与此平面 垂直
垂直于同一个平 性质定理 面的两条符号语言
∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α
∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b
2． 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条相
交直线与另一个平面
判定定理 平行，则这两个平面
平行(简记为“线面
平行⇒面面平行”)
性质定理
如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交，那么它们的交线 平行
立体几何的八大定理
1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理
判定定理 性质定理
文字语言 平面外一条直线与 此平面内的一条直 线平行，则该直线与 此平面平行(线线平 行⇒线面平行) 一条直线与一个平 面平行，则过这条直 线的任一平面与此 平面的交线与该直 线平行(简记为“线 面平行⇒线线平 行”)
图形语言
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何所有的定理大总结绝对全
（二）异面直线所成角1.定义：不一样在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不订交的两条直线叫异面直线。
2.画法：借助协助平面。
1.定义：关于异面直线 a 和 b，在空间任取一点 P，过 P 分别作 a 和 b 的平行线a1和b1，我们把 a1和b1所成的锐角或许叫做异面直线 a 和 b 所成的角。
2.范围： (0 °， 90°】( ★空间两条直线所成角范围：【0°， 90°】 )（三）线面角1. 定义：当直线 l 与平面α订交且不垂直时，叫做直线 l 与平面α斜交，直线 l 叫做平面α的斜线。
设直线 l 与平面α斜交与点 M，过 l 上随意点 A，做平面α的垂线，垂足为O，把点 O叫做点 A 在平面α上的射影，直线 OM叫做直线 l 在平面α上的射影。
1.定义：把直线 l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线 l 和平面α所成的角。
2.范围【 0°， 90°】（★斜线与平面所成角范围：【0°， 90°】）（三）二面角1.定义：（1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分红两个部分，此中每一个部分叫做半平面。
（3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
（4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
（5）二面角的平面角：以二面角的棱上随意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角。
2. 表示：以下列图，可记作 α-AB- β或 P-AB-Q3. 范围为【 0°， 180°】（五）六种距离1. 点到点的距离：两点之间的线段 PQ 的长。
2. 点到线的距离：过 P 点作 PPl ，交 l 于 P ，线段 PP 的长。
1 1 13. 点到面的距离：过 P 点作 PP 1，交 于 P 1 ，线段 PP 1 的长。
立体几何基本原理总结(八大原理)
立体几何基本原理总结(八大原理)
一、点、线与面
在立体几何中，点、线和面是最基本的元素。
点是没有任何尺寸和形状的，只有位置的几何对象；线是由一系列点组成的，它有长度但没有宽度和高度；而面是由许多线组成的，它有长度和宽度但没有高度。
二、平行关系
平行关系是指两条线或两个平面永远不相交，即它们始终保持相同的距离。
在立体几何中，平行关系是一个重要的概念，它可以帮助我们解决许多问题，如求解直线与平面的交点问题等。
三、垂直关系
垂直关系是指两个线或两个平面之间的角度为90度，即它们相互垂直。
垂直关系也是立体几何中常见的一个概念，我们可以利用垂直关系来判断两个线或两个平面是否相交或平行。
四、相交关系
相交关系是指两条线或两个平面有一个或多个公共点。
在立体几何中，相交关系是一个重要的概念，它可以帮助我们确定两条线或两个平面的位置关系。
五、投影关系
投影关系是指一个物体在某个平面上的投影与该物体在另一个平面上的投影之间存在一定的关系。
在立体几何中，投影关系可以帮助我们求解物体的大小、形状和位置等问题。
六、边界关系
边界关系是指一个物体与其周围环境之间的交界部分。
在立体几何中，边界关系是一个重要的概念，它可以帮助我们确定物体的形状和位置。
七、相似关系
相似关系是指两个物体在形状上相似，但大小可能不同。
在立体几何中，相似关系可以帮助我们求解物体的大小和形状等问题。
八、对称关系
对称关系是指物体中存在轴或面对称的特性。
在立体几何中，对称关系可以帮助我们求解物体的形状和位置等问题。
立体几何证明定理归纳
.
立体几何证明定理归纳
（1）线线平行线面平行
定理内容：
图示：
符号语言：
（2）线面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
（3）线面平行面面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（4）面面平行线面平行
定理内容：
图示：符号语言：
（5）面面平行线线平行
定理内容：
图示：符号语言：
. （6）线线垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（7）线面垂直线线垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（8）线面垂直面面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（9）面面垂直线面垂直
定理内容：
图示：符号语言：
（10）线面垂直线线平行
定理内容：
图示：符号语言：。
立体几何八大定理总结
立体几何八大定理总结《立体几何八大定理总结——那些让我又爱又恨的家伙们》嘿，同学们！今天咱就来唠唠立体几何的八大定理。
别小看它们，这可真是让咱又爱又恨呐！先说线面平行定理吧，它就像个调皮的小精灵，总在那儿晃悠，告诉你一条线和平一个面没交点，这线就和那面平行啦。
有时候我就想，这线咋就这么“安分守己”呢，没交点就平行，咋就这么直接呢。
然后是面面平行定理，这俩面平行就像好朋友，有着相同的“性格”，一组相交线分别平行，嘿，它们就平行了。
感觉就像找朋友似的，条件对上号了，就成了。
线面垂直定理可厉害咯，一条线垂直一个面里的两条相交线，它就和这面垂直啦。
就像个超级英雄，只要打倒两条“小怪兽”线，就能征服整个面。
面面垂直定理呢，像两个打架的武林高手，一个面经过另一个面的垂线，它们就扭打在一起啦，形成了垂直。
还记得三垂线定理不？就像是个魔术，斜线在平面上的投影和平面内的一条直线垂直，那斜线和这直线也垂直。
这简直太神奇了吧，有种变戏法的感觉。
体积那些定理也让人印象深刻啊，特别是三棱锥的体积，计算起来就像解谜题一样，找好底和高，就能算出那小块立体空间的大小。
有时候算错了，哎哟，那感觉就像好不容易搭的积木倒了一样。
这些定理啊，有时候就像迷宫里的线索，得好好琢磨，一旦弄明白了，那简直豁然开朗，就像找到了迷宫的出口，爽歪歪！学这些定理的时候，那真是绞尽脑汁，做题做到头大。
但等你真正掌握了，那成就感爆棚啊！感觉自己就是个立体几何小专家。
总之，立体几何八大定理啊，就是我们学习路上的小伙伴，有时候调皮捣蛋让你头疼，但最终会让你变得更强大。
和它们好好相处吧，相信不久的将来，我们都能在立体几何的世界里游刃有余啦！哈哈！现在，同学们，继续加油，和这些定理大战三百回合吧！。
高中立体几何八大定理
lmβααba线面位置关系的八大定理之袁州冬雪创作一、直线与平面平行的断定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言：作用：线线平行⇒线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，颠末这条直线的平面和这个平面相交，那末这条直线就和交线平行.图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行 三、平面与平面平行的断定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另外一个平面，那末这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：作用：线线平行⇒ 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理:nmAαaαbaaβα文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那末所得的两条交线平行图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行五、直线与平面垂直的断定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那末这条直线垂直于这个平面 图形语言：符号语言：作用：线线垂直⇒线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言：作用：线面垂直⇒线线平行七、平面与平面垂直的断定定理：文字语言：如果一个平面颠末另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 图形语言：B A lβα符号暗示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭注：线面垂直⇒面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另外一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭作用：面面垂直⇒线面垂直。
立体几何八大定理 - 填空
立体几何中的八大定理1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)//lα⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)//l b⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”),//,αβ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面，那么它们的平行//a b⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎭3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直,,lα⎫⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎭性质定理垂直于同一个平面的两条直线//a b⎫⎪⇒⎬⎪⎭4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面互相垂直αβ⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面lα⎫⎪⎪⇒⊥⎬⎪⎪⎭。
数学立体几何八大定理
数学立体几何八大定理
1. 柿子定理：一个作为平面多边形底面的凸多面体的侧面积等
于这个凸多面体表面积的一半加上这个多面体面数目乘以它的底面积。
2. 欧拉定理：一个简单凸多面体的面数、顶点数和边数满足公式：面
数+顶点数=边数+2。
3. 狄利克雷定理：如果一个立体角的每个边界面都可以划分成互不相
交有限个平凡的平面角，则这个立体角为平凡的。
一个立体角被称为
平凡的，当且仅当它可以被划分成三角形。
4. 菲赫斯定理：一个多面体的每条棱所在的平面相交于一点（称为多
面体的菲赫斯点）。
5. 球冠切割定理：一个球的表面可以被三个平面分割成球冠。
6. 萨公定理：任何一个超过120度的立体角可以被切割成平凡的立体角。
7. 凸多面体的交角定理：凸多面体中任意两个面交角的余角的总和等
于360度。
8. 柯西・切比雪夫定理：如果两个凸多面体的交集不为空，则它们的
交界面至少有一点。
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l
m
β
α
α
b
a
立体几何的八大定理
一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行
文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．
的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫
⎪
⊂⎬⎪⎭
⇒//a α
关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．
，那么这条直线就和交线．．
平行. 符号语言：//l l m α
βαβ⎫
⎪
⊂⎬⎪⋂=⎭
⇒//l m
关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。
．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行
文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．
，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αα
αβββ
⊂⎫⎪⊂⎪⎪
=
⇒⎬⎪⎪⎪⎭
∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:
////a a b b αβαγβγ⎫
⎪
⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭
关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．
文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.
符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．
n
m
A
α
a
B
A l β
αa
β
α
五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直
文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．
，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a m
a n a m n A m n ααα⊥⎫
⎪⊥⎪
⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭
关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直
文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．
一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直
文字语言：如果一个平面经过．．
另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）
符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭
关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．
八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．
的直线垂直于另一个平面.
符号语言：l AB AB AB l
αβαββα⊥⎫
⎪=⎪
⇒⊥⎬⊂⎪
⎪⊥⎭
关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
一、线线、线面和面面的位置关系
两直线位置关系
a b a b
a b ⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩
=A 共面//异面-----与异面
线面位置关系
//l l A l l l ααααα⊂⎧⎪⎧⎧⎪
=⎪⎨
⎨⊄⊥⎨
⎩⎪⎪⎪
⎩⎩
斜交垂直:
面面的位置关系 a αβαβαβ
⎧⎪
⎧⎨
⎨⎪⊥⎩⎩
平行：//斜交：=相交垂直：
二、有关平行的证明
线 ∥ 线
⑴//////a c a c
b b ⎫⇒⎬⎭ 线∥线⇒线∥线 （都是直线）
⑵////a a a b b αβαβ⎫⎪⎬⎪⎭⊂⇒= 线∥面⇒线∥线 （相交平面）
⑶////a a b b αβαγβγ=⇒=⎫
⎪⎬⎪⎭ 面∥面⇒线∥线 （平行平面）
⑷//a a b b αα⎫⎬⇒⎭⊥⊥ 同垂直于一个平面 ⇒线∥线 （线面垂直）
线∥面
⑴////a b a a b ααα⎫
⎪⎭
⇒⎪⎬⊄⊂ 线∥线⇒线∥面
⑵////a a αββα⎫
⇒⎬⎭
⊂ 面∥面⇒线∥面
面∥面
,////,//a b a b O a b αααβββ⎫
⎪
⎬⎪⎭
⊂⊂=⇒线∥面⇒面∥面
线⊥线
//
a c
b c
a b
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⎭
线⊥线⇒线⊥线
a
a b
b
α
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
线⊥面⇒线⊥线
线⊥面
,
,
l a l b
a b P l
a b
α
αα
⊥⊥⎫
⎪
=⇒⊥
⎬
⎪
⊂⊂⎭
线⊥线⇒线⊥面
l
a
a
a l
αβ
αβ
β
α
⊥⎫
⎪
=⎪
⇒⊥
⎬
⊂⎪
⎪
⊥⎭
面⊥面⇒线⊥面
面⊥面
a
a
β
αβ
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
线⊥面⇒面⊥面
四、三种角的范围
异面直线所成角
(]
0,90
θ∈︒︒
直线与平面所成角
[0,90]
PAO
∠∈︒︒
二面角
[0,180]
AOB
∠∈︒︒
五、三角形的四心六、平面几何中结论
外心：中垂线的交点
外接圆的圆心
中位线定理——中位线平行且等于底边的一半内心：角平分线的交点
内切圆的圆心
线段对应成比例⇔线线平行
重心：中线的交点（2比1）两组对边平行或一组对边平行且相等的四边形为平行四边
形
垂心：高的交点一组对边平行且不相等的四边形为梯形。