专题反比例函数与三角形四边形的面积等

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中考数学考点系统复习第三章函数方法技巧突破(一) 反比例函数中的面积问题

S 阴影＝|k1|－|k2|
图形
S ＝S －S 阴影 △AOB △AOD 结论 1 1
＝2|k1|－2|k2|
S ＝S －S 阴影 △COB △OCD 11
＝2|k1|－2|k2|
图形
过点 D 作 DF⊥x 轴于点
结论
S 阴影＝S 矩形－S －S ＝ OABC △OCD △OAE |k1|－|k2|
【模型示例】
图形
结论
S 四边形 PMON＝|k|
S ＝S 四边形 ABCD
四边形 PQMD
2．(2021·荆州)如图，过反比例函数 y＝kx(k>0，x>0) 图象上的四点 P1，P2，P3，P4 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1，A2，A3，A4，再过 P1，P2，P3，P4 分别作 y 轴， P1A1，P2A2，P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为 S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则 S1 与 S4 的数量关系为 S1＝S1＝44SS44.
x 轴于点 B，连接 BC，则△ABC 的面积等于
A．8
B．6 C．4 D．2
( C)
模型四：两点两垂线【模型特征】
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|k|.
【模型示例】
图形
结论
S△APP′＝2|k| S 四边形 ANBM＝2|k|
4．(2021·南京)如图，正比例函数 y＝kx 与函数 y＝6x的图象交于 A，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则 S△ABC＝1 12 2.
A．4
B．6
C．8
D．12
( C)

2020年数学一轮复习选择题专题练习：反比例函数压轴(含答案)

2020年数学一轮复习选择题专题练习：《反比例函数压轴》1．函数y ＝和y ＝在第一象限内的图象如图，点P 是y ＝的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA ＝AP ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 2．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝（其中k 1＞k 2＞0）在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为（）A ．k 1+k 2B ．k 1﹣k 2C ．k 1•k 2D ．3．如图，已知双曲线，，点P 为双曲线上的一点，且PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB 分别交双曲线，于D 、C 两点，则△PCD 的面积为（）A．B．C．D．24．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y＝的图象经过点A，若△BEC的面积为6，则k等于（）A．3 B．6 C．12 D．245．如图，已知函数y1＝﹣x+3的图象与x轴交于点B，与函数的图象交于C、D两点，以OC、OD为邻边作平行四边形OCED．下列结论中：①OC＝O D；②若k＝2，则当1＜x＜2时，y1＞y2；③若k＝2，则平行四边形OCED的面积为3；④若∠COD＝45°，则k＝2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A、C在双曲线y＝（k≠0）的图象上，AB∥x轴，AC交x轴于点F，满足＝，AC＝10，BC交双曲线于点E，连接AE，则△ACE的面积为（）A．20B．C．D．257．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（）A．B．6 C．D．98．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的四条边分别与坐标轴交于点E，F，G，H，AD∥x 轴，四边形AFOE与四边形CHOG的面积分别为2，3，点B，D分别在反比例函数y＝（x ＜0），y＝（x＞0，k＞0）的图象上，则k的值为（）A．B．3 C．4 D．69．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与双曲线y＝恰好交于BC的的值为（）中点E，若OB＝2OA，则S△ABOA．6 B．8 C．12 D．1610．如图，在平面直角坐标系中，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，点B在点C的右侧，顶点A和AB的中点D在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．若△ABC的面积为12，则k的值为（）A．24 B．12 C．6D．611．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连结AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）A．4 B．4C．D．612．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k ＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y ＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S＝，则k的值△OBD 为（）A．4 B．5 C．6 D．714．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k的值是（）A．2 B．4 C．6 D．815．如图，点A和点B都是反比例函数在第一象限内图象上的点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，连接AB，以线段AB为边的矩形ABCD的顶点D，C恰好分别落在x轴，y轴的负半轴上，连接AC，BD交于点E，若△ABC的面积为6，则k的值为（）A．2 B．3 C．6 D．1216．如图，矩形OABC的顶点A、C都在坐标轴上，点B在第二象限，矩形OABC的面积为6．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合．若反比例函数y＝的图象恰好经过点E和DE的中点F．则OA的长为（）A．2 B．C．2D．17．如图，四边形AOBC是平行四边形，点B在x轴上，CA的延长线与y轴交于点D，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点A（2，y），且与边BC交于点E．若S平行四边形＝6，且AD＝AC，则点E的横坐标为（）AOBCA．1+B．1+2C．1+2D．1+18．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与边BC交于点D，连接AD，则△ADB的面积为（）A．12 B．16 C．20 D．2419．如图，在第一象限内，动点P在反比例函数y＝的图象上，以P为顶点的等腰△OPQ，两腰OP、PQ分别交反比例函数y＝的图象于A、B两点，作PC⊥OQ于点C，BE⊥PC于点E，AD⊥OQ于点D，则以下说选正确的个数为（）个①为定值②若k＝4m，则A为OP中点③S＝△PEB④OA2+PB2＝PQ2A．4 B．3 C．2 D．120．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．2 B．C．3 D．参考答案1．解：∵A 、B 是反比函数y ＝上的点，∴S △OBD ＝S △OAC ＝，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA ＝PB ，故②错误；∵P 是y ＝的图象上一动点，∴S 矩形PDOC ＝4，∴S 四边形PAOB ＝S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC ＝4﹣﹣＝3，故③正确；连接OP ，＝＝＝4，∴AC ＝PC ，PA ＝PC ， ∴＝3，∴AC ＝AP ；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：C ．2．解：根据题意可得四边形PAOB 的面积＝S 矩形OCPD ﹣S OBD ﹣S OAC ，由反比例函数中k 的几何意义，可知其面积为k 1﹣k 2．故选：B ．3．解：作CE ⊥AO 于E ，DF ⊥CE 于F ， ∵双曲线，，且PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA 、PB分别依次交双曲线于D、C两点，∴矩形BCEO的面积为：xy＝1，∵BC×BO＝1，BP×BO＝4，∴BC＝BP，∵AO×AD＝1，AO×AP＝4，∴AD＝AP，∵PA•PB＝4，∴PB×PA＝PA•PB＝CP×DP＝×4＝，∴△PCD的面积为： CP×DP＝．故选：C．4．解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC＝AC，∴∠DBC＝∠ACB，又∵∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∵∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴BO：BC＝OE：AB，即BC•OE＝BO•AB．＝6，又∵S△BEC∴BC•EO＝6，即BC•OE＝12，∵|k|＝BO•AB＝BC•OE＝12．又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．∴k＝12．故选：C．5．解：①∵函数y＝﹣x+3的图象与函数的图象交于C、D两点，1解得和，∴C（，），D（，），根据勾股定理求得OD＝OC，故①正确；②若k＝2，解得或，∴C（1，2），D（2，1），根据图象，当1＜x＜2时，y1＞y2，故②正确；③∵平行四边形OCED中，OC＝OD，∴四边形OCED是菱形，若k＝2，则C（1，2），D（2，1），∴E（3，3），根据勾股定理求得CD＝，OE＝3，∴四边形OCED的面积为： OE＝＝3，故③正确：④若∠COD＝45°，根据菱形的性质∠COE＝22.5°，∵E（3，3），∴OE平分∠AOB，∴∠AOE＝45°，∴必须有∠AOC＝∠COE＝22.5°，由③可知，若k＝2，则CD＝，那么PC＝，而C（2，1），PC≠CQ，∴若∠COD＝45°，则k＝2不成立，故④错误；故选：C．6．解：过C作CM⊥y轴，过A作AM⊥x轴，交x轴于N，Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝10，∴AB＝2AC＝20，∠CAB＝60°，∵CM∥AB，∴∠MCA＝∠CAB＝60°，Rt△CMA中，∠MAC＝30°，CM＝5，AM＝5，∵FN∥CM，∴，∴AN＝2，MN＝3，∴设C（x，3），则A（x﹣5，﹣2），∵点A、C在双曲线y＝（k≠0）的图象上，∴3x＝﹣2（x﹣5），x＝2，∴C（2，3），A（﹣3，﹣2），∴y＝，B（17，﹣2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+，﹣x+＝，x＝2或9，∴E（9，），∴S△ACE ＝S△ABC﹣S△ABE＝﹣＝；故选：B．7．解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，∵m+n＞0，∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，∴BD＝x B﹣x A＝n﹣m＝3，AD＝y A﹣y B＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，∴平移后点A与点D重合，因此，点D在直线l上，∴S△ACB ＝S△ADB＝AD•BD＝，故选：A．8．解：设D（t，），∵AD⊥y轴，∴AF＝，而四边形AFOE为2，即OF•＝2，解得OF＝，∴B点的横坐标为﹣，∵点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB⊥x轴，∴B（﹣，﹣），∵BC∥x轴，AC⊥x轴，∴C（t，﹣），∵四边形CHOG的面积3，∴t×（﹣）＝3，∴k＝6．故选：D．9．解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABM＝90°﹣∠CBN＝∠BCN，∵∠M＝∠N＝90°，∴△ABM≌△BCN（AAS），∵OB＝2OA，∴设OA＝a，OB＝2a，则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，∴点C坐标为（2a，a），∵E为BC的中点，B（0，2a），∴E（a，1.5a），把点E代入双曲线y＝得1.5a2＝18，a2＝12，∴S△ABO＝a•2a＝12，故选：C．10．解：过D作DE⊥BC于E，连接AO，OD，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝∠DBE，∴△BDE∽△BAC，∴＝（），∵点D是AB的中点，△ABC的面积为12，∴S△BDE＝3，∵点A，点D在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴S△AOC ＝S△DEO＝，∵S△BDO ＝S△ABO，∴3+＝（+12），解得：k＝12，故选：B．11．解：设点M（a，0），N（0，b）∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，∴点A的坐标为（a，），BN⊥y轴，同理可得：B（，b）则点C（a，b）s＝＝ab＝1△CMN∴ab＝2∵AC＝，BC＝＝＝4即，且ab＝2（k﹣2）2＝16解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）故选：D．12．解：∵AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，∴A（1，1），C（1，k），B（2，），D（2， k），∴△OAC面积＝，△CBD的面积＝，∵△OAC与△CBD的面积之和为，∴，∴k＝4．故选：C．13．解：设D（m，n），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．∴△ACE∽△ADF，∵AC：CD＝2：3，∴AC：AD＝2：5，∴，∴CE＝DF＝m∴C，∵D（m，n），∴直线AB的表达式为y＝，∴B（），OB＝，＝，∵S△OBD×＝，∴mn＝5，∴k＝mn＝5，故选：B．14．解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．＝4，又∵S△BEC∴BC•EO＝4，即BC×OE＝8＝BO×AB＝|k|．∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．∴k＝8．故选：D．15．解：∵点A和点B都是反比例函数在第一象限内图象上的点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1∴A（1，k）、B（k，1）E为矩形ABCD对角线的交点，∴E（，）∵D，C恰好分别落在x轴，y轴的负半轴上，设D（a，0）、C（0，b）E为点A、C的中点∴a＝1﹣k，b＝1﹣k∴D（1﹣k，0），C（0，1﹣k）且1﹣k＜0在等腰直角△COD中，OD＝OC＝k﹣1，由勾股定理得：DC2＝OD2+OC2DC2＝（k﹣1）2+（k﹣1）2DC＝（k﹣1）A（1，k）、D（1﹣k，0），AD2＝（1﹣k﹣1）2+k2＝k∴k2﹣k﹣6＝0解得：k＝3，k＝﹣2（不符合题意，舍去）故选：B．16．解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四边形OABC是矩形，∴AB∥CO，∠BC O＝∠OAB＝90°．∴∠EBQ＝∠DOQ．在△BEQ和△ODQ中，．∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．∴EQ＝DQ．∴点Q是ED的中点．∵∠QNO＝∠BCO＝90°，∴QN∥BC．∴△ONQ∽△OCB．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△ONQ ＝S△OCB．∵S矩形OABC＝6，∴S△OCB ＝S△OAB＝3．∴S△ONQ＝．∵点F是ED的中点，∴点F与点Q重合．∴S△ONF＝．∵点E、F在反比例函数y＝上，∴S△OAE ＝S△ONF＝．∵S△OAB＝3，∴AB＝4AE．∴BE＝3AE．由轴对称的性质可得：OE＝BE．∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝．∴AE＝．∴OA＝2AE＝．故选：D．17．解：∵AD＝AC，且A（2，y）∴AC＝2又∵S平行四边形AOBC＝AC•y＝6∴y＝3则k＝2×3＝6反比例函数解析式为：y＝（x＞0）四边形AOBC是平行四边形∴OB＝CA＝2∴B（2，0），C（4，3）直线BC：y＝，联立解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去）故选：D．18．解：过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），∵当A是OB的中点，∴B（2a，2b），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，∴ab＝16，∴S△BCO＝2ab＝32，∵点D 在反比例函数数y ＝（x ＞0）的图象上，∴S △OCD ＝8，∴S △BOD ＝32﹣8＝24， ∴△ADB 的面积＝S △BOD ＝12，故选：A ．19．解：：①正确．∵A 在反比例函数y ＝的图象上，P 在反比例函数y ＝的图象上， ∴S △AOD ＝|m |，S △poc ＝|k |，∵PC ⊥OQ 于点C ，AD ⊥OQ 于点D ，∴AD ∥PC ，∴△AOD ∽△POC ， ∴＝（）2＝， ∴为定值，∵△OPQ 是以P 为顶点的等腰三角形，∴OP ＝PQ ， ∴为定值；故此选项正确； ②正确，∵（）2＝，k ＝4m ， ∴（）2＝， ∴＝，故此选项正确；③正确，延长BE 交OP 于F ，交y 轴于M ，作BN ⊥x 轴于N ，易证得△OMF ≌△BNQ ， ∴S 四边形OMBN ＝S 四边形OFBQ ＝m ，即可证得S 四边形CQBE ＝m ，∵S△PCQ ＝S△POC＝k，∴S△PEB ＝S△PCQ﹣S四边形CQBE＝k m＝，故此选项正确；④正确，∵BE∥OQ，∴△PEB∽△PCQ，∴＝（）2∵S△PCQ ＝k，S△PEB＝，＝＝＝1﹣，∵＝，∴＝1﹣，∴OA2+PB2＝PQ2，故此选项正确．综上，选项正确的个数为4个故选：A．20．解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE ＝|k|，S△OAD＝|k|，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则++9＝4k，∴k＝3．故选：C．。

专题、反比例函数的面积问题 (经典问题)

专题、反比例函数中的面积问题一、反比例与矩形面积的关系1、如图，若过双曲线()0≠=k xky 上一点()y x P ,作x PA ⊥于A 点，作y PB ⊥于B 点，则矩形PABO 的面积为k xy y x PB PA S ==⋅=⋅=. 2、k 的几何意义对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论1：如图1，在直角三角形ABO 中，k S AOB 21=∆；结论2：如图2，在矩形ABOC 中，k S OABC =矩形；结论3：如图3，在ABM ∆中，x AM ⊥轴，k S ABM =∆；结论4：如图4，在ABC ∆中，x BC y AC //,//，则k S ABC 2=∆；结论5：如图5，ACE BPE OACB OAPB S S S S △△梯形梯形），（）（==21；结论6：如图6，x PA ⊥轴，x CD ⊥轴，()()2211,,,y x C y x P ，则()()2222121x x y y AD CD PA S S PADC OPC -⨯+=⨯+=⨯+==高下底上底梯形△；二、中点坐标公式（1）在平面直角坐标系上，点()11,y x A 与点()22,y x B 的中点是()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02102122y y y x x x .图4图5图6图3图2图1考点一、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ）例1、(1)如图1，直线OA 与反比例函数()0≠=k xky 的图象在第一象限交于A 点，x AB ⊥轴于点B ，OAB ∆的面积为2，则=k ．（2）如图2，已知双曲线()0>=x xky 经过矩形OABC 的边BC AB ,的中点E F ,，且四边形OEBF 的面积为2，则=k ．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数xky =与函数()1+--=k x y 在第二象限的交点，x AB ⊥轴于y AD B ⊥,轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点C A ,的坐标．（3）若点P 是y 轴上一动点，且5=∆APC S ，求点P 的坐标．考点二、已知反比例函数解析式，求图形的面积（1）在反比例函数xy 4=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）（2）如图，点B A ,是双曲线xy 3=上的点，分别经过B A ,两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1=阴影S ，则=+21S S ．图1图2.A .B.C.D考点三、利用点的坐标及面积公式求面积例3、如图，已知()()4,2,4--B n A ，是一次函数b kx y +=的图像和反比例函数xmy =的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及三角形AOB 的面积．如图，直线b kx y +=与反比例函数()0<=x xky 的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()4,2-，点B 的横坐标为4-.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求AOC ∆的面积.考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题例4、已知, E D C B A ,,,,是反比例函数()016>=x xy 图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数xy 2=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .考点五、反比例函数有关的动点问题例5、如图，点P 为函数()016>=x xy 的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为()0,3,2A ，()0,6B 点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是 .随堂练习1、如图1，已知21211,A A P OA P ∆∆都是等腰直角三角形，点21,P P 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边211,A A OA 都在x 轴上．则点2A 的坐标为 .1、如图2，已知n n n A A P A A P A A P OA P 132321211,,,,-∆∆∆∆ 都是等腰直角三角形，点n P P P P ,,,,321 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边n n A A A A A A OA 132211,,,,- 都在x 轴上.则点10A 的坐标为 .2、已知点()2,0A 和点()2,0-B ，点P 在函数xy 1-=的图像上，如果PAB ∆的面积为6，求P 点的坐标.图1图23、如图所示，反比例函数xky =的图象经过点()b A ,3-，过点A 作AB 垂直x 轴于点AOB B ∆,，的面积为3.（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数1+=ax y 的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求OM AB :的值.4、如右图，已知点()3,1在函数()0>=x xky 的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数()0>=x xky 的图象又经过E A ,两点，点E 的横坐标为m ，解答下列各题（1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）; (3)当oABD 45=∠时，求m 的值.1、已知：如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD AC ,的交点，反比例函数()02>=x xy 的图象经过E A ,两点，点E 的纵坐标为m ．（1）求点A 坐标（用m 表示）（2）是否存在实数m ，使四边形ABCD 为正方形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由2、在平面直角坐标系中，已知()()1,0,0,1B A ，矩形OMPN 的相邻两边ON OM ,分别在y x ,轴的正半轴上，O 为原点，线段AB 与矩形OMPN 的两边NP MP ,的交点分别为BOE AOF F E ∆∆~,,（顶点依次对应）.（1）求FOE ∠；（2）求证：矩形OPMN 的顶点P 必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式.1、如图，在平面直角坐标系中，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于B A ,两点，点()b a P ,是反比例函数xy 21=在第一象限内的任意一点，过点P 分别作x PM ⊥轴于点y PN M ⊥,轴于点PN PM N ,,分别交直线AB 于F E ,，有下列结论：①BE AF =；②图中的等腰直角三角形有4个；③()121-+=∆b a S OEF ；④o EOF 45=∠．其中结论正确的序号是 .2、已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过()()2,,,+++k b k a b a 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点B A ,的坐标：（3）根据函数图象，求不等式122->x xk的解集；（4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

专题：反比例函数中的面积问题

微专题反比例函数中的面积问题
模型一一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四两点两垂线反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作

2021年中考数学专题-训练：《反比例函数综合》(含答案详解)

2021年九年级中考数学一轮复习专题《反比例函数综合》1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y＝交于点A（1，m）和B （﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．2．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F 和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+n（n＜0）与坐标轴交于A、B两点，与y ＝（x＞0）交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且△OAB∽△FEB，相似比为．（1）若，求m的值；（2）连接OE，试探究m与n的数量关系，并直接写出直线OE的解析式．4．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．6．如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，a），点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交一次函数的图象于点D．（1）求a的值及一次函数y＝kx+1的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求BN的长．（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G 落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，简述你的理由．9．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）求这两个函数的表达式．（2）直接写出关于x的不等式的解．（3）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且30°≤∠CED≤60°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．10．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝2x都经过点A（2，m）．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B（n，2），点C是y轴的负半轴上的一点，且点C到x轴的距离是2，联结AB、AC、BC，①求△ABC的面积；②点E在y轴上，△ACE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．参考答案1．解：（1）①∵点B（﹣2，﹣1）在双曲线y＝上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵点A（1，m）在双曲线y＝上，∴m＝2，∴A（1，2），∵点A关于x轴的对称点为点C，∴C（1，﹣2）；②∵直线l：y＝ax+b经过点A（1，2）和B（﹣2，﹣1），∴，∴，Array∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图，∵点A关于x轴的对称点为点C，∴AC∥y轴，∵BD⊥y轴，∴∠BDC＝90°，D（1，﹣1），∵C（1，﹣2），∴CD＝1，①当点E在点D左侧时，当∠CED＝45°时，DE＝CD＝1，∴t＝0，当∠CE'D＝30°时，DE'＝CD＝，∴t＝1﹣，∵30°≤∠CED≤45°，∴1﹣≤t≤0；②当点E在点D右侧时，同①的方法得，2≤t≤1+，即：1﹣≤t≤0或2≤t≤1+．2．（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，∴k＝1×3＝3．故答案为：3．（2）证明：∵反比例函数解析式为，∴设A点坐标为（a，）．∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴，，∴．又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB．（3）解：∵四边形ABCD 的面积和△PCD 的面积相等，∴S△PAB ＝2S △PCD ，∴×（3﹣）×（1﹣a ）＝2××1×（﹣），整理得：（a ﹣1）2＝2，解得：a 1＝1﹣，a 2＝1+（舍去），∴P 点坐标为（1，﹣3﹣3）．3．解：（1）当时，直线方程是y ＝﹣，当x ＝0时，y ＝﹣，即A （0，﹣），则OA ＝．当y ＝0时，x ＝1，即B （1，0），则OB ＝1．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝1，BF ＝2OB ＝2，OF ＝OB +BF ＝1+2＝3，∴点E 的坐标为（3，1）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝3×1＝3；（2）∵直线y ＝+n （n ＜0）与坐标轴交于A 、B 两点，∴当x ＝0时，y ＝n ，即A （0，n ），则OA ＝﹣n ．当y ＝0时，x ＝﹣2n ，即B （﹣2n ，0），则OB ＝﹣2n ．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝﹣2n ，BF ＝2OB ＝﹣4n ，OF ＝OB +BF ＝﹣6n ，∴点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝（﹣6n ）•（﹣2n ）＝12n 2；由点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）得到直线OE 的解析式为：y ＝x ．4．解：（1）当x ＝2时，y ＝×2＝，∴点A 坐标为（2，），∵点A 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，∴k ＝2×＝3，（2）①∵k ＝12，∴反比例函数解析式为y ＝，联立方程组可得：，解得：或，∴点A（4，3），点B（﹣4，﹣3），∴AO＝BO＝5，又∵∠ACB＝90°，∴CO＝AO＝BO＝5，∴点C（0，5），∴△ACB的面积＝×5×4+×5×4＝20；②设点D坐标为（x，y），若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，∴AB与CD互相平分，∴，，∴x＝0，y＝﹣5，∴点D（0，﹣5）；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，，∴x＝8，y＝11，∴点D（8，11）；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴，＝，∴x＝﹣8，y＝﹣1，∴点D（﹣8，﹣1），综上所述：点D坐标为（0，﹣5）或（8，11）或（﹣8，﹣1）．5．解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，Array∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D （8，4），由（2）知，C （2，4），∴直线CD 的解析式为y ＝4，∵点M 的横坐标为m ，则M （m ，4），N （m ，），∴MN ＝|4﹣|，∵A （1，2），B （4，2），∴AB ＝3，∵MN ≥AB ，∴|4﹣|≥3，∴m ≥8或m ≤，即0＜m ≤或m ≥8．6．解：（1）把点A （2，a ）代入反比例函数得，a ＝＝4， ∴点A （2，4），代入y ＝kx +1得，4＝2k +1，解得k ＝∴一次函数的表达式为；（2）∵BD ＝10，∴D 的纵坐标为10，把y ＝10代入得，x ＝6，∴OB ＝6，当x ＝6代入y ＝得，y ＝，即BC ＝，∴CD ＝BD ﹣BC ＝10﹣＝，∴S △ACD ＝×（6﹣2）＝．7．解：（1）依题意，得：点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（3，3）．当x ＝3时，y ＝x ﹣1＝2，∴点D 的坐标为（3，2）．将D （3，2）代入y ＝，得：2＝，解得：m ＝6，∴反比例函数解析式为y ＝．当y ＝3时，＝3，解得：x ＝2，∴点N 的坐标为（2，3），∴BN ＝3﹣2＝1．（2）当y ＝0时，x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点M 的坐标为（1，0），∴AM ＝2，∴S 梯形ABNM ＝（BD +AM ）•AB ＝．设点P 的坐标为（x ，x ﹣1）（x ≠1，x ≠3），∴S △BCP ＝BC •|3﹣y P |＝|4﹣x |＝，解得：x 1＝1（舍去），x 2＝7，∴点P 的坐标为（7，6）．（3）过点C 作CF ⊥CP ，交DM 于点F ，如图2所示．设点F 的坐标为（n ，n ﹣1）．∵点C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（7，6），∴PC 2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF 2＝（n ﹣0）2+（n ﹣1﹣3）2＝2n 2﹣8n +16，PF2＝（n ﹣7）2+（n ﹣1﹣6）2＝2n 2﹣28n +98．∵∠PCF ＝90°，∴PF 2＝PC 2+CF 2，即2n 2﹣28n +98＝58+2n 2﹣8n +16，解得：n ＝，∴点F 的坐标为（，）．又∵点G 为线段PF 的中点，∴点G 的坐标为（，）．8．解：（1）将A （，1）代入y ＝，得：1＝，解得：k ＝，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵点A 的坐标为（，1），AB ⊥x 轴于点C ，∴OC ＝，AC ＝1，∴OA ＝＝2＝2AC ，∴∠AOC ＝30°．∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠B ＝∠AOC ＝30°，∴AB ＝2OA ＝4，∴S △AOB ＝AB •OC ＝×4×＝2．（3）在Rt △AOB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，∠ABO ＝30°，∴OB ＝＝2．分三种情况考虑：①当OP ＝OB 时，如图2所示，∵OB ＝2，∴OP ＝2，∴点P 的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）；②当BP ＝BO 时，如图3，过点B 做BD ⊥y 轴于点D ，则OD ＝BC ＝AB ﹣AC ＝3， ∵BP ＝BO ，∴OP ＝2OC ＝2或OP ＝2OD ＝6，∴点P 的坐标为（2，0），（0，﹣6）；③当PO ＝PB 时，如图4所示．若点P 在x 轴上，∵PO ＝PB ，∠BOP ＝60°，∴△BOP 为等边三角形，∴OP ＝OB ＝2，∴点P 的坐标为（2，0）；若点P 在y 轴上，设OP ＝a ，则PD ＝3﹣a ， ∵PO ＝PB ，∴PB2＝PD2+BD2，即a2＝（3﹣a）2+12，解得：a＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2），（0，﹣6），（0，﹣2）．9．解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y＝；当x＝1时，m＝＝2，∴点A的坐标为（1，2）．将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x+1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解为x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2）．∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴点D的坐标为（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cot∠CED＝，∴≤DE≤，∴1﹣≤t≤1﹣或1+≤t≤1+．10．解：（1）∵直线y ＝2x 经过点A （2，m ），∴m ＝2×2＝4，∴点A 的坐标为（2，4）．∵双曲线经过点A （2，4）， ∴4＝，∴k ＝8．（2）①由（1）得：双曲线的表达式为y ＝．∵双曲线y ＝经过点B （n ，2），∴2＝，∴n ＝4，∴点B 的坐标为（4，2）．∵点C 是y 轴的负半轴上的一点，且点C 到x 轴的距离是2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴AB ＝＝2，BC ＝＝4，AC ＝＝2．∵（2）2+（4）2＝（2）2，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×2×4＝8．②设点E 的坐标为（0，a ），∴AE 2＝（0﹣2）2+（a ﹣4）2＝a 2﹣8a +20，CE 2＝[a ﹣（﹣2）]2＝a 2+4a +4，AC 2＝40．分三种情况考虑，如图2所示．（i ）当AE ＝AC 时，a 2﹣8a +20＝40，解得：a 1＝﹣2（舍去），a 2＝10，∴点E 1的坐标为（0，10）；（ii ）当CE ＝AC 时，a 2+4a +4＝40，解得：a 3＝﹣2+2，a 4＝﹣2﹣2，∴点E 2的坐标为（0，﹣2+2），点E 3的坐标为（0，﹣2﹣2）；（iii ）当CE ＝AE 时，a 2+4a +4＝a 2﹣8a +20，解得：a ＝，∴点E 4的坐标为（0，）．综上所述：点E 的坐标为（0，10），（0，﹣2+2），（0，﹣2﹣2）或（0，）．。

初二函数专题9--反比例函数与三角形面积问题+答案

初二函数专题8--反比例函数与三角形面积问题【例1】如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点.若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是( )A .12S S >B .1S =2SC .1S <2SD .不能确定【例2】（2009湖北四市）如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．【例3】如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例4】如图，已知()()1122A x y B x y ，，，是双曲线ky x=在第一象限内的分支上的两点，连结OA OB ，．（1）试说明111ky OA y y <<+；（2）过B 作BC x ⊥轴于C ，当4m =时，求BOC ∆的面积．【补充】如图，已知反比例函数8y x=-与一次函数y kx b =+的图象交于A B ，两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-．求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB ∆的面积．【例5】（2009年兰州中考）如图，已知A （4-，n ），B （2，4-）是一次函数y kx b=+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积；（3）求方程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）.x图14【例6】如图，已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y ax b =+的图象交于()2M m ，和()14N --，两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON ∆的面积；（3）请判断点()41P ，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．【例7】如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．【例8】 (2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为(-3)，点B 的坐标为(6-，0)．⑴ 若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标； ⑵ 若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值； ⑶ 若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x的图像上，求k 的值．参考答案：反比例函数与三角形面积问题【例9】如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点.若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是( )A .12S S >B .1S =2SC .1S <2SD .不能确定【解析】设A (1x ，1y )，C (2x ，2y ).则根据题意,1122x y x y k ==.∴111111222S OB AB x y k =⋅==,222111222S OD CD x y k =⋅==.又∴A 点和C 点均在第一象限,∴1x ，1y ，2x ，2y 均为正数,且0k >.1212S S k ==.故选B. 由此我们可以得到一个结论：在反比例函数ky x =(0k ≠)中，具有三角形面积的不变性，即12AOB COD S S k ∆∆==.在此基础上可以推得：平行四边形面积的不变性，即2AHFP S k =.【例10】（2009湖北四市）如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．【解析】 2【点评】我们可知此题中，OBC DBAE S S ∆=，主要通过面积之间的转化，而达到简便的运算图③【例11】如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【解析】 ∴直线y x m =+与双曲线my x=交于点A , 设A 点的坐标为(),A A x y . 则有,A A A Amy x m y x =+=.∴A A m x y =. 又∴点A 在第一象限, ∴,A A A A OB x x AB y y ====.∴111222AOB A A S OB AB x y m ∆===g .而已知2AOB S ∆=. ∴4m =.【例12】如图，已知()()1122A x y B x y ，，，是双曲线ky x=在第一象限内的分支上的两点，连结OA OB ，．（1）试说明111ky OA y y <<+；（2）过B 作BC x ⊥轴于C ，当4m =时，求BOC ∆的面积．【解析】（1）过点A 作AD x ⊥轴于D ，则11OD x AD y ==，，因为点()11A x y ，在双曲线xky x=上，故11k x y =，又在Rt OAD ∆中，AD OA AD OD <<+，所以111ky OA y y <<+；（2）BOC ∆的面积为2．【补充】如图，已知反比例函数8y x=-与一次函数y kx b =+的图象交于A B ，两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-．求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB ∆的面积．【解析】 ∴由已知易得()()2442A B --，，，，代入y kx b =+中，求得2y x =-+； ∴当0y =时，2x =，则2y x =-+与x 轴的交点()20M ，，即2OM =|，于是AOB AOM BOMS S S ∆∆∆=+1111242262222A B OM y OM y =⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=【例13】（2009年兰州中考）如图，已知A （4-，n ），B （2，4-）是一次函数y kx b=+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积；（3）求方程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）.【解析】（1）∴B （2，4-）在函数my x=的图象上∴8m =-．∴反比例函数的解析式为：8y x=-． ∴点A （4-，n ）在函数8y x=-的图象上 ∴2n =∴A （4-，2）∴y kx b =+经过A （4-，2），B （2，4-）， ∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解之得12k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为：2y x =--（2）∴C 是直线AB 与x 轴的交点 ∴当0y =时，2x =- ∴点C （2-，0） ∴2OC =∴AOB ACO BCO S S S =+△△△11222422=⨯⨯+⨯⨯6=（3）14x =-，22x = （4）40x -<<或2x >【例14】如图，已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y ax b =+的图象交于()2M m ，和()14N --，两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON ∆的面积；（3）请判断点()41P ，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．图14【解析】 ⑴由已知，得4441k k y x-===-，，．又∵图象过()2M m ，点，∴2m =， ∵y ax b =+图象经过M N ，两点， ∴,422⎩⎨⎧-=+-=+b a b a 解之得,22⎩⎨⎧-==b a ∴22y x =-． ⑵如图，对于22y x =-，0y =时，1x =， ∴()101A OA =，，， ∴1111121432222MON MOA NOA S S S OA MC OA ND ∆∆∆=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=⑶将点()41P ，的坐标代入4y x=，知两边相等， ∴P 点在反比例函数图象上．【例15】如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．【解析】 ∴由题意设A (a ，k a )，则11222AOC k S a k a ∆=⋅⋅==，得4k =故反比例函数的解析式为4y x=∴因为反比例函数4y x=，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，由0a >，得2a a ->-，所以12y y <∴如图，作BD x ⊥轴于D ，设AC 与OB 相交于点E ，易知AOE ECDB S s ∆=梯形，故AOB ACDB S s ∆=梯形，易求4AC a =，2BD a =，CD a =，所以142()32AOB ACDB S S a a a∆==+⋅=梯形【例16】 (2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为(-3)，点B 的坐标为(6-，0)．⑷ 若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''，请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；⑸ 若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值； ⑹ 若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值．【解析】 ∴关于y 轴轴对称，则横坐标变为相反数，纵坐标不变.所以，A ，'(6,0)B .∴向右平移a 个单位，则横坐标增加a ，纵坐标不变。

部编数学九年级下册专题04反比例函数模型(专项突破)解析版含答案

专项突破04 反比例函数模型【思维导图】◎突破一一点一垂线例．（2020·河北·石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数y ＝k x图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．k ＞0B ．y 随x 的增大而减小C ．若矩形OABC 面积为2，则k ＝﹣2D ．若图象上点B 的坐标是（﹣2，1），则当x ＜﹣2时，y 的取值范围是y ＜1【答案】C【分析】根据反比例函数的性质对A 、B 、D 进行判断；根据反比例函数系数k 的几何意义对C 进行判断．【详解】解：A 、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k ＜0，所以A 选项错误；B 、在每一象限，y 随x 的增大而增大，所以B 选项错误；专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，函数2yx=（x＞0）和6yx=（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（）A．0.5．B．1．C．2．D．3.5．专训2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是( )A．4B．﹣4C．8D．﹣8【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，面积为Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数kyx=图象恰好经过点A，则k的值为（）A．﹣B．C D．◎突破二一点两垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A 是反比例函数y=k x-的图象上的一点，过点A 作□ ABCD ，使点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，若□ABCD 面积为6，则k 的值是（）A ．1B ．3C ．6D ．-6【答案】CABCD专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数4yx=-图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（）A．-4B．2C．4D．8专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B 两点在双曲线y＝3x上，分别经过A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为1，则空白两小矩形面积的和S1+S2＝______．专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为___________．【答案】y=﹣．【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．解：过A点向x轴作垂线，如图：根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，又∵函数图象在二、四象限，∴k=﹣4，即函数解析式为：y=﹣．故答案为y=﹣．考点：反比例函数系数k的几何意义．◎突破三两点一垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y＝2x的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为()．A．1B．2C．3D．4根据题意得：BD m=∴12ABCS AC BD=´=△故选：B．【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直y=mx与双曲线kyx=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（）A．1B．m﹣1C．2D．m专训2．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，直线y mx =与双曲线n y x =交于点A ,B ．过点A 作AP x ^轴，垂足为点P ，连接BP ．若B 的坐标为()3,2，则BPO S =V _______．专训3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知一次函数11y ax =-（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数26y x=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为2-．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；(2)求出点C 的坐标，并根据图象写出当12y y <时对应自变量x 的取值范围；(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．；（2）◎突破四两点两垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A 是第一象限内双曲线y ＝mx（m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y ＝n x （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y ＝nx（n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（）A ．m ＝19，n ＝﹣109B ．m ＝14，n ＝﹣54C ．m ＝1，n ＝﹣2D ．m ＝4，n ＝﹣2专训1．（2021·全国·九年级专题练习）点A ，B 分别是双曲线(0)ky k x=>上的点，AC y ^轴正半轴于点C ，BD y ^轴于点D ，联结AD ，BC ，若四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，则k =________．【答案】6【分析】首先根据平行四边形的性质得出,OA OB OC OD ==，从而有412AOC ABCD S S ==△四边形，然后根据k 的几何意义求解即可．【详解】如图，∵点A，B分别是双曲线y//AC BD\．∵四边形ACBD是面积为12专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．◎突破五两点和原点例．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，直线y＝－43x与双曲线y＝kx交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（）A．－10B．－9C．－6D．－4专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线kyx=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4专训2．（2022·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝2x和y＝kx上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝_____．专训3．（2021·浙江·温州外国语学校二模）如图，P 是反比例函数3(0)y x x=>图象上一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点B ，点A ，且分别交反比例函数(0)ky x x=>图象于点C ，点D ，连结OC ，OD ，若图中阴影部分的面积为4，则k 的值为________．设3,P m m æöç÷èø，则,D m æçè∴k BD m=，3mk BE =-∴OCD DBECS S =V 12æ=´çè∴7k=．故答案为：7．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．◎突破六两曲-平行例．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y3=x（x＞0）和y6=x-（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．9D．9 2将x＝a代入反比例函数将x＝a代入反比例函数专训1．（2022·江西南昌·九年级期末）如图，两个反比例函数y 4=x 和y 2=x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 11=k x（x ＞0）及y 22=k x（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2的值等于（）A ．1B ．3C ．6D ．8专训3．（2021·北京·首都师范大学附属育新学校九年级开学考试）如图，在AOB V 中，2AOB S =△，//AB x 轴，点A 在反比例函数1y x=的图象上．若点B 在y 反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为（）A ．32-B ．32C ．3D ．－3k=-；∴3故答案选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．。

初中数学中考考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合

∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ k (k≠0)的 x
图象上，则反比例函数的解析式为( B )
A．y＝－ 3 3 x
B．y＝－ 3 x
C．y＝－ 3 x
D．y＝ 3 x
8．如图，四边形 AOBC 和四边形 CDEF 都是正方形，边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，点 D 在边
由题意得 A′B′＝4，∠A′B′E＝60°. ∴∠B′DE＝30°. 在 Rt△DEB′中，B′D＝2， ∴B′E＝1.
∴DE＝ B' D2 B' E 2 22 12 3.
∴O′E＝3.
把 y＝ 3代入 y＝4x3，得 x＝4. ∴OE＝4. ∴a＝OO′＝1；
如图③，当反比例函数图象经过 A′O′的中点 F 时，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H.
∴AE＝6. 又∵▱ABCD 的面积是 24， ∴AD＝BC＝4.
∴D(4，2)． ∴k＝4×2＝8.
∴反比例函数的解析式为 y＝ 8 . x
(2)AB 所在直线的解析式． (2)由题意知 B 的纵坐标为－4， ∴其横坐标为－2. ∴B(－2，－4)．设 AB 所在直线的解析式为 y＝ax＋b，
(4，12)
.
10．如图，在▱ ABCD 中，顶点 A 的坐标是(0， 2)，AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐标是－4，▱ ABCD 的面积是 24.反比例函数 y＝ k 的
x 图象经过点 B 和点 D，求：
(1)反比例函数的解析式；
解：(1)∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐标是－4，
x 得 k＝2，∴y＝ 2 .
x
(2)连接 BD，若点 P 是反比例函数图象上的一点，且直线 OP 将△OBD 的周长分成相等的两部分，求点 P 的坐标．

反比例函数中的面积问题专题课程教案

反比例函数中的面积问题专题课程教案第一章：反比例函数的概念与性质1.1 反比例函数的定义引导学生回顾反比例函数的定义，即形如y = k/x (k ≠0) 的函数。

强调反比例函数中k 的作用，k 表示函数在x 轴和y 轴上的截距。

1.2 反比例函数的性质分析反比例函数的图像特征，如双曲线、渐近线等。

探讨反比例函数的单调性、奇偶性等性质。

第二章：反比例函数图像的绘制2.1 绘制反比例函数图像的基本方法介绍利用坐标轴、点斜式等方法绘制反比例函数图像。

强调反比例函数图像的中心对称性和轴对称性。

2.2 利用尺规作图绘制反比例函数图像引导学生运用尺规作图的方法，绘制特定k 值的的反比例函数图像。

讨论不同k 值对图像形状和位置的影响。

第三章：反比例函数中的面积问题3.1 反比例函数图像的面积计算引入反比例函数图像中任意三角形、四边形的面积计算方法。

强调利用函数值和坐标轴围成的封闭区域的面积计算公式。

3.2 反比例函数图像与坐标轴围成的面积引导学生探讨反比例函数图像与坐标轴围成的封闭区域的面积。

分析不同k 值对封闭区域形状和面积的影响。

第四章：反比例函数图像的交点问题4.1 反比例函数图像与直线交点的求解引导学生运用解析几何方法，求解反比例函数图像与直线的交点。

强调运用韦达定理、判别式等工具解题。

4.2 反比例函数图像与圆的交点问题探讨反比例函数图像与圆的交点个数和位置关系。

引导学生运用代数方法解反比例函数与圆的交点问题。

第五章：反比例函数图像的应用问题5.1 反比例函数图像在实际问题中的应用引入实际问题，如面积、距离、速度等，运用反比例函数图像解决。

强调反比例函数图像在实际问题中的直观性和实用性。

5.2 反比例函数图像的综合应用问题引导学生运用反比例函数图像解决综合应用问题，如平面几何、物理等。

强调运用反比例函数图像解决问题的方法和技巧。

第六章：反比例函数图像的变换6.1 反比例函数图像的平移讲解反比例函数图像如何通过平移实现变换，包括上下左右平移。

2024中考数学综合复习模型篇专题07 反比例函数K值与几何面积综合(解析版)

专题07反比例函数K 值与几何面积综合（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；2OCF kS S S OBN OAM ===∆∆∆图中21|-|2OABPABk k SS∆∆==图中2k===∆∆∆S S S CBD OBD PDB 图中（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；【真题演练】1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B ．﹣C ．D ．3【答案】A【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：∵四边形是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴S△AOC ＝S△OBD＝＝，∵点A在第二象限，∴n＝﹣3，故选：A．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM ＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（）A．﹣6B．﹣12C．﹣D．﹣9【答案】C【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S＝，△BCD∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN 的面积为3，∴S 梯形OANQ ﹣S △AOP ﹣S △NPQ ＝3，∴，∴2ab +bc ＝9，将点M （5b ，c ），代入得：，整理得：2a ＝7c ，将2a ＝7c 代入2ab +bc ＝9得：7bc +bc ＝9，∴，∴，故选：B ．5．（2022•日照）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，与反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则k 1﹣k 2＝（）A ．3B ．﹣3C ．D ．【答案】B【解答】解：∵y 1、y 2的图象均在第一象限，∴k 1＞0，k 2＞0，∵点M 、N 均在反比例函数y 1＝（k 1是非零常数，x ＞0）的图象上，∴S △OAM ＝S △OCN ＝k 1，∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2＝（k 2是非零常数，x ＞0）的图象上，∴S 矩形OABC ＝k 2，∴S 四边形OMBN ＝S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN ＝3，∴k 2﹣k 1＝3，∴k 1﹣k 2＝﹣3，故选：B ．6．（2022•郴州）如图，在函数y ＝（x ＞0）的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y ＝﹣（x ＜0）的图象于点B ，连接OA ，OB ，则△AOB 的面积是（）A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【解答】解：∵点A 在函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴S △AOC ＝×2＝1，又∵点B 在反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上，∴S △BOC ＝×8＝4，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝1+4＝5，故选：B ．7．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．8．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数y＝的图象上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：设B（a，），∵四边形OBAD是平行四边形，∴AB∥DO，∴A（，），∴AB＝a﹣，∵平行四边形OBAD的面积是5，∴（a﹣）＝5，解得k＝﹣2，故选：D．9．（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：作AE⊥x轴于E，∵矩形OABC的面积是6，∴△AOC的面积是3，∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝，∴，∵对角线AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC，∵∠OEA＝∠AOC＝90°，∴△OEA∽△AOC，∴，∴，∴S＝，△OEA∵S＝|k|，k＜0，△OEA∴k＝﹣．故答案为：﹣．10．（2023•枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝．【答案】．【解答】解：∵P1，P2，P3，...P2024的横坐标依次为1，2，3， (2024)∴阴影矩形的一边长都为1，将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，∴S 1+S2+S3+…+S2023＝，把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，∴S＝OA•OC＝，矩形OABC由几何意义得，＝8，∴＝8﹣＝．故答案为：．11．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为6　．【答案】6．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．12．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为24　．【答案】见试题解答内容【解答】解：设OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，则B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q为BE中点，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函数y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四边形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，∵P在反比例函数y＝（k＞0）上，∴P点横坐标为：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N，∴四边形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S＝NH×MH＝×a＝6，矩形OMHN则k＝24，故答案为：24．13．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为4　．【答案】4．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．14．（2023•黄石）如图，点A（a，）和B（b，）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，其中a＞b＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为　；若△AOB的面积为，则＝　2　．【答案】，2．【解答】解：因为点A（a，）在反比例函数y＝的图象上，则，又a＞0，解得k＝5．根据k的几何意义可知，．过点B作x轴的垂线，垂足为D，则S △OBD +S 梯形ACDB ＝S △AOC +S △AOB ，又根据k 的几何意义可知，S △OBD ＝S △AOC ，则S 梯形ACDB ＝S △AOB ．又△AOB 的面积为，且A （a ，），B （b ，），所以，即．解得．又a ＞b ＞0，所以．故答案为：，2．15．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点B ，D ，对角线CA 的延长线经过原点O ，且AC ＝2AO ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为6　．【答案】6．【解答】解：如图，延长CD 交y 轴于E ，连接OD ，∵矩形ABCD 的面积是8，∴S △ADC ＝4，∵AC ＝2AO ，∴S △ADO ＝2，∴△ACD ∽△OCE ，∴AD ：OE ＝AC ：OC ＝2：3，∴S △ODE ＝3，由几何意义得，＝3，∵k ＞0，∴k ＝6，故答案为：6．16．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数（k 为大于0的常数，x ＞0）图象上的两点A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），满足x 2＝2x 1，△ABC 的边AC ∥x 轴，边BC ∥y 轴，若△OAB 的面积为6，则△ABC 的面积是2　．【答案】2．【解答】解：如图，延长CA 交y 轴于E ，延长CB 交x 轴于点F ，∴CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，∴四边形OECF 为矩形，∵x 2＝2x 1，∴点A 为CE 的中点，由几何意义得，S △OAE ＝S △OBF ，∴点B 为CF 的中点，∴S △OAB ＝S 矩形OECF ＝6，∴S 矩形OECF ＝16，∴S △ABC ＝×16＝2．217．（2022•烟台）如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为6　．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为D为AC的中点，△AOD的面积为3，所以△AOC的面积为6，所以k＝12＝2m．解得：m＝6．故答案为：6．18．（2022•黄石）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，△OCE的面积为6，则k＝　8　．【答案】8．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设点A（a，），C（c，0），∵点E是矩形ABCD的对角线的交点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴＝k，∴c＝3a，∵△OCE的面积为6，∴OC•EH＝c•＝×3a•＝6，∴k＝8，故答案为：8．19．（2022•衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S＝6，则k＝．△ABC【答案】．【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM＝，∵OE∥CM，AE＝CE，∴＝＝1，∴AO＝m，∵DN∥CM，CD＝2BD，∴＝＝＝，∴DN＝，∴D的纵坐标为，∴＝，∴x＝3m，即ON＝3m，∴MN＝2m，∴BN＝m，∴AB＝5m，∵S＝6，△ABC∴5m•＝6，∴k＝．故答案为：．20．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9　．【答案】9．【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．21．（2022•鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝＝5，则k1﹣k2＝　10　．和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD【答案】见试题解答内容【解答】解：作EH ⊥y 轴于点H ，则四边形BCHE 、AEHO 都为矩形，∵∠ECF ＝45°，∴∠OCD +∠OCF ＝45°，∵∠DOC +∠OCF ＝45°，∴∠BCE ＝∠OCD ，∵BC ＝OC ，∠B ＝∠COD ，∴△BCE ≌△OCD （ASA ），∴S △BCE ＝S △COD ＝5，∴S △CEH ＝5，S 矩形BCHE ＝10，∴根据反比例函数系数k 的几何意义得：k 1﹣k 2＝S 矩形BCHE ＝10，故答案为：10．22．（2022•东营）如图，△OAB 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，则经过点A 的函数图象表达式为y ＝﹣　．【答案】y＝﹣．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S＝，△OBC∴S＝，△OAD∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．23．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE 位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是6　．【答案】6．【解答】解：过点F作FG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，过点D作DQ⊥x轴于点Q，如图所示，根据题意可知，AC＝OE＝BD，设AC＝OE＝BD＝a，∴四边形ACEO的面积为4a，∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG为△EDQ的中位线，∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，∴四边形HFGO的面积为2（a+），∴k＝4a＝2（a+），解得：a＝，∴k＝6．故答案为：6．24．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是　．【答案】．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，∴S△COE ＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，∴4S△OCE ＝S△OAB，∴4×k＝1+1+k，∴k＝．故答案为：．。

2024年中考数学《反比例函数及其应用》真题含解析

专题反比例函数及其应用(41题)一、单选题1.(2024·安徽·中考真题)已知反比例函数y=kxk≠0与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为()A.-3B.-1C.1D.3【答案】A【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出y=2-3=-1，代入反比例函数求解即可【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3，∴y=2-3=-1，∴-1=k3，∴k=-3，故选：A2.(2024·重庆·中考真题)反比例函数y=-10x的图象一定经过的点是()A.1,10B.-2,5C.2,5D.2,8【答案】B【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．【详解】解：解：当x=1时，y=-101=-10，图象不经过1,10，故A不符合要求；当x=-2时，y=-10-2=5，图象一定经过-2,5，故B符合要求；当x=2时，y=-102=-5，图象不经过2,5，故C不符合要求；当x=2时，y=-102=-5，图象不经过2,8，故D不符合要求；故选：B．3.(2024·天津·中考真题)若点A x1,-1,B x2,1,C x3,5都在反比例函数y=5x的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x3<x2<x1D.x2<x1<x3【答案】B【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．【详解】解：∵k=5>0，∴反比例函数y =5x的图象分布在第一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小，∵点B x 2,1 ,C x 3,5 ，都在反比例函数y =5x的图象上，1<5，∴x 2>x 3>0．∵-1<0，A x 1,-1 在反比例函数y =5x的图象上，∴x 1<0，∴x 1<x 3<x 2.故选：B ．4.(2024·广西·中考真题)已知点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 在反比例函数y =2x的图象上，若x 1<0<x 2，则有()A.y 1<0<y 2B.y 2<0<y 1C.y 1<y 2<0D.0<y 1<y 2【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 在反比例函数图象上，则满足关系式y =2x，横纵坐标的积等于2，结合x 1<0<x 2即可得出答案．【详解】解：∵点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 在反比例函数y =2x的图象上，∴x 1y 1=2，x 2y 2=2，∵x 1<0<x 2，∴y 1<0，y 2>0，∴y 1<0<y 2．故选：A ．5.(2024·浙江·中考真题)反比例函数y =4x的图象上有P t ,y 1 ，Q t +4,y 2 两点．下列正确的选项是()A.当t <-4时，y 2<y 1<0B.当-4<t <0时，y 2<y 1<0C.当-4<t <0时，0<y 1<y 2D.当t >0时，0<y 1<y 2【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数y =4x，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y 1与y 2的大小．【详解】解：根据反比例函数y =4x，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y 都是随着x 的增大而减小，反比例函数y =4x的图象上有P t ,y 1 ，Q t +4,y 2 两点，当t<t+4<0，即t<-4时，0>y1>y2；当t<0<t+4，即-4<t<0时，y1<0<y2；当0<t<t+4，即t>0时，y1>y2>0；故选：A．6.(2024·河北·中考真题)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是()A.若x=5，则y=100B.若y=125，则x=4C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴xy=500，∴y=500x，当x=5时，y=100，故A不符合题意；当y=125时，x=500125=4，故B不符合题意；∵x>0，y>0，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．7.(2024·四川泸州·中考真题)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根，则函数y=kx与函数y=2x的图象交点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k 的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程x2+2x+1-k=0无实数根，∴Δ=4-41-k<0，解得：k<0，则函数y=kx的图象过二，四象限，而函数y=2x的图象过一，三象限，∴函数y=kx与函数y=2x的图象不会相交，则交点个数为0，故选：A．8.(2024·重庆·中考真题)已知点-3,2 在反比例函数y =kxk ≠0 的图象上，则k 的值为()A.-3B.3C.-6D.6【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把-3,2 代入y =kxk ≠0 求解即可．【详解】解：把-3,2 代入y =kxk ≠0 ，得k =-3×2=-6．故选C ．9.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)矩形OBAC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y =kx的图象与AB 边交于点D ，与AC 边交于点F ，与OA 交于点E ，OE =2AE ，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是()A.25B.35C.45D.85【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．过点E 作EM ⊥OC ，则EM ∥AC ，设E a ，k a ，由△OME ∽△OCA ，可得OC =32a ，AC =32⋅ka，再由S 矩形OBAC =S △OBD +S △OCF +S 四边形ODAF ，列方程，即可得出k 的值．【详解】过点E 作EM ⊥OC ，则EM ∥AC ，∴△OME ∽△OCA ，∴OM OC =EM AC =OEOA设E a ，k a ，∵OE =2AE ∴OM OC =EM AC=23，∴OC =32a ，AC =32⋅ka∴S 矩形OBAC =S △OBD +S △OCF +S 四边形ODAF =32a ⋅32⋅ka即k 2+k 2+2=32a ⋅32⋅k a ，解得：k =85故选D10.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图，双曲线y =12xx >0 经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则△AEB 的面积是()A.4.5B.3.5C.3D.2.5【答案】A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF ⊥BD ，垂足为F ，设A a ,12a ，证明△AFE ∽△ODE ，有AF OD =AE OE=EF DE ，根据E 为AO 的中点，可得AF =OD ，EF =DE ，进而有EF =DE =12DF =12a ，AF =OD =12y A =6a ，可得y B =OD =6a ，x B=2a ，则有BE =BD -DE=32a ，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF ⊥BD ，垂足为F ，设A a ,12a，a >0，∵BD ⊥y 轴，AF ⊥BD ，∴AF ∥y 轴，DF =a ，∴△AFE ∽△ODE ，∴AF OD =AE OE=EFDE ，∵E 为AO 的中点，∴AE =OE ，∴AF OD =AE OE=EFDE =1，∴AF =OD ，EF =DE ∴EF =DE =12DF =12a ，AF =OD =12y A =6a，∵OD =y B ，∴y B =OD =6a，∴xB =2a ，∴BD=x B=2a，∴BE=BD-DE=32a，∴S△ABE=12×AF×BE=12×6a×32a=92=4.5，故选：A．11.(2024·江苏扬州·中考真题)在平面直角坐标系中，函数y=4x+2的图像与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.4【答案】B【分析】根据函数表达式计算当x=0时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于4x+2的值不可能为0，即y≠0，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．【详解】当x=0时，y=42=2，∴y=4x+2与y轴的交点为0,2；由于4x+2是分式，且当x≠-2时，4x+2≠0，即y≠0，∴y=4x+2与x轴没有交点．∴函数y=4x+2的图像与坐标轴的交点个数是1个，故选：B．12.(2024·吉林长春·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A4,2在函数y=k xk>0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=k xk>0,x>0的图象交于点C．若BC=5，则点B的坐标是()A.0,5B.0,3C.0,4D.0,25【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出sin∠OAE、k值，再根据平移、平行线的性质证明∠DBC=∠OAE，进而根据sin∠DBC=CDBC=sin∠OAE求出CD，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定CD=2,OD=4，再运用勾股定理求得BD，进而求得OB即可解答．【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则AE∥y轴，∵A4,2，∴OE=4，OA=22+42=25，∴sin∠OAE=OEOA =425=255．∵A4,2在反比例函数的图象上，∴k=4×2=8．∴将直线OA向上平移若干个单位长度后得到直线BC，∴OA∥BC，∴∠OAE=∠BOA，∵AE∥y轴，∴∠DBC=∠BOA，∴∠DBC=∠OAE，∴sin∠DBC=CDBC =sin∠OAE=255，∴CD5=255，解得：CD=2，即点C的横坐标为2，将x=2代入y=8x，得y=4，∴C点的坐标为2,4，∴CD=2,OD=4，∴BD=BC2-CD2=1，∴OB=OD-BD=4-1=3,∴B0,3故选：B．13.(2024·四川宜宾·中考真题)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANAB的值为()A.13B.14C.15D.25【答案】B【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出A 、B 两点的坐标，利用D ，M 是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过A 作BC 的垂线垂足为D ，BC 与y 轴交于E 点，如图，在等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC ，D 是BC 中点，设A a ,k a，B b ,kb ，由BC 中点为D ，AB =AC ，故等腰三角形ABC 中，∴BD =DC =a -b ，∴C 2a -b ,kb，∵AC 的中点为M ，∴M 3a -b 2,ka +kb 2 ，即3a -b 2,k a +b 2ab，由M 在反比例函数上得M 3a -b 2,k 3a -b2，∴k a +b 2ab=k3a -b 2，解得：b =-3a ，由题可知，AD ∥NE ，∴AN AB=DE BD =a a -b =a a +3a =14．故选：B ．二、填空题14.(2024·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，若函数y =kxk ≠0 的图象经过点3,y 1 和-3,y 2 ，则y1+y2的值是.【答案】0【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．将点3,y1和-3,y2代入y=kxk≠0，求得y1和y2，再相加即可．【详解】解：∵函数y=kxk≠0的图象经过点3,y1和-3,y2，∴有y1=k3,y2=-k3，∴y1+y2=k3-k3=0，故答案为：0．15.(2024·云南·中考真题)已知点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，则n=．【答案】5【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点P2,n代入y=10x求值，即可解题．【详解】解：∵点P2,n在反比例函数y=10x的图象上，∴n=102=5，故答案为：5．16.(2024·山东威海·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b a≠0与双曲线y2=kxk≠0交于点A-1,m，B2,-1．则满足y1≤y2的x的取值范围．【答案】-1≤x<0或x≥2【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当-1≤x<0或x≥2时，y1≤y2，∴满足y1≤y2的x的取值范围为-1≤x<0或x≥2，故答案为：-1≤x<0或x≥2．17.(2024·湖南·中考真题)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f=kl(k为常数．k≠0)，若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为．【答案】180【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把l=0.9，f=200代入f=kl求解即可．【详解】解：把l=0.9，f=200代入f=kl，得200=k0.9，解得k=180，故答案为：180．18.(2024·陕西·中考真题)已知点A-2,y1和点B m,y2均在反比例函数y=-5x的图象上，若0<m<1，则y1+y20．【答案】</小于【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出y1=52，y2=-5m，再根据0<m<1，得出y2<-5，最后求出y1+y2<0即可．【详解】解：∵点A-2,y1和点B m,y2均在反比例函数y=-5x的图象上，∴y1=52，y2=-5m，∵0<m<1，∴y2<-5，∴y1+y2<0．故答案为：<．19.(2024·湖北武汉·中考真题)某反比例函数y=kx具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是．【答案】1(答案不唯一)【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．【详解】解：∵当x>0时，y随x的增大而减小，∴k>0故答案为：1(答案不唯一)．20.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B-1,3，S▱ABCO=3，则实数k的值为．【答案】-6【分析】本题考查了反比例函数，根据A ,B 的纵坐标相同以及点A 在反比例函数上得到A 的坐标，进而用代数式表达AB 的长度，然后根据S ▱ABCO =3列出一元一次方程求解即可．【详解】∵ABCO 是平行四边形∴A ,B 纵坐标相同∵B -1,3∴A 的纵坐标是3∵A 在反比例函数图象上∴将y =3代入函数中，得到x =k 3∴A k 3,3∴AB =-1-k 3∵S ▱ABCO =3,B 的纵坐标为3∴AB ×3=3即：-1-k 3×3=3解得：k =-6故答案为：-6．21.(2024·内蒙古包头·中考真题)若反比例函数y 1=2x ，y 2=-3x，当1≤x ≤3时，函数y 1的最大值是a ，函数y 2的最大值是b ，则a b =．【答案】12/0.5【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出a 与b 的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出a 与b ，再代入a b 进而得出答案．【详解】解：∵函数y 1=2x，当1≤x ≤3时，函数y 1随x 的增大而减小，最大值为a ，∴x =1时，y 1=2=a ，∵y 2=-3x ，当1≤x ≤3时，函数y 2随x 的增大而减大，函数y 2的最大值为y 2=-1=b ，∴a b =2-1=12．故答案为：12．22.(2024·四川遂宁·中考真题)反比例函数y =k -1x 的图象在第一、三象限，则点k ,-3 在第象限．【答案】四/4【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出k >1，进而即可求解．【详解】解：∵反比例函数y =k -1x的图象在第一、三象限，∴k -1>0∴k >1∴点k ,-3 在第四象限，故答案为：四．23.(2024·江苏扬州·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数y =k x (x >0)的图像上，BC ⊥x 轴于点C ，∠BAC =30°，将△ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为．【答案】23【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．根据∠BAC =30°，BC ⊥x ，设BC =a ，则AD =AC =3a ，由对称可知AC =AD ，∠DAB =∠BAC =30°，即可得AE =32a ，DE =32a ，解得B (1+3a ,a ),D 1+32a ,32a ，根据点B 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．∵点A 的坐标为(1,0)，∴OA =1，∵∠BAC =30°，BC ⊥x 轴，设BC =a ，则AD =AC =BC tan30°=3a ，由对称可知AC =AD ，∠DAB =∠BAC =30°，∴∠DAC =60°,∠ADE =30°，∴AE =32a ，DE =AD ·sin60°=32a ，∴B (1+3a ,a ),D 1+32a ,32a ，∵点B 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，∴k =a 1+3a =32a ⋅1+32a，解得：a =233，∵反比例函数图象在第一象限，∴k =2331+233×3 =23，故答案为：23．24.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为5,0 ，2,6 ，过点B 作BC ∥x 轴交y 轴于点C ，点D 为线段AB 上的一点，且BD =2AD ．反比例函数y =k x(x >0)的图象经过点D 交线段BC 于点E ，则四边形ODBE 的面积是．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k 的几何意义，作BM ⊥x 轴于M ，作DN ⊥x 轴于N ，则DN ∥BM ，由点A ，B 的坐标分别为5,0 ，2,6 得BC =OM =2，BM =OC =6，AM =3，然后证明△ADN ∽△ABM 得DN BM =AN AM =AD AB ，求出DN =2，则ON =OA -AN =4，故有D 点坐标为4,2 ，求出反比例函数解析式y =8x ，再求出E 43,6 ，最后根据S 四边形ODBE =S 梯形OABC -S △OCE -S △OAD 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】如图，作BM ⊥x 轴于M ，作DN ⊥x 轴于N ，则DN ∥BM ，∵点A ，B 的坐标分别为5,0 ，2,6 ，∴BC =OM =2，BM =OC =6，AM =3，∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN BM =AN AM =AD AB，∵BD =2AD ，∴DN 6=AN 3=13，∴DN =2，AN =1，∴ON =OA -AN =4，∴D 点坐标为4,2 ，代入y =k x 得，k =2×4=8，∴反比例函数解析式为y =8x，∵BC ∥x 轴，∴点E 与点B 纵坐标相等，且E 在反比例函数图象上，∴E 43,6，∴CE =43，∴S 四边形ODBE =S 梯形OABC -S △OCE -S △OAD =12×2+5 ×6-12×6×43-12×5×2=12，故答案为：12．25.(2024·四川广元·中考真题)已知y =3x 与y =k x x >0 的图象交于点A 2,m ，点B 为y 轴上一点，将△OAB 沿OA 翻折，使点B 恰好落在y =k x x >0 上点C 处，则B 点坐标为．【答案】0,4【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出A 2,23 以及y =43xx >0 ，根据解直角三角形得∠1=30°，根据折叠性质，∠3=30°，然后根据勾股定理进行列式，即OB =OC =23 2+22=4．【详解】解：如图所示：过点A 作AH ⊥y 轴，过点C 作CD ⊥x 轴，∵y =3x 与y =k xx >0 的图象交于点A 2,m ，∴把A 2,m 代入y =3x ，得出m =3×2=23，∴A 2,23 ，把A 2,23 代入y =k xx >0 ，解得k =2×23=43，∴y =43xx >0 ，设C m ，43m，在Rt △AHO ，tan ∠1=AH OH =223=33，∴∠1=30°，∵点B 为y 轴上一点，将△OAB 沿OA 翻折，∴∠2=∠1=30°，OC =OB ，∴∠3=90°-∠1-∠2=30°，则CD OD=tan ∠3=33=43m m ，解得m =23(负值已舍去)，∴C 23，2 ，∴OB =OC =23 2+22=4，∴点B 的坐标为0，4 ，故答案为：0，4 ．26.(2024·广东深圳·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，tan ∠AOC =43，且点A 落在反比例函数y =3x 上，点B 落在反比例函数y =k x k ≠0 上，则k =．【答案】8【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得A 32，2 ，OA =52，再求得点B 4，2 ，利用待定系数法求解即可．【详解】解：过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，如图，∵tan ∠AOC =43，∴AD OD =43，∴设AD =4a ，则OD =3a ，∴点A 3a ，4a，∵点A 在反比例函数y =3x 上，∴3a ⋅4a =3，∴a =12(负值已舍)，则点A 32，2，∴AD =2，OD =32，∴OA =OD 2+AD 2=52，∵四边形AOCB 为菱形，∴AB =OA =52，AB ∥CO ，∴点B 4，2 ，∵点B 落在反比例函数y =k x k ≠0 上，∴k =4×2=8，故答案为：8．27.(2024·广东广州·中考真题)如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数y =k x(x >0)的图象上，A (1,0)，C (0,2)．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B (点A 平移后的对应点为A )，A B 交函数y =k x (x >0)的图象于点D ，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，则下列结论：①k =2；②△OBD 的面积等于四边形ABDA 的面积；③A E 的最小值是2；④∠B BD =∠BB O ．其中正确的结论有．(填写所有正确结论的序号)【答案】①②④【分析】由B 1,2 ，可得k =1×2=2，故①符合题意；如图，连接OB ，OD ，BD ，OD 与AB 的交点为K ，利用k 的几何意义可得△OBD 的面积等于四边形ABDA 的面积；故②符合题意；如图，连接A E ，证明四边形A DEO 为矩形，可得当OD 最小，则A E 最小，设D x ,2xx >0 ，可得A E 的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，可得B n +1,2 ，证明△B BD ∽△A OB ，可得∠B BD =∠B OA ，再进一步可得答案．【详解】解：∵A (1,0)，C (0,2)，四边形OABC 是矩形；∴B 1,2 ，∴k =1×2=2，故①符合题意；2如图，连接OB ，OD ，BD ，OD 与AB 的交点为K ，05∵S △AOB =S △A OD =12×2=1，∴S △BOK =S 四边形AKDA，∴S △BOK +S △BKD =S 四边形AKDA+S △BKD ，∴△OBD 的面积等于四边形ABDA 的面积；故②符合题意；如图，连接A E ，∵DE ⊥y 轴，∠DA O =∠EOA =90°，∴四边形A DEO 为矩形，∴A E =OD ，∴当OD 最小，则A E 最小，设D x ,2x x >0 ，∴OD 2=x 2+4x 2≥2⋅x ⋅2x =4，∴OD ≥2，∴A E 的最小值为2，故③不符合题意；如图，设平移距离为n ，∴B n +1,2 ，∵反比例函数为y =2x，四边形A B CO 为矩形，∴∠BB D =∠OA B =90°，D n +1,2n +1 ，∴BB =n ，OA =n +1，B D =2-2n +1=2n n +1，A B =2，∴BB OA =n n +1=2n n +12=B D A B，∴△B BD ∽△A OB ，∴∠B BD =∠B OA ，∵B C ∥A O ，∴∠CB O =∠A OB ，∴∠B BD =∠BB O ，故④符合题意；故答案为：①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．28.(2024·四川乐山·中考真题)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1 是函数y =x +1图象的“近轴点”．(1)下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(填序号)；①y =-x +3；②y =2x；③y =-x 2+2x -1．(2)若一次函数y =mx -3m 图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为．【答案】③-12≤m <0或0<m ≤12【分析】本题主要考查了新定义--“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．(1)①y =-x +3中，取x =y =1.5，不存在“近轴点”；②y =2x，由对称性，取x =y =±2，不存在“近轴点”；③y =-x 2+2x -1=-x -1 2，取x =1时，y =0，得到1,0 是y =-x 2+2x -1的“近轴点”；(2)y =mx -3m =m x -3 图象恒过点3,0 ，当直线过1,-1 时，m =12，得到0<m ≤12；当直线过1,1 时，m =-12，得到-12≤m <0．【详解】(1)①y =-x +3中，x =1.5时，y =1.5，不存在“近轴点”；②y =2x，由对称性，当x =y 时，x =y =±2，不存在“近轴点”；③y =-x 2+2x -1=-x -1 2，x =1时，y =0，∴1,0 是y =-x 2+2x -1的“近轴点”；∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③故答案为：③；(2)y =mx -3m =m x -3 中，x =3时，y =0，∴图象恒过点3,0 ，当直线过1,-1 时，-1=m 1-3 ，∴m =12，∴0<m ≤12；当直线过1,1 时，1=m 1-3 ，∴m =-12，∴-12≤m <0；∴m 的取值范围为-12≤m <0或0<m ≤12．故答案为：-12≤m <0或0<m ≤12．三、解答题29.(2024·甘肃·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，将函数y =ax 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y =ax +b 的图象，与反比例函数y =k x x >0 的图象交于点A 2，4 ．过点B 0，2 作x 轴的平行线分别交y =ax +b 与y =k xx >0 的图象于C ，D 两点．(1)求一次函数y =ax +b 和反比例函数y =k x的表达式；(2)连接AD ，求△ACD 的面积．【答案】(1)一次函数y =ax +b 的解析式为y =12x +3；反比例函数y =k x x >0 的解析式为y =8xx >0 ；(2)6【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：(1)先根据一次函数图象的平移规律y =ax +b =ax +3，再把点A 的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；(2)先分别求出C 、D 的坐标，进而求出CD 的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】(1)解：∵将函数y =ax 的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y =ax +b 的图象，∴y =ax +b =ax +3，把A 2，4 代入y =ax +3中得：2a +3=4，解得a =12，∴一次函数y =ax +b 的解析式为y =12x +3；把A 2，4 代入y =k x x >0 中得：4=k 2x >0 ，解得k =8，∴反比例函数y =k x x >0 的解析式为y =8xx >0 ；(2)解：∵BC ∥x 轴，B 0，2 ，∴点C 和点D 的纵坐标都为2，在y =12x +3中，当y =12x +3=2时，x =-2，即C -2，2 ；在y =8x x >0 中，当y =8x =2时，x =4，即D 4，2 ；∴CD =4--2 =6，∵A 2，4 ，∴S △ACD =12CD ⋅y A -y C =12×6×4-2 =6．30.(2024·青海·中考真题)如图，在同一直角坐标系中，一次函数y =-x +b 和反比例函数y =9x 的图象相交于点A 1,m ，B n ,1 ．(1)求点A ，点B 的坐标及一次函数的解析式；(2)根据图象，直接写出不等式-x +b >9x的解集．【答案】(1)A 1,9 ，B 9,1 ，y =-x +10(2)x <0或1<x <9【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题：(1)分别把点A 1,m ，点B n ,1 代入y =9x，可求出点A ，B 的坐标，即可求解；(2)直接观察图象，即可求解．【详解】(1)解：把点A 1,m 代入y =9x 中，得：m =91=9，∴点A 的坐标为1,9 ，把点B n ,1 代入y =9x 中，得：n =91=9，∴点B 的坐标为9,1 ，把x =1，y =9代入y =-x +b 中得：-1+b =9，∴b =10，∴一次函数的解析式为y =-x +10，(2)解：根据一次函数和反比例函数图象，得：当x <0或1<x <9时，一次函数y =-x +b 的图象位于反比例函数y =9x的图象的上方，∴-x +b >9x的解集为x <0或1<x <9．31.(2024·吉林·中考真题)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位：A )与电阻R (单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R 的取值范围)．(2)当电阻R 为3Ω时，求此时的电流I ．【答案】(1)I =36R(2)12A【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：(1)直接利用待定系数法求解即可；(2)根据(1)所求求出当R =3Ω时I 的值即可得到答案．【详解】(1)解：设这个反比例函数的解析式为I =URU ≠0 ，把9，4 代入I =U RU ≠0 中得：4=U9U ≠0 ，解得U =36，∴这个反比例函数的解析式为I =36R；(2)解：在I =36R中，当R =3Ω时，I =363=12A ，∴此时的电流I 为12A ．32.(2024·山东·中考真题)列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y =2x +b 与y =kx部分自变量与函数值的对应关系：x -72a12x +ba1________kx________________7(1)求a、b的值，并补全表格；(2)结合表格，当y=2x+b的图像在y=kx的图像上方时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)a=-2b=5，补全表格见解析(2)x的取值范围为-72<x<0或x>1；【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；(1)根据表格信息建立方程组求解a,b的值，再求解k的值，再补全表格即可；(2)由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.【详解】(1)解：当x=-72时，2x+b=a，即-7+b=a，当x=a时，2x+b=1，即2a+b=1，∴a-b=-72a+b=1，解得：a=-2b=5，∴一次函数为y=2x+5，当x=1时，y=7，∵当x=1时，y=kx=7，即k=7，∴反比例函数为：y=7x，当x=-72时，y=7÷-72=-2，当y=1时，x=a=-2，当x=-2时，y=-7 2，补全表格如下：x-72-212x+b-217kx-2-7 27(2)由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为-72,-2，1,7 ，∴当y=2x+b的图像在y=kx的图像上方时，x的取值范围为-72<x<0或x>1；33.(2024·湖北·中考真题)一次函数y=x+m经过点A-3,0，交反比例函数y=kx于点B n,4．(1)求m，n，k；(2)点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，若S△AOC<S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围．【答案】(1)m=3，n=1，k=4；(2)a>1．【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．(1)利用一次函数y=x+m经过点A-3,0，点B n,4，列式计算求得m=3，n=1，得到点B1,4，再利用待定系数法求解即可；(2)利用三角形面积公式求得S△AOB=6，得到32y C<6，据此求解即可．【详解】(1)解：∵一次函数y=x+m经过点A-3,0，点B n,4，∴-3+m=0 n+m=4 ，解得m=3 n=1 ，∴点B1,4，∵反比例函数y=kx经过点B1,4，∴k=1×4=4；(2)解：∵点A-3,0，点B1,4，∴AO =3，∴S △AOB =12AO ×y B =12×3×4=6，S △AOC =12AO ×y C =32y C ，由题意得32y C<6，∴y C <4，∴x C >1，∴C 的横坐标a 的取值范围为a >1．34.(2024·四川凉山·中考真题)如图，正比例函数y 1=12x 与反比例函数y 2=kxx >0 的图象交于点A m ，2 ．(1)求反比例函数的解析式；(2)把直线y 1=12x 向上平移3个单位长度与y 2=kxx >0 的图象交于点B ，连接AB ,OB ，求△AOB 的面积．【答案】(1)y 2=8x(2)6【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B 坐标，根据平行线间的距离可得S △AOB =S △ADO ，代入数据计算即可．【详解】(1)解：∵点A (m ,2)在正比例函数图象上，∴2=12m ，解得m =4，∴A (4,2)，∵A (4,2)在反比例函数图象上，∴k =8，∴反比例函数解析式为y 2=8x．(2)解：把直线y 1=12x 向上平移3个单位得到解析式为y =12x +3，令x =0，则y =3，∴记直线与y 轴交点坐标为D (0,3)，连接AD ，联立方程组y =8xy =12x +3，解得x =2y =4，x =-8y =-1 (舍去)，∴B (2,4)，由题意得：BD ∥AO ，∴△AOB ,△AOD 同底等高，∴S △AOB =S △ADO =12OD ⋅x A =12×3×4=6．35.(2024·贵州·中考真题)已知点1,3 在反比例函数y =kx的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)点-3,a ，1,b ，3,c 都在反比例函数的图象上，比较a ，b ，c 的大小，并说明理由．【答案】(1)y =3x(2)a <c <b ，理由见解析【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．(1)把点1,3 代入y =kx可得k 的值，进而可得函数的解析式；(2)根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A 、点B 和点C 的横坐标即可比较大小．【详解】(1)解：把1,3 代入y =k x ，得3=k 1，∴k =3，∴反比例函数的表达式为y =3x；(2)解：∵k =3>0，∴函数图象位于第一、三象限，∵点-3,a ，1,b ，3,c 都在反比例函数的图象上，-3<0<1<3，∴a <0<c <b ，∴a <c <b ．36.(2024·河南·中考真题)如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数y =kxx >0 的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．【答案】(1)y =6x(2)见解析(3)92【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：(1)利用待定系数法求解即可；(2)分别求出x =1，x =2，x =6对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；(3)求出平移后点E 对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．【详解】(1)解：反比例函数y =kx的图象经过点A 3,2 ，∴2=k3，∴k =6，∴这个反比例函数的表达式为y =6x；(2)解：当x =1时，y =6，当x =2时，y =3，当x =6时，y =1，∴反比例函数y =6x的图象经过1,6 ，2,3 ，6,1 ，画图如下：(3)解：∵E 6,4 向左平移后，E 在反比例函数的图象上，∴平移后点E 对应点的纵坐标为4，当y =4时，4=6x，解得x =32，∴平移距离为6-32=92．故答案为：92．37.(2024·四川乐山·中考真题)如图，已知点A 1,m 、B n ,1 在反比例函数y =3xx >0 的图象上，过点A 的一次函数y =kx +b 的图象与y 轴交于点C 0,1 ．(1)求m 、n 的值和一次函数的表达式；(2)连接AB ，求点C 到线段AB 的距离．【答案】(1)m =3，n =3，y =2x +1(2)点C 到线段AB 的距离为322【分析】(1)根据点A 1,m 、B n ,1 在反比例函数y =3x图象上，代入即可求得m 、n 的值；根据一次函数y =kx +b 过点A 1,3 ，C 0,1 ，代入求得k ，b ，即可得到表达式；(2)连接BC ，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ，可推出BC ∥x 轴，BC 、AD 、DB 的长度，然后利用勾股定理计算出AB 的长度，最后根据S △ABC =12BC ⋅AD =12AB ⋅CE ，计算得CE 的长度，即为点C 到线段AB 的距离．【详解】(1)∵点A 1,m 、B n ,1 在反比例函数y =3x图象上。

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。

类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。

专题05 反比例函数图象与性质(解析版)

专题05 反比例函数图象与性质类型1：反比例函数的性质（2020·海南中学初三期末）反比例函数3y x=-，下列说法不正确的是（） A ．图象经过点(1,-3) B ．图象位于第二、四象限 C ．图象关于直线y=x 对称 D ．y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】解：由点()1,3-的坐标满足反比例函数3y x=-，故A 是正确的；由30k =-<，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的；由反比例函数的对称性，可知反比例函数3y x=-关于y x =对称是正确的，故C 也是正确的，由反比例函数的性质，0k <，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，故选：D ．思路点拨通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A 选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．巩固练习1．（2020·山东初三期末）已知点A （2，y 1）、B （4，y 2）都在反比例函数ky x=（k ＜0）的图象上，则y 1、y 2的大小关系为（） A ．y 1＞y 2 B ．y 1＜y 2C ．y 1=y 2D ．无法确定【答案】B 【解析】 ∵当k ＜0时，y=kx在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，故选B.2．（2020·广东初三期末）若点()11,A y -，()22,B y -，()33,C y 在反比例函数8y x=-的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<【答案】D 【解析】解：∵点()11,A y -、()22,B y -、()33,C y 在反比例函数8y x=-的图象上， ∴1881y =-=-，2842y =-=-，383y =-，又∵8483-<<， ∴321y y y <<．故选：D ．3．（2019·益阳市第六中学初中部初三月考）对于反比例函数2y x=，下列说法不正确的是（） A ．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B ．它的图象在第一、三象限 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小【答案】C 【解析】由题意分析可知，一个点在函数图像上则代入该点必定满足该函数解析式，点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A 正确；因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B 正确；C 中，因为2大于0，所以该函数在x ＞0时，y 随x 的增大而减小，所以C 错误；D 中，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，正确，故选C.4．（2019·河北初三期末）反比例函数my x=的图象如图所示，以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（－1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（－x，－y）也在图象上.其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】分析：因为函数图象在一、三象限，故有m＞0，故①错误；在每个象限内，y随x的增大而减小，故②错；对于③，将A、B坐标代入，得：h＝－m，mk2，因为m＞0，所以，h＜k，故③正确；函数图象关于原点对称，故④正确．因此，正确的是③④．故选C．典例2：反比例函数与图形面积（2020·山东初三期末）如图，点A，B在反比例函数y=1x (x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．32【答案】B 【解析】把x=1代入y =1x 得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入y =1x 得：y=12, ∴B(2, 12), ∵AC//BD// y 轴,∴C(1,K),D(2,k 2) ∴AC=k -1,BD=k 2-12， ∴S △OAC =12（k -1）×1, S △ABD =12(k 2-12)×1,又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32，∴12（k -1）×1＋12 (k 2-12)×1=32，解得：k=3; 故答案为B. 思路点拨此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.巩固练习1．（2019·福建初三）如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22ky (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC V 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】AB//x Q 轴，A ∴，B 两点纵坐标相同，设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=V Q ， 12k k 8∴-=，故选A ．2．（2020·恩施市崔坝镇民族中学初三月考）已知▱OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点B 的坐标为(3，4)，且B ，C 不在同一象限内，若反比例函数y ＝8x的图象经过线段AB 的中点D ，则四边形ODBC 的面积为____．【答案】15 【解析】根据题意，画示意图如解图，分别过点B ，D 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，∵B (3，4)， ∴OE =3，BE =4，∵BE ⊥x 轴，DF ⊥x 轴，点D 是AB 的中点， ∴DF 是△ABE 的中位线，∴DF=12BE=2，∵点D在反比例函数y=8x上，∴当y=2时，有2=8x，解得x=4，∴D(4，2)，即OF=4，∴EF=4－3=1，∴AE=2EF=2，∴OA=5，∴S四边形ODBC=S▱OABC－S△OAD=OA·BE－12 OA·DF=5×4－12×5×2=15．3．（2020·山东初三期末）如图，点A在双曲线1y=x上，点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．【答案】2【解析】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线1y=x上，∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线3y=x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝24．（2020·湖南初三期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数kyx=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．【答案】3yx =．【解析】∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6．∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．∵点P在反比例函数3yx=（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．∴此反比例函数的解析式为：．5．（2020·河北初三期末）如图，点A（m，2），B（5，n）在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为．【答案】2．【解析】∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=1，∴A（1，2），∴k=1×2=2．故答案为2．6．（2019·山东初三期中）如图，点P，Q是反比例函数图象上的两点，PA⊥轴于点A，QN⊥轴于点N，作PM⊥轴于点M，QB⊥轴于点B，连结PB，QM，记△ABP的面积为S1，△QMN的面积为S2，则S1_____S2（填“>”或“<”或“=”）【答案】=【解析】有反比例函数的几何性质可知四边形APMO的面积=四边形OBQN的面积∴四边形APEB的面积=四边形MEQN的面积又有题意可知S1=倍四边形APEB的面积，S2=倍四边形OBQN的面积所以S1=S2典例3：反比例函数与一次函数、二次函数的图象综合（2019·广东广州市第二中学初三）a≠0，函数y＝ax与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当a ＞0时，函数y ＝ax的图象位于一、三象限，y ＝﹣ax 2+a 的开口向下，交y 轴的正半轴，没有符合的选项，当a ＜0时，函数y ＝ax的图象位于二、四象限，y ＝﹣ax 2+a 的开口向上，交y 轴的负半轴，D 选项符合；故选D ．思路点拨本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．巩固练习1．（2019·石家庄市第二十二中学初三月考）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数by x=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵由二次函数2y ax bx c =++的图象知，a ＜0，b2a-＞0，∴b ＞0． ∴由b ＞0知，反比例函数by x=的图象在一、三象限，排除C 、D ；由知a ＜0，一次函数y cx a =+的图象与y 国轴的交点在x 轴下方，排除A ．故选B ．2．（2020·河北初三期末）如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当k ＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A 、C 选项错误； ∵一次函数y=kx -1与y 轴交于负半轴， ∴D 选项错误，B 选项正确，故选B ．3．（2019·台州初三月考）如图，是反比例函数4y (x 0)x=>图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内(不包括边界)的整数点个数是k ，则抛物线2y (x 2)2=---向上平移k 个单位后形成的图象是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：如图，反比例函数4y(x0)x=>图象与坐标轴围成的区域内(不包括边界)的整数点个数是5个，即k5=，∴抛物线2y(x2)2=---向上平移5个单位后可得：2y(x2)3=--+，即2y x4x1=-+-，∴形成的图象是A选项．故选A．4．（2018·莆田市秀屿区实验中学初三期末）已知反比例函数y=kx的图象如图，则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：∵函数y=k x的图象经过二、四象限，∴k ＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k ＞1，∴k ＜﹣1，∴抛物线y=2kx 2﹣4x+k 2开口向下，对称为x=﹣422k -⨯= 11，﹣1＜1k ＜0， ∴对称轴在﹣1与0之间，故选D ．典例4：反比例函数与一次函数的综合问题（2020·河北初三期末）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝2k x的图象分别交于C ，D 两点，点C （2，4），点B 是线段AC 的中点．（1）求一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y ＝2k x的解析式；（2）求△COD 的面积；（3）直接写出当x 取什么值时，k 1x +b ＜2k x ．【答案】（1）y 1＝x +2；y 2＝8x ；（2）S △COD ＝6；（3）当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，k 1x +b ＜2k x．【解析】（1）∵点C （2，4）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴2248k ⨯＝＝， ∴28y x＝；如图，作CE ⊥x 轴于E ，∵C （2，4），点B 是线段AC 的中点，∴B （0，2），∵B 、C 在11y k x b +＝的图象上， ∴1242k b b +=⎧⎨=⎩，解得112k b ＝，＝， ∴一次函数为12y x +＝；（2）由28y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩， ∴D （﹣4，﹣2），∴1222462COD BOC BOD S S S +⨯⨯+⨯⨯V V V ＝＝＝；（3）由图可得，当0＜x ＜2或x ＜﹣4时，21k k x b x+＜．思路点拨本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B 点的坐标是解题的关键．巩固练习1．（2019·山东初三期末）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．【答案】（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x ＜0或x ＞2；（3）5．【解析】解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，∴S△ABC=×2×5=5．2．（2019·河北初三）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y＝mx(x＞0)的图像经过点D，P是一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像与该反比例函数图像的一个公共点．(1)求反比例函数的表达式；(2)通过计算说明一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)的图像一定经过点C；(3)对于一次函数y＝kx＋3－3k(k≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围(不必写出过程)．【答案】y=2x；略；23＜a＜3．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵B（3，1），C（3，3），∴BC⊥x轴，AD=BC=2，而A点坐标为（1，0），∴点D的坐标为（1，2）．∵反比例函数y=mx（x＞0）的函数图象经过点D（1，2），∴2=1m ∴m=2∴反比例函数的解析式为y=2x；（2）当x=3时，y=kx+3-3k=3k+3-3k=3，∴一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，∵一次函数y＝kx+3﹣3k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，∴k＞0，P点的纵坐标要小于3，横坐标要小于3，当纵坐标小于3时，∵y＝2x，∴2a＜3，解得：a＞23，则a的范围为23＜a＜3．3．（2019·湖北初三期末）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数myx=与nyx=(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．【答案】（1）①132y x =-+；②四边形ABCD 是菱形，理由见解析；（2）四边形ABCD 能是正方形，理由见解析，m+n=32.【解析】（1）①如图1，4m =Q ，∴反比例函数为4y x=，当4x =时，1y =，()4,1B ∴，当2y =时，42x∴=， 2x ∴=，()2,2A ∴，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴ 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩， ∴ 123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为132y x =-+； ②四边形ABCD 是菱形，理由如下：如图2，由①知，()4,1B ，//BD y Q 轴，()4,5D ∴，Q 点P 是线段BD 的中点，()4,3P ∴，当3y =时，由4y x =得，43x =，由20y x =得，203x =， 48433PA ∴=-=，208433PC =-=， PA PC ∴=，PB PD =Q ，∴四边形ABCD 为平行四边形，BD AC ⊥Q ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）四边形ABCD 能是正方形，理由：当四边形ABCD 是正方形，记AC ，BD 的交点为P ， BD AC ∴=,当4x =时，4m m y x ==，4n n y x == 4,4m B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，4,4n D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4,8m n P +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 8(m A m n ∴+，)8m n +，8(n C m n +，)8m n + AC BD =Q ，∴ 8844n m n m m n m n -=-++， 32m n ∴+=. 4．（2019·云南初三）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数()m y m 0x =≠的图象交于点C （n ，3），与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，过点C 作CM ⊥x 轴，垂足为M ．若3tan 4CAM ∠=，OA ＝2.0m kx b x+->（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当kx +b ﹣m x＞0时，求x 的取值范围．【答案】（1）y ＝6x ，33y x 42=+；（2）﹣4＜x ＜0或x ＞2 【解析】解：（1）∵C （ n ，3 ），∴CM ＝3，在Rt △AMC 中，tan 3CAM 4∠=， ∴334AM =， ∴AM ＝4，又∵OA ＝2，∴OM ＝AM ﹣OA ＝4﹣2＝2， ∴n ＝2，即 C （2，3）将（2，3）代入m y x =中，得3＝m 2， ∴m ＝6，∴反比例函数的解析式为：y ＝6x，把A （﹣2，0）C （2，3）代入y ＝kx +b 得2023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数的解析式为：33y x 42=+；（2）∵63342y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得：23x y =⎧⎨=⎩ 或432x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴由图象知，当m kx b x +-＞0（即kx +b ＞m x ）时，x 的取值范围﹣4＜x ＜0或x ＞2．典例5：一次函数与二次函数的综合（2019·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OADB 的顶点A ，B 的坐标分别为A （﹣6，0），B（0，4）．过点C（﹣6，1）的双曲线y=kx（k≠0）与矩形OADB的边BD交于点E．（1）填空：OA=，k=，点E的坐标为；（2）当1≤t≤6时，经过点M（t﹣1，﹣12t2+5t﹣32）与点N（﹣t﹣3，﹣12t2+3t﹣72）的直线交y轴于点F，点P是过M，N两点的抛物线y=﹣12x2+bx+c的顶点．①当点P在双曲线y=kx上时，求证：直线MN与双曲线y=kx没有公共点；②当抛物线y=﹣12x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点，求t的值；③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时，求t的取值范围，并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB 中扫过的面积．【答案】（1）6，﹣6，（﹣32，4）；（2）①证明见解析；②t=65或t=1110；③212.【解析】解：（1）∵A点坐标为（﹣6，0）∴OA=6∵过点C（﹣6，1）的双曲线y=k x∴k=﹣6y=4时，x=63 42 -=-∴点E的坐标为（﹣32，4）故答案为：6，﹣6，（﹣32，4）（2）①设直线MN解析式为：y1=k1x+b1由题意得：()()211211135122173322t t k t b t t k t b ⎧-+-=-+⎪⎪⎨⎪-+-=--+⎪⎩ 解得12111422k b t t =⎧⎪⎨=-+-⎪⎩, ∵抛物线y=﹣212x bx c ++过点M 、N, ∴()()()()22131t 51?1222171t 33?3222t t b t c t t b t c ⎧-+-=--+-+⎪⎪⎨⎪-+-=---+--+⎪⎩, 解得152b c t =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线解析式为：y=﹣12x 2﹣x+5t ﹣2 ∴顶点P 坐标为（﹣1，5t ﹣32） ∵P 在双曲线y=﹣6x上 ∴（5t ﹣32）×（﹣1）=﹣6 ∴t=32 此时直线MN 解析式为：联立3586y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴8x 2+35x+49=0∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536＜0∴直线MN 与双曲线y=﹣6x没有公共点． ②当抛物线过点B ，此时抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与矩形OADB 有且只有三个公共点∴4=5t ﹣2，得t=65当抛物线在线段DB 上，此时抛物线与矩形OADB 有且只有三个公共点 ∴10342t -=，得t=1110∴t=65或t=1110 ③∵点P 的坐标为（﹣1，5t ﹣32） ∴y P =5t ﹣32当1≤t≤6时，y P 随t 的增大而增大此时，点P 在直线x=﹣1上向上运动∵点F 的坐标为（0，﹣211422t t +-） ∴y F =﹣()2115422t -+ ∴当1≤t≤4时，随者y F 随t 的增大而增大此时，随着t 的增大，点F 在y 轴上向上运动∴1≤t≤4当t=1时，直线MN ：y=x+3与x 轴交于点G （﹣3，0），与y 轴交于点H （0，3）当t=43MN 过点A ．当1≤t≤4时，直线MN 在四边形AEBO 中扫过的面积为 S=1312164332222⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 思路点拨本题为二次函数与反比例函数综合题，考查了数形结合思想和分类讨论的数学思想．解题过程中，应注意充分利用字母t 表示相关点坐标．巩固练习1．（2019·承德县三沟初级中学中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+2x+c （a ＞0）图象的顶点M 在反比例函数3y x=上，且与x 轴交于AB 两点．（1）若二次函数的对称轴为12x=-，试求a，c的值；（2）在（1）的条件下求AB的长；（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．【答案】（1）y=2x2+2x﹣112；（2）3；（3）23233y x x=++【解析】解：（1）∵二次函数的对称轴为，∴﹣=﹣，解得a=2，∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数上，∴顶点为（﹣，c﹣），∴（c﹣）=﹣3，解得c=﹣，∴二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣；（2）∵二次函数的解析式为y=2x2+2x﹣；∴令y=0，2x2+2x﹣=0；解得x=．∴AB==2；（3）根据对称轴x=﹣，当x=﹣时，y=﹣3a，∴NO+MN=+3a≥2=2，当3a=时NO+MN最小，即3a2=1时，a=，∴此时二次函数的解析式为y=x2+2x+3．2．如图，曲线BC是反比例函数y＝kx（4≤x≤6）的一部分，其中B（4，1﹣m），C（6，﹣m），抛物线y＝﹣x2+2bx的顶点记作A．（1）求k的值．（2）判断点A是否可与点B重合；（3）若抛物线与BC有交点，求b的取值范围．【答案】（1）12；（2）点A不与点B重合；（3）1919 86b≤≤【解析】解：（1）∵B（4，1﹣m），C（6，﹣m）在反比例函数kyx=的图象上，∴k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），∴解得m＝﹣2，∴k＝4×[1﹣（﹣2）]＝12；（2）∵m＝﹣2，∴B（4，3），∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，∴A（b，b2）．若点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立，∴点A不与点B重合；（3）当抛物线经过点B（4，3）时，有3＝﹣42+2b×4，解得，b＝198，显然抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C（6，2）时，有2＝﹣62+2b×6，解得，b＝196，这时仍然是抛物线右半支经过点C，∴b的取值范围为198≤b≤196．3．（2016·河北中考真题）如图，抛物线L:y=−12(x−t)(x−t+4)（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=kx(k>0,x>0)于点P，且OA·MP=12.（1）求k值；（2）当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.【答案】（1）6；（2）；（3）当t-2≤，即t≤4时，顶点（t-2，2）就是G的最高点；当t＞4时，L与MP的交点（）就是G的最高点.（4）.【解析】解：（1）设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M知OA=2x，代入OA·MP=12，得，即xy=6，∴k=xy=6.（2）当t=1时，令y=0,0=，∴.∴由B在A的左边，得B（-3,0），A（1,0），∴AB=4.∵L的对称轴为x=-1，而M（，0），∴MP与L对称轴的距离为.（3）∵A（t，0），B（t-4,0），∴L的对称轴为x=t-2，又MP为x=，当t-2≤，即t≤4时，顶点（t-2，2）就是G的最高点；当t＞4时，L与MP的交点（）就是G的最高点.（4）对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y≤，即L与双曲线C（4，），D（6,1）之间的一段有个交点.①由=，解得；②由1=，解得；随着t的逐渐增大，L的位置随着点A（t，0）向右平移，如图3所示.当t=5时，L右侧过点C；当时，L右侧过点D；即.当8-√2≤t<7时，L右侧离开了点D，而左侧未到点C，即L与该段无交点，舍去.当t=7时，L左侧过点C；当时，L左侧过点D；即.典例6：反比例函数的实际应用（2020·河北初三期末）一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？【答案】（1）AB ：1230y x =+(010)x ≤≤；CD ：22200y x=(44)x ≥ ；（2）有效时间为50分钟 . 【解析】解：（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+30，把B （10，50）代入得，k 1=2，∴AB 解析式为：y 1=2x+30（0≤x≤10）．设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2=，把C （44，50）代入得，k 2=2200， ∴曲线CD 的解析式为：y 2=（x≥44）；（2）将y=40代入y 1=2x+30得：2x+30=40，解得：x=5，将y=40代入y 2=得：x=55． 55﹣5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．思路点拨本题主要考查的就是函数图像的基本应用问题，属于基础题型．求函数解析式的时候我们用的就是待定系数法，在设函数关系式的时候一定要正确．巩固练习1．（2020·安徽初三期末）某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长为y （单位：m ）随另一边长x （单位：m ）的变化而变化的图象可能是（）A ．B ．C．D．【答案】C【解析】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，故选：C．2．（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由题意可得，y=308x=240x，当x=40时，y=6，故选C．3．（2019·山东中考模拟）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（）A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟【答案】C【解析】解：设反比例函数关系式为：kyx=，将（7，100）代入，得k=700，∴700yx =，将y=35代入700yx =，解得20x=；∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．4．月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．【答案】（1）y=160(48)28(828)x x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+≤⎩＜（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润s 不低于103万元【解析】解：（1）当4≤x ≤8时，设y ＝k x，将A （4，40）代入得k ＝4×40＝160， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝160x ；当8＜x ≤28时，设y ＝k 'x +b ，将B （8，20），C （28，0）代入得，820280k b k b +=⎧⎨+=''⎩，解得128k b =-⎧⎨='⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +28，综上所述，y ＝()1604828(828)x x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+<≤⎩；（2）当4≤x ≤8时，s ＝（x ﹣4）y ﹣160＝（x ﹣4）•160x ﹣160＝﹣640x ， ∵当4≤x ≤8时，s 随着x 的增大而增大，∴当x ＝8时，s max ＝﹣6408＝﹣80；当8＜x ≤28时，s ＝（x ﹣4）y ﹣160＝（x ﹣4）（﹣x +28）﹣160＝﹣（x ﹣16）2﹣16，∴当x ＝16时，s max ＝﹣16；∵﹣16＞﹣80，∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为﹣16万元．（3）∵第一年的年利润为﹣16万元，∴16万元应作为第二年的成本，又∵x ＞8，∴第二年的年利润s ＝（x ﹣4）（﹣x +28）﹣16＝﹣x 2+32x ﹣128，令s ＝103，则103＝﹣x 2+32x ﹣128，解得x 1＝11，x 2＝21，在平面直角坐标系中，画出s 与x 的函数示意图可得：5．（2019·全国初二课时练习）一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．（1）写出时间t （时）关于速度v （千米/时）的函数关系式，并画出函数图象．（2）若这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？【答案】（1）t=300v ．（2）汽车的平均速度至少为60千米/时．【解析】解：（1）设函数关系式为k t v． ∵汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．∴6=50k ．解得k =300．故图象为：∴时间t （时）关于速度v （千米/时）的函数关系式为t=300v ．（2）令t =5，则5=300v．解得v=60．故汽车的平均速度至少为60千米/时．典例7：反比例函数与几何图形（2019·湖南初三）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与边AC交于点E。

中考数学狙击重难点系列专题26----双反比例函数图像与几何图形综合(含答案)

双反比例函数图像与几何图形综合1. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A. y=﹣B. y=﹣C. y=﹣D. y=2. 如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A. 12B. 10C. 8D. 63. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A. m=﹣3nB.C.D.4. 如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y= 的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（）A. B. C. D.5. 如图，∠AOB=90°，且OA，OB分别与反比例函数y= （x＞0）、y=﹣（x＜0）的图象交于A，B 两点，则tan∠OAB的值是（）A. B. C. 1 D.6. 如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反比例函数y= 的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k2﹣k1=（）A. 4B.C.D. 67. 如图，点是反比例函数（是常数，）上的一个动点，过点作轴、轴的平行线交反比例函数（为常数，）于点、．当点的横坐标逐渐增大时，三角形的面积( )A. 先变大再变小B. 先变小再变大C. 不变D. 无法判断8. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝−和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 69. 如图，点A在反比例函数(x>0)的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x 轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（）A. 3B. ﹣6C. 2D. 610. 如图，已知点A 、B分别在反比例函数（），-（）的图象上，且OA⊥OB ，则的值为（）A. B. 2 C. D. 411. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1= （x＞0）及y2= （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. ﹣412. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线（）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点，，过点作轴于点，交的图象于点，连结．若BDO是等腰直角三角形，则的值是________．13. 如图，在平面直角坐标系中，有一宽度为1的长方形纸带，平行于y轴，在x轴的正半轴上移动，交x轴的正半轴于点A、D，两边分别交函数y1＝（x＞0）与y2＝（x＞0）的图像于B、F和E、C，若四边形ABCD是矩形，则A点的坐标为________．14. 如图，是反比例函数和（＜）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为________。

专题10 利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法(学生版)

专题10利用反比例函数中k的几何意义求面积的五种考法目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (1)类型一、反比例函数中利用k值求三角形的面积 (1)类型二、反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 (2)类型三、反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 (3)类型四、反比例函数中利用k值求矩形的面积 (4)类型五、反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 (5)压轴能力测评（14题） (6)1.求三角形的面积2.求等腰三角形的面积3.求平行四边形的面积4.求矩形的面积5.求阴影部分的面积坐标是(0,)b ，则ABC V 的面积是（）A ．30B ．3C ．60D ．6【变式训练】1．（2024·云南昭通·二模）如图，在平面直角坐标系中，A 是反比例函数()0ky x x=<的图像上的一点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，已知ABO 的面积是5，则k =．第1题第2题第3题2．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A 在双曲线9y x =上，点B 在双曲线7y x=上，且AB y ∥轴，则ABC V 的面积等于．3．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，是反比例函数3y x=与5y x-=在x 轴上方的图象，点C 是y 轴正半轴上的一点，过点C 作AB x ∥轴分别交这两个图象于A 点和B 点，若点P 在x 轴上运动，则ABP 的面积等于．类型一、反比例函数中利用k 值求三角形的面积例题：（2024·贵州六盘水·二模）如图，点(3,)A a -在反比例函数6y x=-的图象上，点B 的坐标是(3,0)-，点C 的【变式训练】2．（23-24九年级上·广西贺州·期中）如图，若反比例函数y x=的图象上有一点B 与原点和坐标轴上点A 围成一个等腰三角形，则AOB V 的面积是．类型二、反比例函数中利用k 值求等腰三角形的面积【变式训练】2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点D 都在x 轴上，则ABCD Y 3．如图，点A 是双曲线()60y x x =>上的动点，连接BC ，若四边形OABC 为平行四边形，则类型三、反比例函数中利用k 值求平行四边形的面积A ．12B ．9C ．6D ．3【变式训练】1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过()0,0k y k x x=≠>的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交2y x =-的图象于B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若234112S S S ++=，则k 的值为（）A ．52B ．53C ．4D ．83类型四、反比例函数中利用k 值求矩形的面积例题：（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数6y x=的图象上，过点P 作PA y ⊥轴，PB x ⊥轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是（）的面积为（）A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -【变式训练】2．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数10y x=的图象上有1P ，2P ，3P ，L ，2025P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，L ，2025，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，L ，2023S ，2024S ，则12320232024S S S S S +++++=．3．（2023春·八年级单元测试）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点，0x >）图象上，点P 是函数ky x=（k 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OFPE 和正方形=______；的函数关系式．类型五、反比例函数中利用k 值求阴影部分的面积比例函数2(0)y x x =>的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交反比例函数2(0)y x x=>的图象于点B ，则四边形PAOB的面积是（）A ．3B ．6C ．9D ．122．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，点A 在双曲线()20y x x =>上，点B 在双曲线()0ky x x=<上，AB x ∥轴，点C 是x 轴上一点，连接AC BC 、，若ABC V 的面积是6，则k 的值（）A ．6-B ．10C ．10-D ．12-第2题第3题第4题3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，点A ，B 在反比例函数()40y x x=>的图象上，以OA AB ，为邻边作平行四边形OABC ，点C 恰好落在反比例函数()0ky x x=<的图象上，若平行四边形OABC 的面积是6，则k 的值为（）A ．2-B ．3-C ．32-D ．23-4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC x ⊥轴，交1y x=的图象于点A ，PD y ⊥轴，交1y x=的图象于点B ．当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①ODB △与OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积不会发生变化；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．②③④D ．①③④一、单选题1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在双曲线12y x=上，PA x ⊥轴于点A ，则PAO第5题第6题6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A在双曲线1yx=上，点B在双曲线3yx=上，且AB x∥轴，则ABO的面积是．7．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，点,,P Q R为反比例函数(0,0)ky k xx=>>图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点,,C B A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为123,,S S S，其中::1:2:3OA AB BC=，若26S=，则13S S+的值为．8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在反比例函数8(0)y xx=>的图象上有1P，2P，3P，L，2024P等点，它们的横坐标依次为1，2，3，⋯，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S，2S，3S，L，2023S，2024S，则12320232024S S S S S+++++=．二、填空题5．（23-24九年级上·山东泰安·开学考试）反比例函数(0)ky xx=<如图所示，若矩形OAPB的面积是3，则k的值为．10．（2024·山东枣庄·二模）如图，直线24y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点E ，点(),6B a 在直线上，ABCD 的顶点D 在x 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点B 、C．(1)求反比例函数的关系式和点C 的坐标；(2)求ABCD 的面积．三、解答题9．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知A ，B 是反比例函数9(0)y x x=>图象上的两点，AC x ⊥轴于点C ，OB 交AC 于点D ，若OCD 的面积是BCD △的面积的2倍，求AOD △的面积．(1)当点P 的坐标为2,0时，求ABC 的面积．(2)当点P 的坐标为(),0t 时，求ABC 的面积．12．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在x 轴的正半轴上依次截取1122312n n OA A A A A A A -===⋯==，过点123n A A A A ⋯、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数10y x=的图像相交于点123n P P P P ⋯、、、得直角三角形111222333441n nn OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、，并设其面积分别为123n S S S S ⋯、、、．(1)求23P P Pn 、、、的坐标(2)求n S 的值；11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x=（0x >）的图象于点A ，交函数()40y x x =>的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交()10y x x=>于点C ，连结AC ．y 轴、x 轴作垂线，交y 轴于点D ，交x 轴于点C ，连接AC 、BD ．①试探究ADC △与BDC 面积的关系并说明理由；②试探究CD 与AB 之间的位置关系并说明理由．【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点A ，B 在反比例函数20y x =的图像上，且(2,)A m ，B 则是反比例函数20y x=第三象限内图像上的一动点，过点A 作AD x ⊥轴，过点B 作BC y ⊥轴，垂足分别分为D 、C ，若四边形ABCD 的面积为45，求点B 的坐标；【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数(0)k y k x =<的图像与过原点O 的直线相交于A ，B 两点，点C 是此函数第二象限内图像上的动点（点C 在点B 的右侧），直线BC 分别交于y 轴、x 轴于点D 、G ，连接AC 分别交y 轴、x 轴于点E 、F ．若27DC BC =，求CE CA的值？13．（23-24九年级上·四川达州·期末）【感知】如图1，已知反比例函数(0)k y k x=≠上有两点(4,8)A ，(8,4)B --，AD y ⊥轴交y 轴于点D ，BC x ⊥轴交x 轴于点C ，则ADC S =△_____，=BDC S V _____，CD 与AB 的位置关系为：_________．【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当A ，B 是双曲线(0)k y k x=<同一支上任意两点，过A 、B 分别向(1)初步尝试如图2，点A ，E 分别在反比例函数2y x =和4y x-=的图象上，四边形ABOC 和EFOB 都是矩形，易知四边形EFCA 也是矩形，分别求矩形EFOB 和EFCA 的面积．(2)类比探究如图3，点A ，C 在反比例函数()0a y a x =>的图象上，点B ，D 在反比例函数()0b y b x=<的图象上，AB CD x ∥∥轴，AB 与CD 在x 轴的两侧，3AB =，2CD =，AB 与CD 的距离为5，求a b -的值．【分析】如图4，过A ，B ，C ，D 四点分别作AE 、BF 、CG 、DH x ⊥轴于点E ，F ，G ，H ，设AB ，CD 分别与y 轴交于N ，M ，显然四边形ANOE ，BNOF ，CMOG ，DMOH 均为矩形，且ANOE BNOF CMOG DMOH S S S S a b +=+=-，可设CG 为h ，则5BF h =-，从而可得：()235h h =-，……请根据上述思路，写出完整的解题步骤．(3)拓展延伸如图5，已知反比例函数m y x =和n y x ，0m n >>，若点B ，C 在m y x =图象上，点A ，D 在n y x =图象上，且AB CD x ∥∥轴，53AB =，56CD =，AB 和CD 间的距离为12，求m n -的值．14．（24-25九年级上·湖南郴州·开学考试）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A 是反比例函数k y x=上任意一点，则矩形ABOC 的面积为k ．。

反比例函数专题一、k的几何意义解与面积相关问题

∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．
专题训练
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．解：设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点
为M，则M的坐标为(0，2)．
∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝
1 2
×PM×(|－1|＋|3|)＝5，
∴PM＝ 5 ，即|m－2|＝ 5 .∴m＝ 9 或m＝－ 1 .
解：
由
ìïïïíïïïî
y y
= =
- x+ 6， x
7,
得
祆镲镲眄镲镲铑xy11
= =
1, x2 6，y2
= =
6, 1.
∴点D的坐标为(6，1)．
当x＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，
直线上的点为(2，5)，此时可得整点为(2，4)；
当x＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，
a 的图象上， x
∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝
6
.
x
∵B(3，2)，∴EF＝2.∵BD⊥y轴，OC＝CA，
∴AE＝EF＝ 1 AF，∴AF＝4，∴点A的纵坐标为4.
2 ∵点A在反比例函数y＝
6 的图象上，
∴点将AA的( 横3 坐, 4标)，为B(332，，2∴)的xA坐( 32标,代4)入. y＝kx＋b，得
专题训练
题型2 利用对称性求面积 7．如图是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐
标＝系6x ，.现双用曲四线根对钢应条的固函定数这解四析条式曲分线别，为这y＝种－钢条6x ，加y工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？

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利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线ＰＭ、ＰN,垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为Ｓ=|PＭ|×|PN｜=|y|×|x|=|xｙ｜
∴xｙ=ｋ故S＝｜ｋ|从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值｜k｜
优质解答
∵AＢ⊥ｙ轴，
∴AB∥CＤ,ﻫ∵ＢC∥AD，ﻫ∴四边形ABCＤ是平行四边形,ﻫ∴四边形ＡＥＯＢ的面积＝AＢ•OE，ﻫ∵S平行四边形ABCＤ＝AＢ•CD=3，ﻫ∴四边形ＡＥOB的面积=3，
∴|k|＝３,ﻫ∵＜０，
∴ｋ=-3，
故答案为:－3.
8、如图,菱形OＡBＣ的顶点的坐标为(3,4),顶点Ａ在x轴的半轴上,反比例函数ｙ＝（ｘ＞０)的图象经过顶点B，则k的值为( )。
最佳答案
过D点作DE⊥x轴，垂足为E,
由双曲线上点的性质,得S △AOC =S △DOE ＝ k，
∵DE⊥x轴,AB⊥x轴，
∴DE∥AB，ﻫ∴△OAB∽△ＯＥD,ﻫ又∵OB=2OＤ,ﻫ∴Ｓ △OＡＢ =4S △DOE=2k，ﻫ由Ｓ △OAＢ -S △OAC =Ｓ △OBC ，
得2ｋ- k=6,ﻫ解得：k=4．
4、如图１-ZＴ-3，在平面直角坐标系中，点A是函数y= (x＜０)图象上的点，过点Ａ作y轴的垂线交y轴于点B，点C在ｘ轴上,若△ABC的面积为1,则k的值为________。
5、※ 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数（k<0，x＜0)的图象上,过点A作AＢ∥y轴交ｘ轴于点B，点C在y轴上,连结AC、BC．若△ABC的面积是3，则ｋ=．
1０、如图1－ZＴ-７，点Ａ是反比例函数y= （x＞0)的图象上任意一点，ＡB∥x轴交反比例函数y＝- 的图象于点B，以AB为边作□ＡBＣD,其中点C、Ｄ在x轴上,则□ABCＤ的面积未（）。
A．２Ｂ. 3 C. 4D. 5
11、如图、1-ＺＴ-8，在□ＡBOC中,两条对角线交于点Ｅ，双曲线y＝ (k<０）的一支经过C、E两点,若□ABOＣ的面积为1０，则k的值是（）。
A. 12 B. 2０ C. 2４ D． 3２
答案：
过点C作CD⊥OＡ，ﻫ∵C的坐标为（3，４）,
∴CD=4,OD=3,ﻫ∵CB∥ＡO，ﻫ∴B的纵坐标是４，
∴OC= =５,
∴AO=OC＝5，ﻫ∵四边形COAB是菱形,ﻫ∴B的横坐标是８，ﻫ∴ｋ=８×４=3２，ﻫ故选D.
９、如图１－ZＴ-６，函数ｙ=－x与y=－的图象相交于A、B两点,分别过A、B两点作y轴的垂线，垂足分别为C、Ｄ,则四边形ＡCBD的面积为（ )。
A. ２ B． 4 C. ６D. 8
分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= ｜k｜,得出S△ＡOC=S△OＤB=2，再根据反比例函数的对称性可知：OC＝OD,AC=ＢD，即可求出四边形ＡＣＢD的面积.
解答:
解:∵过函数ｙ=- 的图象上Ａ,B两点分别作ｙ轴的垂线，垂足分别为点C，D,
专题反比例函数与三角形-四边形的面积等
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ﻩ
反比例函数比例系数k与图形面积经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性,很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法,考查的题型广泛,考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下:
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论,可得出对应的面积的结论为：
结论2:在直角三角形ＡBO中，面积Ｓ=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S＝2｜ｋ|
结论4：在三角形AＭB中,面积为S=｜k|
类型之一 k与三角形的面积
※1、如图,已知双曲线y= （k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OＢC的面积为6，则k=_＿_＿＿_.
∴Ｓ△AOC＝S△ODB= |ｋ｜=2，ﻫ又∵OＣ=OD,AＣ＝BD，
∴Ｓ△AＯC=Ｓ△ODA=S△ODB=S△ＯＢC=2，
∴四边形ABＣD的面积为：S△AOC+Ｓ△ODＡ+S△ODB+S△OBC=４×２=8.ﻫ故选Ｄ．
点评：本题主要考查了反比例函数y= 中ｋ的几何意义,即过双曲线上任意一点引ｘ轴、ｙ轴垂线,所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= |k|,是经常考查的一个知识点;同时考查了反比例函数图象的对称性．
A.- B. - C. -４ D.-5
类型之三 k与矩形的面积
12、如图１-ZT-9,A、B两点在双曲线y= 上,分别过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知Ｓ１+S2＝６，则S阴影=（）。
A. 4 Ｂ. 2C. 1D.无法确定
13、如图1-ZＴ-10，反比例函数y= （ｘ>０）的图象经过矩形OABC对角线的交点Ｍ,分别与AB、ＢC相交于点D、E，若四边形OＤBE的面积为9,则k的值为( ）。
故答案为:4.
2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y＝ (x>0)的图象上任意两点A、Ｂ作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OＢ，设△AＯC和△ＢＯD的面积分别是S1、Ｓ2，,比较它们的大小,可得
A.S1＞S2B.S1=Ｓ2C.S1<Ｓ2D．S１、S2大小不确定。
3、在下列图形中,阴影部分面积最大的是(C)
6、如图1-ZT－4，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ＡDＢ=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B,若ＯA２－ＡB2＝８,则ｋ的值为＿_____＿。
类型之二 k与平行四边形的面积
７、※如图,在平面直角坐标系中,点Ａ是函数ｙ= （k<0,x＜0)图象上的点，过点Ａ与y轴垂直的直线交ｙ轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AＤ．若四边形ABCD的面积为３,则ｋ值为＿＿_.ﻫ