第6讲 对数与对数函数(教师版)
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六讲 对数与对数函数
1．对数的概念
如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M
N
＝log a M －log a N ；
③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；
④log am M n ＝n
m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．
(2)对数的性质 ①a
log a N
＝ N ；②log a a N ＝ N (a >0且a ≠1)．
(3)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；
②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .
3．对数函数的图象与性质
a >1
0 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 (5)当x >1时，y <0 当0 当0 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线 y ＝x 对称． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × ) (3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 13 3x 都是对数函数．( × ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1 a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 1．(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 答案 A 解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A. 2．已知a ＝31 2 ，b ＝log 13 12，c ＝log 21 3 ，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．b >a >c 答案 A 解析 a ＝3>1,0 12＝log 32<1，c ＝log 21 3 ＝－log 23<0，故a >b >c ，故选A. 3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( ) 答案 B 解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确． 4．(教材改编)若log a 3 4<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭ ⎫0，34 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，3 4∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫ 34，1 答案 C