spss正态性检验方法

理论部分

正态分布是许多检验的基础，比如F检验，t检验，卡方检验等在总体不是正太分布是没有任何意义。因此，对一个样本是否来自正态总体的检验是至关重要的。当然，我们无法证明某个数据的确来自正态总体，但如果使用效率高的检验还无法否认总体是正太的检验，我们就没有理由否认那些和正太分布有关的检验有意义，下面我就对正态性检验方法进行简单的归纳和比较。

一、图示法

1. P-P图

以样本的累计频率作为横坐标，以按照正态分布计算的相应累计概率作为纵坐标，以样本值表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正态分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

2. Q-Q图

以样本的分位数作为横坐标，以按照正态分布计算的相应分位点作为纵坐标，把样本表现为直角坐标系的散点。如果数据服从正太分布，则样本点应围绕第一象限的对角线分布。

以上两种方法以Q-Q图为佳，效率较高。

3. 直方图（频率直方图）

判断方法：是否以钟型分布，同时可以选择输出正态性曲线。

4. 箱线图

判断方法：观察矩形位置和中位数,若矩形位于中间位置且中位数位于矩形的中间位置，则分布较为对称，否则是偏态分布。

5. 茎叶图

判断方法：观察图形的分布状态,是否是对称分布。

二、偏度、峰度检验法（冒牌K-S 检验法）：

1. S ，K 的极限分布 样本偏度系数()

3

32

2B S B =；该系数用于检验对称性，S>0时，分布呈正偏态，S<0时，

分布呈负偏态。

样本峰度系数()

4

2

23B K B =

-；该系数用于检验峰态，K>0时为尖峰分布，S<0时为扁

平分布；当S=0，K=0时分布呈正态分布。

0H ：F(x)服从正态分布 1H ：F(x)不服从正态分布

当原假设为真时，检验统计量

~N(0,1)

~N(0,1)

对于给定的α，

R ||={|

>λ⋃|

>λ} 其中14

u

α

-

λ=

2. Jarque-Bera 检验（偏度和峰度的联合分布检验法）

检验统计量为 JB 22164n k S K -⎛⎫=

+ ⎪⎝⎭

()2

2χ~，JB 过大或过小时，拒绝原假设。

三、非参数检验方法

1. Kolmogorov-Smirnov 正态性检验（基于经验分布函数（ECDF ）的检验）

()()0max ||n D F x F x =-

()n F x 表示一组随机样本的累计概率函数，()0F x 表示分布的分布函数。

当原假设为真时，D 的值应较小，若过大，则怀疑原假设，从而，拒绝域为

{}R D d =>。对于给定的α，{}p P D d α=>=，又ˆ{}n n

p P D D =≥ 2. Lilliefor 正态性检验 该检验是对Kolmogorov-Smirnov 检验的修正，参数

未知时，由22ˆˆ,X S μσ==可计算得检验统计量ˆn

D 的值。 3. Shapiro-Wilk(W 检验)

检验统计量：

(

)()(

)

()()()

2

12

2

1

1

n i i i n

n

i

i

i i a a X X W a

a

X X ===⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦=--∑∑∑ 当原假设为真时，W 的值应接近于1，若值过小，则怀疑原假设，从而拒绝域为R {}W c =≤。在给定的α水平下 P {}W c ≤=α。

4. 2χ拟合优度检验（也是基于经验分布函数（ECDF ）的检验）

检验统计量为

22

2

11()()k

k

i i i i i i i i f f np n p p n np χ==-=-=∑∑

1)k ~χ(-

22

2

11ˆ()ˆ()ˆˆk

k

i i i i i i i i f f np n p

p n np χ==-=-=∑∑1)k r ~χ(-- r 是被估参数的个数

若原假设为真时，2χ应较小，否则就怀疑原假设，从而拒绝域为2{}R d χ=≥，对

于给定的α，2{}P d χα≥= 又22ˆ{}p P χχ

=≥。 四、方法的比较

1. 图示法相对于其他方法而言，比较直观，方法简单，从图中可以直接判断，无需计算，但这种方法效率不是很高，它所提供的信息只是正态性检验的重要补充。

2. 经常使用的2χ拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov 检验的检验功效较低，在许多计算机软件的Kolmogorov-Smirnov 检验无论是大小样本都用大样本近似的公式，很不精准，一般使用Shapiro-Wilk 检验和Lilliefor 检验。

3. Kolmogorov-Smirnov 检验只能检验是否一个样本来自于一个已知样本，而Lilliefor 检验可以检验是否来自未知总体。

4. Shapiro-Wilk 检验和Lilliefor 检验都是进行大小排序后得到的，所以易受异常值的影响。

5. Shapiro-Wilk 检验只适用于小样本场合（3≤n ≤50）,其他方法的检验功效一般随样本容量的增大而增大。

6. 2χ拟合优度检验和Kolmogorov-Smirnov 检验都采用实际频数和期望频数进行检验，前者既可用于连续总体，又可用于离散总体，而Kolmogorov-Smirnov 检验只适用于连续和定量数据。