【试卷】高二数学上学期期末试卷(文科)及答案

高二数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a =_________
（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
2、有分别满足下列条件的两个三角形：①∠B ＝30°，a ＝14，b ＝7；②∠B ＝
60°，a =10,b =9，那么下面判断正确的是 ( ) A.①只有一解，②也只有一解 B.①、②都有两解
C.①有两解，②有一解
D.①只有一解，②有两解 3、命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（ ） A ．有些三角形不是等腰三角形 B ．所有三角形是等腰三角形 C ．所有三角形不是等腰三角形
D ．所有三角形是等腰三角形
4、函数3y x x 的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
5、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =
6、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．319
B ．3
16
C ．
313 D ．3
10 7、如果b a >>0且0>+b a ，那么以下不等式正确的个数是 （ ）
①b a 1
1< ②b a 11> ③33ab b a <
④23ab a < ⑤32b b a <
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或
9、下列曲线中离心率为的是 ( )
A.
B. C. D.
10、函数y =x 3+x
3在(0，+∞)上的最小值为 ( )
A.4
B.5
C.3
D.1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相
交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________。

12、在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

13、抛物线y 2＝x 上一点到点A(1,0)的距离的最小值为_____。

14、双曲线x 29－y 2
4
＝1的实轴左、右端点分别为N 、M ，不同于M 、N 的点P 在此双
曲线上，那么直线PM 、PN 的斜率之积为________． 15、某工厂建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价
为1200元/ m 2，房屋侧面的造价为800元/ m 2，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是_________元．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和
演算步骤。

16、(本小题12分)在△ABC 中，a =8,b =7,B =60°,求c .
17、(本小题13分)已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x∈Z，且“p∧q”与“┐q”同
时为假命题，求x 的值．
18、(本小题13分)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＝5S n－3 （n∈N＋），{b n}
是{a n}的奇数项构成的数列，求数列{b n} 的通项公式．
19、(本小题14分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的
1x2,且生产x t的成本价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－
5
为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)
20、(本小题14分)
(1)求与椭圆x2
25
＋
y2
5
＝1共焦点且过点(32，2)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P
1、P
2
的坐标分别为(3，－
42)、(9
4
，5)，求双曲线的标准方程．
21、(本小题14分)
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交
点，求m的取值范围．
参考答案
1、C
∵ 34512
a a a ++=，∴ 44
a =
1271741
7()728
2a a a a a a ++
+=⨯⨯+==
2、D a sin B =b ,∴①只有一解.b <a ,a sin60°<b ,∴②有两解.
3、c 4．C '2
31
0y x 对于任何实数都恒成立
5、B
抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4
a
,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它
与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a
⋅=,解得8a =±.所以抛
物线方程为28y x =±,故选B. 6．D '2'10()36,(1)364,3
f x ax x f a a =+-=-== 7、B
8.D 01
2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ====或0150
9、B 【解析】依据双曲线22221x y a b -=的离心率c
e a
=可判断得.62c e a ==.选B 。

10、A
解：y ′=3x 2－
23x ,令y ′=3x
2－23x =0,即x 2－2
1x =0,解得x =±1.由于x >0,所以x =1.在(0, +∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+
∞)上的最小值为y =f (1)=4.
11、解析：抛物线的方程为24y x = ，
()()211
1122122
22
4,,,,4y x A x y B x y x x y x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩则有，
()22
1212121212
4
41
y y y y x x x x y y --=-∴
==-+∴两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x 答案：y=x
12、0
120 22201
cos ,12022
b c a A A bc +-=
=-= 13、解析：设P(x ，y)为抛物线上一点，
则|PA|2＝(x －1)2＋y 2＝x 2－2x ＋1＋x
＝x 2
－x ＋1＝(x －12)2＋34
，
∴当x ＝12时，|PA|取到最小值3
2.
14、解析：M(3,0)，N(－3,0)，
设P(x ，y)，
则k PM ·k PN ＝y x －3·y
x ＋3
＝y 2
x 2－9
. 又∵点P 在双曲线上，
∴y 2＝4(x
29
－1)，
∴k PM ·k PN ＝4·
x 2－99x 2－9＝4
9
.
15、34600
16、解 方法1 (用正弦定理)
∵a sin B =8sin60°=43,∴a sin B <b <a .∴本题有两个解. 由正弦定理及sin C =sin(A +60°),得.)
60sin(60sin 7sin 8︒+=︒=A c
A ∴sin A =
73
4,cos A =±71.∴c =︒
︒+60sin )60sin(7A .∴c 1=5,c 2=3. 方法2 (用余弦定理)
由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得72=82+c 2-2·8c cos60°. 整理得c 2-8c +15=0.解得c 1=5,c 2=3.
17、解：∵“p∧q”为假，∴p、q 至少有一个为假． 又∵“┐q”为假，∴q 为真，从而可知p 为假． 由p 为假且q 为真，
可得|x 2
－x|＜6且x∈Z，即⎩⎨⎧
x 2－x ＜6，
x 2
－x ＞－6，
x∈Z，
∴⎩⎨⎧
x 2－x －6＜0，
x 2
－x ＋6＞0，x∈Z，
∴⎩⎨⎧
－2＜x ＜3，x∈R，x∈Z.
故x 的值为－1,0,1,2.
18.由a n ＝5S n －3(n ∈N ＋)…(1)；知a 1＝
4
3
，且a n ＋1＝5S n ＋1－3 (n ∈N ＋) …(2)； (2)－(1)得：a n ＋1－a n ＝5a n ＋1，移项得－a n ＝4a n ＋1， a n ＋1＝ －4
1
a n ，
因为a 1≠0，所以a n ≠0，得
411-=+n n a a ，所以{a n }为等比数列， a n ＝1)4
1
(43--⨯n ；
a 1，a 3，…，a 2 n －1，…构成以43为首项，16
1
为公比的等比数列； ∴{b n } 的通项公式为b n ＝43·（16
1）n －1．
19、解:每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24200－5
1
x 2)x －(50000+200x )
=－5
1x 3+24000x －50000(x ≥0).
由f ′(x )=－5
3x 2+24000=0,解得x 1=200,x 2=－200(舍去).
∵f (x )在［0,+∞)内只有一个点x 1=200使f ′(x )=0,
∴它就是最大值点.f (x )的最大值为f (200)=3150000(元).
∴每月生产200 t 才能使利润达到最大,最大利润是315万元.
20、解：(1)椭圆x 225＋y 2
5
＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)，
设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＋b 2＝20.
又∵过点(32，2)， ∴18a 2－2
b 2＝1. 综上，得a 2＝20－210，b 2＝210， ∴双曲线的标准方程为
x 220－210－y 2
210
＝1.
(2)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)．① ∵点P 1、P 2在双曲线上，
∴点P 1、P 2的坐标适合方程①.
将(3，－42)，(9
4
，5)分别代入方程①中，得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
－42
2
a 2
－32
b
2＝125a 2
－
942
b 2
＝1
，将1a 2和1
b
2看作整体，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
1a 2＝1161b 2
＝19
，
∴⎩⎨⎧
a 2
＝16b 2
＝9
，即双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
21、解：(1)f′(x)＝3x 2－3a ＝3(x 2－a)，
当a ＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0，
∴当a ＜0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0时，由f′(x)＞0，解得x ＜－a 或x ＞a ； 由f′(x)＜0，解得－a ＜x ＜ a.
∴当a ＞0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)， (a ，＋∞)；f(x)的单调减区间为(－a ，a)． (2)∵f(x)在x ＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0.∴a＝1. ∴f(x)＝x 3－3x －1，f′(x)＝3x 2－3. 由f′(x)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x ＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y ＝m 与函数y ＝f(x)的图象有三个不同的交点， ∴结合f(x)的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．。