第35讲 简单的数阵与幻方

难题点拨①

将11、12、13、14、15、16、17这七个数

和等于44.

图1

拓展1：将11、12、13、14、15、16、

17这七个数分别填入下面的圆圈中，使每条线上

的三个数的和相等.有几种不同的填法？

同步练习①

难题点拨②

1～6中三个数之和等于12的有1，5，

6；2，4，6；3，4，5。

如果三个重叠数是1，5，6，那么根

据每条边上的三个数之和等于11，可得左

下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，

不合题意。

同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

经试验，当重叠数是2，4，6时，可

以得到符合题意的填法(见右上图)。

拓展1：将2～9这八个数分别

填入右图的○里，使每条边上的三个数之

和都等于18。

分析与解：四个角上的

数是重叠数，重叠次数

都是1次。所以四个重

叠数之和等于

18×4-(2+3+…+9)=28。

而在已知的八个数中，四数之和为28

的只有：

4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。

又由于18-9-8=1，1不是已知的八个

数之一，所以，8和9只能填对角处。由

此得到左下图所示的重叠数的两种填法：

“试填”的结果，只有右上图的填法

符合题意。

以上例题都是封闭型数阵图。

一般地，在m边形中，每条边上有n

个数的形如下图的图形称为封闭型m-n

图。

与“辐射型m-n图只有一个重叠数，

重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n

图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图，因为重叠数只重

叠一次，所以

已知各数之和+重叠数之和

=每边各数之和×边数。

由这个关系式，就可以分析解决封闭

型数阵图的问题。

前面我们讲了辐射型数阵图和封闭

型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们

复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行

分析，就能解决很多数阵问题。

同步练习②

1、将5、6、7、8、9、10这六个自然数分别填

入下图的六个○内，使得三角形每条边上的三个

数之和都等于24。

难题点拨③

同步练习③

1、将6、8、10、1

2、14、16这六个自然数分别

个数之和最小，如何填？要使和最大呢？

2、将2、4、6、8、10、12、14、16这八个自然

个数之和最小，如何填？和最大，又如何填？

难题点拨④

同步练习④

于34。

难题点拨⑤

将1～9这九个自然数填入下

每条对角线和都相等）。

同步练习⑤

遵义市两城区“明天数学家”竞赛题选

1、将1～7这七个自然数填入

b、