第二章流体力学ppt

积分得
ln
p p0
z ln 1 R T0 g
去掉对数得
z 1 p p0 T0

g
R
海平面上
重力场中流体的平衡
T 0 288 . 15 K p 0 101325 Pa
代入得
z p 101325 1 44331
f x dx f y dy f z dz 0
dp 0
微分形式的等压面方程
性质：在静止流体中，作用于任意点的质量力垂直于 经过该点的等压面
写成矢量形式
f d l f x dx f y dy f z dz 0
由矢量代数可知,这两个矢量必然垂直
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
U形管测压计
p pa
p 1 gh 1 p a 2 gh 2
p p a 2 gh 2 1 gh 1
p e 2 gh 2 1 gh 1
p pa
p p a 2 gh 2 1 gh 1
p v 2 gh 2 1 gh 1
由上式可解得
h p
2g

1 2
h 920 13600 0 .7
15590 13600 9 . 806
16 . 4 cm
重力场中流体的平衡
例２-4 如图所示，已知 h 2 2 5 0 m m， h3 2 0 0 m m， h = 3 0 0 m m 4
h5 = 5 0 0 m m
代入上式得 去掉对数符号
ln
或者
g z z1 RT 1
z z1
RT 1 g
ln
p1 p
p p1e
重力场中流体的平衡
◆
可压缩流体中压强的变化
1
在大气层中,从高11000m到 T 216 . 7 20100m的空间为大气恒温层,层内 K
z 1 11000 m p 1 22638 Pa
用液柱高度表示
hV
pV
g

Байду номын сангаас
pa p
g
4
各压强度量 １工程大气压＝ 9 .80665 10 单位之间的 １标准大气压＝ 1 . 01325 10 换算 １巴＝ 10 Pa
5
Pa
5
Pa
重力场中流体的平衡
金属式测压计
压电晶体式传感器
重力场中流体的平衡
◆
流体静压强的测量和液柱式测压计
工程流体力学
第二章 流体静力学
第一节流体静压强及特性
当流体处于平衡或相对平衡状态时,作用在流体上的应力只 有法向应力而没有切向应力,流体作用面上负的法向应力就 是静压强
pn dF dA p nn
流体静压强的两个特性
特性一：流体静压强的作用 方向沿作用面的内法线方向

流体静压强及其特性
z p z hp
g
或
hp
p
g
※ 当连续不可压缩的重力流体处于平衡状态时,在流 体中的任意点上,单位重量流体的总势能为常数
重力场中流体的平衡
◆不可压缩流体中压强的变化
几何意义
z
p
位置水头 压强水头
g

A-A 静水头线
之和为静水头
A－A′ 计示静水头线
※不可压缩的重力流体 处于平衡状态时,静水头 线或者计示静水头线为 平行于基准面的水平线
k
微压计系数，0.2、0.3、 0.4、0.6、0.8
重力场中流体的平衡
例如图２-１所示，一倒置的Ｕ形管，其工作液体为油，
下部为水已知 9 1 7 kg m
油 3
，求两容器中的压强 h 10 cm， a 10 cm
解
由等压面的关系知
p A p B 水 g a h 油 gh
dp p RT 1
f x f y 0, f z g
积分
gdz

RT 1 dp p gdz 0
RT 1 ln p gz C
当
z z1
时
p p1
得,积分常数
p p1 g z z1 RT 1

C RT 1 ln p 1 gz 1
1 2
1 6
xyz 0
1 3
由于
A BCD cos p n ˆ x ,
yz

px pn fx
x 0
忽略无穷小量
px pn
p y pn
pz pn
px p y pz pn
※证明在静止流体内部,压强只是点的坐标的连续函数
静压强可表示为
流体静压强及其特性
h
gh
该式还表明:均质不可压缩的重力流体处于平衡状态时,自由液面上的 压强对内部任意点上的影响是相同的,即施加与自由液面上的压强,将 以同样的大小传递到液体内部任意点上—帕斯卡原理
重力场中流体的平衡
◆
可压缩流体中压强的变化
等温过程,气体的密度

p RT
重力场中单位质量力分量为 代入压差公式,得
p p x, y, z
第二节欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
在静止流体中取一微 元平行六面体 边长 δx、δy、δz 中心点坐标 a(x,y,z) 中心点压强 p 单位质量力的分量
fx 、fy、 fz
作用在x轴垂直的两个面中心点b、c上的流体静压强，可将a 点的静压强按泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小项求得
被测流体的密度
1 2
U形管中工作液体的密度
重力场中流体的平衡
◆
流体静压强的测量和液柱式测压计
容器中A,B点的位置高度一样
p A 1 gh 1 p B 1 gh 2 2 gh
测量压差 U形管测压计还可用来测量流体的压强差
p p A p B 2 hg 1 gh 2 1 gh 1 2 1 h
5 . 255
◆
绝对压强 计示压强 真空
p p a gh
p e p p a gh
绝对压强：以完全真空为基准计量的压强
计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强
示压强为负值，此时，流体处于真空状态
真空：当被测流体的绝对压强低于大气压强时，测得的计
pv pe pa p
倾斜式微压计
p 2 p1
h 2 l A1 A 2
工作液体一般采用 蒸馏水或者酒精
h1 l sin
两个容器中流体的密度
1 2
U形管中工作液体的密度
h h1 h 2 l sin A1 A 2
p p 2 p 1 gh g sin A1 A 2 l kl
适用范围：可压缩、不可压缩流体
静止、相对静止状态流体
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
等压面
p x p y p z dz f x dx f y dy f z dz
上式中(1)×dx +(2)×dy +(3)×dz得 压强差公式
dp dx dy
等压面
在流体中压强相等的点组成的面
1 1 0 0 0 kg m ， 2 8 0 0 kg m ， 3 1 3 5 9 8 kg m
3 3
3
求A B两点的压强差 解 图中1-1,2-2和3-3均为等压面,根据流体静压强计算公式,
可以逐个写出每一点的静压强,分别为
p 1 p A 1 gh 1 p 2 p 1 3 gh 2 p 3 p 2 2 gh 3 p 4 p 3 3 gh 4 p B p 4 1 g h5 h 4
代入得大气恒温层的压 强计算公式
p 22638 e
z 11000 6344
从海平面到11000m的空间,为标 准大气的对流层,该层内温度随高 度的变化规律为 T T 0 z

将重力场中单位质量力分量及温度表达式,代入压强差公式,得 对流层中压强和高度的关系 dp gdz
p R T 0 z
p A 水 g a b h 油 gh 水 gb p B
p
A
pB
水 g
a h 917 1000 O
油 水
h
100 100 108 . 3 mmH
2
100
重力场中流体的平衡
例2 3如图，一压强测试装置，活塞直径d 35mm，重15 N，油的密度1 920 kg m ，
将上式逐个代入下一个式子
p B p A 1 gh 1 3 gh 2 2 gh 3 3 gh 4 1 g h 5 h 4
整理后得A,B两点的压强差
p A p B 1 g h 5 h 4 3 gh 4 2 gh 3 3 gh 2 1 gh 1 9806 0 . 5 0 . 3 133400 0 . 3 7850 0 . 2 133400 0 . 25 9806 0 . 6 67867 Pa
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
流体的平衡微分方程式
p x p x f x x y z p yz p y z 0 x 2 x 2
x方向的平衡方程式 化简得 同除以
f x x y z
fz g

流体,积分得
z
p

dp gdz

g
c1
对1,2两点列方程
z1
p1
g
z2
p2
g
※ 适用于不可压缩重力流体的平衡状态
重力场中流体的平衡
◆
流体静力学基本方程
物理意义
z
p
单位重量流体的位势能

之和为总势能
g
单位重量流体的压强势能
对图中a点和b点列静力学方程
p x
xyz 0
m x y z

fx
1 p
x
1 p
0
（1） （2） （3）
fy
y
1 p
0
同理得
fz
z
0
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
◆
流体的平衡微分方程式
写成矢量
1 f p 0
流体平衡微分方程式 又叫欧拉平衡微分方程式 意义：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡
3
水银的密度 2 13600 kg m ，若不计活塞的摩擦和泄漏，试计算活塞底面和U形管中
3
水银液面的高度差h 0.7m时，U 形管中两水银液面的高度差。
解
活塞重量使其底面产生的压强为
p 15

4

2
15
d

4
15590 Pa
2
0 . 035
列等压面方程
p 1 gh 2 g h
重力场中流体的平衡
◆
帕斯卡原理
对淹深为h的a点和压强为p0的自由液面上的点， 列静力学基本方程
z p
g
z h
p0
g

p p 0 gh
上式表明:不可压缩的重力流体处于平衡状态时,流体内部的 静压强由两部分构成 1 自由表面的压强
2 淹深为 、密度为 的流体柱产生的压强
◆力函数
流体平衡的条件 单位质量力分量之间有下述关系
f y x f x y
f x z f z x
f z y f y z
力的势函数
x, y, z
上式是质量力具有力的势函数的充分必要条件
fx x
fy y
fz z
写成矢量
f grad
上式表明,对于不可压缩流体,质量力存在势函数,此时,质 量力为有势的力
欧拉平衡微分方程 等压面 力函数
第三节 重力场中流体的平衡
流体静力学基本方程式
重力场中,取xoy为水平面,z轴垂直向 上,在该坐标系中单位质量力的分量为 对于不可压缩
fx fy 0
第一节流体静压强及特性

特性二：静压强与作用面在空间的方位无关， 只是坐标点的连续可微函数 边长
δx、δy、δz
静压强 Px、Py、Pz和Pn 密度
ρ
单位质量力的分量
fx 、fy、 fz
流体静压强及其特性
第一节流体静压强及特性
力在x方向的平衡方程为
px 1 2
y z p n A BCD cos p n ˆ x f x ,
结构最简单的液柱式测压计 为了减小毛细现象的影响,玻璃管直径一般不小于10cm
测压管
分被测压强高于和低于大气压强两种情况
p pa
p p a gh
p e gh
p pa
p p a gh
p v gh
重力场中流体的平衡
◆
流体静压强的测量和液柱式测压计
也要考虑毛细现象的影响,管径的要求和测 压管相同,压强量程比测压管大得多 工作液体一般 采用水或水银