(完整版)浙教版一元二次方程知识点及习题

The shortest way to do many things is
一元二次方程知识点及习题（一）
1、认识一元二次方程：
概念：只含有一个未知数，并且可以化为 ax2 bx c 0 ( a,b, c 为常数，
a 0 )的整式方程叫一元二次方程。
程。
构成一元二次方程的三个重要条件：
①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。
。
四：一元二次方程中的代换思想（降次）
典例分析：
1、已知 x2 3x 2 0 ，求代数式 x 13 x2 1 的值。
x 1
2、如果 x 2 x 1 0 ，那么代数式 x3 2x 2 7 的值。
3、已知 , 是方程 x2 x 1 0 的两个根，那么 4 3
.
4、已知 a
是一元二次方程
x2
3x
1
0
的一根，求
a3
2a 2
5a
1
的值。
a2 1
五：根的判别式
1、若关于 x 的方程 x2 2 k x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围
是
。
2、关于 X 的方程 kx2 6x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（
）
A、 k ＞9
B、 k ＜9 且 k ≠0
A. 有两个正的实数根 C. 有一个正实数根、一个负实数根
一定（ ）
B. 有两个负的实数根 D. 没有实数根
课堂练习： 1、已知关于 x 的方程 x2 (2m 1)x m2 2 0 有两个不等实根，试判断直线
y (2m 3)x 4m 7 能否通过 A（－2，4），并说明理由。
2、若关于 x 的方程 kx2 4x 3 0 有实数根，则 k 的非负整数值是 。 3、已知关于 x 的方程 x 2 (k 2)x 6 k 0 有两个相等的正实数根，则 k 的值是（ ）
C、 k ＜9
D、 k ≤9 且
k ≠0
3、关于 x 的一元二次方程 m 1x2 2mx m 0 有实数根，则 m 的取值范围是
() A. m 0、m 1
B. m 0
C. m 1
D. m 1
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4、对于任意实数 m，关于 x 的方程
A.Biblioteka B.C. 2 或D.
4、已知 a、b、c 为 ABC 的三边，且关于 x 的一元二次方程
c bx2 2a cx 3 a c 0 有两个相等的实数根，那么这个三角形是
4 。
5、如果关于 x 的方程 mx2 2m 2x m 5 0 没有实数根，那么关于 x 的方
程 m 5x2 2m 2x m 0 的实根个数是
一：一元二次方程的定义
例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A 3x 12 2x 1
B 1 120 x2 x
C ax 2 bx c 0
D x2 2x x2 1
2、若方程 (m 2)x|m| 3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）
A． m 2
B．m=2
a
a2
11.已知 x2 3x 1 0 ，求
x2 1 2 的值。 x2
12.已知
x 3y x2
x 32
9
0，求
x 1 的值。 y 1
13.已知关于 x 的方程 x2 2(a 1)x a2 7a 4 0 的两根为 x1 、 x2 ，且满足
x1x2
3x1
3x2
2
0
.求
(1
4 a2
。
4、若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，a,b,c 满足 a+b+c=0 和 a-b+c=0,则方程的根是
_______。
5、方程 a bx2 b cx c a 0 的一个根为（ ）
A 1
B1
C bc
D a
课堂练习： 1、已知一元二次方程 x2+3x+m=0 的一个根为 -1，则另一个根为 2、已知 x=1 是一元二次方程 x2+bx+5=0 的一个解，求 b 的值及方程的 另一个根．
如： x2 2 3 0 是分式方程，所以 x2 2 3 0 不是一元二次方
x
x
②、只含有一个未知数。 ③、未知数的最高次数是 2 次。
2、一元二次方程的一般形式：
一般形式： ax2 bx c 0
( a 0 )，系数 a,b, c 中， a 一定不能为
0， b 、 c 则可以为 0， 其中， ax2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一
4、已知 x、y 为实数，求代数式 x2 y 2 2x 4 y 7 的最小值。
三、公式法 1、 x 2 2x 8 0
2、 2x 2 5x 1 0
四、因式分解法
1、 x 2 2x
2、 (x 1)2 (2x 3)2 0
3、 x 2 6x 8 0
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次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去 括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。
例题：将方程 (x 3)(3x 1) x2 化成一元二次方程的一般形式.
解： (x 3)(3x 1) x2
去括号，得： 3x2 8x 3 x2
移项、合并同类项，得： 2x2 8x 3 0
(一般形式的等号右边一定等于
0)
3、一元二次方程的解法：
(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）
形式： (x a)2 b
(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2 ，将 原方程配成 (x a)2 b 的形式，再用直接开方法求解.）
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3、已知 2 y 2 y 3 的值为 2，则 4 y 2 2 y 1 的值为
。
4、已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0a 0的系数满足 a c b ，则
此方程必有一根为
。
三：一元二次方程的求解方法
2ab 3 5b （4）3c 5c2÷2 2a
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1 1 8.已知 2 5x＝ 5，求 x 的值．
9.已知 A 1 , B 1 , 求 1 1 的值。
3 2 2 3 2 2 A1 B 1
10. 已知 a 1 1 10 ，求 a2 1 的值。
。
6、已知关于 x 的方程 x2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的 周长。
7.用简便方法计算． （1）－6 45×（－4 48）；
（2）（－64） × （－81）；
（3）1452－242；
A、 a ≠1
B、 a ≠－2
C、 a ≠1 且 a ≠－2
D、 a ≠1 或
a ≠－2
二：一元二次方程的解
1、关于 x 的一元二次方程 a 2x2 x a 2 4 0 的一个根为 0，则 a 的值为
。
2、已知方程 x2 kx 10 0 的一根是 2，则 k 为 。
，另一根是
3、已知 a 是 x2 3x 1 0 的根，则 2a 2 6a
(3)、公式法：（求根公式： x b b2 4ac ） 2a
(4)、分解因式法：（理论依据： a b 0 ，则 a 0 或 b 0 ；利用提公因式、 运用
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公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于 0 的形式。
一、直接开平方法 1 x2 9 0;
二、配方法
．
练习 1、如果二次三项式 x2 （2 m 1)x 16 是一个完全平方式，那么 m 的值是 _______________ 2、试用配方法说明 x2 2x 3 的值恒大于 0。
3、已知 x2 y 2 4x 6 y 13 0、x、y 为实数，求 x y 的值。
C． m 2
D． m 2
3、关于 x 的一元二次方程（a－1）x2＋x+a2－l=0 的一个根是 0。则 a 的值为(
)
A、 1
B、－l
C、 1 或－1 D、 1 2
4、若方程 m 1x2 m x 1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是
。
5、关于 x 的方程 (a 2 a 2)x2 ax b 0 是一元二次方程的条件是（ ）
) 4
a
a
2
的值。
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五、整体法
例： a 2 b2 2 a 2 b2 6 0, 、a 2 b2
变式 1：若 x y2 x y 3 0 ，则 x+y 的值为
。 。
变式 2：若 x2 xy y 14 ， y 2 xy x 28 ，则 x+y 的值为
。
变式 3：已知 (x 2 y 2 1)(x 2 y 2 3) 5 ，则 x 2 y 2 的值等于