4.1正态分布的概率密度与分布函数解析

故 l 183.98(cm) .
[例4] 设随机变量 X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落 在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,. 解： P( X k ) P( k X k ) k k ( ) ( )
第四章
正态分布
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§4.1 正态分布的概率密度与分布函 数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布: 1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布 近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的 和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导 得到的.
5 如果固定 , 改变 的值 , 则图形沿着 Ox

轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x )的位置完全由参数 所确定 . 称
为位置参数.
6当固定 μ ,改变 σ 的大小时 , f ( x ) 图形的对
称轴不变, 而形状在改变, σ 越小 , 图形越高越瘦,

( x) 1 e
2π
x2 2
, x .
1 Φ ( x) e dt. 2π
t2 x 2
思考题
若随机变量 X ~ N (2 , 2 ) , 且 P(2 X 4) 0.3 , 则 P( X 0) ______ . 解： 已知 X ~ N (2 , 2 ) , 则有 2 42 22 P ( 2 X 4) ( ) ( ) ( ) ( 0) 2 ( ) 0.5 0.3 2 由此可得 ( ) 0.8 , 从而 X 2 2 2 2 P( X 0) P( ) ( ) 1 ( ) 1 0.8 0.2. 答：应填0.2.
正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量 X 的概率密度为
1 f ( x) e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
, x,
其中 μ, σ (σ 0) 为常数 , 则称 X 服从参数为 μ, σ 的
正态分布或高斯分布.
记为 X ~ N ( μ, σ ) .
2
显然f ( x ) 0 ,下面来证明
1 ( 0.83 ) (0.83) 0.7967.
(2) 由题设知 X ~ N (170,62 ) ,
P{ X l } 1 P{ X l }
X 170 l 170 1 P 6 6
l 170 1 ( ) 0.01 , 6 l 170 l 170 2.33 , 即 ( ) 0.99 . 查表得 6 6


f ( x )dx 1 .
令 ( x ) t , 得到



1 e 2
t 2 2
( x )2 2 2
1 dx 2
2
e


t 2 2
d t，
记 I e
dt , 则有 I e

( t 2 u2 ) 2
( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值
区间. 这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
小 结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 π
, x .
2.标准正态分布 N (0 ,1) 的概率密度与分布函数：
标准正态分布的图形
标准正态分布分布函数的性质
(0) 0.5; ( ) 1;
证明 Φ( x ) 1 Φ( x ) .
证明 Φ ( x )
x
( x ) 1 ( x ).
1 e 2π 1 e 2π
x2 2
dx

x2 2
x
dx d x
x


1 e 2π
x2 2

1 e 2π
x2 2
d x，
1 Φ( x ) .
[例1] 设 X 服从标准正态分布N (0 ,1) , 求 (1) P( X 1.96);
(2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
σ越大 , 图形越矮越胖.
分布函数为 F ( x)
1 2π

( t u )2 x 2 2
e
dt
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布 .
其概率密度和分布函数分别用 ( x ), Φ( x )表示 ,
即有
1 x2 2 ( x) e , 2π 1 x t 2 2 Φ( x ) e dt . 2π
[例2] 设随机变量 X 服从正态分布 N (1 ,22 ) , 求概率 P(1.6 X 2.4). 解：P(1.6 X 2.4) ( 2.4 1) ( 1.6 1) 2 2 (0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)] 0.7580 (1 0.9032 ) 0.6612.
( 2) P(1.6 X 2.5) (2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6)
0.9938 1 0.9452 0.9390.
正态分布概率的计算
1 P{ X x } F ( x ) e 2πσ ?

的分布函数为

[定理] 设 X ~ N ( , 2 ) , 则对于任意区间 ( x1 , x2 ] ,
x1 X x2 有 P{ x1 X x2 } P x2 x1 Φ Φ .
说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( X 3 ) 1 P( X 3 )
1 0.9973 0.0027 0.003.
由此可知 X 落在 ( 3 , 3 ) 之外的概率小于 通常把区间 根据小概率事件的实际不可能性原理， 3 ‰，
(k ) (k )

(k ) [1 (k )] 2 (k ) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973.
( t μ )2 x 2σ 2
原函数不是 d t 初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算
方法二:转化为标准正态分布查表计算
定理 若X ~ N ( , ) , 则 Z
2
X

~ N (0,1) .
证 Z
X
X P{ Z x } P x P { X x } 2 (t ) x 1 2 2 e dt， 2π t x 2 1 u 2 令 u , 得 P{ Z x } e du Φ ( x ) 2π X 由此知 Z ~ N (0,1) .
f ( x )的图形如图所示 .
性质:
1 曲线关于 x 对称 . 这表明对于任意h 0 , 有 P { h X } P{ X h} . 1 . 2 当x 时取到最大值 f ( ) 2 π 3 在x 处曲线有拐点 ; 4曲线以 x 轴为渐近线 ;
2 设某城市成年男子的身 高 X ~ N ( 170 , 6 ) 例3 (单位 : cm )
(1)求成年男子身高大于165cm的比例； ( 2) 问应如何设计公共汽车 车门的高度 , 使男子与 车门顶碰头的几率小于 0.01 ?
解（1）
X 170 165 170 P{ X 165} P 6 6
dt du
而 I 0 , 故有
利用极坐标将它化成累次积分, 得到 2π 2 2 r 2 I r e drd 2π，
0 0
I 2π , 即有
( x )2 2 2
于是
e

t 2 2
dt 2 π ,
1 2π

e
1 t 2 2 e dt 1 . dx 2π