中考数学压轴题练习

2010重庆26（较难）

26．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边

长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点

A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C

在第四象限，OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、

Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单

位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位

的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点

时，另一个点也随即停止．

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运

动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取

值范围；

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，

使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合

条件的点D的坐标；

（3）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别

与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

2009西城25（较难）

25．已知：，PB=4，以AB为一边作正

方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD

的最大值，及相应∠APB的大小．

25．请阅读下列材料：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB 、CD 交于点P ，则PA •PB=PC •PD ．请你根据以上材料，解决下列问题．

已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP=1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R ．（如图2）

（1）若AC 恰经过圆心O ，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：PR PQ 11+的值； （2）若OP ⊥AC ，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：PR

PQ 11+的值； （3）若AC 是过点P 的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：

PR PQ 11+的值，并给出证明．

23．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．

（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°（图1），则△MBN是三角形；

（2）在△ABE和△BCF中，若BA=BE，

BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，（图2），则

△MBN是三角形，且∠

MBN= ；

（3）若将（2）中的△ABE绕点B旋转一定

角度，（图3），其他条件不变，那么（2）中

的结论是否成立？若成立，给出你的证明；

若不成立，写出正确的结论并给出证明．

2009东城二模25（简单，做过）

25．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，

DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，

点E在下底边BC上，点F在AB上．

（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，

设BE的长为x，试用含x的代数式表示△

BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD

的周长和面积同时平分？若存在，求出此

时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长

分为1：2两部分，将△BEF的面积记为S1，

五边形AFECD的面积记为S2，且S1：S2=K

求出k的最大值．

2011上海杨浦25（较简单，但易漏讨论情况）

25．已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P、Q，且∠O1PO2=120°，点A为⊙O1上异于点P、Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M．（1）如图1，求∠AMB的度数；

（2）当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请在图2中画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请在图2中再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中结论；

（3）当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长．

2011沈阳24（简单）

24．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，

①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC 是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

2011江苏盐城市阜宁县24（难）

24．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．

（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；

（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；

（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan∠ABC的值；若不存在，试说明理由．