【试卷】2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(六)及答案

2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(六)
考试内容：一轮复习
一、单选题
1．函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2θ=（ ）
A ．513-
B ．513
C ．1213-
D ．1213 2．若()cos sin f x x x =-在[]0,a 上是减函数，则a 的最大值是( )
A ．π4
B ．π2
C ．3π4
D ．π
3．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0＜β＜α＜，则β＝( )
A.
B. C. D.
4．已知1sin()62πθ-=，且02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos()3
πθ-=( ) A ．0
B ．12
C ．1
D ．32
5．设函数()sin 3cos f x x x ωω=+(04)ω<≤的一条对称轴为直线
12x π
=，将曲线()f x 向右平移4
π个单位后得到曲线()g x ，则在下列区间中，函数()g x 为增函数的是（ ）
A ．[,]62ππ-
B ．57[,]66ππ
C ．5[,]36ππ
D ．27[,]36
ππ
6．已知函数在上的值域为，则
实数的取值范围为（ ） A.
B. C. D.
二、填空题
7．设(0,)2
πθ∈，则2sin cos (sin 1)(cos 1)θθθθ++的最大值为_____
8．已知1sin cos 2αβ=-，则sin cos βα的取值范围是_________
9．将函数()243f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π
个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，则下列关于函数y ＝g （x ）的说法正确的序号是____．
（1）当02x π⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦，时，函数有最小值3 （2）图象关于直线12
x π=-对称；
（3）图象关于点012，π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； （4）在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数．
三、解答题
10．已知向量a ＝(cos 2ωx －sin 2ωx ，sin ωx )，b ＝32cos ωx )，设
函数f (x )＝a ·b (x ∈R)的图象关于直线x ＝π2
对称，其中ω为常数，且ω∈(0，1)．
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为原来的16
，再将所得图象向右平移π3个单位，纵坐标不变，得到y ＝h (x )的图象，若关于x 的方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．
2020-2021学年上学期高三年级理科数学培优试卷(六) 参考答案 1．C 【详解】 对于函数()a y log x 42(a 0=++>且a 1)≠，令x 41+=，求得x 3=-，y 2=， 可得函数的图象恒过点()A 3,2-，且点A 在角θ的终边上，
y 2tan θx 3∴==-，则2222sin θcos θ2tan θ12sin2θsin θcos θtan θ113
===-++， 故选：C ．
2．C
【详解】
由题意，()πcos sin 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
， 当πππ,422x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即π3π,44x ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦时，πsin 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭单调递增， 则()π2sin 4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴π3π,44x ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦
是()f x 在原点附近的单调递减区间， 结合条件得[]π3π0,,
44a ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦， ∴3π4a ≤，即a 的最大值为3π4.
故选C.
3．C
【详解】
由，可得cos αcos β＋sin αsin β＝，因为cos α＝，0＜β＜α
＜，
所以.即，即2cos β＋8sin β＝13， 又根据sin 2β＋cos 2β＝1，解得sin β＝，∴β＝，故选C.
解法二如下: 因为，所以，因为， 所以，又，所以，则
，又，所以. 4．C
【详解】
解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ． 解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3
cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选C ．
5．B 【详解】
()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭ 将12x π=代入()f x 可得：()1232k k Z πππ
ωπ⋅+=+∈ ()122k k Z ω⇒=+∈
又04ω<≤，可得：2ω= ()2sin 23f x x π⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭
()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 当,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ
⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 不单调，可知A 错误； 当57,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，3132,626x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()g x 单调递增，可知B 正确； 当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，32,622x πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦，()g x 单调递减，可知C 错误； 当27,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7132,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()g x 不单调，可知D 错误. 本题正确选项：B
6．A
【详解】
当
时， 又
，， 由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
7．642-【详解】
令sin cos t θθ+=，则21sin cos 2
t θθ-=
所以2(1)4=2+11
t y t t -=-+
原式可化为sin cos ),(0,)42ππθθθθ+=+∈，2(1)4=2+11
t y t t -=-+ 因为函数在2(1)4=2+11
t y t t -=-+上是增函数，
所以当t =时，
max 26y ==-， 8．11[,]22
-
【详解】 1
sin cos
2αβ=-， 1
sin()sin cos cos sin cos sin .2
αβαβαβαβ∴+=+=-+
1sin()sin cos cos sin cos sin .2αβαβαβαβ-=-=-- 又1sin()1,1sin()1,αβαβ-≤+≤-≤-≤
111cos sin 1,1cos sin 1,22
αβαβ∴-≤-+≤-≤--≤
即1331cos sin ,cos sin ,2222αβαβ∴-≤≤-≤≤ 综上可得：11sin cos .22
βα-≤≤
9．（1）、（2）
【详解】
由已知将函数()243f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，得函数解析式为h （x ）＝2sin[4（x 6π-）3π+]＝2sin （4x 3π-），
再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin （2x 3π-
），
对于（1），当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，时，2x 3π-∈[3π-，23π]，函数有最小值，
即（1）正确，
对于（2），令2x 3π-=k 2ππ+，则x 5212
k ππ=+，即k ＝﹣1时，图象关于直线12x π
=-对称，即（2）正确，
对于（3），令2x 3π
-
=kπ，则x 26k ππ=+，即图象关于点（026k ππ+，）对称，即（3）错误，
对于（4），令2kπ2π-≤2x 232k πππ-≤+，解得kπ12π
-≤x≤kπ512
π+，即函数在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上不单调，即（4）错误， 综上，关于函数y ＝g （x ）的说法正确的序号是（1）、（2）， 故答案为：（1）、（2）．
10．（1）T ＝6π；单调递增区间为5ππ
6π,6π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z.（2）{k |
k <≤k ＝－2}．
【详解】
(1)f (x )
＝a ·b 2ωx －sin 2ωx )＋2sin ωx cos ωx
ωx ＋sin2ωx ＝2sin 23x πω⎛⎫
+ ⎪⎝⎭. ∵直线x ＝π2是y ＝f (x )的图象的一条对称轴， ∴ππππ32k ω+=+(k ∈Z)，即ω＝k ＋16
(k ∈Z)． 又ω∈(0，1)，∴ω＝1
6，f (x )＝2sin 1π33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴T ＝6π. 令π1ππ2π2π2332k x k -+++，k ∈Z ，得5ππ6π6π22
k x k -++，k ∈Z ， 即函数f (x )的单调递增区间为5ππ6π,6π22k k ⎡⎤-
++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z. (2)由（1）得f (x )＝2sin 1π3
3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将y ＝f (x )图象上各点的横坐标变为
原来的16，再将所得图象向右平移π3
个单位，纵坐标不变，得到y ＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象， ∴h (x )＝2sin π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 令π23x -＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π3≤t ≤2π3
， 方程h (x )＋k ＝0在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解， 即方程2sin t ＋k ＝0在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有且只有一个实数解， 亦即y ＝2sin t ，t ∈π2π,33-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象与直线y ＝－k 有且只有一个交点，
－k k ＝2，即k ≤k ＝－2.
故实数k 的取值范围是{k |k <≤k ＝－2}．。