线性代数(1)

a22 ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ 0 ⋯ ann
a22 ⋯
⋯ ⋯ ⋯ an 2 ⋯ ann
=a11a22…ann
2.主对角行列式
a11 0 ⋯ 0
0 a22 ⋯ 0 = a11a22 ⋯ ann ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ ann
3.次(副)对角行列式
λ1 λ2
⋰ = (−1)
1 n ( n −1) 2
第一章
行列式
第1次课 §1-1——§1·2
目的要求:1.了解排列与逆序的定义,会求 排列的逆序数 2.掌握二、三阶行列式的对角 线展开法 3.了解n阶行列式的定义 注意：n阶行列式的展开式的特点
§1-1
排列与逆序
定义1.1:由n个不同元素1,2……n 组成的有序数组称为这n个元素的全排列,也称n 元排列。 例如:54123是一个五元排列 例如:13x52是一个五元排列，x必为4 例如:3元排列有 123 ; 132 ;
如 x1 + 2 x 2 = 1
当1×4-2×2=0 实际上只有一个有效方程.此时有无穷多 解. 又如 x 1 + 2 x 2 = 1 2 x1 + 4 x 2 = 3 当1×4-2×2=0 但两方程矛盾 ∴无解
2 x1 + 4 x 2 = 2
显然,a11a22－a12a21≠0是方程组是否有 解起了关键作用. 定义1.4
解 : (1) ∵τ (2431) = K4 + K3 + K2 = 3 +1+ 0 = 4 ∴ 该排列为偶排列 解 : (2) ∵τ (54231)
= K5 + K4 + K3 + K2 = 4 + 2 + 2 +1 =9 该排列为奇排列
解 : (3) ∵τ (n(n − 1)⋯321) = K n + K n −1 + ⋯ + K 2 = (n − 1) + (n − 2) + ⋯ +1 1 = (n − 1)n 2
1 0
1 × 3× 2 2
0 0
3 × 1 × 2 = −6
−2 5 4 0
0 3 0 6
1 ×4×3 2
解 : D = (−1) = 12
(−2) × 3 × (−1) × 2
例11
用定义计算行列式
1 2
1 0
0 0 −1 2 D= 0 2 3 4 0 0 2 3
τ ( i1i 2i 3i 4 )
λ1λ2 ⋯λn
λn
例10 (1)一个n阶行列式中(展 开式)带正号的项有：
A n n(n − 1) (B ( B) ( A) (C (C ) 2 2 2
2
n! (D ( D) 2
解：选 D
n! 2
0 −4 3 (2) D = 5 2
解 : D = ( − 1)
0 0 D = 0 2 0 0 −1 9
当n = 4 K或4 K + 1时, 该排列是偶排列
当n = 4 K + 2或4 K + 3时, 该排列是奇排列
解 : ( 4 )τ (135 ⋯ ( 2 n − 1) 246 ⋯ 2 n ) ∵ 从前往后算 , 前 n 个数无逆序数 2 前面比 2 大的数有 n − 1个 ( 除 1之外 )
4 前面比 4 大的数有 n − 2 个 ( 除 1, 3 之外 ) ⋯⋯ 2 ( n − 1) 前面比 2 ( n − 1) 大的数有 1个 : 2 n − 1 ∴ τ (135 ⋯ ( 2 n − 1) 246 ⋯ 2 n ) = ( n − 1) + ( n − 2 ) + ⋯ + 2 + 1 + 0 1 = n ( n − 1) 2
练习 求i，j使25i4j1为偶排列。 25i4j1为偶排列。 i4j1为偶排列 解 6元排列使i、j只能取3或6；由于 元排列使i 只能取3
τ（253461 ) = 7，
偶数） τ（256431 ) = 10 （偶数）
所以， =6,j=3。 所以，i=6,j=3。
经过m + 1次⋯ jiK1 K 2 ⋯K m ⋯ 经过m次 ⋯ JK1 K 2 ⋯K mi⋯
312 ; 321 ;
213 231
一共有6个。 一般表示为j1j2j3
注意:n元排列的所有排列种数,共 有 n!个.事实上,从n个元素中任取一个 放在第一个位置上,有n种取法.又从 剩下的n-1个元素中任取一个放在第 二个位置上,有n-1种取法……直到最 后只剩下一个元素放在第n个位置上. 只有1种取法,于是n元排列有 n·(n-1)·(n-2)……3·2·1=n!
(a11a22－a12a21)x1=b1a22－b2a12 当a11a22-a12a21≠0 唯一解
b1a22 − b2 a12 x1 = a11a22 − a12 a21 b2 a11 − b1a21 x2 = a11a22 − a12 a21
但当a11a22-a12a21=0时结果怎样??
（展开式）
对角线展开法则：主对角线的元素乘积之 和减去次对角线元素乘积之和
注意：1.对角线法则只适用二阶、三 阶行列式。 2.展开式的每一项都是由不同 的行，不同的列的元素相乘而得的。 3.符号规律：主对角线方向为 正，次对角线方向为负。换个说法， 当行标按自然数排列排好后，列标为 偶排列取正号，列标为奇排列取负号。
a15a22a31a44a53 (行标按自然排列) τ(52143)=2+1+2+1=6 ∴选(D) 例7 练习1.2 1. 例8 计算下三角行列式
a 11 a 21 D= ⋯ a n1 0 a 22 ⋯ an2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ a nn
解：由定义 τ(j j ⋯j ) D = ∑ ( − 1) a1 j a 2 j ⋯ a nj
除了a11a22a33…ann这一项外。其余各 均均为0 ∴D=(-1)τ(123…n)a11a22…ann =a11a22…ann 结论：下三角行列式等于主对角元素 乘积
例9 几个特殊的n阶行列式 1.上(下)三角行列式
a11 0 ⋯ 0
a12
⋯ a1n =
a11 a21 ⋯ an1
0
⋯
0 0
i 3 = 2 行时 , a 23 = − 1
i 3 = 4 行时 , a 43 = 2
a i 4 4 (4列)
=
∑ (−1)
j 1 j2 ⋯ jn
1 2
τ ( j1 j2 ⋯ jn )
a1 j a2 j ⋯ anj
1 2
n
特点：1. n=1，
n
|a11|=a11为一阶行列式
2. a1 j a2 j ⋯ anj 是不同的行, 不同的列的元素 的乘积
3.
∑ 是对所有n元排列求和
j1 j2 ⋯ j n
4. 行标按自然排列，符号由列标排列的 奇偶性决定
解:D =
∑ (−1)
i1i 2i 3i 4
a i11a i 2 2 a i3 3a i 4 4
a i11 (表示1列) a i 2 2 (2列)
i1 = 1(表示1行)a11 = 1 i 2 = 3(3行)
a 32 = 2 a i 3 3 (3列 )
∵ i1 = 1, i 2 = 3
∴ i 3 = 2 行或 4 行
a11a22 − a12 a21 = a11 a12 a21 a22
为二阶行列式,aij(i,j=1,2)为元素 行标, j为列标
a 11 a 21 a 12 a 22 实联线为主对角线 虚联线为次对角线
i为
对角线法则:主对角元乘积减去次对角元 乘积.因此,当a11a22－a12a21≠0时
b1 D1 b2 x1 = = D a11 a21 a11 a12 a22 a12 a22 b1
τ ( j1 j 2 ⋯ j n )
τ为偶数时，称偶排列
τ为奇数时，称为奇排列 公式 τ ( j1 j2 ⋯ jn ) =kn+kn-1+…+k2 其中kn是第k个数前面比它大的数的个 数。 注意：由定义可知，一个n元排列的逆 序数的计算方法：先算出jn前面比jn大 的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数 kn-1……。从后向前，用类似方法计算
5.列标按自然排列,符号由行标排列的奇 偶性决定. 例6 1.下列各项中,为五阶行列式带正 号的项: (A) a13a44a32a41a55 (B) a21a32a41a15a54 (C) a31a25a43a14a52 (D) a15a31a22a44a53
解:由定义可知(A)、(B)不是五阶行列 式的项(C)、(D)是五阶行列式的项而 (C)可写成 a14a25a31a43a52 (行标按自然排列) τ(45132)=7 (C)为带负号的项 (D)可写成
故展开式可表为：
D=
∑ (−1)
j1 j2 j3 i1i2i3
τ ( j1 j2 j3 )
a1 j a 2 j a3 j
1 2
3
或D = ∑ (−1)
τ ( i1i2i3 )
ai11 ai2 2 ai3 3
例5 计算
1 2 1 − 2 1 3 = −5 0 3 2
例6
解方程
1 2 4
1 3 9
1 x = 0 2 x
解 : 对角线展开法 3 x 2 + 18 + 4 x − 12 − 9 x − 2 x 2 = 0 x2 − 5x + 6 = 0 ( x − 2 )( x − 3 ) = 0
∴ x1 = 2
x
2
= 3
二、n阶行列式 定义1.5 由n2个数 aij(i,j=1,2…n) 组成的符号
a11 D= a 21 ⋯ a n1 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 2 ⋯ ann
下去，直到算出j2前面比j2大的数K2, 于是得到排列的逆序数为 τ ( j1 j2 ⋯⋯ jn ) = kn + kn−1 + ⋯ + k2 例1：计算下列排列的逆序数。并 判断其奇偶性 (1) 2431 (2) 54231 (3) n(n-1)…3 2 1 (4) 135…(2n-1)246 …2n
变为
jn jn −1 ⋯ j1
故
则顺序全变成逆序
n (n − 1) τ( jn jn −1 ⋯ j1 ) = −K 2
§1.2
n阶行列式
一、二阶与三阶行列式 中学阶段，我们学过用加减消元，也称 高斯消元解二元线性方程组 (1) a11 x1 + a12 x2 = b1 (2) a21 x1 + a22 x2 = b2 为了消去x2 (1)xa22-(2)xa12得
τ(j1j2…jn)=K 证明：
n ( n − 1) τ ( j n j n − 1 ⋯ j 2 j1 ) = −K 2
证明 : n元排列中, 任意两个数做一组
n (n − 1) 组 C = 2
2 n
每两个数要么顺序, 要么逆序 而τ( j1 j2 ⋯ jn ) = K,
现由j1 j2 ⋯ jn
a21 b2 D2 x2 = = D a11 a12 a21 a 22
其中D称系数行列式.D1,D2分别为用常数项分别代 替1,2列 同样可定义由9个元素排成的3行3列构成的行列式 为3阶行列式
a11 a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
(行列式)
a11a22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a23 − a13 a22 a31 − a23 a32 a11 − a12 a21a33
定理：经过一次对换，排列的奇偶性改变 证明： 1° 先证相邻两数对换 该排列…ij… →…ji… 当i<j时， i的逆序增加1，而j的逆序不变 当i>j时，j的逆序减少1，而i的逆序不变 ∴改变了奇偶性 2°再证一般性 该排列…ik1k2…kmj…
一共经过2m+1次相邻对换，也改变 了奇偶性。 例4 4 若排列j1j2…jn的逆序数 j
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准 个不同的自然数， 次序. 次序.
Байду номын сангаас
上例三元排列中，只有123的数字是从小到 大按自然数的顺序,其他排列中都有大的数排 列在小的数之前,因此,引入逆序和逆序数的 概念 定义1.2 在一个排列中,如一个较大的数排 在一个较小的数前面,就称这两个数构成一个 逆序.一个n元排列中所有逆序的总数,称为这 个排列的逆序数.记作
1 2 n
j1 j 2 ⋯ j n
1
2
n
∵ a1 j
1
j1 = 1 a1 j ≠ 0
1
∴ a1 j = a11
1
而a2 j
2
当 j 2 ≠ 1, 2时
a 2 j2 ≠ 0
a2 j = 0
2
只有当 j 2 = 1, 2 时
但 j1 = 1
⋯ a nj n = a nn
j2 = 2
∴ a 2 j 2 = a 22 ⋯