第三章 时域分析

R
+
+
r(t)
i(t) C
c(t)
（ a） 电 路 图
R(s)
I(s)
（ b） 方 块 图
❖ 用一阶微分方程描述的控制系统 称为一阶系统。图（a）所示的 RC电路，其微分方程为
RC duc dt
Uc
r(t)
T dC(t) C(t) r(t) dt
其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输 入电压，T=RC为时间常数。
T
(t 0)
17
3.3.4 一阶系统的单位斜坡响应
当
R(s) 1 S2
C
(s)
(s)R(s)
1 TS
1
1 S2
1 S2
T S
T2 1 TS
对上式求拉氏反变换，得单位斜坡响应表达式：
t
t
c(t) t T (1 e T ) t T Te T
其中 Css t T 代表稳态分量；
t
Ctt Te T
1 G(s)H (s) 1 (100 / s) 0.1 100 10
s 10 1 s /10
与标准形式对比得： T 1 10 0.1
ts 3T 0.3s
15
（2）若要求ts＝0.1，求反馈系数Kh
R(s) E(s) -
100 s
Kh
C(s)
解： (s) 100 s 1 Kh
1 Kh.100 / s 1 s /100 Kh
对上式进行拉氏反变换，得
迟后角度
C(t) 1
1
1 2
e nt sin nt
1 2
t0
式中 arctan( 1 2 / ) 或 arccos
n
jn 1 2
则： C(t) 1
e t
1 2
sindt
n
jn 1 2
由上式看出，0 1时的单位阶跃响应C（t）为衰减的正弦
回顾与展望
1 绪论
控制系统发展史、控制方式、基本组成、术语、分类 控制系统基本要求：稳定性、快速性、精确性
2 控制系统的数学模型
控制系统的数学模型建立、传递函数、方框图等效变换
3 时域分析法
4 根轨迹法
控制系统分析方法
5 频率响应法
6 控制系统的补偿与综合（设计、校正）
第三章 时域分析法
3.1 引言 3.2 线性系统的时域性能指标 3.3 一阶系统时域分析 3.4.1 二阶系统时域分析 3.4.2 二阶系统时域性能指标 3.5 线性系统的稳定性 3.6 稳态误差及其计算
时域性能指标（振荡型）
h(t)
Mp超 调 量
允许误差
1 h() 0.9 h()
td
0.5 h()
0.1 h()
0 tr tp ts
延迟时间 td :
响应曲线第一次 达到稳态值的一 半所需的时间。
0.02或 0.05 上升时间 tr :
响应曲线从稳态值
的 10%上升到
t
90%，所需的
时间。
振荡型系统定义：
分析和设计控制系统，必须对各种控制系统性能进行评 判，通过对这些系统施加各种典型（试验、测试）信号， 比较它们的响应，能否满足工程要求。
许多设计准则就建立在这些典型信号的基础上 系统对典型信号的响应特性与实际输入信号的响应
特性之间，存在着一定的关系。 采用典型信号来评价系统性能是合理的
典型信号选取条件
S1,2 n
s1, s2
n
1 ，称为过阻尼状态。特征根为两个不相等的负实数。
j
S1,2 n n 2 1
s1
s 2
0 ，称为无阻尼状态。特征根为一对纯虚数。
j
s1 jn
S1,2 jn
s2 jn
25
3.4.2 二阶系统的单位阶跃响应
1、欠阻尼情况 0 1
此时，二阶系统的闭环特征根为
)2
当输入为单位阶跃函数时，
C(s) n2 1 1 n 1 (S n )2 S S (S n )2 S n
求C（s）的拉氏反变换得：
C(t) 1 entnt ent 1 ent (1 nt) (t 0)
dC(t) dt
n2tent
0
递增曲线
29
具有临界阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应是一个无超调的单 调上升过程，其变化率为 n2tent 。
2
3.1 引言
输入信号r(t) 系统的微分方程
输出信号c(t)
实际物理系统的性质可用系统数学模型描述，一旦得到 系统的数学模型，就可对系统进行分析、求解，从而确定系 统的性能指标。
时域分析法是一种直接的方法，它可以给出系统精确的 时间响应曲线和性能指标，具有明确物理意义（时间、空 间）。但是，人工求解困难（用计算机求解简单），不利于 分析系统结构和参数变化对系统影响。
t
t
t
①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
②由于系统存在惯性，对应的输出信号在数值上要滞后于输入 信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统 跟踪斜坡信号的稳态误差。
19
3.3.5 一阶系统的单位加速度响应
r(t) 1 t 2 2
R(s) 1 S3
振荡过程。
27
其稳态分量为1，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为：
d ——阻尼振荡频率
欠阻尼响应的衰减速度取决于共轭复极点实部的绝对值 n ， 该值越大，即共轭复极点距离虚轴越远时，欠阻尼响应衰减得 越快。
28
2. 临界阻尼 1
此时，系统的传递函数为：
(s)
C(s) R(s)
(S
n2 n
(s) C(s) 1
R(s) TS 1
C
(s)
(
s)
R(
s)
(
1 TS
) 1
1 S3
A S3
B S2
C S
D S1
1 S3
T S2
T2
S
T2
S1
T
T
c(t)
1
t2
Tt
T
2
(1
1t
eT
)
2
(t 0)
e(t)
r
(t
)
c(t
)
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
ess
lim e(t) t
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因 此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
响应曲线达到并永远
0.1 h()
0 tr
保持在一个允许误差 t 范围内，所需的最短
tp ts
时间。用稳态值的 百分数（5%或2%）
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
8
h(t)
Mp超 调 量
1 h() 0.9 h()
td
0.5 h()
允许误差
这两各参数来描述。
二阶系统的闭环特征方程为
S 2 2nS n2 0
特征方程的两个根（闭环极点） S1,2 n n 2 1
0 1 ，称为欠阻尼状态。特征根为一对实部为负的共轭复数。
j
s1
jn 1 2
S1,2 n jn 1 2
n
s2
jn 1 2
1 ，称为临界阻尼状态。特征根为两个相等的负实数。 j
时间t趋于无穷大时，
系统的单位阶跃响应
的实际值与期望值之
差。
9
tr 和 t p 评价系统响应初始阶段的快慢；
ts 反映系统过渡过程的持续时间，从总体上反映了系统
的快速性； % 反映系统响应过程的平稳性；
ess 反映了系统复现输入信号的最终精度。
10
3.3 一阶系统的时域分析 3.3.1 一阶系统的数学模型
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
0%上升到100%
7
h(t)
Mp超 调 量
允许误差
峰值时间 t p ：响
应曲线达到超调量的 第一个峰值所需要的
1 h() 0.9 h()
时间。
td
0.5 h()
t 0.02或 0.05
调节时间 s ：
代表暂态分量，
t趋于无穷大时，Ctt 衰减为零。
r(t) c(t) r(t) c(t) t
0
图 3-5 一 阶 系 统 的 斜 坡 响 应
显然，一阶系统的单位斜坡响应存在误差，稳态误差为：
t
ess lime(t) lim[r(t) c(t)] lim[t (t T e T )] T
t
0
动态性能指标：
td 0.69T
tr 2.20T
t p和％不存在
ts 3T ~ 4T
( 5% ~ 2%）
系统的时间常数T越小，调整时间ts越小，响应过程 的快速性也越好。
例：某一阶系统如图，（1）求调节时间ts
R(s) E(s)
100 s
C(s)
-

0.1
解：
(s) G(s) 100 s
⑤ 超调量 %
指响应的最大偏离量
h(tp)与终值之差的 0.02或 0.05 百分比，即
0.1 h()
0 tr tp ts
% h(t p ) h() 100 %
t
h()
⑥ 稳态误差 ess
对单位反馈系统，当
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%