第6讲对数与对数函数(教师版)

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4.2 对数函数-(必修第一册) (教师版)

对数函数1对数的概念①概念一般地，如果a x=N(a>0 ,且a≠1)，那么数x 叫做以a为底N的对数，记作x=log a N. (a底数， N真数， log a N对数)②两个重要对数常用对数以10为底的对数，log10 N记为lgN；自然对数以无理数e为底的对数的对数，log e N记为ln N．③对数式与指数式的互化x=log a N ⟺a x=N对数式指数式④结论(1)负数和零没有对数(2)log a a=1，log a1=0.特别地，lg 10=1，lg 1=0，lne=1，ln 1=0.2 对数的运算如果a>0， a ≠ 1 , M>0 ,N>0 , 有①log a(MN)=log a M+log a N②log a MN=log a M−log a N③log a M n=n log a M(n∈R)④a log a M=M⑤换底公式log a b=log c blog c a(a>0 ,a≠ 1 ,c>0 ,c≠ 1 ,b>0)利用换底公式推导下面的结论①log a b=1log b a ② log a b⋅ log b c=log a c ③log a m b n=nmlog a b特别注意：log a MN ≠ log a M⋅ log a N，log a(M ±N)≠ log a M± log a N3 对数函数①对数函数的概念函数y=log a x(a>0 ,a ≠1)叫做对数函数，其中x是自变量.②图像与性质【题型一】对数的化简与求值+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50【典题1】求值2log32−log3329+log38−5log53+(lg5)2+lg2×lg50【解析】2log32−log3329+log38−3+(lg5)2+2lg2∙lg5+(lg2)2=log34−log3329×8)−3+(lg5+lg2)2=log3(4×932=2−3+1=0．∈(n ,n+1)，n∈N，则n的值是.【典题2】若x ,y ,z∈R+，且3x=4y=12z，x+yz【解析】令3x =4y =12z =k >1．则x =log 3k =lgklg3， y =log 4k =lgklg4 ，z =log 12k =lgklg12． (利用换底公式，把数值化为同底，有利于x+y z求值去掉k )∴x+y z=lgk lg3+lgklg4lgk lg12=lg12⋅lg12lg3∙lg4=(lg3+lg4)2lg3∙lg4=lg3lg4+lg4lg3+2，(∵x+y z∈(n ,n +1)，∴要对lg3lg4+lg4lg3+2进行估值，要把其值的整数部分求出)∵0<lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3>2 (利用对勾函数可得) ∴lg3lg4+lg4lg3+2>4， ∵lg4lg3<2 ,lg3lg4<1 ∴lg3lg4+lg4lg3+2<5,则x =lg3lg4+lg4lg3+2∈(4 ,5)=(n ,n +1)，则n =4．巩固练习1 (★) 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x ,(x >0)，则f [f (12)]= .【答案】 13【解析】∵f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x >0)，∴f(12)=log 212=−1．则f[f(12)]=f(−1)=3−1=13．2 (★) (lg2)2+lg5×lg20+(√2016)0+0.027−23×(13)−2= ．【答案】 102 【解析】(lg2)2+lg5•lg20+(√2016)0+0.027−23×(13)−2 ＝(lg2)2+lg5•(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3]−23×9=(lg2+lg5)2+1+10.09×9 =1+1+100 =102．3(★★) 求值:lg √10⋅lg0.1= ．【答案】 −4 【解析】lg √10⋅lg0.1=3lg2+3lg5−lg2−lg512lg10⋅lg 110=2(lg2+lg5)−12=−44(★★) 求值:2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1＝．【答案】 −3 【解析】2log 214−(827)−23+lg 1100+(√2−1)lg1=14−[(23)3]−23−2+(√2−1)0=14−94−2+1 ＝−3．故答案为：−3．5(★★) 若a >1，b >1且lg(1+b a)=lgb ，则lg(a −1)+lg(b −1)的值．【答案】 0【解析】∵a >1，b >1且lg(1+b a )=lgb ， ∴1+ba=b ，∴a +b =ab ， ∴lg(a −1)+lg(b −1)=lg[(a −1)(b −1)]=lg(ab −a −b +1)=lg1=0．故选：C ．6(★★★) 已知2a =7b =m ，1a +12b=12，则m ＝ .【答案】 28【解析】∵2a =7b =m ，∴a =log 2m ，b =log 7m ， ∵1a +12b=12，∴log m 2+12×log m 7=log m (2√7)=12，∴√m =2√7，解得m =28．故答案为28．7(★★★) 已知a >b >1，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab ＝．【答案】 8【解析】∵log a b +log b a =52；∴1 log b a +log b a=1+(log b a)2log b a=52；∴2(log b a)2−5log b a+2=0；解得log b a=12或log b a=2；∵a>b>1；∴log b a>1；∴log b a=2；∴a=b2；又a b=b a；∴b2b=b b2；∴b2=2b；∴b=2或b=0(舍去)；∴a=4；∴ab=8．故答案为：8．【题型二】对数函数的图象及应用【典题1】函数y=log a(|x|+1)(a>1)的图象大致是()A．B．C．D．【解析】方法1y=log a(|x|+1)={log a(x+1),x≥0log a(−x+1),x<0，因a>1，由对数函数的性质易得选B.方法2函数图象变换左移1个单位⇒去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称⇒故选B．【点拨】涉及对数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.【典题2】设a ,b ,c均为正数，且2a=log12a，(12)b=log12b，(12)c=log2c，则()A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c【解析】分别作出四个函数y =(12)x ,y =log 12x ，y =2x ，y =log 2x 的图象，观察它们的交点情况．由图象知a 3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，且a 3的图象，如图∵a ,b ,c ,d 互不相同，不妨设a <b <c <d ．且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，3<c <4．由图可知|log 3a |=|log 3b |，c 、d 关于x =5对称, ∴−log 3a =log 3b ，c +d =10，即ab =1 ,c +d =10，故abcd =c (10−c )=−(c −5)2+25，由图象可知3<c <4，由二次函数的知识可知21<−c 2+12c <24， ∴abcd 的范围为(21 ,24)．【点拨】遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如x =3处.巩固练习1(★) 已知lga +lgb =0，函数f(x)=a x 与函数g (x )=−log b x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵lga +lgb =0，∴ab =1则b =1a从而g (x )=－log b x =log a x ，∴函数f(x)与函数g(x)的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B ，故答案为B2(★) 已知图中曲线C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4分别是函数y =log a 1x ，y =log a 2x ，y =log a 3x ，y =log a 4x 的图象，则a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4的大小关系是( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1 【答案】B【解析】选B .由已知图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，再利用log a a =1结合图象求解． 3(★★) 已知函数f(x)=|lnx|，若0<a 1)，又因为0<a 1，又知道f(a)=f(b)， ∴－lna =lnb ，即1a =b ，∴设t =a +5b =a +5a，∵由对勾函数的性质可知,t 在(0,1)上单调递减，∴t >1+5=6，即a +5b >6，故选：C ．4(★★) 已知函数f(x)=|log a |x −1||(a >0 ,a ≠1)，若x 1<x 2<x 3<x 4 ,x 1x 2x 3x 4≠0且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4=( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化【答案】B【解析】函数f(x)=|log a |x －1||的图象如下图所示：有图可知，函数f(x)=|log a |x －1||的图象关于直线x =1对称，又∵x 1<x 2<x 3<x 4，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，则x 1+x 2+x 3+x 4=4．故选：B5 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2(x −1)|，g(x)=(12)x，则图象交于A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)两点，则( )A ．x 1x 2<1B ．x 1+x 2>5C ．x 1+x 2>x 1x 2D ．x 1+x 2<x 1x 2【答案】C 【解析】不妨设x 1<x 2，作出f(x)和g(x)的图象，由图象知x 1<2，x 2>2，则f(x 1)=|log 2(x 1－1)|=－log 2(x 1－1),f(x 2)=|log 2(x 2－1)|=log 2(x 2－1)，则f(x 2)－f(x 1)=log 2(x 2－1)+log 2(x 1－1)=log 2(x 1－1)(x 2－1)=(12)x 2−(12)x 1<0，即(x 1－1)(x 2－1)<1，即x 1x 2－(x 1+x 2)+1<1，即x 1+x 2>x 1•x 2，故选：C ．6 (★★★) 已知函数f(x)={|log 2x| ,0<x ≤8−14x +5 ,x >8，若a ,b ,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值范围是．【答案】(8 ,20)【解析】根据已知画出函数图象：不妨设a <b <c ，∵f(a)=f(b)=f(c)，∴－log 2a =log 2b =−14c +5， ∴log 2(ab)=0，0<−14c +5<3，解得ab =1，8<c <20， ∴8<abc <20．故答案为(8,20)．7 (★★★) 已知函数f(x)=|log 2x |，g(x)=12x ，若对任意x ∈[a ,+∞)，总存在两个x 0∈[12 ,4]，使得g(x)∙f(x 0)=1，则实数a 的取值范围是．【答案】[2 ,+∞) 【解析】f(x 0)=1g(x)=2x，∵x ∈[a,+∞)，∴f(x 0)≤2a，作出f(x)在[12，4]上的函数图象如图：∵对任意x ∈[a,+∞)，总存在两个x 0∈[12,4]，使得g(x)•f(x 0)=1，∴0<2a≤1，解得a≥2．故答案为[2,+∞)．【题型三】对数函数的性质及应用角度1 比较对数式的大小【典题1】已知a=log27 ,b=log38 ,c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<alog24=2，c=0.30.2<0.30=1，∵1<log38<log39=2∴1<b<2，∴c<b<a．故选A．【典题2】设a=log23 ,b=43,c=log34，则a ,b ,c的大小关系为()A．b<a<c B．c<alog2243=43=b ,b=43=log3343>log34=c，∴a ,b ,c的大小关系为c<b<a．故选D．【典题3】已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为() A．a<clog24=2，(初步估值)∴b最大，a、c都小于1，(b,c还比较不出来，进一步估值)∵a=log52=1log25<12，c=0.50.2=(12)15=√125>12∴a<c，(引入第三数12比较)∴a<c<b，故选：A．【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有①把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解对数型不等式和方程【典题1】方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为．【解析】∵log2(x−1)=2−log2(x+1)，∴log2(x−1)=log24x+1，∴x−1=4x+1，解得x=±√5．检验得x=−√5不符合，(注意真数的范围)∴方程log2(x−1)=2−log2(x+1)的解集为{√5}．故答案为{√5}．【典题2】不等式log2(x2−1)<3的解集为.【解析】log2(x2−1)<3⇔log2(x2−1)<log28∴0<x2−1<8 (误解x2−1<8)解得−3<x<−1或1<x<3.【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数log a x中真数x>0”这点.角度3 对数型函数综合问题【典题1】函数y=log12(x2−6x+17)的值域是 .【解析】∵t=x2−6x+17=(x−3)2+8≥8∴内层函数的值域[8 ,+∞),而 y=log12t在[8 ,+∞)是减函数，故y≤log128=−3∴函数y=log12(x2−6x+17)的值域是(−∞ ,−3].【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.【典题2】已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x+2)=−f(x)，当x∈(0 ,1]时，f(x)=2x−1，则方程f(x)=log7|x−2|解的个数是.【解析】函数f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+2)=f(−x)，∴f(x)的有条对称轴x=1，由f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，∴f(x)的周期T=4．(注由以上已知，较容易画出y=f(x)的图象，作图步骤如下①画f(x)=2x－1 ,x∈(0 ,1)②根据奇函数的性质③由对称轴x=1可得④由周期T=4可得)作出在同一坐标系中画y=f(x)和g(x)=log7|x−2|图象，注意到g(9)=1 ,g(−7)>1，(注意一些临界的位置)从图象不难看出，其交点个数7个．【点拨】①遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；②f(x+a)=f(x+b)⇒f(x)的周期T=a−b，f(x+a)=f(b−x)⇒f(x)的对称轴x=a+b2f(x+a)=−f(x)⇒f(x)的周期T=2af (x +a )=1f (x )⇒f (x )的周期T =2a .【典题3】设a >0，b >0，则下列叙述正确的是( )A ．若lna −2b >lnb −2a ，则a >bB ．若lna −2b >lnb －2a ，则a <bC ．若lna −2a >lnb −2b ，则a >bD ．若lna −2a >lnb －2b ，则a <b【解析】方法1 构造函数法∵y =lnx 与y =2x 均为增函数，故f(x)=lnx +2x 在(0 ,+∞)上为增函数，故f(a)>f(b)⇔a >b >0，即lna +2a >lnb +2b ⇔a >b >0，即lna −2b >lnb −2a ⇔a >b >0，故选A ．方法2 取特殊值排除法对于A 、B ，令a =1，b =1e ，代入lna −2b >lnb −2a 得−2e >−3显然成立，而a >b ，此时可排除选项B ；对于选项C 、D ，令a =1，b =e ，代入lna −2a >lnb −2b 得−2>1−2e 显然成立，而a lnb −2b 得−2>−2−2e 2显然成立，而a >b 可排除选项D ；故选A ．【点拨】① 方法1通过构造函数f(x)=lnx +2x ，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.【典题4】已知函数f(x)=log 31−x 1+x ．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当x ∈[−12 ,12]时，函数g(x)=f(x)，求函数g(x)的值域．【解析】 (1)要使函数f(x)=log 31−x 1+x 的解析式有意义，自变量x 须满足1−x 1+x >0，解得x ∈(−1 ,1)，故函数f(x)的定义域为(－1 ,1)；(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，且f (−x )=log 31+x 1−x =−log 31−x 1+x =−f (x )，故函数f(x)为奇函数；(3)当x ∈[－12，12]时，令u(x)=1−x 1+x =21+x −1 (分离常数法) (注函数图象如右图，由y =2x 向左向下平移一个单位得到的)故u(x)=1−x 1+x 在[−12 ,12]上为减函数，则u(x)∈[13 ,3]，又∵g(x)=f(x)=log 3u 为增函数，故g(x)∈[−1 ,1]，故函数g(x)的值域为[−1 ,1]．【点拨】① 遇到形如f (x )=a∙g (x )+b c∙g (x )+d 的函数(比如y =1−2x1+x ，y =2x −32x +4，y =3x 2+4x 2−1等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.【典题5】设D 是函数y =f(x)定义域的一个子集，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)=−x 0成立，则称x 0是f(x)的一个“准不动点”，也称f(x)在区间D 上存在准不动点．已知f(x)=log 12(4x +a ⋅2x −1)，x ∈[0 ,1]． (1)若a =1，求函数f(x)的准不动点；(2)若函数f(x)在区间[0 ,1]上存在准不动点，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a =1时，可得f (x )=log 12(4x +2x −1)=−x ，x ∈[0 ,1]，可得4x +2x −1=2x ，即4x =1，∴x =0．当a=1，函数f(x)的准不动点为x0=0．(2)方法1 由定义可得方程log12(4x+a⋅2x−1)=−x在x∈[0 ,1]上有解，即方程4x+a⋅2x−1=2x在x∈[0 ,1]上有解, 且4x+a∙2x−1>0(∗)令2x=t，x∈[0 ,1]，则t∈[1 ,2]，那问题(∗)转化为方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，令g(t)=t2+(a−1)t−1，开口向上且g(0)<0，所以y=g(t)在[1 ,2]上与x轴只有一个交点，则只需要g(1)g(2)≤0，解得−12≤a≤1，(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)要使t2+at−1>0(1≤t≤2)恒成立．其对称轴x=−a2，在1≤t≤2上是递增的，当t=1时最小值，可得a>0．综上可得实数a的取值范围是(0，1]．方法2与方法1同样得到方程t2+(a−1)t−1=0在[1 ,2]有解，且t2+at−1>0，即a=1−t+1t 在t∈[1 ,2]上有解，且a>1t−t在t∈[1 ,2]上恒成立(分离参数法)由ℎ(t)=1−t+1t 在t∈[1 ,2]上显然是减函数，其值域为[−12,1]，则−12≤a≤1；由d(t)=1t−t在t∈[1 ,2]上显然是减函数，最大值为d(1)=0，则a>0,综上可得实数a的取值范围是(0,1]．【点拨】①在第二问中不要漏了4x+a∙2x−1>0，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；②第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,巩固练习1(★)若a=log21.5 ,b=log20.1 ,c=20.2，则()A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c【答案】D【解析】log 20.1<log 21.5<log 22=1，20.2>20=1；∴b <a <c ．故选：D ．2(★★) 设a =log 126,b =log 1412,c =log 1515，则( ) A ．a 1log 34>1log 35；∴a <b <c ．故选：A ．3(★★) f(x)是定义在R 上的函数，且f(2−x)=f(x)，当x ≥1时，f(x)=log 2x ，则有( )A ．f(13)<f(2)<f(12)B ．f(12)<f(2)<f(13)C ．f(12)<f(13)<f(2)D ．f(2)<f(12)<f(13)【答案】 C【解析】∵x ≥1时f(x)=log 2x ，∴f(x)在[1,+∞)上单调递增，∵f(2－x)=f(x)，∴f(12)=f(2−12)=f(32)，f(13)=f(2−13)=f(53)，又1<32<53<2，∴f(32)<f(53)<f(2)，即f(12)<f(13)<f(2)，故选：C ．4(★★) 不等式log 2(2x −1)∙log 2(2x+1−2)<2的解集为．【答案】 (log 254 ,log 23)【解析】设t =log 2(2x －1)，则不等式可化为t(t +1)<2，所以t 2+t －2<0，所以－2<t <1．所以－2<log 2(2x －1)<1，所以2－2<2x －1<2所以54<2x <3所以解集为(log 254,log 23) 故选B ．5(★★) 函数f(x)=log 13(x 2−3x +2)的单调递增区间为．【答案】 (−∞ ,1)6(★★) 方程log 2(4x −3)=x +1的解集为．【答案】 {log 23}【解析】∵log 2(4x －3)=x +1，∴2x+1=4x －3， ∴(2x )2－2•2x －3=0，解得2x =3，或2x =－1(舍)， ∴x =log 23．∴方程log 2(4x －3)=x +1的解集为{log 23}．故答案为：{log 23}．7(★★★) 已知函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=2log a (2x +t)(t ∈R)，a >0，且a ≠1．(1)若1是关于x 的方程f (x )−g(x)=0的一个解，求t 的值；(2)当0<a <1且t =−1时，解不等式f(x)≤g(x)；(3)若函数F (x )=a f (x )+tx 2−2t +1在区间(−1 ,2]上有零点，求t 的取值范围．【答案】(1)t =√2−2 (2)12<x ≤54 (3)t ≤−2或t ≥2+√24．【解析】 (1)∵1是关于x 的方程f(x)－g(x)=0的一个解， ∴log a 2－2log a (2+t)=0，∴2=(2+t )2，∴t =√2−2；(2)当0<a <1且t =－1时，不等式f(x)≤g(x)可化为log a (x +1)≤2log a (2x －1)，故{x +1≥(2x −1)22x −1>0，解得12<x ≤54； (3)F(x)=a f (x )+tx 2－2t +1=x +1+tx 2－2t +1=tx 2+x －2t +2，令tx 2+x －2t +2=0，即t(x 2－2)=－(x +2)，∵x∈(－1,2]，∴x+2∈(1,4]，∴t≠0，x2－2≠0；∴1t =−x2−2x+2=−[(x+2)+2x+2]+4，∵2√2≤(x+2)+2x+2≤92，∴−12≤−[(x+2)+2x+2]+4≤4－2√2，∴−12≤1t≤4－2√2，∴t≤－2或t≥2+√24．。

新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)

【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.

对数及对数函数教案8篇

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

《对数与对数函数》课件

1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。

6对数与对数函数(教师版)

对数及对数函数一、教学目标掌握对数及对数函数的概念，掌握对数函数的性质并且能灵活运用，熟悉判断函数的单调性奇偶性，值域等，并且掌握部分含参问题的解决方法。

二、教学重难点重点：对数中的计算以及对数函数的大小比较、函数的性质运用，含参问题，对数的综合运用难点：对数函数的值域、单调性问题，利用函数的性质求参数取值范围三、知识点梳理1、对数：定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。

）由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。

当N 为零或负数时对数不存在。

2、对数的性质： ①负数和零没有对数；②1的对数是零，底数的对数等于1，即01log ,1log ==a a a ③常用对数和自然对数：对数)1,0(log ≠>a a N a 的底数（1）a=10时，叫做常用对数，记作N lg（2）a=e 时，叫做自然对数，记作N ln ，其中e 为无理数，e ≈2.71828 3、对数的运算法则：①()()l o g l o g l o g a a aM N M N M N R =+∈+， ②()l o g l o g l o g a a aMNM N M N R =-∈+， ③()()l o g l o g a naN n N N R =∈+b a b a =log ④()l o g l o g a naN nNNR =∈+1⑤N a Na =log4、对数换底公式：bNb N N a a b lg lg log log log ==（)21828.2(log lg ==e N N e 其中称为N 的自然对数由换底公式推出一些常用的结论：（1）l o g l o g l o g l o g a b a bb a b a ==11或· （2）log log a ma n bmnb =（3）l o g l o g ana nb b = （4）lo g a mn a m=定义：指数函数y a a a x =>≠()01且的反函数y x a =l o g x ∈+∞(,)0叫做对数函数。

高三数学一轮第二章第六节对数、对数函数课件理

与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤为：
(1)确定定义域；
(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f[g(x)]为增函数，若一增一减，则y＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．
【解析】 (1)由题设，3－ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立，a>0 且 a≠1， ∵a>0，∴g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数，
从而 g(2)＝3－2a>0，∴a<32， ∴a 的取值范围为(0,1)∪1，32.
(2)假设存在这样的实数 a，由题设知 f(1) ＝1，
即 loga(3－a)＝1，∴a＝32，此时 f(x)＝log323－32x，当 x＝2 时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在．
【答案】 A
4．已知 loga(3a－1)有意义，那么实数 a 的取值范围是________．
a＞0
【解析】由a≠1 3a－1＞0
，可得 a＞31且
a≠1.
【答案】 a＞13且 a≠1
5．函数 y＝ log1(3x－2)的定义域是________．
2
【解析】要使 y＝ log1(3x－2)有意义
(3)令 u(x)＝xx＋－bb，则函数 u(x)＝1＋x2－bb 在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函数，所以当 0<a<1 时，f(x)在(－∞，－ b)和(b，＋∞)上分别为增函数；当 a>1 时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上分别为减函数．
(4)解关于 x 的方程 y＝logaxx＋－bb，得 x＝ b(ay＋1)

2021高三统考北师大版数学一轮第2章第6讲对数与对数函数含解析

2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第2章第6讲对数与对数函数含解析课时作业1．（2019·四川泸州一诊)2lg 2－lg 错误!的值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析2lg 2－lg 错误!＝lg错误!＝lg 100＝2，故选B．2．函数f（x）＝错误!的定义域是()A．(－3，0)B．（－3，0]C．(－∞，－3）∪（0，＋∞)D．(－∞，－3）∪（－3，0）答案A解析因为f（x）＝错误!，所以要使函数f（x)有意义,需使错误!即－3<x〈0.3．若函数y＝f(x）是函数y＝a x（a>0，且a≠1）的反函数，且f(2)＝1，则f（x)＝（)A．log2x B．错误!C．log错误!x D．2x－2答案A解析由题意知f（x）＝log a x(x>0）．∵f（2）＝1，∴log a2＝1。

∴a＝2。

∴f（x)＝log2x.4．已知函数f（x）＝log错误!x，x∈错误!，则f（x)的值域是（）A．错误!B．错误!C．[0，2］D．错误!答案A解析函数f(x)＝log错误!x，x∈错误!是减函数，所以函数的最小值为f错误!＝log错误!错误!＝错误!,函数的最大值为f错误!＝log错误!错误!＝2。

所以函数f(x）的值域为错误!.故选A．5．若x log23＝1,则3x＋3－x＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案B解析因为x log23＝1，所以log23x＝1,所以3x＝2,3－x＝错误!，所以3x＋3－x＝2＋错误!＝错误!。

故选B．6．(2019·河北保定模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b〈c B．a＝b〉cC．a〈b<c D．a〉b>c答案B解析a＝log23＋log2错误!＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log23错误!，因此,a＝b，而log23错误!>log22＝1，log32〈log33＝1，所以a＝b>c，故选B．7．(2020·北京东城区综合练习）已知函数f（x）＝错误!则f（2＋log23)的值为（)A ．24B ．16C ．12D ．8答案 A解析因为3〈2＋log 23〈4,所以f （2＋log 23)＝f (3＋log 23）＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ．8．函数y ＝log 13 ｜x ＋3｜的单调递增区间为（）A ．(－∞，3）B ．（－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D ．（－∞，－3)∪（－3，＋∞)答案 B解析因为函数y ＝log 错误!x 为减函数,y ＝｜x ＋3｜在（－∞,－3)上是减函数，所以函数y ＝log 错误!|x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3）．9．(2019·合肥模拟）若log a 错误!〈1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!∪(1，＋∞）D ．错误!∪(1,＋∞）答案 D解析因为log a 23〈1,所以log a 错误!<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0〈a <1,则应满足23>a 〉0.所以a 的取值范围是错误!∪（1,＋∞）．故选D ．10．（2019·安阳模拟)函数f （x )＝log a （6－ax ）(a 〉0且a ≠1)在［0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A．(0,1) B．(1，3）C．（1，3］D．[3，＋∞）答案B解析设u＝6－ax,由题意得该函数是减函数,且u>0在［0,2］上恒成立，∴错误!∴1<a<3。

高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第6讲对数与对数函数课件文

(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)．所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0，，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )

第06讲对数与对数函数(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练

第06讲对数与对数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：对数的运算；高频考点二：换底公式高频考点三：对数函数的概念；高频考点四：对数函数的定义域高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域；②求对数型复合函数的值域③根据对数函数的值域求参数值或范围高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象②根据对数（型）函数的图象判断参数③对数（型）函数图象过定点问题高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性②由对数函数（型）函数的单调性求参数③由对数函数（型）函数的单调性解不等式④对数（指数）综合比较大小高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值②根据对数（型）函数的最值求参数③对数（型）函数的最值与不等式综合应用第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲对数与对数函数（精练）1、对数的概念（1）对数：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠且，那么数 x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lg N ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数ln N .（3）对数式与指数式的互化：log x a a N x N =⇔=. 2、对数的性质、运算性质与换底公式（1）对数的性质根据对数的概念，知对数log (0,1)a N a a >≠且具有以下性质：①负数和零没有对数，即0N >；②1的对数等于0，即log 10a =；③底数的对数等于1，即log 1a a =；④对数恒等式log (0)a N a N N =>.（2）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：①log ()log log a a a M N =M +N ⋅；②log log log a a a M =M N N-； ③log log ()n a a M =n M n ∈R .（3）对数的换底公式对数的换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a=>≠>≠>且且. 换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e 为底的自然对数.换底公式的变形及推广：①log log 01,0()且m n a a n b b a a b m =>≠>； ②(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠；③log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，0d >).3、对数函数及其性质（1）对数函数的定义形如log x a y =(0a >，且1a ≠)的函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞．（2）对数函数的图象与性质定义域：(0,)+∞一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）已知x y >，则不等式ln ln x y >成立 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）32log 8log 99⨯=( )3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）21log 3436+=.( )4．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）若lg 2,lg3,a b ==则12log 5=12a a b -+ ( ) 二、单选题1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R 的是（）A ．ln y x =B ．x y e =C ．3y x =D ．1y x = 2．（2022·海南·模拟预测）已知20.70.7log 3,log 0.3,0.7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）不等式()2log 311x +<成立的一个充分不必要条件是（）A ．1133x -<< B ．0x < C ．113x -<< D ．103x << 4．（2022·陕西西安·高一期末）函数()ln x f x x=的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．5．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数()1ln 34y x x =-+的定义域是（） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭ D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭高频考点一：对数的运算1．（2022·甘肃平凉·二模（文））27log 7log 8⋅=______．2．（2022·北京师大附中高一期末）13331()log 5log 1527+-=______________． 3．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高一阶段练习）计算7log 237log 27lg 25lg 47log 1++++=______.4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：(1)()23log 279⨯；(2)101log 1000；(3)7775log 30log 12log 2--．高频考点二：换底公式1．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知lg 2,lg3a b ==，则4log 75=（）A ．22a b a -+B ．22b a a -+C ．222b a a -+D ．222a b a-+ 2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）已知lg 2a =，lg3b =，用a ，b 表示36log 5，则36log 5=（）A ．221a b a +-B ．12a a b -+C ．22a a b -+D ．122a a b-+ 3．（2022·山东济南·二模）已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a 、b 的代数式表示为（） A ．-a b B ．a b C ．b a D ．a b +4．（2022·湖南·高一课时练习）计算：53611log log 6log 325⋅⋅=________.高频考点三：对数函数的概念1．（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()f x 满足①定义域为()0,∞+；②值域为R ；③()()22f x f x =.写出一个满足上述条件的函数：()f x =___________. 2．（2021·江苏·高一专题练习）对数函数f （x ）的图象过点(3，－2），则f＝________.3．（2021·江苏南通·高三期中）写出满足条件“函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，且()()()f xy f x f y =+”的一个函数()f x =___________.4．（2021·全国·高一专题练习）若函数f (x )=(a 2+a -5)log ax 是对数函数，则a =________.高频考点四：对数函数的定义域1．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）函数f （x ）的定义域为（）A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（-∞，2）D ．（0， 12）2．（2022·四川·模拟预测（文））函数y =___________.3．（2022·四川宜宾·高一期末）函数y =________.4．（2022·上海市控江中学高一期末）函数()2lg 1y x kx =++定义域为R ，则实数k 的取值范围为______.5．（2022·上海浦东新·高一期末）函数1ln 2x y x-=-的定义域为_____________．高频考点五：对数函数的值域①求对数函数在区间上的值域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()222log log f x x x =+在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为_______________________． 2．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数()2122log log f x x x =+．(1)求()f x 在区间[]1,8上的值域；3．（2022·全国·高一课时练习）求函数2log ,[8,)y x x =∈+∞的值域.②求对数型复合函数的值域1．（2022·贵州·毕节市第一中学高一阶段练习）函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x ≥1)的值域为（）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[4，＋∞)D ．[3，＋∞)2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）函数()212log 8y x =+的值域是________．3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()()()log 2log 4a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）的图象过点()1,2.(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在[]0,3上的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；③根据对数函数的值域求参数值或范围1．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()23log y x m =+的值域为[2,)+∞，则实数m 的值为（）A ．2B ．3C ．9D ．272．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数()log 1a f x x =+在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a 的值是___________.3．（2022·全国·高一阶段练习）函数()()2lg 234f x mx x =-+的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若函数()2log 5242a y a x ax =--+⎡⎤⎣⎦有最小值，则a 的取值范围为______．5．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知函数212()log (23)f x x ax =-+ .(1)当1a =-时，求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 取值范围.高频考点六：对数函数的图象①判断对数（型）函数的图象1．（2022·广东汕尾·高一期末）当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log a y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）函数3x y -=与()3log y x =-的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．3．（2022·浙江·高三专题练习）已知lg lg 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()x f x a =与()1log bg x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．②根据对数（型）函数的图象判断参数1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知2(0,1)()log ,[1,2)aax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2a f x =有两解，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．(1,2] D ．(1,2)3．（2022·湖南师大附中高一期末）已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<⎪⎩，若方程()0f x a -=有四个根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围是______.③对数（型）函数图象过定点问题1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一开学考试）函数()log (1)3,(0,1)a f x x a a =-++>≠且的图象一定过定点__________.2．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________.3．（2022·四川南充·高一期末）函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点是___________．高频考点七：对数函数的单调性①对数函数（型）函数的单调性1．（2022·北京房山·高一期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A ．21y x =-+ B ．2log y x = C ．3y x = D．y =2．（2022·全国·高一课时练习）函数12()log f x x =的单调递增区间是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,1C ．()0,∞+D ．[)1,+∞ 3．（2022·北京·高三专题练习）函数()()212log 6f x x x =-++的单调递增区间是（）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·河北张家口·高一期末）函数()()22log 65f x x x =-+-的单调递减区间是（）A ．(],3-∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．[)3,55．（2022·河南新乡·高一期末）函数()217log 2223y x x =--的单调递增区间为（）A ．()11,+∞B ．(),11-∞C ．()23,+∞D ．(),1-∞-6．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）()()23log 28f x x x =--的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞②由对数函数（型）函数的单调性求参数1．（2022·陕西西安·高一期末）已知()log log 1a a b b <-，则a 的取值范围是（） A ．1a >B ．01a <<C ．a b >D ．0a b <<2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期末）已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2，3]上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,)+∞B ．[6,)+∞C ．10,43⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）已知函数()()314,1log ,1aa x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1B ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·湖南岳阳·高一期末）已知函数()2ln 3y x ax a =-+在[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．()4,-+∞B ．(]0,4C ．[)4,+∞D ．(]4,4-5．（2022·福建泉州·高一期末）若函数()ln(2)=-f x ax 在(1,)+∞单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2]D ．[2,)+∞6．（2022·重庆·高一期末）已知关于x 的函数2log (2)y ax =-在[]0,1上是单调递减的函数，则a 的取值范围为（）A ．()0-，∞ B ．()0,+∞ C ．(]0,2D ．()02,7．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()()217log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，则实数m的取值范围为（） A ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭③由对数函数（型）函数的单调性解不等式1．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））不等式()()2ln 1ln 35x x +>+的解集为（）A ．()4,+∞B ．()1,4-C ．()5,14,3⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),14,-∞-⋃+∞2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）3．（2022·北京房山·高一期末）设函数21,2()2log (1),2xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，若()1f x >，则x 的取值范围是（）A ．(0,3)B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞D ．(1,2)-4．（2022·四川绵阳·一模（理））设函数()211,,21log ,,2x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则满足()()21f x f x -<的x 的取值范围是（）A ．13,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·江西赣州·一模（文））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）④对数（指数）综合比较大小1．（2022·广东中山·高一期末）设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．b a c <a cC ．24+>a b cD ．21316+<a a 3．（2022·福建·厦门双十中学高二阶段练习）设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<4．（2022·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知 1.12a =，0.64b =，ln 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0.2log 0.02a =，3log 30b =，ln 6c =，则（） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<高频考点八：对数函数的最值①求对数（型）函数的最值1．（2021·江苏·沭阳县修远中学高一阶段练习）已知函数()21f x ax =-在区间[]0,2上的最大值为7，则()log a g x x =在区间[]1,4上的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．42．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中（理））已知函数()420.5()log 46f x x x =-+，则（）A ．()f x 有最小值，且最小值为-2B ．()f x 有最小值，且最小值为-1C ．()f x 有最大值，且最大值为-2D ．()f x 有最大值，且最大值为-13．（2022·上海金山·高一期末）函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______. 4．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三阶段练习）函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________. 5．（2021·全国·高一课时练习）函数()23()log 9f x x =-的最大值是_______．②根据对数（型）函数的最值求参数1．（2022·河南平顶山·高一期末）已知函数()21log ,a f x x x a ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值与最小值的差为2，则=a （） A ．4B ．3C ．2D2．（2022·贵州·六盘水市第一中学模拟预测）若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（）A ．12a <<B ．02,1a a <<≠C ．01a <<D ．2a ≥3．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数()22,4,log ,4,x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(,4]-∞ B ．[2,)-+∞ C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-4．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是____________.5．（2022·甘肃省会宁县第一中学高一期末）已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠），()f x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. (1)求a 的值；(2)当函数()f x 在定义域内是增函数时，令()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并证明，并求出()g x 的值域.6．（2022·河南信阳·高一期末）已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）. (1)求函数()f x 的定义域；(2)是否存在实数a ，使函数()f x 在区间31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.7．（2022·天津河北·高一期末）已知函数()()log 1a f x x =-（0a >，且1a ≠） (1)求()2f 的值及函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 在[]2,9上的最大值与最小值之差为3，求实数a 的值．③对数（型）函数的最值与不等式综合应用1．（2022·湖北·武汉中学高一阶段练习）已知函数()1lg 43x x f x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若对任意的[]1,1x ∈-使得()1f x ≤成立，则实数m 的取值范围为 A ．19,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭-C ．1911,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1911,34⎡⎫--⎪⎢⎣⎭2．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数()4412log 2log 2y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[1,16]x ∈时，求该函数的值域；(2)若()4441log 2log log 2x x m x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，对于[4,16]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.3．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠. (1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.4．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期末）设函数3()log (933)x xf x k =-⋅-，其中k 为常数.（1）当2k =时，求()f x 的定义域；（2）若对任意[1,)x ∈+∞，关于x 的不等式(x)x f ≥恒成立，求实数k 的取值范围.1．（2021·湖南·高考真题）函数3()log (1)f x x =+的定义域为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．[1,)-+∞D ．(0,)+∞2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 103．（2021·天津·高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<4．（2021·全国·高考真题）已知5log 2a =，8log 3b =，12c =，则下列判断正确的是（） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<5．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6一、单选题1．（2021·江苏·高一专题练习）已知136a =，b log =21.2c =，则a b c ，，的大小关系是（） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．a b c >>D ．b a c >>2．（2021·江苏·高一专题练习）1182112416--⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A B C ．D ．3．（2021·江苏·高一专题练习）已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（） A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+D ．231a a --4．（2021·浙江·高一期中）已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（） A ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,1D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2021·新疆·石河子第二中学高一阶段练习）已知()212()log f x x ax a =-+的值域为R ，且()f x 在(3,1)--上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．20a ≤≤ B ．102a -≤≤或4a ≥C ．20a -≤≤或4a ≥D ．04a ≤≤6．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室高一期中）函数()()1lg 4211x x f x +=-+的最小值是（）．A ．10B ．1C ．11D ．lg117．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）函数21()log 1xf x x的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（2021·江苏·高一专题练习）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[]a b D ⊆，，使()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2x f x t =+（其中0t ≥）为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（） A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，二、填空题9．（2021·河南·漯河实验高中高一阶段练习）()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________． 10．（2021·江苏·高一专题练习）已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________． 11．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数()221log 2f x ax x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒正，则实数a 的取值范围是__________．12．（2021·江苏省太湖高级中学高一阶段练习）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“K 函数”.设()()22log 21,23,2x mx x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“K 函数”，则实数m 的取值范围是___________. 三、解答题13．（2021·江苏·高一专题练习）计算求值 (1)()362189-⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)221lg lg2log 24log log 32+++；(3)已知623a b ==，求11a b-的值．14．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数()()212log f x x mx m =--． (1)若1m =，求函数()f x 的定义域．(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数()f x 在区间(1-∞，上是增函数，求实数m 的取值范围．15．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数22()log (21),()log (21)()x xf xg x f x =+=--(1)求()g x 的定义域并判断()g x 的奇偶性； (2)求函数()g x 的值域；(3)若关于x 的方程(),[0,1]f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围16．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数22()log (1)21=+-f x x ． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)对任意的()0x ∈-∞，，不等式12(21)log (2)++>-x x f m 恒成立，求实数m 的取值范围．。

数学(文)一轮教学案：第二章第6讲对数与对数函数 Word版含解析

第6讲对数与对数函数考纲展示命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图象续表a >10<a <1性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c 21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a 0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________．答案 (2,3)解析因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a 1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。

新高考数学一轮复习教师用书：第2章 6 第6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制：a>0,且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：alog a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝nlog a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0,＋∞)值域：R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y ＝log a x,y ＝log b x,y ＝log c x,y ＝log d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线y ＝1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N.( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1,函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x的反函数,则f(2)＝________．解析：由题意知f(x)＝log 2x, 所以f(2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x)＋1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x ＝1即x ＝3时,y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3,1)．答案：(3,1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13,b ＝log 213,c ＝log 1213,则a,b,c 的大小关系为________．解析：因为0<a<1,b<0,c ＝log 1213＝log 23>1.所以c>a>b.答案：c>a>b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0,a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时,有log a 4－log a 2＝1,解得a ＝2；②当0<a<1时,有log a 2－log a 4＝1,解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0,得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______,2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43,则2a＋2－a＝________．【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23,所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________,2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2,因为log 43＝12log 23＝log 23,所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________．解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上,且m>0,n>0,则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A,B ；又函数y ＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过A(－3,－1), 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得,－3m ＋－1n ＝－1,即3m ＋1n＝1,故3m ＋n ＝(3m ＋n)×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ,因为m>0,n>0,所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn,即m ＝n 时取等号), 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A ．a>1,c>1B ．a>1,0<c<1C ．0<a<1,c>1D ．0<a<1,0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y ＝log a (x ＋c)的图象在c>0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.2．已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1),则log b a ＝________．解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a (－1＋b)＝0且f(0)＝log a (0＋b)＝1,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题．角度一求对数型函数的定义域函数f(x)＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1,54<x ≤32.故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a ＝－f(log 215),b ＝f(log 24.1),c ＝f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b(2)设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>cD ．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得,a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25),因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8,且函数f(x)是增函数,所以c<b<a.(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1,b ＝log 23<log 22＝1,所以a>b,又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1,c>0,所以b>c,故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A 角度三解对数不等式设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)【解析】由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0.故选C. 【答案】 C角度四与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x|( ) A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减 C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|,所以函数y ＝lg|x|为偶函数,又函数y ＝lg|x|在区间(0,＋∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y ＝lg|x|在区间(－∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g(x)＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a,要使函数在(－∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a ≥1，解得1≤a<2,即a∈[1,2)．【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较． ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x>log a b 的不等式,借助y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a>0,a ≠1,函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a<14或a>1 B ．a>1 C.18≤a<14 D.15≤a ≤14或a>1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x|,y ＝log a t,当a>1时,外函数为递增函数,所以内函数t ＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a>13或a≤18,所以a>1,当0<a<1时,外函数为递减函数,所以内函数t＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a<14,综上所述,16≤a<14或a>1,故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x －4),则方程f(x)＝1的解是________,不等式f(x)<0的解集是________．解析：因为f(x)＝1,所以lg(2x －4)＝1,所以2x －4＝10,所以x ＝7；因为f(x)<0,所以0<2x －4<1,所以2<x<2.5,所以不等式f(x)<0的解集是(2,2.5)．答案：7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝log a (2x －a)(a>0且a≠1)在区间[12,23]上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是( )A ．(13,1)B ．[13,1)C ．(23,1)D ．[23,1)【解析】当0<a<1时,函数f(x)在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43－a)>0,即0<43－a<1,解得13<a<43,故13<a<1；当a>1时,函数f(x)在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1－a)>0,即1－a>1,解得a<0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是(13,1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax2＋2x(a,b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[－32,0]上有y max ＝3,y min ＝52,试求a,b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1, 因为x∈[－32,0],所以t∈[－1,0]．(1)若a>1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1a ,b ＋1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a<1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1,b ＋1a ],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上,a,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f(x)＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(－3,0)解析：选A.因为f(x)＝ln （x ＋3）1－2x,所以要使函数f(x)有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x<0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p,log 35＝q,则lg 5(用p 、q 表示)等于( ) A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p,所以lg 3＝3plg 2,又因为log 35＝q,所以lg 5＝qlg 3,所以lg 5＝3pqlg2＝3pq(1－lg 5),所以lg 5＝3pq1＋3pq,故选C.4．若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2),则函数g(x)＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f(4)＝2,即a 3＝2,a ＝32. 所以g(x)＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g(0)＝0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log 12|x －1|,则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)<f(3)B ．f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(3)C ．f(3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)D ．f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232,因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0,所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f(0)＝log 121＝0；f(3)＝log 122＝－1,所以C 正确．6．设函数f(x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选B.因为f(x)的定义域为R,f(－x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x),所以f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0,＋∞)上单调递减,令t ＝log 2x,所以log 12x ＝－t,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2,即2f(t)≥2,所以f(t)≥1,又因为f(1)＝log 122＋83＋1＝1,f(x)在[0,＋∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以－1≤t≤1,即log 2x∈[－1,1],所以x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a,b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b),则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b)＝k, 所以a ＝2k,b ＝5k,a ＋b ＝10k,所以ab ＝10k, 所以a ＋b ＝ab,则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x|(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x|＝1. 得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0, 故1－a ＜1a－1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________．解析：当a>1时,f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－2a)>1, 解得1<a<83,当0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－a)>1, 且8－2a<0,所以a>4,且a<1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|，0＜x≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f(a)＝f(b)＝f(c),可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c,则ab ＝1,bc ＝9,故a ＝1b ,c ＝9b ,则a ＋b＋c ＝b ＋10b ,又b∈(1,3),位于函数f(b)＝b ＋10b 的减区间上,所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f(x)＝log 12(a x－3)(a>0且a≠1)．(1)若a ＝2,求函数f(x)在(2,＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3,则它在(2,＋∞)上是增函数,所以t>22－3＝1, 由复合函数的单调性原则可知,f(x)＝log 12(2x－3)在(2,＋∞)上单调递减,所以f(x)<f(2)＝log 12 1＝0,即函数f(x)在(2,＋∞)上的值域为(－∞,0)．(2)因为函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t ＝a x－3在(－∞,－2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，t min>a －2－3≥0，解得0<a≤33. [综合题组练]1．设x,y,z 为正数,且2x＝3y＝5z,则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：选D.设2x＝3y＝5z ＝k>1, 所以x ＝log 2k,y ＝log 3k,z ＝log 5k.因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0,所以2x>3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0,所以3y<5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数：f 1(x)＝2log 2(x ＋1),f 2(x)＝log 2(x ＋2),f 3(x)＝log 2x 2,f 4(x)＝log 2(2x),其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)解析：选A.f 3(x)＝log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合,故排除选项B,D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x,将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m ＝________,若a 2＋ab ＋4b 2≤m,则ab 的取值范围是________．解析：由题意,f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx,所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x,所以m ＝1,因为a 2＋ab ＋4b 2≤m,所以4|ab|＋ab≤1,所以－13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)单调递减,若实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则a 的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(－x)＝f(x),即有f(x)＝f(|x|), 由实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则有f(log 3a)＋f(－log 3a )≥2f(1), 即2f(log 3a )≥2f(1)即f(log 3a )≥f(1), 即有f(|log 3a|)≥f(1),由于f(x)在区间[0,＋∞)上单调递减, 则|log 3a|≤1,即有－1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。

2022新高考数学高频考点题型归纳10对数与对数函数(教师版)

专题10对数与对数函数一、关键能力学生应理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题．二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。

求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++===+==+ 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。

函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。

三、自主梳理 1．对数的概念如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④m a log M n ＝nm log a M ．(2)对数的性质（☆☆☆） ①Na alog＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式（☆☆☆）①换底公式：log a N ＝log c Nlog c b (a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．3．对数函数的图象与性质（☆☆☆）(1)定义域：(0，＋∞)四、真题感悟1.（2021全国甲）. 设2ln1.01a=，ln1.02b=，1c=-．则（）A. a b c<< B. b c a<< C. b a c<< D.c a b<<【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b 与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数()()2ln11f x x=+, ()()ln121g x x=+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】()()2222ln1.01ln1.01ln10.01ln120.010.01ln1.02a b===+=+⨯+>=,所以b a<;下面比较c与,a b的大小关系.记()()2ln11f x x=+,则()00f=,()2121xf xx-='=+，由于()()2214122x x x x x x+-+=-=-所以当0<x<2时，()21410x x+-+>,()1x>+,()0f x'>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >; 令()()ln 121g x x =+,则()00g =,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<, 故选：B.2. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（） A. 224y x x =++B. 4sin sin y x x=+C. 222x xy -=+D. 4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．3.【2020·全国Ⅱ卷】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；故CD 无法确定.故选：A ．4.【2020·全国Ⅱ卷】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<.5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则A ．235x y z <，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ，22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ．五、高频考点+重点题型考点一、指数幂根式的化简运算例1.（1）化简：lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝________．（2）化简：45.0log32+＝________．（3）设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于答案：（1）1 （2）2 （3）10 解析：1．原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1．2．45.0log32+＝23·2log 0．54＝8·421log 2＝8·2－log 24＝8·41log 22＝8·14＝2．3．D 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10． ∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10．对点训练1.已知2log 3,37ba ＝＝，则21log 56＝（） A ．3ab a ab++B ．3a ba ab++C ．3ab a b++ D ．3b a ab++【答案】A【详解】由37b =，可得3log 7b =，所以()()33213log 72log 56log 37⨯=⨯33333log 7log 2log 3log 7+=+131b a b+⨯=+3ab a ab+=+. 对点训练2.(2021·云南曲靖模拟)设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( )A ．ab ＜a ＋b ＜0B ．a ＋b ＜ab ＜0C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab【答案】A【解析】因为a ＝log 0.30.4＞log 0.31＝0，b ＝log 30.4＜log 31＝0，所以ab ＜0，又a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.40.3＋log 0.43＝log 0.40.9Ⅱ(0,1)，所以0＜a ＋bab＜1，所以ab ＜a ＋b ＜0.对点训练3.(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110 【答案】C【解析】由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg 13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ．总结：1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N Ⅱb ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二、对数函数图像与性质的运用例2.（1）（2021·湖北武汉模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0.关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】（1）(1，＋∞) （2）D【解析】（1）问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合图象可知a >1.(2)法一因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .对点训练1.（2019·北京高考模拟（理））若函数则函数的值域是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩()f x (,2)-∞(,2]-∞[0,)+∞(,0)(0,2)-∞(),2-∞考点三、指数型函数性质与图像考察例3.（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．（2）(2021·湖北宜昌模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，且b ＝lg 0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a 0，得－1<x <5，又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2，Ⅱ复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,5)，Ⅱ函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，Ⅱ⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg 0.9<0，1<c ＝20.9<2，所以b <c <a .对点训练1.(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )【答案】A【解析】f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.对点训练2.（2021·福建省莆田模拟已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( )A ．f (x )在(0,2)上单调递增B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称【答案】C【解析】f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x Ⅱ(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，Ⅱf (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．ⅡA ，B 错误．Ⅱf (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，Ⅱf (x )的图象关于直线x ＝1对称，ⅡC 正确．Ⅱf (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，Ⅱf (x )的图象不关于点(1,0)对称，ⅡD 错误．故选C.考点四、比较大小例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（） A ．21a b -> B ．22log log 1a b -> C ．228a b +> D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a a b b -==<=，故B 错误；对C ，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.对点训练1.【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（） A ．log 2log 2a b > B ．ln ln a a b b ⋅>⋅ C ．122ab a b ++> D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．对点训练2.（2020·全国高考真题（理））若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C 、D 错误. 故选：B.242log 42log a ba b +=+2a b >2a b <2a b >2a b <2()2log xf x x =+()f x 22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<()(2)f a f b <2a b <2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log bb b --1b =2()()20f a f b -=>2()()f a f b >2a b >2b =2()()10f a f b -=-<2()()f a f b <2a b <巩固训练一、单项选择题1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )答案 A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a b >c答案 B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．A. (),1-∞B. (),1-∞-C. ()3,+∞D. ()1,+∞．答案： B解析：设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t ．由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．4.（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（）（已知lg 20.3≈，结果取整数） A ．42小时 B ．53小时 C ．56小时 D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050tm a =⋅，③③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）. 故选：D5.（2021·山东菏泽模拟）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)Ⅱ(0，1)B ．(－∞，－1)Ⅱ(1，＋∞)C ．(－1，0)Ⅱ(1，＋∞)D ．(－∞，－1)Ⅱ(0，1)【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】C6．（2021·安徽省阜阳一中模拟设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2] B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12Ⅱ[2，＋∞) 【答案】B【解析】因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x Ⅱ[－1，1]，所以x Ⅱ⎣⎡⎦⎤12，2，故选B. 二、多项选择题关于函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ，下列说法中正确的有( )A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2答案： BD解析：函数f (x )＝ln 1－x1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1， ∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln 1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对． 8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增答案： BC解析：函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， ∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．三、填空题9．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．【解析】由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)，即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.【答案】⎣⎡⎦⎤13，310．已知表中的对数值有且只有一个是错误的．答案： lg 5＝a ＋c解析：由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c ．因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c ．二、解答题11．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1．故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1．所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}． 12．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <(34)(3)t t t--恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．。

2024届新高考一轮复习北师大版第三章第六节对数与对数函数课件(42张)

(0,+∞)
.
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
a>1
性质
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
性质
(3)过定点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
②自然对数:当对数的底数a=
记为 ln N .
e 时,通常称之为自然对数,并把logeN简
2.对数的性质
(1)负数和0没有对数;
(2)loga1= 0
,loga a= 1
;
(3)对数恒等式: lo g =N (a>0,a≠1,N>0).
3.对数的运算性质
(1)若 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,b∈R,那么:①loga(M·N)= logaM+logaN ;
2.若a>0,a≠1,b>0,b≠1,c>0,则logab·logbc=logac.(
)
3.若函数 g(x)的最大值为 m,则函数 f(x)=log 1 g(x)的最大值是 log 1 m.
2
4.函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在其定义域上单调递增.(
2
)
( × )
题组二双基自测
2
能量为E1,门源县地震所释放的能量为E2, 则的近似值为(
1
A.15
B.20
C.32

对数及对数函数的图像与性质(教师版)

第一课时对数及其运算【知识要点】 1.对数的定义：如果N a b=（a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log2.指数式与对数式的关系：b N N a a b=⇔=log （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.3.对数运算公式：如果0a >，1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log 10a =； log 1a a =； log a Na N =； logb a a b =；（2）()log log log a a a MN M N=+ （3）log log log aa a MM N N=- （4）()log log n a a M n M n R =∈（5）1log log aa M n=（6）换底公式 ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠ 换底公式推论：（1）1log log a c c a =；（2）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=；（3）log log m n a a n b b m= 【典题精讲】题型一对数的化简、求值1.b N N a a b=⇔=log ．2．注意对数恒等式log aN a N＝，对数换底公式log log log b a b NN a=及等式m n a a a 1log b log b,log b b n m log a=⋅=在解题中的灵活应用．【例1】(1) 若23=x，则x = 465=⎪⎭⎫⎝⎛x，求=x(2)设3643==ba ，则=+ba 12__________； (3)计算：22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++解析：(2)由3a ＝4b ＝36得a ＝log 336，b ＝log 436，再根据换底公式得a ＝log 336＝1log 363，b＝log 436＝1log 364.所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋1＝3. 【变式1】已知32a =，那么33log 82log 6-用表示是（ A ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ． 23a a -【变式2】若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y xa y x 则（ A ）A ．a 3B ．a 23C ．23-aD ．a【变式3】（1）计算=-+23lg 53lg 25lg __________. 答案：1（2）计算：=+⋅+20lg 5lg 2lg 5lg 2__________. 答案：2【例2()lg1000lg1041lg10lg102-==-⨯-；【变式1】lg 的值是（）A.12B.1C.10D.100 【答案】B【解析】由1==，故选B.【变式2】已知,lg ,24a x a==则x =________.【解析】由42a =得12a =，所以1lg 2x =，解得x =,【变式3】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝_________.【解析】因为2a ＝5b ＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10．【变式4】(1)若0)](log [log log 432=x ，则x =___________（2）若__________3log ,2log123==则a（3）若2log 2,log 3,m na a m n a +===___________答案：(1) 64 (2)11+a (3) 12【变式5】已知()lg lg 2lg 23x y x y +=-，求32log xy的值.【解析】2009223,230(423)x y x lgx lgy lg x y x y y xy x y >⎧⎪>⎪+=-∴∴=⎨->⎪⎪-⎩Q （），＝或1x y =（舍去），33229log log 24x y ==. 题型二对数换底公式的应用【例2】设+∈R z y x ,,，且zy x 643==.（1）求证：yx z 2111=-；（2）比较z y x 6,4,3的大小。

第6讲对数与对数函数课件(共82张PPT)

解析由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19，故选 B．
解析答案
2．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1，则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 10 ___y_＝__x___对称．
1．对数的性质(a＞0 且 a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝llooggccba(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即 logab＝log1ba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； (3)logambn＝mn logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad.
增区间．
∵当 x∈(4，＋∞)时，函数 t＝x2－2x－8 为增函数，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选 D．
解析答案
6．计算：log23×log34＋( 3)log34＝________. 答案 4 解析 log23×log34＋( 3)log34 ＝llgg 32×2llgg32＋3 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
8 5
＜lg152·lg
3＋lg 2
82＝
lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
b＝log85，得
8b＝5，由
55＜84，得
85b
＜84，∴5b＜4，可得 b＜45.由 c＝log138，得 13c＝8，由 134＜85，得 134＜135c，

《对数和对数函数习题课》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

y log2 x 符合．将表中数据代入验证，数据基本相符．所以选D．
习题讲解
12．下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是_____①_______．
① y 3 1.04x ；
③ y 40 lg x 1 ；
② y 20 x10 ； ④ y 80．
解：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．
习题讲解
13．
解：A容器下粗上细，溶液高度的变化越来越快，故与（4）对应；B容器为球形，溶液高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，溶液高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故溶液高度的变化为C容器快，与（3）对应，D容器慢，与（2）对应．
am
2 an 32 9 ．
2．已知 log2 log4 log3 x log3 log4 log2 y 0 ，则x y __9_7___．
解：由题意可知 log4 log3 x 1 ，所以 log3 x 4 ，所以 x 34 81 ；
同理可得 y 24 16 ，所以 x y 97 ．
loga (x
1) 2
为增函数，
没有符合的选项．所以答案为D．
习题讲解
9．
解：因为对数函数 y log6 x 在其定义域上是增函数，所以 a log6 5 log6 1 0且 a log6 5 log6 6 1 ．因为指数函数 y x 在其定义域上是增函数，所以 b 0.3 0 1．因为在其定义域上是增函数，所以 c ln 1 ln1 0 ．综上，c＜0＜a＜1＜b，即c＜a＜b ，
则x，y最合适的函数是（）
A．y 2x
B．y x2 1

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A版

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。

②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

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六讲对数与对数函数1．对数的概念如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质 ①alog a N＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0 (5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0当0<x <1时，y <0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A.2．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A解析 a ＝3>1,0b >c ，故选A.3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确．4．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫34，1答案 C解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)． 5．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝ . 答案 43 3解析 2a ＋2－a ＝24log 3＋24log 3－＝2log 323log＝3＋33＝433.题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 (2)lg 5＋lg 20的值是．答案 (1)A (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝ . 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)方法一构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.方法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除选项A.思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )(2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝1C．x1x2>1 D．0<x1x2<1答案(1)B(2)D解析(1)∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∵g(x)＝－log b x的定义域是(0，＋∞)，故排除A.若a>1，则0<b<1，此时f(x)＝a x是增函数，g(x)＝－log b x是增函数．故选B.(2)构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示．因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则10x1＝－lg(－x1)，10x2＝lg(－x2)，因此10x2－10x1＝lg(x1x2)，因为10x2－10x1<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1，故选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案D解析由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，12)C ．(12，1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 C解析由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)D (2)A (3)C解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,01，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．c >b >a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c ＝，＝，＝，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．c >a >b思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .(2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝310log 35.方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x为增函数，∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6，故a >c >b .答案 (1)C (2)C (3)C温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，log a b>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，log a b<0.2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[失误与防范]1．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N*，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案 B解析由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x ＝(13)x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误． 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e －12＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x (x ≥4)，f (x ＋1) (x <4)，则f (log 23)等于( )A.16 B.112 C.124 D.13答案 C解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2) ＝f (log 23＋3)＝f (log 224) ＝⎝⎛⎭⎫122log 24＝22log 24－＝221log 24＝124. 4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45答案 C解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1.6．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为．答案－14解析显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝ .答案 32解析由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是．答案 (1,2]解析由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)10．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >p D ．p ＝r ＞q答案 B解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .选B.11．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．12．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为．答案 23解析由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23.13．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.高三·数学（理）天道酬勤，勤能补拙！ 21 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝213-，此时f (x )取得最小值时， x ＝(2－13)32-＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。

第6讲 对数与对数函数(教师版)

4.2 对数函数-(必修第一册) (教师版)

新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)

对数及对数函数教案8篇

《 对数与对数函数》课件

6对数与对数函数(教师版)

高三数学一轮 第二章 第六节 对数、对数函数课件 理