类型四 图形周期变化规律

针对演练

1. (2017连云港)如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向右沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…，按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是()

第1题图

A. 4

B. 2 3

C. 2

D. 0

2. (2017咸宁)如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n 次，每次旋转60°，当n＝2017时，顶点A的坐标为________．

第2题图第3题图

3. (2017天门)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得

到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为________．

4. 如图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)、B(0，4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3，…，则△2018中最小角的顶点坐标为________．

第4题图第5题图

5. (2017黔东南州)把多块大小不同的30°直角三角板如图所示摆在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0，1)，∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；…，按此规律继续下去，则点B2017的坐标为________．

答案

针对演练

1.A【解析】根据运动的规律，点A6与点A0重合，点A7与点A1重合，…，点A11与点A5重合，如此反复，运动6次一循环，∵2017÷6＝336……1，∴点A2017与点A1重合，而点A0与点A1间的距离是4，∴点A2017与点A0间的距离也是4，故选A.

2. (2，23)【解析】由题意易知，每旋转6次，A点回到原位，∵2017÷6＝336……1，∴当n＝2017时，A点落到原图中F点的位置，如解图，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠FOE＝60°，OE＝OF＝EF＝4，∴FH＝4×sin60°＝23，OH＝4×cos60°＝2，∴F点坐标为(2，23)，∴当n＝2017时，顶点A的坐标为(2，23)．

第2题解图

3. (－2，0)【解析】∵点P(0，2)，A(－1，1)，∴P1(－2，0)，∵B(0，－2)，∴P2(2，－4)，∵C(1，0)，∴P3(0，4)，∴P4(－2，－2)，P5(2，－2)，P6(0，2)，∴周期为6，∵2017÷6＝336……1，∴P2017与P1的坐标相同，为(－2，0)．

4.(8068，0)【解析】在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB ＝OA2＋OB2＝32＋42＝5，OA＋OB＋AB＝3＋4＋5＝12，由题图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，∵2018÷3＝672……2，

∴△2018是第673个循环的第二个三角形，∴12×672＋4＝8068.△2018中最小角的顶点坐标为(8068，0)．

5. (0，－31009)【解析】∵A(0，1)，∴OA＝1，∵∠ABO＝30°，

∠AOB＝90°，∴BO＝

AO

tan∠ABO

＝3，∴B(－3，0)，同理可得B1(0，

－3)，B2(33，0)，B3(0，9)，B4(－93，0)，…，∴B4n(－(3)4n＋1，0)，B4n＋1(0，－(3)4n＋2)，B4n＋2((3)4n＋3，0)，B4n＋3(0，(3)4n＋4)，∵2017÷4＝504……1，∴B2017(0，－(3)2018)，即B2017(0，－31009)．