弦振动的误差分析

弦振动中误差的研究
实验目的：
（1）研究弦振动中砝码的重力与绳子拉力之间的关系，测量砝码重力在多大范围内是和绳子张力相等的；
（2）研究弦振动中频率的改变对绳子张力和密度的影响，算出它们的误差。

实验原理：
如图（1）实验时在①和⑥间接上弦线（细铜丝），使弦线绕过定滑轮⑩结上砝码盘并接通正弦信号源。

在磁场中，通有电流的弦线就会受到磁场力（称为安培力）的作用，若细铜丝上通有正弦交变电流时，则它在磁场中所受的与电流垂直的安培力，也随着正弦变化，移动两劈尖（铜块）即改变弦长，当固定弦长是
波。

波。

示。

波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：
Y
1
＝Acos2 (ft－x/ )
Y
2
＝Acos[2 (ft＋x/λ)+ ]式中A为简谐波的振幅，f为频率， 为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。

两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
Y 1＋Y
2
＝2Acos[2 （x/ ）+ /2]Acos2 ft ……………①
由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2 （x/ ）+ /2] |，与时间无关t，只与质点的位置x 有关。

由于波节处振幅为零，即：｜cos[2 （x/ ）+ /2] |＝0
2 （x/ ）+ /2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. … )
可得波节的位置为：
x＝k /2 ……………②而相邻两波节之间的距离为：
x k＋1－x
k
＝(k＋1) /2－k / 2＝ / 2 ……………③
又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2 （x/ ）+ /2] | =1
2 （x/ ）+ /2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. )
可得波腹的位置为：
x＝(2k-1) /4 ……………④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。

因此，在驻波实验中，只要测得相
邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。

在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，
只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成
驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：
L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. … )
由此可得沿弦线传播的横波波长为：
＝2L / n ……………⑤
式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。

根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝ f，将⑤式代入可得弦线上横波
的传播速度：
V＝2Lf/n ……………⑥另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为：
V＝(T/ρ)1/2 ……………⑦式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。

再由⑥⑦式可得
f =（T/ρ）1/2（n/2L ）
得
由⑧式可知，当给定T 、ρ、L ，频率f 只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。

实验步骤
1、 连接实验装置。

2、
测量弦线线密度ρ。

测出弦线的质量及其长度。

根据l m =ρ，计算弦线
密度。

3、 测圆柱半径，用游标卡尺测量其直径，多次测量求平均值。

4、
观测频率和绳子张力T F 之间的关系
（1）取质量为50g 的砝码挂于弦线的另一端，然后调节频率，调节劈尖的位置，得到稳定的驻波。

分别测量波节N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。

当频率大于130Hz 时，取N=1，N=3，N=5. （2）改变频率f 从80Hz 到150Hz,砝码质量不变，重复上述步骤（1），并记录数据。

5、 观测砝码质量mg 与张力T F 之间的关系
调节频率为100Hz ，，砝码质量从10g 到200g 时调节劈尖的位置得到稳定的驻波，测量当N=1，N=2，N=3时，劈尖与圆柱底面圆心的距离。

注：当砝码质量为15g 时，取N=2，N=3，N=4. 6、 整理数据并处理
实验数据及处理
（一）
砝码质量对绳子张力和密度的影响：
1、ρ的测量
弦线 l
cm 1=
质量g m
4.0=
ρ=l
m =0.433
-10
m kg ⨯
2、弦振动实验装置圆柱的半径 直径
如下表:表中M 为砝码的质量，N 为波节数目，l 为波节长度，λ为波长的平均值，ρ为绳子的密度，T F 为绳子拉力的平均值，
100Hz =ν 绳子密度2
2λ
νρF
=
绳子张力22λρν=F
其图像如下所示：（见下页）
在实验过程中我们发现，
一方面，当固定振动的频率，改变砝码的质量。

若砝码的质量过小，几乎是15g左右时，基本上无法研究，实验现象不明显，振动特别不稳定。

但是，一旦砝码质量大于20g时，实验现象就明显了很多，而且绳子的张力与砝码的质量误差基本保持在2.5%以下，尤其是50g到100g之间时，误差基本保持在1%左右，可以说是非常小的。

因此，我们在以后的实验过程中，只要砝码的质量大于40g 往上，基本都是可取的。

另一方面，当固定砝码质量为50g时，我们通过改变频率来观测对绳子密度和拉力的影响。

实验发现，70Hz以前的频率是基本上不能测试的，绳子的振动非常不稳定。

因此，我们在实验过程中频率选在从80Hz到150Hz,由实验结论和实验图表可得：改变振动频率产生的实验误差是先减小到100Hz后又增大，因此在以后进行实验时，频率选在100Hz时，误差最小。

还有一个特殊现象，当频率过大，大于130Hz时，会出现一个特殊现象，当波节数目为偶数时，振动特别不稳定，劈尖到滑轮处也会出现微小的波节。

而且，本来出现的两个波节会慢慢的合成一个波节，合成后的波节长度几乎和原来两个波节的长度相等，且振动幅度特别大，但是当出现奇数波节时，则不会出现这种情况，实验现象也相对稳定。

这对实验带来了难度，因此，我们为了避免这种情况，减小实验误差，测量时，我们只选取奇数波节时的波节长度，这样，得出的结论就相当准确。

当然，由于实验室的实验仪器本身用于教学，不属于研究器材，因此，实验精度本身就不是很高，所以所测的实验数据也不是非常精确，导致实验出现误差，当然这个误差是无法避免的。

同时，在测量波节长度l时，用于人肉眼原因，测量的数据相对也会出现偏
差。

实验心得
这次实验中，我们组成员分工明确，齐力配合，取得的成绩非常明显。

实验过程中，由于实验数据的巨大性，我们走了不少弯路，经过小组成员讨论，查阅资料，然后以严谨的态度测量每一组实验数据，终于，功夫不负有心人。

我们终于得出了绳子拉力和砝码重力的关系，以及砝码的重力在什么情况下和绳子的张力近乎相等。

同时，也研究了圆柱震动频率和绳子的张力及密度之间的关系，实验结论效果相当明显。

通过本次实验，我们体验到团队合作的重要性和必要性。

没有队友的努力，根本不会有我们今天的成绩，当然，还有指导老师的指导，老师在我们都比较迷茫的时候给我们指了一条方向，实验才有了实质性的进展。

在此，衷心感谢老师。

小组组长：於佩
组员：刘祥王宝林
李佳杨懿 2012-5-10。