第二章 凸集合理论和微分方程

0 f x1 f x 2 f x n f x1 2 f x12 2 f x1x2 2 f xn x1 f x 2 2 f x1x2 2 f 2 x 2 2 f x n x 2 f x n 2 f x1xn 2 f x 2 x n 2 f 2 x n
n
元函数，如果对于D中任意的x1，x2和任意 的 [0,1] ，有
f ( x1 (1 ) x2 ) min{ f ( x1 )Fra Baidu bibliotek f ( x2 )}
• 称 f 为拟凹函数
f ( x)
x
• 应用举例---消费者效用最大化问题
max u( x ) s .t . p x w
• (4) 动态行为分析 变量 y(t)的动态行为取决于系数β的值。 若β<0，则-β>0，当t，e-βt，称 为不稳定或发散情形(unstable or explosive case)。 若>0，则-<0，当t，e-βt0，称 为稳定或收敛情形(stable or convergent case)。 • (5) 路径图分析
元函数，如果对于D中任意的x1，x2和任意
的 [0,1] ，有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
称 f 为凸函数。而- f 为凹函数。 • 经济学中的消费函数和成本函数都是凹函数。
拟凹函数 • D 为凸集合，设 f 为定义在D上的一个n
特解的函数形式
• 有时，微分方程的特解与强制函数的形式并不 完全相同，即特解ye(t)并不是g(t)的简单摹本。 • 例1.求微分方程ý+βy=wt2的特解。 此微分方程的一般形式是:ý+βy=u+vt+wt2 特解形式：ye(t)=s+qt+rt2, 而不是ye(t)=qt2; 代入微分方程: (q+2rt)+ß (s+qt+rt2)=wt2 同类项系数相等：q+ß s=0，2r+ß q=0，ß r=w; 2 3 解之得：r=w/ß ，q=-2w/ß ，s=2w/ß ; 3 2 特解为：ye(t)=2w/ß -(2w/ß )t+(w/ß 2 )t
分离定理
• 设D和E均为Rn中的凸集合，且二者没有公共的内
点，则一定存在一个超平面p· x=b将两个平面分开，
即有
p x b, x D p x b, x E
• 分离定理是优化问题唯一解的条件，在经济学中 有着重要的应用。
2.1 凸函数
凸函数的定义 •
D n 为凸集合，设 f 为定义在D上的一个n
一阶微分方程
• 一般形式 ý+βy=g(t) • 齐次情形 α0ý+α1y=0 或 ý+βy=0 • (1) 解法1： ý =-βy 将ý =dy/dt代入，得：dy/dt=-βy 即：dy/y=-βdt 或 dlny=-βdt 两边积分，得：lny=-βt+c 即有： y(t)=Ae-βt, A=ec .
2.2 微分方程
微分方程的定义 • 微分方程——含导数的方程式，线性微分方程 的一般形式为： α0y(n)+α1y(n-1)+…+αn-1ý ny=g(t) +α 若y为一个自变量的函数，则为常微分方程； 若y为多个自变量的函数，则为偏微分方程。 • 微分方程的阶(order)—方程中导数的最高阶； • 微分方程的次(degree)—方程中最高阶导数的 幂。
特征方程
• (1) 定义 对于一阶齐次微分方程ý y=0，其解的形式为： +ß y(t)=Aeλt 于是有ý=λAeλt，代入原微分方程，得： Aeλt(λ+β)=0 即有： λ+β=0 此式就称为一阶微分方程的特征方程，其解： λ=-β 则称为特征根。 特征方程给出了求微分方程齐次解的方法。
• (2) 特征根的经济含义 • 对于齐次微分方程ý y=0，有： +ß ý /y=-ß=λ 特征根λ可解释为经济变量y(t)的增长率。 • 对于非齐次微分方程ý y=g(t)，有通解： +ß y(t)=(y0-ye)eλt+ye 移项，得： y t y e e t y0 y e 特征根λ可解释为非均衡偏差收敛的速度，即 经济系统向其均衡点调整的速度。
时间依赖的情形 • 如果强制函数g(t)是时间的函数，则微分方程 的特解也是时间的函数，均衡值随时间而变。 • (1) g(t)=w+zt的情形 微分方程：ý+βy=w+zt 特解形式：ye(t)=q+rt 代入微分方程：r+β(q+rt)=w+zt 令两边同类项的系数相等，得: βr=z, r+βq=w 解出r和q，得：r=z/β，q=(βw-z)/β2 特解为：ye(t)=(βw-z)/β2+(z/β)t
• 在此问题中，要求预算集是一个凸集合，同时要
求效用函数为拟凹函数
上述效用最大化问题是一个以不等式为条件的非线 性规划问题，利用Lagrange乘数法：
L( x , ) u( x ) ( w p x )
L u( x ) pi 0 x i x i w p x 0
t
ln 2


70 100
若经济增长速度为每年2%，即λ=0.02，则翻一 番所需时间为t=70/2=35年。
相位图 • (1) 相位图的概念 相位图就是描述系统运动过程的图形。对于 一阶微分方程，相位图就是表示ý 与y的关系的 图形，即： ý =f(y,g) 对于线性情形，有： ý y+g，g,ß =-ß >0; 或： ý y-g，g,ß =ß >0.
微分方程的分类 • （1）齐次与非齐次微分方程 齐次(homogeneous): g(t)=0； 非齐次(non-homogeneous): g(t)0. 大多数微分方程的解由齐次解和非齐次解两部分 构成，齐次部分的解控制变量y(t)的动态过程，而非 齐次解则决定了变量y(t)运动的空间区域。 • （2）自治与非自治的微分方程 自治(autonomous):如ý=f(y(t)),时间变量不直接出 现；非自治(non-autonomous):如ý =f(y(t),t),时间变量 作为自变量直接出现。在自治微分方程中，变量y(t) 的状态与时间的具体值无关，只与动态过程从开始 已经历的时间长度有关；而在非自治微分方程中， 时间的具体时刻将影响变量y(t)的状态。
• (3) 寻找特解的一般经验规则(general rule of thumb) ①若g(t)为常数，则用ye(t)=常数作尝试解; ②若g(t)为t的多项式,则用t的同样的多项式作尝试解。 • (4) g(t)=常数的非齐次方程的解 微分方程： ý+βy=g 尝试解： ye(t)=ye 代入微分方程，得： 0+βye=g 解出ye，得：ye= g/β 将齐次解与特解加总，得通解： y(t)=yh(t)+ye(t)=Ae-βt+g/β
u x i pi MRSij u x j p j
因此在最优点，任何两种商品之间的边际替 代率等于它们二者价格之比。
• 上述条件我们称之为一阶条件，也称为必要条件，但并
不充分。 • u(x)在是连续且拟凹的函数，此条件等价于 f 的加边 Hessian矩阵顺序主子式是正负相间的。
• (3) 非均衡缺口封闭一半所需的时间 若特征根λ<0，则存在稳定均衡点ye，随着时 间的推移，y(t)收敛于ye。在经济学中常计算非 均衡缺口封闭一半所需的时间，由微分方程的 通解，可得： e
yt y 1 t e e y0 y 2

两边取对数，解出t得： t ln0.5 70
• (2) g(t)=wezt的情形 微分方程：ý+βy=wezt 特解形式：ye(t)=qert 代入微分方程：rqert+βqert=wezt 令两边同类项的系数相等，得: (r+β)q=w, r=z; 解出r和q，得：r=z，q=w/(z+β); 特解为：ye(t)=[w/(z+β)]ezt 通解为：y(t)=[y0-ye(0)]e-ßt+[w/(z+β)]ezt 其中，初始均衡值为：ye(0)= w/(z+β) 可见，系统运动有个两方面，一是均衡点本身 的变化，二是系统向均衡的收敛运动(-β<0) 。
第二章
凸集合理论和微分方程
2.1 凸集合和凸函数
凸集合的概念 • 集合 D n ,如果对任意x1,x2∈D的和任意
的 [0,1] ，有 x1 (1 ) x2 D 成立，称集
合D是凸的.
• 经济学中生产可能性集合一般要求就是凸集合.
同时消费者的预算约束集合也是凸集合. • 性质
• (2) 解法2： ý /y=-β 这表明变量y(t)的增长率为常数，满足 此条件的函数即为指数函数： y(t)=Ae-βt • (3) 初始条件(initial condition)和未知常数 的确定 若已知初始条件：t=0时，y(t)=y0，则有： y0=y(0)=Ae-β0=A 即得微分方程的解为： y(t)=y0e-βt
• 例2. 求微分方程ý =g的特解。 此微分方程可看作是ý y=g的特殊形式，其 +ß 中ß =0，但在此情形g/ß 不能是其特解。 e 若用ye=k作为尝试解，则有ý=0g。 对此微分方程，可直接求解，即由： dy/dt=g dy=gdt y=gt+c 因此，有一般规则：若初次尝试解不合适， 可将其乘以t后再试。 微分方程ý =g的特解形式为ye(t)=kt，由此得 特解为：ye(t)=gt
• (4) 未知常数的确定及其意义 将初始条件:当t=0时，y(t)=y0代入通解,得： y0=y(0)=Ae-β0+ye=A+ye 即得： A=y0-ye • 可见：A是系统的初值y0与其均衡值的偏差，即系 统在初始时期的非均衡偏差。 • 将A代入通解，得： y(t)=(y0-ye)e-βt+ye • 若β>0，则-β<0，当t，e-βt0，非均衡偏差越 来越小，y(t)ye; • 若<0，则->0，当t，e-βt，非均衡偏差越 来越大，y(t)远离ye而。
100
若调整速度为每年2%，即λ=-0.02，则非均衡 缺口封闭一半所需时间为t=70/2=35年。
• (4) 翻一番所需的时间 若特征根λ>0，随着时间的推移，y(t)持续增长。 在经济学中常计算经济总量翻一番所需的时间。 由微分方程的齐次解，可得：
y t e t 2 y0
两边取对数，解出t得：
• • • • • • •
通解为：y(t)=Ae-βt+(βw-z)/β2+(z/β)t 将初始条件y(0)=y0分别代入特解和通解，得： 初始均衡值：ye(0)=(βw-z)/β2 且有：y0=A+(βw-z)/β2 即有：A=y0-(βw-z)/β2=[y0-ye(0)] 通解为：y(t)=[y0-(βw-z)/β2]e-βt+(βw-z)/β2+(z/β)t y(t)的动态包含两个成份，一是均衡点的移动—— 由(z/β)t反映，二是向均衡点的调整，调整速度为β，若-β<0，则收敛。
非齐次情形 • (1) 非齐次一阶微分方程的一般形式 ý+βy=g(t) • (2) 非齐次微分方程的求解步骤 • ①解齐次方程： ý+βy=0，记齐次解为yh(t); • ②求非齐次方程的特解，记特解为ye(t); • ③将齐次解与特解加总，得通解： y(t)=yh(t)+ye(t) • ④根据初始条件决定未知系数。
• (4) 特解的意义 在非齐次微分方程中，特解ye也称为均衡解 (equilibrium solution)，这是因为特解ye也就是变量 y(t)的均衡值。 • 若β>0，则-β<0，当t，Ae-βt0，y(t)g/β=ye， ye称为稳定均衡值(stable equilibrium)。 • 若<0，则->0，当t，Ae-βt，y(t)远离ye而 ，ye称为非稳定均衡值(unstable equilibrium)。