20.2(2)一次函数的图像
一次函数图像课件(共14张PPT)
（增的大图2）而象当从_减_k左_＜小_到_0，时右这下，__时y_降随_函_x数．的
做一做
画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答 下列问题：
（2）当x取何值时,y=0? 解：(（2)因3）为当yx=取0 何所值以时-,2yx＞+20=?0 ，x=1
（3）因为 y＞0 所以 -2x+2 ＞ 0 ，x < 1
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
y x 2
y x 2
（增的大图2）而象当从_减_k左_小＜_到_0，时右下这，__时y降_随_函_x数．的
y减少
x增大
概括
一次函数y＝kx＋b有下列性质： （1） 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函 数的图象从左到右上升；
一次函数的性质(1)
说一说：
1、一次函数的一般式。 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2、一次函数的图象是什么？
一条直线。
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。 2.能根据k与b的值说出函数的有关性质。
y 2 x 1 3
x 0 3 2
y10
y 3x 2 y 2 x 1 3
y增大 x增大
解：方法一 把两点的坐标代入函数关系式
当 x=2 时, m= 4
3
1
当 x= -3 时, n= 2
所以 m > n。
方法二因为
1
K= 6
>0，所以函数y随x增大而增大。
从而直接得到 m > n。
小结
经过本节课的学习，你有哪些收获？
（2） 当k＜0时，Байду номын сангаас随x的增大而减___小__，这时函 数的图象从左到右下__降___．
20.2一次函数的图像
20.2 一次函数的图像（1）教学目标：1. 了解一次函数的图像是直线，会用描点法画一次函数的图像；2. 理解直线的截距的意义，根据一次函数解析式写出截距；3. 掌握求一次函数图象与坐标轴交点的方法；4. 会根据已知条件，求出一次函数的解析式教学重点难点：重点：根据两点画出一次函数的图象. 难点：求直线与坐标轴的交点.教学过程：一．复习回顾画出函数y x =的图像，它的图像是过 和 的 .提问：1y x =+的图像是怎样的呢？二． 新课讲授动手来做（1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的y 值. （2）描点： （3）连线结论：1y x =+的图像是一条直线.一般地，一次函数y =kx +b （k 、b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线.一次函数y =kx +b 的图像也称为直线y =kx +b .这时，我们把一次函数的解析式y =kx +b 称为这条直线的表达式.两点画直线例题1 在平面直角坐标系中，画一次函数223y x =-的图像截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线y =kx +b （0k ≠）与y 轴的交点坐标是（0，b ），截距是b .例题2 写出下列直线的截距：（1）42y x =--；（2）8y x =；（3）31y x a =-+；（4）()24(2)y a x a =++≠-.例题3 已知直线y=kx+b经过点A（-20,5）、点B（10,20）两点，求：（1）k、b的值；（2）这条直线与坐标轴的交点的坐标.练习：课后练习第4题已知直线y=kx+b经过点A（-1,2）、点B（12,3），求这条直线的截距.三．课堂小结四．布置作业测一测1、一次函数y=2x+6的图象与y轴相交，则交点坐标为＿.2、已知一次函数y=kx+b的图象经过（-1，1）、（2，3）两点，则这个一次函数的关系式为＿.3、已知点A（1，a）在直线y=-2x+3上，则a=＿.4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三B．二、三、四C．一、二、四D．一、三、四20.2 一次函数的图像（2）教学目标：1. 知道两条平行直线的表达式之间的关系，能用这种关系确定直线表达式；.2. 通过直线相对于x轴正方向的倾斜程度及两条平行直线表达式的关系的研究，经历观察、分析与探索的思维过程，提高一运动变化的观点处理问题的能力;3. 利用直线的表达式来讨论两条直线的平行，体会数学结合思想.教学重点难点：重点：根据两平行线表达式的关系，求函数解析式.难点：对直线平移的理解..教学过程：一．复习引入在同一直角坐标系中画出下列直线：（1）直线123y x=+；（2）直线32y x=+；（3）直线22y x=-+；(4) 直线123y x=-+.这四条直线的共同点：（1）截距是；（2）都过点. 不同点：（从直线相对于x轴正方向的倾斜程度思考）二．新课讲授例题4 在同一直角坐标系中画出直线122y x =-+与直线12y x =-，并判断这两条直线之间的位置关系.学生活动：在练习本上画出图像思考：这两条直线有什么位置关系？怎样由12y x =-得到122y x =-+的图像？ 得出结论：教师活动：对证明予以说明由特殊到一般得出：1. 一般地，一次函数y=kx+b （0b ≠）的图象可由正比例函数y=kx 的图像平移得到：当吧b>0时，向上平移b 个单位；当b<0时，向下平移b 个单位., 2. （1）如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行； （2）如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么1212,k k b b =≠ 思考：在2（1）中，为什么要求12b b ≠？例题5. 已知一次函数的图象经过点A （2，-1），且与直线112y x =+平行，求这个函数的解析式.练习：课后第2、3题2. 已知直线y=（m-1）x+m 与直线y=2x+1平行，求： （1） 求m 的值；（2） 求直线y=（m-1）x+m 与x 轴的交点. 3. 已知一次函数的图像经过点M （-3,2），且平行于直线y=4x-1. （1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像与坐标轴围成的三角形面积.三．课堂小结1. 两条平行直线之间的表达式之间的关系.2. 利用平行关系求直线的解析式.四．布置作业20.2 一次函数的图像（3）教学目标：1. 知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，能以函数的观点来认识一元一次方程的解与一元一次不等式的解集.2. 通过研究一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，体会数形结合的数学思想，初步领略用函数知识分析问题的方法.教学重点难点：重点：从数和形两个角度，探讨一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系. 难点：从一次函数图像的角度理解一元一次方程的根与一元一次不等式的解集.教学过程：一．问题引入1. （1）求直线112y x =-与x 轴的交点坐标； （2）解一元一次方程1102x -=.思考：交点与方程的解有什么关系？ 得出结论：直线112y x =-与x 轴的交点的横坐标就是方程1102x -=的解。
一次函数的图像与性质
一次函数与其他数学知 识的联系
与二次函数的关系
一次函数与二次函数的定义域和值域相同 一次函数和二次函数的图像都是直线或抛物+bx+c，可以转化为一次函数的形式y=ax+b
与线性代数的关系
一次函数是线性代数的基本概念之一，是线性方程组的一种形式。
图像的绘制方法
确定函数表达式
确定自变量的取值 范围
计算对应的函数值
将自变量和函数值 对应在坐标系上描 点
图像的特性
一次函数的图像是一条直 线
图像的斜率表示一次函数 的增减性
图像上的点满足一次函数 的解析式
图像上的点满足函数的定 义域和值域
一次函数的性质
斜率
一次函数图像的 斜率等于函数的 系数
积分与一次函数：积分是微分的逆运算，与一次函数有密切的联系，可以通过积分 来研究一次函数的图像和性质。
微分方程与一次函数：微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，一次函数是微分 方程的解的一种形式，可以用来解决实际问题。
线性代数与一次函数：线性代数是研究线性方程组的数学工具，一次函数是线性方 程组的一种特例，可以通过线性代数来研究一次函数的解和性质。
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一次函数的图像与性质
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CONTENTS
01 一次函数的图像
02 一次函数的性质
03 一次函数的应用
04 一次函数与其他数 学知识的联系
一次函数的图像
一次函数图像是一条直线
图像的形状
斜率表示函数图像的倾斜程度
y截距表示函数图像与y轴的交点
图像随x的增大而增大或减小
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
值域和定义域
一次函数的图象ppt
一次函数图象在数学和实际生活中有着广泛的应用，如解决工程问题、优化设计 问题等。
发展历程
从17世纪牛顿和莱布尼兹的微积分学开始，逐渐发展出了一次函数的图象和性质 的理论体系。
02
一次函数图象的作图方法
直接描点法
总结词
通过直接将函数解析式中自变量与因变量的对应值在坐标系 中标记，得到函数图像。
应用案例2
02
在金融中，一次函数图象可以用于分析股票价格与某个自变量
之间的关系，从而制定更好的投资策略
应用案例3
03
在交通中，一次函数图象可以用于分析车流量与某个自变量之
间的关系，从而制定更好的交通规划方案
05
一次函数图象的总结与展望
一次函数图象的成就与不足
成就
一次函数的图象在历史上对于数学和科学 的发展起到了重要的作用，它直观地表示 了函数的变化趋势，有助于理解函数的性 质和变化规律。
可视化
现在有很多软件工具可以帮助人们更方便地绘制一次函数的 图象，例如Python、MATLAB等，人们可以通过这些工具更 方便地探索和分析函数的变化。
一次函数图象在未来的应用前景
教育领域
一次函数图象在教育领域中有着广泛的应用，它可以帮助学生们更好地理解函数的性质和 变化规律，进而提高数学学习的效果。
示例1
通过观察图象，利用一次函数图 象交点求解方程 $y = x + 3$ 与 $y = -x + 6$ 的解
示例2
通过观察图象，利用一次函数图象 交点求解方程 $y = 3x$ 与 $y = 2x + 10$ 的解
一次函数图象的优化方案
优化方案的内容
调整参数，使得一次函数的图 象更易于观察和解方程
一次函数的图像(解析版)
5.4一次函数的图像一、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.要点：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线：当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，k ）的一条直线； 一次函数(0)y kx b k =+≠图象和性质如下：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定： （1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.一、单选题1．已知正比例函数34y x =-，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A ．()4,3-B ．()4,3--C ．()2,1-D ．()3,4-【答案】A【提示】将选项各点坐标代入，即可判断．【解答】A ．当4x =时，=3y -，故点()4,3-在函数图象上，A 项符合题意； B ．当4x =-时，33y =≠-，故点()4,3--不在函数图象上，B 项不符合题意； C ．当2x =-时， 1.51y =≠，故点()2,1-不在函数图象上，C 项不符合题意； D ．当3x =-时， 2.254y =≠，故点()3,4-不在函数图象上，D 项不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．已知一次函数y kx b =+的图象经过点()2,1-，且平行于直线2y x =-，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1C ．3-D ．4【答案】C【提示】根据两直线平行，一次项系数相等求出k 的值，再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵一次函数y kx b =+与直线2y x =-平行， ∴一次函数解析式为2y x b =-+，∵一次函数2y x b =-+经过点()21-，， ∴()122b =-⨯-+， ∴3b =-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正确求出2k =-是解题的关键． 3．关于函数21y x =--，下列结论正确的是（ ） A ．图象必经过点()2,1- B ．y 随x 的增大而增大C ．当12x >时，0y < D ．图象经过第一、二、三象限 【答案】C【提示】根据一次函数的性质可进行排除选项．【解答】解：由函数21y x =--可知：20k =-<，10b =-<，则y 随x 的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B 、D 选项错误；当2x =-时，则()2213y =-⨯--=，所以函数图象经过点()2,3-，故A 选项错误； 当12x >-时，0y <，所以当12x >时，0y <说法正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．4．已知一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像经过1)A y ，2)B y ，3(5,)C y ，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【答案】D【提示】根据一次函数的增减性判断即可． 【解答】解：∵3m <， ∴(3)0k m =-<， ∴y 随x 的增大而减小，又∵点1)A y ，2)B y ，3(5,)C y 均在一次函数31(3)y mx x m =-+<的图像上，∵()()22277,525,2728===,∴7527<<， ∴231y y y <<, 故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，无理数的估算，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 5．三个正比例函数的表达式分别为①y ax =；②y bx =③y cx =，其在平面直角坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b >>aC ．b a c >>D ．b c >>a 【答案】C【提示】先根据函数图象经过的象限得出0a >，0b >，0c <，再根据直线越陡，k 越大得出答案． 【解答】解：∵y ax =和y bx =的图象经过一、三象限，y cx =的图象经过二、四象限， ∴0a >，0b >，0c <， ∵直线y bx =比直线y ax =陡， ∴b a >， ∴b a c >>， 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象，当0k >时，函数图象经过一、三象限；当0k <时，函数图象经过二、四象限；直线越陡，k 越大．6．将直线21y x =+向下平移2个单位长度后，得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．与x 轴交于点20（，） B ．与y 轴交于点()0,1-C ．y 随x 的增大而减小D ．与两坐标轴围成的三角形的面积为12【答案】B【提示】首先根据函数图像平移法则，向下平移2个单位，则给函数解析式右端减2，即可得到平移后的直线方程；接下来根据一次函数图像的性质分析与坐标轴围成面积，交点坐标以及y 随x 的变化关系，即可得解．【解答】解：将直线21y x =+向下平移2个单位长度后得到直线21221y x x =+-=-，A 、直线21y x =-与x 轴交于1,02⎛⎫⎪⎝⎭，故本选项不合题意；B 、直线21y x =-与y 轴交于()0,1-，故本选项，符合题意；C 、直线21y x =-，y 随x 的增大而增大，故本选项不合题意；D 、直线21y x =-与两坐标轴围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的平移及性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 7．如图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，mn≠0）图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【提示】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论m 、n 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当0mn >，y mnx =过一，三象限，m ，n 同号，同正时y mx n =+过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当0mn <时，y mnx =过二，四象限，m ，n 异号，则y mx n =+过一，三，四象限或一，二，四象限．观察图象，只有选项C 符合题意， 故选：C ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当00k b >>，，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限； ②当00k b ><，，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限； ③当00k b <>，时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限； ④当00k b <<，时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．8．已知一次函数y kx b =+（0k ≠），如表是x 与y 的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数的图象向上平移4个单位长度得到2y x =-的图象C ．函数的图象不经过第三象限D ．若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y < 【答案】C【提示】首先把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，解方程组，即可求得一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【解答】解：把04x y =⎧⎨=⎩、12x y =⎧⎨=⎩分别代入解析式，得42b k b =⎧⎨+=⎩ 解得24k b =-⎧⎨=⎩故该一次函数的解析式为24y x =-+，故该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故C 正确；20k ＜，∴y 随x 的增大而减小，故A 错误；若()11,A x y ，()22,B x y 两点在该函数图象上，且12x x <，则12y y ＞，故D 错误； 将该函数的图象向上平移4个单位长度得到28y x =-+的图象，故B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键． 9．如图，直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，，点()2P n ，在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点．当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（ ）A ．()2,0-或()3.0B ．()2,0或()3.0C ．()1,0或()4.0D ．()2,0或()4.0 【答案】B【提示】根据题意，可以求得点A 点B 和点P 的坐标，设出点M 的坐标再根据分类讨论的方法结合勾股定理即可求得点M 的坐标． 【解答】解：∵直线l ：12y x m =+交x 轴于点A ，交y 轴于点()01B ，∴当0y =，102x m +=，1012m ⨯+=， 解得1m =，2x =-，∴点A 坐标为(20)-，， ∵点()2P n ，在直线l 上 ∴当2y =，1212n =+， 解得2n =，即()22P ，设M 点坐标为()0a ，当AM PM ⊥ 时，此时点P 与点M 横坐标相同，即2a n == ， ∴(20)M ，； ②当AP PM ⊥时，此时()222AM a =+ ，()2224PM a =-+ ，222[(2(2)]220AP =--+= ，根据勾股定理得()()2224202a a -++=+，解得，3a =，∴(30)M ，；综上所述∴(20)M ，或(30)M ，； 故选B ．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，动点中的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．10．已知直线483y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，若将ABM 沿AM折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B '处，则直线AM 的函数解析式是（ ）A ．142y x =-+ B ．243y x =-+ C ．132y x =-+ D ．133y x =-+【答案】C【提示】先求出点,A B 的坐标，从而得出,OA OB 的长度，运用勾股定理求出AB 的长度，然后根据折叠的性质可知,AB AB MB MB ''==，OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=，运用勾股定理列方程得出OM 的长度，即点M 的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可．【解答】解：当0x =时，4883y x =-+=，即(0,8)B ，当0y =时，6x =，即(6,0)A ，所以226810AB AB '=+=，即(4,0)B '-，设OM x =，则8B M BM BO MO x '==-=-，1064B O AB AO ''=-=-=， ∴在Rt B OM '中，B O OM B M ''+=， 即2224(8)x x +=-， 解得：3x =， ∴(0,3)M ， 又(6,0)A ，设直线AM 的解析式为y kx b =+，则063k b b =+⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AM 的解析式为132y x =-+．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出(0,3)M 的坐标是解本题的关键．二、填空题11．正比例函数()32y a x =-的图象过第一、三象限，则a 的取值范围是______． 【答案】23a ＞##23a <【提示】根据正比例函数的图象经过第一、三象限，得k>0，即320a -＞，计算即可得解． 【解答】解：由正比例函数()32y a x =-的图象经过第一、三象限， 可得：320a -＞，则23a ＞．故答案为：23a ＞．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y=kx （k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小． 12．已知直线1L ：26y x =-，则直线1L 关于x 轴对称的直线2L 的函数解析式是______． 【答案】26y x =-+##62y x =-【提示】直接根据关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可． 【解答】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数， ∴直线1L ：y=2x-6与直线2L 关于x 轴对称， 则直线2L 的解析式为-y=2x-6，即y=-2x+6． 故答案为：y=-2x+6．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．13．如图，正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），当2x <时，1y ___________2y （填“>”或“＜”）【答案】＜【提示】根据两函数图象及交点坐标，即可解答．【解答】解：正比例函数11y k x =和一次函数22y k x b =+的图象相交于点2,1A （），∴由图象可知：当2x <时，12y y <， 故答案为：＜．【点睛】本题考查了利用函数图象比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 14．已知(,1)A n n +、(1,4)B n n -+、(,)C m t 是正比例函数y kx =图象上的三个点，当3m >时，t 的取值范围是______． 【答案】9t <-【提示】根据,A B 两点在y kx = 上求出k 得出该正比例函数解析式后，由单调性判断即可．【解答】将点A 与点B 代入y kx = ，得：141n knn k n +=⎧⎨+=-⎩（） ， 两式相减，得：3k =- ， 3y x ∴=-，∴ y 随x 的增大而减小，当3m = 时，339t =-⨯=-， ∴ 当m ＞3时，t ＜-9，故答案为：t ＜-9.【点睛】本题考查函数解析式的求解与正比例函数的性质，将未知点代入求出解析式为关键，属于中等题．15．在平面直角坐标中，点()3,2A --、()1,2B --，直线()0y kx k =≠与线段AB 有交点，则k 的取值范围为______． 【答案】232k ≤≤##223x ≥≥ 【提示】因为直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，所以当直线y ＝kx （k≠0）过()1,2B --时，k 值最大；当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，然后把B 点和A 点坐标代入y ＝kx （k≠0）可计算出对应的k 的值，从而得到k 的取值范围． 【解答】解：∵直线y ＝kx （k≠0）与线段AB 有交点，∴当直线y ＝kx （k≠0）过B （﹣1，﹣2）时，k 值最大，则有﹣k ＝﹣2，解得k ＝2； 当直线y ＝kx （k≠0）过A （﹣3，﹣2）时，k 值最小，则﹣3k ＝﹣2，解得k ＝23， ∴k 的取值范围为232k ≤≤．故答案为：232k ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉一次函数图象的性质．16．直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点，两直线相交于x 轴上同一点A ． （1）:m n =________（2）若8ABC S =△，点A 的坐标是______________ 【答案】 2:3 ()4,0或()4,0-【提示】根据两直线相交同一点，则横坐标相同，即可；设A 的坐标为：()0a ，，根据8ABC S =△，则12ABCSBC a =⨯⨯，解出a ，即可． 【解答】∵直线8y mx =-和直线12y nx =-相交x 轴上同一点A ∴08mx =-，012nx =-∴直线8y mx =-与x 轴的交点为8,0m ⎛⎫⎪⎝⎭，直线12y nx =-与x 轴的交点为12,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴812m n= ∴:2:3m n =；设A 的坐标为：()0a ， ∵8ABC S =△ ∴12ABCSBC a =⨯⨯ ∵直线8y mx =-与直线12y nx =-分别交y 轴于B ，C 两点 ∴点()0,8B -，()0,12C - ∴1482ABCSa =⨯⨯= ∴4a =∴4a =±∴点A 的坐标为()4,0或()4,0-． 故答案为：2:3；()4,0或()4,0-．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象与性质．17．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，O 为坐标原点． 若△AOB 的面积为6，则该一次函数的解析式为_____________ ．【答案】443y x =--或443y x =+【提示】分两种情况：当点B 在y 轴正半轴时，当点B 在y 轴负半轴时，然后利用待定系数法进行计算即可解答．【解答】解：点(3,0)A ，3OA ∴=，AOB ∆的面积为6，∴162OA OB ⋅=， ∴1362OB ⨯⋅=，4OB ∴=，(0,4)B ∴或(0,4)-，将(3,0)A ，(0,4)B 代入(0)y kx b k =+≠得： 304k b b +=⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-+，将(3,0)A ，(0,4)B -代入(0)y kx b k =+≠得：304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴一次函数的解析式为：443y x =-，综上所述：一次函数的解析式为：443y x =-+或443y x =-，故答案为：443y x =-+或443y x =-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =-+与坐标轴交于A ，B 两点，OC AB ⊥于点C ，P 是线段OC 上的一个动点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒，得到线段'AP ，连接'CP ，则线段'CP 的最小值为______．【答案】222-【提示】由点P 的运动确定P '的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小．【解答】解：由已知可得()()0,44,0A B ， ∴三角形OAB 是等腰直角三角形，OC AB ⊥，()2,2C ∴，又P 是线段OC 上动点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转45︒， P 在线段OC 上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，当P 在O 点时和P 在C 点时分别确定P'的起点与终点，'P ∴的运动轨迹是在与x 轴垂直的一段线段MN ，∴当线段'CP 与MN 垂直时，线段'CP 的值最小，在AOB 中，4AO AN ==，42AB =424NB ∴=，又Rt HBN 是等腰直角三角形，422HB ∴=-('24422CP OB BH ∴=--=---=．故答案为2．【点睛】此题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．三、解答题19．已知一次函数()2312y k x k =--+．(1)当k 为何值时，图像与直线29y x =+的交点在y 轴上？ (2)当k 为何值时，图像平行于直线2y x =-？ (3)当k 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 【答案】(1)1k = (2)0k = (3)2k <【提示】（1）先求出直线29y x =+与y 轴的交点坐标，把此点坐标代入所求一次函数的解析式即可求出k 的值；（2）根据两直线平行时其自变量的系数相等，列出方程，求出k 的值即可； （3）根据比例系数0<时，数列出不等式，求出k 的取值范围即可． 【解答】（1）解：当0x =时，9y =，∴直线29y x =+与y 轴的交点坐标为()09，， ∵一次函数()2312y k x k =--+的图像与直线29y x =+的交点在y 轴上， ∴()203129k k -⨯-+=， 解得：1k =；（2）解：∵一次函数()2312y k x k =--+的图像平行于直线2y x =-，即直线2y x =-向上或向下平移312k -+个单位后的图像与一次函数()2312y k x k =--+的图像重合，∴22k -=-且3120k -+≠，20k -≠， 解得：0k =．（3）解：∵y 随x 的增大而减小，解得：2k <．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征及函数性质，图形平移等知识点．熟练掌握一次函数的性质是题的关键．20．如图，直线OA 经过点()4,2A --．(1)求直线OA 的函数的表达式；(2)若点()12,P n 和点()25,Q n 在直线OA 上，直接写出12n n 、的大小关系； (3)将直线OA 向上平移m 个单位后经过点()2,4M ，求m 的值． 【答案】(1)12y x = (2)12n n < (3)m=3【提示】（1）设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中，可求出k 的值； （2）根据函数的增减性分析即可；（3）先求出平移后的函数解解析式，由此可求出m 的值． (1)解：设函数解析式为y kx =，将()4,2A --代入函数解析式中得：24k -=-，12k =， 故函数解析式为：12y x =； (2)解：∵0k >，∴y 随x 的增大而增大， ∵()12,P n ，()25,Q n 中，2＜5，(3)解：设平移后函数解析式为：12y x b =+， 将()2,4M 代入函数解析式中得：1422b =⨯+，解得：3b =， 故函数的解析式为：132y x =+， 故m=3．【点睛】本题考查根据函数图象求正比例函数的解析式，求函数的增减性，函数图象的平移． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 经过点O 和点A ，将直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒，再向上平移2个单位长度得到直线2l ．求直线1l 与2l 的解析式．【答案】直线1l 的解析式是2y x =；直线2l 的解析式是122y x =-+ 【提示】根据A 点坐标，利用待定系数法求直线1l 的解析式；同理求出旋转90︒后的直线解析式，再根据“上加下减”求出向上平移2个单位后的解析式．【解答】解：由图象可知：点A 的坐标是(2,4)，点A 逆时针旋转90︒后得到点A '的坐标是(4,2)-， 设直线1l 的解析式是1y k x =， 则可得：124k =， 解得：12k =，故直线1l 的解析式是2y x =．设直线1l 绕点O 逆时针旋转90︒后的直线解析式是2y k x =， 把点(4,2)A '-代入2y k x =，得242k -=，解得212k =-，即12y x =-．故可得直线2l 的解析式是122y x =-+． 【点睛】本题考查一次函数的旋转与平移，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，并掌握函数图象平移的规律． 22．如图，直线13342y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，．(1)求直线CD 的解析式；(2)判断ACD 的形状，并说明理由． 【答案】(1)39y x =-+(2)ACD 是等腰三角形，理由见解析【提示】（1）先求出点C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD 的解析式即可； （2）先求出点A 的坐标，进而求出AC CD AD 、、的长即可得到答案．【解答】（1）解：∵直线2y kx b =+经过()30D ，，与直线13342y x =+交于点()3C m ，， ∴33342m =+，∴2m =，∴点C 的坐标为()23，， ∴2330k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴39k b =-⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为39y x =-+； （2）解：ACD 是等腰三角形，理由如下： 对于13342y x =+，当0y =时，2x =-，∴点A 的坐标为()20-，， ∴()()22522035AD AC ==--+-=，，()()22233010CD =-+-=，∴AD AC =，∴ACD 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形的判定，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数3124y x =-+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，OM AB ⊥，垂足为点M ．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求OM 的长；(3)存在直线AB 上的点N ，使得12OAN OAB S S ∆∆=，请求出所有符合条件的点N 的坐标． 【答案】(1)A (160)，，B (0)12，； (2)9.6OM =； (3)N (86)，或(246)-，．【提示】（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A ，B 坐标； （2）利用三角形的面积的计算即可求出OM ；（3）设出点N 的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可． 【解答】（1）解：令0x =， ∴12y =， ∴B (0)12，， 令0y =， ∴31204x -+=，∴16x =， ∴A (160)，；（2）解：由（1）知，A (160)，，B (0)12，， ∴1612OA OB ==，，∴196202OAB S OA OB AB =⨯===，△，∵OM AB ⊥， ∴11209622OAB S AB OM OM =⨯=⨯⨯=△， ∴9.6OM =；（3）解：由（2）知，96OAB S =△，16OA =， ∵直线AB 上的点N ， ∴设N 3(12)4m m -+，， ∵12OAN OAB S S =△△， ∴111||16||8||9648222OAN N N N S OA y y y =⨯=⨯⨯=⨯=⨯=△，∴38|12|484m ⨯-+=，∴8m =或24m =， ∴N (86)，或(246)-，． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题的关键，是一道比较简单的基础题目．24．当m ，n 为实数，且满足1m n +=时，就称点(),m n 为“和谐点”，已知点()0,7A 在直线l ：y x b =+，点B ，C 是“和谐点”，且B 在直线l 上． (1)求b 的值及判断点()2,1F -是否为“和谐点”； (2)求点B 的坐标；(3)若AC =C 的横坐标． 【答案】(1)7b =，点()2,1F -是“和谐点”(2)()34B -，(3)点C 的横坐标为1或7-【提示】（1）将点()0,7A 代入直线l ：y x b =+，可得b 的值，根据“和谐点”的定义即可判断； （2）点B 是“和谐点”，所以设出点B 的横坐标，表示出纵坐标，因为点B 在直线l ：7y x =+上，把点B 代入解析式中求得横坐标，进而求得点B 的坐标；（3）点C 是“和谐点”，所以设出点C 的横坐标为c ，表示出纵坐标1c -，根据勾股定理即可得出当52AC =时对应的点C 的横坐标．【解答】（1）解：∵点A 在直线y x b =+上， ∴把()0,7A 代入y x b =+， ∴7b =，∵点()2,1F -，()211+-=， ∴点()2,1F -是“和谐点”； （2）解：∵点B 是“和谐点”，∴设点B 的横坐标为p ，则纵坐标为1p -，点B 的坐标为(),1p p -， ∵点B 在直线l ：7y x =+上，∴把点(),1B p p -代入y=x+7得，3p =-， ∴14p -=，∴()34B -，； （3）解：设点C 的横坐标为c ， ∵点C 是“和谐点”， ∴纵坐标1c -，当52AC =时，()221752AC c c =+--=， 解得7c =-或1，∴点C 的横坐标为1或7-．【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象上点的坐标特征，根据定义判断一个点是不是“和谐点”，勾股定理等知识，理解新定义是解题的关键．25．对于函数y x b =+，小明探究了它的图象及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整：(1)自变量x 的取值范围是 ；(2)令b 分别取0，1和2-，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m 的值是 ，n 的值是 ．(3)根据表中数据，补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象；(4)结合函数y x =，1y x =+，2y x =-的图象，写出函数y x b =+中y 随x 的变化的增减情况；(5)点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图象上，当12>0x x 时，若总有12<y y ，结合函数图象，直接写出1x 和2x 大小关系．【答案】(1)任意实数(2)3，1-(3)见解析(4)当0x>时，函数y 随x 的增大而增大，当<0x 时，函数y 随x 的增大而减小(5)210x x <<或120x x <<【提示】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围；（2）把2x =-代入1y x =+，求得3m =，把=1x -代入2y x =-，求得1n =-；（3）根据表格数据补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像即可；（4）观察图像即可求得；（5）根据图像即可得到结论．【解答】（1）解：函数y x b =+中，自变量x 可以是全体实数，故答案为：全体实数；（2）解：把2x =-代入1y x =+，得3y =，把=1x -代入2y x =-，得1y =-，∴3,1m n ==-，故答案为：3，1-；（3）解：补全函数y x =，1y x =+，2y x =-的图像如下：（4）解：由图知，当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； 故答案为：当0x >时，函数y 随x 的增大而增大，当0x <时，函数y 随x 的增大而减小； （5）解：∵点11(,)x y 和点22(,)x y 都在函数y x b =+的图像上，当120x x >时，∴点11(,)x y 和点22(,)x y 在y 轴的同一侧，观察图像，当120x x >时，若总有12y y <，即210x x <<或120x x <<．【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键．。
20.2 一次函数的图像(2)
20.2一次函数的图像（2）知识梳理+九大题型分析+经典同步练习知识梳理一、一次函数与一元一次方程（组）与二元一次方程（组）的关系（1） 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值.（2）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.函 数 问 题方程（组）、不等式问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标关键词：数形结合解函数问题。
二、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、y kx b =+k b y 0kx b +=x kx b +y kx b =+k b x x y ax b +a x y ax b =+y ax b =+x y x y 1122=+ìí=+î，．y a x b y a x b x 11y a x b =+22y a x b =+11y a x b =+22y a x b =+ax b +ax b +ax b +ax b +a b为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.典型例题题型一：一次函数与一元一次不等式组例题1、如图，直线y kx b =+经过点()1,2--A 和点()2,0B -，直线2y x =过点,A 则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．2x <-B ．21x -<<-C ．20x -<<D ．0x <【答案】B 【解析】直线y=kx+b 经过点A （-1，-2）和点B （-2，0），观察图象，当x >-2时，直线y=kx+b 在x 轴下方，当x <-1时，直线y=kx+b 在直线y=2x 的上方，∴不等式组2x ＜kx+b ＜0的解集为-2＜x ＜-1．故选：B ．a y axb =+x ax b +a x y ax b =+y ax b =+xy题型二：一次函数与二元一次方程组例题2、如果点()1,2同时在函数y ax b =+与x by a-=的图象上，那么a ，b 的值分别为（ ）A ．a=-3，b=-1B ．a=-3，b=1C ．a=1，b=-3D ．a=-1，b=3【答案】D【解析】把点()1,2代入两个函数解析式得到方程组212,a b b a +=ìï-í=ïî 然后解方程组即可．把点(1,2)代入y =ax +b与x b y a -=中得212,a b ba +=ìï-í=ïî解方程组得13.a b =-ìí=î故选：D.拓展练：如果二元一次方程组3231x y x y -=ìí-=î无解，则直线32y x =-与31y x =-的位置关系为( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．重合【答案】A【解析】根据一次函数与二元一次方程组的关系即可判断.∵二元一次方程组3231x y x y -=ìí-=î无解，即直线32y x =-与31y x =-无交点，故位置关系为平行，选A.题型三：一次函数平移的综合性问题例题3、已知一次函数y ＝﹣2x +4的图象沿着x 轴或y 轴平移m 个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m 的值可能为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】∵一次函数y ＝﹣2x +4的图象经过一二四象限，∴一次函数y ＝﹣2x +4的图象向下平移m 个单位得到的图象与原图象关于原点对称，∴平移后的函数的解析式为y ＝﹣2x +4﹣m ，∵直线y ＝﹣2x +4经过点（1，2），该点关于原点的对称点为（﹣1，﹣2），将（﹣1，﹣2）代入y ＝﹣2x +4﹣m ，得﹣2＝2+4﹣m ，解得m ＝8，故选：D ．题型四：含绝对值的一次函数图像例题4、函数|1|y x =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据绝对值函数的值域即可判断.解：∵y=|x-1|≥0，∴只有B符合，故选：B．拓展练：将函数y＝x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|x＋b|（b为常数）的图象（1）当b＝0时，在同一直角坐标系中分别画出函数112y x=+与y＝|x＋b|的图象，并利用这两个图象回答：x取什么值时，112x+比|x|大？（2）若函数y＝|x＋b|（b为常数）的图象在直线y＝1下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，直接写出b的取值范围【答案】（1）见解析，223x-<<；（2）21b--……【解析】（1）画出函数图象，求出两个函数图象的交点坐标，利用图象法即可解决问题；（2）利用图象法即可解决问题．解：（1）当b＝0时，y＝|x＋b|=|x|列表如下：x -101112y x =+ 12112y ＝|x|11描点并连线；∴如图所示：该函数图像为所求∵1y x 12||y x ì=+ïíïî＝ ∴2x=-32=-y 3ìïïíïïî或y=x=22ìíî∴两个函数的交点坐标为A 2233æö-ç÷èø，，B(2，2)，∴观察图象可知：223x -<<时，112x +比||x 大；（2）如图，观察图象可知满足条件的b 的值为21b --……，题型五：新定义的分段函数例题5、定义新运算：a ※b ＝()()30b a b a a b b b ì-£ïí>¹ïî且，则函数y ＝4※x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据题目中的新运算，可以得到函数y ＝4※x 的图象对应的函数解析式，从而可以解答本题．解：根据新定义运算可知，y ＝4※x ＝()()34440x x x x x ì-£ïí>¹ïî且（1）当x ≥4时，此函数解析式为y ≥11，函数图象在第一象限，以（4，1）为端点且在第一象限的射线，故可排除A 、B 、C ；（2）当x ＜4时，此函数是反比例函数，图象在一、三象限．故选：D．题型六：利用一次函数图像上点的坐标的范围确定参数范围例题6、已知过点(1,4)-的直线(0)y ax b a =+¹不经过第一象限．设3t a b =-，则t 的取值范围是( )A ．124t -£<B ．85t -£<C ．104t -£<D ．123t -£<【答案】A 【解析】利用函数及方程得到a=44t -，b=134t --，根据一次函数的性质得到a<0，b<0，构建不等式组求出t 的取值范围.将点(1,4)-代入(0)y ax b a =+¹中，得a+b=-4，∴a=-4-b ，∵3t a b =-，∴a+4=t-3a ，得a=44t -，∴b=a+4=134t --，∵直线(0)y ax b a =+¹不经过第一象限．∴a<0，b<0，∴4041304t t -ì<ïïíï--£ïî，解得124t -£<，故选：A.题型七：新定义：min 与max 型在一次函数中的应用例题7、 定义m in(,)a b ，当a b ³时，m i n(,)=a b b ，当a ＜b 时，m i n(,)=a b a ；已知函数min(3,221)y x x =---，则该函数的最大值是A ．15-B ．9-C ．6-D ．6【答案】B 【解析】根据定义m in(,)a b ，可得min(3,221)y x x =---只有当3221x x --=- 取得最大值，代入即可求得最大值.解：根据根据定义m in(,)a b ，可得min(3,221)y x x =---取得最大值则3221x x --=-，因此可得6x = 代入可得639y =--=- 所以该函数的最大值为-9故选B.题型八：一次函数图像规律题例题8、如图，在平面直角坐标系中，11POA D ，212P A A D ，323P A A D ，…都是等腰直角三角形，其直角顶点()13,3P ，2P ，3P，…均在直线143y x =-+上.设11POA D ，212P A A D ，323P A A D ，…的面积分别为1S ，2S ，3S ，…，根据图形所反映的规律，2019S =（ ）A ．2018194æö´ç÷èøB ．2019194æö´ç÷èøC ．2018192æö´ç÷èøD ．2019192æö´ç÷èø【答案】A 【解析】分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．解：如图，分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D 、E ，∵P 1（3，3），且△P 1OA 1是等腰直角三角形，∴OC=CA 1=P 1C=3，设A 1D=a ，则P 2D=a ，∴OD=6+a ，∴点P 2坐标为（6+a ，a ），将点P 2坐标代入143y x =-+，得：1(6)43a a -++=，解得：32a =∴A 1A 2=2a=3，232P D =，同理求得32333,42P E A A ==，12311391339639,3,, (222422416)S S S =´´==´´==´´=Q 20182019201819449S æöç\÷èø==´题型九：一次函数图像与动态几何综合题例题9、如图，直线AB ：39y x =-+交y 轴于A ，交x 轴于B ，x 轴上一点(1,0)C -，D 为y 轴上一动点，把线段BD 绕B 点逆时针旋转90°得到线段BE ，连接CE ，CD ，则当CE 长度最小时，线段CD 的长为（ ）A B C ．5D ．【答案】B【解析】作EH ⊥x 轴于H ，通过证明△DBO ≌△BEH ，可得HE=OB ，从而确定点点E 的运动轨迹是直线3y =-，根据垂线段最短确定出点E 的位置，然后根据勾股定理求解即可.解：作EH ⊥x 轴于H ，∵∠DBE=90°，∴∠DBC+∠CBE=90°.∵∠BHE=90°，∴∠BEH+∠CBE=90°，∴∠DBC=∠BEH.在△DBO 和△BEH 中，∵∠DBC=∠BEH ，∠BOD=∠BHE ，BD=BE ，∴△DBO ≌△BEH 中，∴HE=OB ，当y=0时，039x =-+，∴x=3，∴HE=OB=3，∴点E 的运动轨迹是直线3y =-，B(3，0)，∴当CE ⊥m 时，CE 最短，此时点'E 的坐标为(-1，3)，∵B(-1，0)，B(3，0)，∴BC=4，∴BE ′，∴BD= BE ′=4，∴，∴.故选B.C ．4D ．5一、单选题1．如图，函数3y x b =+和3y ax =-的图像交于点(2,5)P --，则根据图像可得不等式33x b ax +>-的解集是（ ）A ．5x >-B ．3x >-C ．2x >-D ．2x <-【答案】C【解析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案【详解】解:从图象得到，当x ＞-2时，3y x b =+的图象在函数y=ax-3的图象上∴不等式3x+b>ax-3的解集是x>-2,故选:C【点睛】此题考查一次函数和一元一次不等式的应用,解题关键在于看懂函数图象2．如图在平面直角坐标系中，直线y 6x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与()y 0k x x =>的图象交于点C 、D ．若CD =13AB ，则k 的值为（ ）A ．4．B ．6．C ．8．D ．10．【答案】C【解析】先求出点A 、B 的坐标，于是可得AB 的长，进而可得CD 的长，设C 、D 的横坐标分别为a ，b ，则a ，b 是联立y ＝﹣x +6和y ＝k x并整理后的方程的解，由CD b -并结合根与系数的关系可得关于k 的方程，解方程即可求出k ，从而可得答案．【详解】解：对直线y ＝﹣x +6，令x ＝0，则y ＝6，令y ＝0，则x ＝6，∴点A 、B 的坐标分别为（6，0）、（0，6），∴OB ＝OA ＝6，∴AB ＝＝3CD ，∠BAO =45°，∴CD =，联立y ＝﹣x +6和y ＝k x并整理得：x 2﹣6x +k ＝0，设点C 、D 的横坐标分别为a ，b ，则a +b ＝6，ab ＝k ，∵∠BAO =45°，∴CD b -，∴CD 2＝2（a ﹣b ）2＝2[(a +b )2﹣4ab ]＝2（36﹣4k ）＝（）2，解得：k ＝8．故选：C ．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、反比例函数与一次函数的交点以及一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数2y x =的图像与直线y kx b =+交于()1,2--A ．直线y kx b =+，还经过点()2,0-．则不等式20x kx b <+<的解集为（ ）A ．2x <-B ．20x -<<C ．21x -<<-D ．10x -<<【答案】C【解析】根据图象知正比例函数y=2x 和一次函数y=kx+b 的图象的交点，即可得出不等式2x ＜kx+b 的解集，根据一次函数y=kx+b 的图象与x 轴的交点坐标即可得出不等式kx+b ＜0的解集是x ＞-2，即可得出答案．【详解】由图象可知：正比例函数y=2x 和一次函数y=kx+b 的图象的交点是A （-1，-2），∴不等式2x ＜kx+b 的解集是x ＜-1，∵一次函数y=kx+b 的图象与x 轴的交点坐标是B （-2，0），∴不等式kx+b ＜0的解集是x ＞-2，∴不等式2x ＜kx+b ＜0的解集是-2＜x ＜-1，故选：C ．【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．4．直线1:l y kx a =+如图所示，则下列关于直线2:2l y ax a =+的说法错误的是（ ）A ．直线2l 一定经过点(2,0)-B ．直线2l 经过第一、二、三象限C ．直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为2D ．直线2l 与直线3:2l y ax a =-+关于y 轴对称【答案】C【解析】取2x =-，代入计算2y ax a =+求得y 值，可判断A ；由直线1l 可得到0a >，推出直线2l 所经过的象限，即可判断B ；求得直线2l 与坐标轴围成的面积，可判断C ；分别求得直线2l 和直线3l 与与坐标轴的交点坐标，即可判断D ．【详解】A 、当2x =-时，220y a a =-+=，所以直线2l 一定经过点(-2，0)，选项A 正确；B 、由直线1l 的图象知：0a >，则直线2l 经过第一、二、三象限，选项B 正确；C 、直线2l 与x 轴相交于点(-2，0)，与y 轴相交于点(0，2a )，则直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为12222a a ´´=，选项C 错误，符合题意；D 、直线2l 与x 轴相交于点(-2，0)，与y 轴相交于点(0，2a )，直线3l 与x 轴相交于点(2，0)，与y 轴相交于点(0，2a )，而点(-2，0)与点(2，0)关于y 轴对称，则直线2l 与直线3l 关于y 轴对称，选项D 正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键．5．如图，已知正比例函数1y ax =与一次函数212y x b =-+的图象交于点P ．下面有四个结论：①0a >；②0b <；③当0x <时，10y <；④当2x >时，12y y <．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③【答案】D【解析】利用两函数图象结合与坐标轴交点进而分别分析得出答案．【详解】如图所示：∵y1=ax，经过第一、三象限，∴a＞0，故①正确；∵21 2y x b=-+与y轴交在正半轴，∴b＞0，故②错误；∵正比例函数y1=ax，经过原点，∴当x＜0时，函数图像位于x轴下方，∴y1＜0；故③正确；当x＞2时，y1＞y2，故④错误．故选：D．【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．6．定义新运算：a※b＝()()3b a baa b bbì-£ïí>¹ïî且，则函数y＝4※x的图象可能为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题目中的新运算，可以得到函数y＝4※x的图象对应的函数解析式，从而可以解答本题．【详解】解：根据新定义运算可知，y＝4※x＝() ()34440 x xx xxì-£ïí>¹ïî且（1）当x≥4时，此函数解析式为y≥11，函数图象在第一象限，以（4，1）为端点且在第一象限的射线，故可排除A、B、C；（2）当x＜4时，此函数是反比例函数，图象在一、三象限．故选：D．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．已知点A（1，a），B（m，n）（m＞1）均在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝kx的图象经过点A，过点B作BD⊥x轴于D，交反比例函数y＝kx的图象于点C，连接AC ，则下列结论正确的是（ ）A ．当m ＝2时，AC ⊥OBB ．当AB ＝2OA 时，BC ＝2CDC ．存在一个m ，使得S △BOD ＝3S △OCDD ．四边形AODC 的面积固定不变【答案】C【解析】求出点A 的坐标，确定函数关系式，进而求出各条线段的长，借助三角函数值和三角形的面积公式，逐个判断即可．【详解】由题意知，点A 的坐标为（1，2），则反比例函数的解析式为y ＝2x，当m ＝2时，点B 的坐标为（2，4），则点C 的坐标为（2，1），BC ＝3，∵AB ，OB ＝∴cos ∠OBD ＝BD AB OB BC =¹ ，∴AC 与OB 不垂直，故A 错误；当AB ＝2OA 时，点B 的横坐标为3，则点B 的坐标为（3，6），点C 的坐标为（3，23），则BC ＝6﹣23＝163，则BC ＝8CD ≠2CD ，故B 错误；∵S△OCD＝12k＝12×2＝1，∴S△BOD＝3＝12OD•BD＝12•m•2m＝m2，解得m（负值已舍去）．即存在m，使得S△BOD＝3S△COD，故C正确；∵随着点B向右移动，点C到线段AB的距离逐渐增大，则△AOC的面积逐渐增大，而S△OCD＝1固定不变，则四边形AODC的面积逐渐增大，故D错误．故选：C．【点睛】此题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点的坐标代入．8．若m为任意实数，点P(3 - m，m - 1) ，则下列说法正确的个数有（）个①若点P在第二象限，则m的取值范围是m > 3②因为m为任意实数，所以点P可能在平面内任意位置③无论m取何值，点P都是某条定直线上的点④当m变化时，点P的位置也在变化，所以在平面内无法确定与原点距离最近的点P的位置A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据坐标平面内点的坐标特征可判断①，求出点P所在的直线可判断③和②，根据垂线段最短可判断④.【详解】①若点P在第二象限，则3010mm-<ìí->î，解得m > 3,∴m 的取值范围是m > 3，故①正确；③设x=3-m ，y=m-1，∴x+y=2，∴y=-x+2，∴无论m 取何值，点P 都是某条定直线上的点，故③正确；②∵y=-x+2不经过第三象限，∴点P 不可能在平面内任意位置，故②错误；④根据垂线段最短可知，过点O 作直线y=-x+2的垂线，则垂足是与原点距离最近的点P 的位置，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，一次函数的图像与性质，以及垂线段最短的性质，求出点P 所在的定直线是解答本题的关键.9．在平面直角坐标系内有一条直线与坐标轴相交于()()2,0,0,A B m -两点，且此直线与两坐标轴围成的三角形面积为4，则点B 的坐标是( )A ．()0,4B ．()0,4-C ．()0,4-或()0,4D ．无法确定【答案】C【解析】根据三角形面积公式得到12×|-2|×|m|=4，然后解关于m 的绝对值方程即可．【详解】根据题意得12×|-2|×|m|=4，解得m=4或m=-4．∴点B 的坐标为()0,4-或()0,4故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（-b k，0）；与y 轴的交点坐标是（0，b ）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b ．也考查了三角形面积公式．10．如图，直线AB ：39y x =-+交y 轴于A ，交x 轴于B ，x 轴上一点(1,0)C -，D 为y 轴上一动点，把线段BD 绕B 点逆时针旋转90°得到线段BE ，连接CE ，CD ，则当CE 长度最小时，线段CD 的长为（ ）A B C ．5D ．【答案】B【解析】作EH ⊥x 轴于H ，通过证明△DBO ≌△BEH ，可得HE=OB ，从而确定点点E 的运动轨迹是直线3y =-，根据垂线段最短确定出点E 的位置，然后根据勾股定理求解即可.【详解】解：作EH ⊥x 轴于H ，∵∠DBE=90°，∴∠DBC+∠CBE=90°.∵∠BHE=90°，∴∠BEH+∠CBE=90°，∴∠DBC=∠BEH.在△DBO 和△BEH 中，∵∠DBC=∠BEH ，∠BOD=∠BHE ，BD=BE ，∴△DBO ≌△BEH 中，∴HE=OB ，当y=0时，039x =-+，∴x=3，∴HE=OB=3，∴点E 的运动轨迹是直线3y =-，B(3，0)，∴当CE ⊥m 时，CE 最短，此时点'E 的坐标为(-1，3)，∵B(-1，0)，B(3，0)，∴BC=4，∴BE ′，∴BD= BE ′=4，∴，∴.故选B.【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的变化，旋转变换、全等三角形的判定与性质，垂线段最短以及勾股定理等知识，解题的关键是确定点E 的位置．11．对于实数,a b ，定义符号{},min a b 其意义为：当a b ³时，{},min a b b =；当a b <时，{},min a b a =．例如：21{},1min -=-，若关于x 的函数2{}1,3y min x x =--+，则该函数的最大值是（ ）A ．1B ．43C ．53D ．2【答案】C【解析】根据定义先列不等式：213x x --+…和213x x --+…，确定其{21y min x =-，3}x -+对应的函数，画图象可知其最大值．【详解】解：由题意得：213y x y x =-ìí=-+î，解得：4353x y ì=ïïíï=ïî，当213x x --+…时，43x …，\当43x …时，{21y min x =-，3}3x x -+=-+，由图象可知：此时该函数的最大值为53；当213x x --+…时，43x …，\当43x …时，{21y min x =-，3}21x x -+=-，由图象可知：此时该函数的最大值为53；综上所述，{21y min x =-，3}x -+的最大值是当43x =所对应的y 的值，如图所示，当43x =时，53y =，故选：C【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．12．将一次函数3y x b =+（b 为常数）的图像位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，和一次函数3y x b =+（b 为常数）的图像位于x 轴及上方的部分组成“V ”型折线，过点()0,1作x 轴的平行线l ，若该“V ”型折线在直线l 下方的点的横坐标x 满足03x <<，则b 的取值范围是（ ）A ．81b -££-B ．81b -<<-C ．1b ³-D ．8b <-【答案】A【解析】先解不等式3x+b ＜1时，得x ＜13b -；再求出函数y=3x+b 沿x 轴翻折后的解析式为y=-3x-b ，解不等式-3x-b ＜1，得x ＞-1+3b ；根据x 满足0＜x ＜3，得出-1+3b =0，13b -=3，进而求出b 的取值范围．【详解】∵y=3x+b ，∴当y ＜1时，3x+b ＜1，解得x ＜13b -；∵函数y=3x+b 沿x 轴翻折后的解析式为-y=3x+b ，即y=-3x-b ，∴当y ＜1时，-3x-b ＜1，解得x ＞-1+3b ；∴-1+3b ＜x ＜13b -，∵x 满足0＜x ＜3，∴-1+3b =0，13b -=3，∴b=-1，b=-8，∴b 的取值范围为-8≤b≤-1．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，求出函数y=2x+b沿x轴翻折后的解析式是解题的关键．二、填空题13．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2.0），点（0，3），有下列结论：①关于x的方程kx十b=0的解为x=2：②关于x方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是______(填序号）．【答案】①②③【解析】根据一次函数的图象与性质判断即可．【详解】①由一次函数y=kx+b的图象与x轴点（2.0）知，当y=0时，x=2，即方程kx+b=0的解为x=2，故此项正确；②由一次函数y=kx+b的图象与y轴点（0，3），当y=3时，x=0，即方程kx+b=3的解为x=0，故此项正确；③由图象可知，x>2的点都位于x轴的下方，即当x>2时，y<0，故此项正确；④由图象可知，位于第二象限的直线上的点的纵坐标都大于3，即当x<0时，y﹥3,故此项错误，所以正确的是①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与不等式的关系，解答的关键是会利用数形结合思想解决问题．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且V BOC的面积为2．则k=______．【答案】3【解析】由一次函数解析式求得C点坐标，根据三角形面积求得B点纵坐标，代入一次函数解析式即可求得B点坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值．【详解】解：一次函数y＝﹣x+4中，令y＝0，解得x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，作BD⊥OC于D，如图．∵△BOC的面积为2，∴12OC•BD＝2，即12×4×BD＝2，∴BD＝1，∴点B 的纵坐标为1，代入y ＝﹣x +4中，可得x ＝3，∴B （3，1），∵反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象经过B 点，∴k ＝3×1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题关键．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2)-，点B 的坐标为(,2)m ，若直线1y x =-与线段AB 有公共点，则m 的值可以为_____（写出一个即可）．【答案】4(3)m ³答案不唯一【解析】由直线1y x =-与线段AB 有公共点，可得出点B 在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，在其内任取一数即可得出结论．【详解】解：当y=2时，2=x-1∴x=3∵直线y=x-1与线段AB有公共点，∴m≥3，m³答案不唯一故答案为：4(3)【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．16．一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与x轴的交点在正半轴上，则k的取值范围_____．【答案】k＞3．【解析】求出一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与y轴交于点（0，1），根据一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与x轴的交点在正半轴上，画出函数图象，确定函数经过第一、二、四象限，得到3﹣k＜0，解不等式即可．【详解】解：当x＝0时，y＝（3﹣k）x+1＝1，∴一次函数y＝（3﹣k）x+1的图象与y轴交于点（0，1）．大致画出函数图象，如图所示．∵一次函数y ＝（3﹣k ）x +1的图象经过第一、二、四象限，∴3﹣k ＜0，∴k ＞3．故答案为：k ＞3．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据一次函数图象确定函数解析式中字母取值，根据题意画出函数大体图象，列出不等式是解题关键．17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为1，AB x P 轴，点A 的坐标为()1,1，若直线1y kx =-与正方形的边（包括顶点）有交点，则k 的取值范围是_____________．【答案】13k ££【解析】根据正方形的性质求得A 、C 的坐标，分别代入y=kx 中，即可求得k 的取值，根据取值范围即可判断．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，点A （1，1），．∴B（2，1），D（1，2），当直线y=kx经过点D时，则2=k-1，k=3当直线y=kx经过点B时，则1=2k-1，解得k=1，∴若直线y=kx-1与正方形ABCD的边有交点，则k取值为：1≤k≤3，故答案为：1≤k≤3．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的性质，解题关键是求出点A、C的坐标，掌握正方形的性质．18．如图所示，函数y1＝|x|和y2＝13x+43的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是_____．【答案】x＜﹣1或x＞2【解析】由图象法可直接得出x的取值范围．【详解】由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点睛】本题考查的是一次函数的图像问题，比较简单，解题关键是观察图像得出两条直线的交点坐标.19．如图，直线y1与y2相交于点C（1，2），y1与x轴交于点D，与y轴交于点（0，1）；y2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A．下列说法正确的有_____________．①y1的解析式为y1=x+2②OA=OB③∠CDB=45°④△AOB≌△BCD．【答案】②③【解析】分析：观察函数图象，利用待定系数法求出y1的解析式为y=x+1，由此判断①；同样可得y2的解析式为y=-x+3，则可确定A（0，3），所以OA=OB，于是可对②进行判断；由y1可得OE=OD，易得D（-1，0），所以∠EDO=45°，于是可对③进行判断；通过计算BD和AB的长可对④进行判断．详解：如图，设y1的解析式为y1=kx+b，把C（1，2），B（3，0）代入得21k bb+=ìí=î，解得11kb=ìí=î，所以y1的解析式为y=x+1，故①不正确；同样可得y2的解析式为y=-x+3，当x=0时，y=-x+3=3，则A （0，3），则OA=OB ，所以②正确；当y=0时，x+1=0，解得x=-1，则D （-1，0），所以OE=OD ，则∠EDO=45°，所以③正确；因为BD=3+1=4，而，所以△AOB 与△BCD 不全等，所以④错误．故答案为②③．点睛：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．也考查了全等三角形的判定．20．如图，直线2y x =+与y 轴相交于点0A ，过点0A 作x 轴的平行线交直线1y x =+于点1B ，过点1B作y 轴的平行线交直线2y x =+于点1A ，再过点1A 作x 轴的平行线交直线1y x =+于点2B ，过点2B 及作y 轴的平行线交直线2y x =+于点2A ，…，依此类推，得到直线2y x =+上的点1A ，2A ，3A ，…，与直线1y x =+上的点1B ，2B ，3B ，…，则1n n A B -的长为______．【答案】n 【解析】根据两直线的解析式分别求出0A 、1A 、21n A A -¼与1B 、2B 、n B ¼的坐标，然后将01A B 、12A B 、23A B 、34A B 的长度求出，然后根据规律写出1n n A B -的长即可．【详解】解：令0x =代入2y x =+，2y \=，0(0,2)A \，令2y =代入1y x =+，x \=，01A B \=，令x =代入2y x =+，2y \=，12)A \，\令2y 代入1y =+，3x \=+，2(32)B \+，123A B \=，同理可求得：23A B =349A B =，由以上规律可知：1nn n A B -=，故答案为：n．【点睛】本题考查数字规律问题，解题的关键根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出1n n A B -的长的规律．三、解答题21．一次函数5y kx =-的图像经过点A(－3，7)．（1）求这个函数表达式；（2）若13x -<<，求函数值y 的取值范围；（3）若直线y mx n =+（0m >）也经过点A ，请直接写出不等式5mx n kx +>-的解集．【答案】（1）45y x =--；（2）171y -<<-；（3）x>-3．【解析】（1）利用待定系数法将A 点代入即可求出函数解析式；（2）分别计算x=-1和x=-3时y 的值，即可得出y 的取值范围；（3）结合函数的增减性即可得出不等式的解集．【详解】解：（1）将A(－3，7)代入5y kx =-得735k =--，解得4k =-，所以这个函数表达式为45y x =--；（2）当x=-1时，451y =-=-，当x=3时，12517y =--=-，所以，当13x -<<，函数值y 的取值范围为：171y -<<-；（3）∵两函数都经过A 点，∴当x=-3时，两函数值相等，∵y mx n =+（0m >），y 随x 的增大而增大，45y x =--，y 随x 的增大而减小，∴当x>-3时，y mx n =+的值大于45y x =--的值，即5mx n kx +>-的解为x>-3．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练理解一次函数的增减性与k 的关系是解题关键．22．如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于x 的不等式ax+b >0的解集是 ；（2）关于x 的不等式mx+n <1的解集是 ；（3）当x 满足 的条件时，y 1⩽y 2；（4）当x 满足 的条件时，0<y 2<y 1．【答案】（1）4x <；（2）0x <；（3）2x £；（4）24x <<．【解析】（1）求ax +b ＞0的解集，只需确定直线y 2在x 轴上方时x 的取值范围即可；（2）求mx +n ＜1的解集，也就是求直线y 1在y =1下方时x 的取值范围，据此解答即可；（3）找出直线y 1在直线y 2的下方与相交时x 的取值范围，据此可确定y 1≤y 2时x 的取值范围；（4）根据函数图象，找出直线y 2在直线y 1的下方且在x 轴上方时x 的取值范围即可．【详解】(1)∵直线y 2=ax +b 与x 轴的交点是(4,0)，∴当x <4时, y 2>0，即不等式ax +b >0的解集是x <4；(2)∵直线y 1=mx +n 与y 轴的交点是(0,1)，∴当x <0时, y 1<1，即不等式mx +n <1的解集是x <0；(3)由一次函数的图象知,两条直线的交点坐标是(2,1.8),当函数y 1的图象在y 2的下面时，有x ⩽2，∴当x ≤2时, y 1≤ y 2；(4)如图所示,当2<x <4时,0< y 2< y 1．故答案为：（1）4x <；（2）0x <；（3）2x £；（4）24x <<．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式关系，能用函数观点看一元一次不等式是解题关键．23．如图，过点C （0，﹣2）的直线l 1：y 1＝kx +b （k ≠0）与直线l 2：y 2＝x +1交于点P （2，m ），且直线l 1与x 轴交于点B ，直线l 2与x 轴交于点A ．（1）直接写出使得y 1＜y 2的x 的取值范围；（2）求点P 的坐标和直线l 1的解析式；（3）若点M 在x 轴的正半轴上运动，点M 运动到何处时△ABP 与△BPM 面积相等？求出此时△BPM 面积．【答案】（1）x ＜2；（2）点P 的坐标为（2，3），y 1＝52x ﹣2；（3）点M 运动到（0，135）时△ABP 与△BPM 面积相等，S △BPM ＝2710．【解析】（1）观察函数图象得到当x ＜2时，直线l 1在直线l 2的下方，则y 1＜y 2；（2）先把P （2，m ）代入y 2＝x +1，求出m 得到P 点坐标，然后利用待定系数法求直线l 1的解析式；（3）由△ABP 与△BPM 有相同的高，即h ＝3．当AB ＝BM 时，△ABP 与△BPM 面积相等，可求BM ＝OM ﹣OB ＝95，求得OM ＝95+45=135，则点M 运动到（0，135）时△ABP 与△BPM 面积相等，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：（1）当x ＜2时，y 1＜y 2；（2）把点P （2，m ）代入y 2＝x +1中，得m ＝2+1＝3，∴点P 的坐标为（2，3）．把点C （0，﹣2）、P （2，3）分别代入y 1＝kx +b 中，得223b k b =-ìí+=î，解得522k b ì=ïíï=-î，。
一次函数的图象课件ppt
一次函数与其他数学知识的结合应用
一次函数与二次函数的结合
在解决某些数学问题时，可能需要将一次函数和二次函数结合起来，例如求函数 的极值点。
一次函数与微积分的结合
在解决某些物理问题时，可能需要将一次函数和微积分结合起来，例如求物体的 运动轨迹。
04
CATALOGUE
一次函数的变体
一次函数的平移
01
关于y轴对称
一次函数y=kx+b关于y轴对称的函数 为y=kx+b。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题
题目1
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)，若 k > 0，b > 0，则该函数的图象经过哪些象限？
题目2
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)，若 k < 0，b > 0，则该函数的图象经过哪些象限？
02
CATALOGUE
一次函数的图象
一次函数图象的形状
一次函数图象是一条直线
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，当k≠0时，函数的图象是 一条直线。
斜率与函数图象的关系
斜率k决定了直线图象的倾斜程度，当k>0时，图象从左下到右上倾斜；当k<0 时，图象从左上到右下倾斜。
一次函数图象的特点
确定函数的参数
根据已知条件，求出一次函数表达式中的参数k和 b。
检验作图结果
通过代入特殊值的方法检验作图结果的正确性。
03
CATALOGUE
一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
速度与时间的关系
一次函数可以表示速度与时间的 关系，例如汽车的速度随时间的
一次函数图像-课件
y 5
4 3 2
y=2x+1
-3 -2
1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3
x
上面，我们已经用描点法画出了一次函数 的图像。 上面，我们已经用描点法画出了一次函数y=2x+1的图像。那 的图像 你知道一次函数的图像是什么形状的吗？ 么，你知道一次函数的图像是什么形状的吗？ 1 探究 ： 在所给的直角坐标系中画出函数 y = x 的图像
八年级数学
柳中： 柳中：流雲
1、一次函数的一般形式 、 正比例函数的一般形式 两者有什么联系？ 两者有什么联系？
y = kx + b(k , b为常数，k ≠ 0)
y = kx(k是常数，k ≠ 0)
正比例函数是一次函数b=0时的 时的 正比例函数是一次函数 特殊情况
2、根据函数表达式画函数的图像，有哪几步？ 、根据函数表达式画函数的图像，有哪几步？ 列表 描点 连线
b 所以一次函数 y = k x + b 经过 (- — , 0) 点. k
b -— k
因为正比例函数是一次函数y=kx+b当b=0时的 当 因为正比例函数是一次函数 时的 特殊情况 所以正比例函数 是经过（ 1,k） 所以正比例函数y=kx是经过（0,0）和（1,k） 正比例函数 是经过 0,0） 的一条直线
结论1 结论1
一次函数y=kx+b （ｋ、ｂ是常数 是常数， 一次函数y=kx+b （ｋ、ｂ是常数，且ｋ≠０）的图像 ０ 是一条直线，直线上的点与y=kx+b对应的x y=kx+b对应的 是一条直线，直线上的点与y=kx+b对应的x、y的 值一一对应。一次函数y=kx+b的图像也称为直 值一一对应。一次函数 的图像也称为直 线y=kx+b。 。 一次函数y=kx+b （ｋ、ｂ是常数 是常数， 一次函数y=kx+b （ｋ、ｂ是常数，且ｋ≠０）的图像 ０ 是一条直线。因此作一次函数图像时， 是一条直线。因此作一次函数图像时，只要确定 两个点，再通过两个点作直线就可以了。 两个点，再通过两个点作直线就可以了。
一次函数的图像课件
图像是一条直线，其上每一个点 的坐标 $(x, y)$ 都满足该函数的 解析式。
解析式中参数对图像的影响
$k$ 的影响
当 $k > 0$ 时，图像为上升直线；当 $k < 0$ 时，图像为下降直线。
$b$ 的影响
当 $b > 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于 正半轴；当 $b < 0$ 时，图像与 $y$ 轴交于负半轴。
如果将一次函数的x替换 为x+h（h>0），则图 像向左移动h个单位。
如果将一次函数的x替换 为x-h（h>0），则图像
向右移动h个单位。
03 一次函数的应用
一次函数在实际生活中的应用
一次函数在经济学中的应用
一次函数可以用来描述经济活动中的关系，例如成本与产量的关 系、价格与需求的关系等。
一次函数在物理学中的应用
截距
一次函数的截距为b，表示函数图像 与y轴的交点。当b>0时，交点在y轴 的正半轴上；当b<0时，交点在y轴的 负半轴上。
一次函数图像的平移
上平移
下平移
左平移
右平移
如果一次函数的b值增加 （即向上平移），则图 像向上移动相应的距离。
如果一次函数的b值减小 （即向下平移），则图 像向下移动相应的距离。
在物理学中，一次函数可以用来描述线性关系，例如速度与时间的 关系、力与位移的关系等。
一次函数在统计学中的应用
在统计学中，一次函数可以用来拟合数据，例如线性回归分析等。
一次函数在数学题目中的应用
一次函数在代数题中的应用
在代数题目中，一次函数可以用来解决方程和不等式问题，例如求解一元一次方 程、一元一次不等式等。
描点，最后将这些点连接成一条直线。
20.2(2)一次函数的图象
例题4
在同一直角坐标系中画出直线
1 y= x 2
1 y = - x + 2 与直线 2
, 并判断这两
条直线之间的位置关系.
一般地, 一次函数y=kx+b(b≠0)的 图像可由正比例函数y=kx的图像平移 得到.
当b＞0时， 向上平移b个单位； 向下平移 b 个单位. 当b＜0时，
如果b1≠b2,那么直线y=kx+b1与直 线y=kx+b2平行. 反过来，如果直线y=k1x+b1与直 线y=k2x+b2平行.那么k1=k2,b1≠b2,
例题5
已知一次函数的图像经过
1 点A（2，-1），且与直线y= 2 x+1
平行，求 （1）这个函数的解析式 （2）这个函数的图像与坐标轴围成 的三角形的面积
1、已知直线y=kx+b的截距为-2， 它与坐标轴围成的三角形是等腰直角 三角形，求这条直线的表达式. 2、已知直线y=mx+2与坐标轴的 1 交点分别为A、B，且OA= OB，求 2 这条直线的表达式.
操作
在同一直角坐标系中,画出下列直线:
1 (1)y = x + 2; (2)y = 3x + 2; 3
(3) y = - 2 x + 2;
1 ( 4) y= x + 2. 3
在坐标平面上画直线 y=kx+b(k≠0),截距b相同的直线 经过同一点(0,b);而由于k的值不 同,则直线相对于x轴正方向的倾 斜度不同.这个常数k称为直线的 斜率.
பைடு நூலகம்
一次函数图像及性质总结(表格)zhyane
目 录
• 一次函数图像 • 一次函数的性质 • 一次函数的实际应用 • 一次函数与其他数学知识的联系 • 一次函数的应用题解析
01 一次函数图像
图像形状
直线
一次函数的标准形式为y=kx+b，其 中k为斜率，b为截距。当k≠0时，图 像为一条直线；当k=0时，图像为y轴。
斜率决定方向
02
二次函数的最值问题可以通过求 导找到一阶导数等于0的点，这些 点就是函数的极值点，从而转化 为一次函数的问题。
与线性方程的联系
一次函数与一元一次方程紧密相关， 因为一元一次方程的解就是函数的零 点。
线性方程组的解可以通过消元法或代 入法得到，这些方法在解决一次函数 问题时也经常用到。
与三角函数的联系
详细描述
在日常生活中，我们经常面临各种选择和决策，其中最优化问题是最常见的。例如，在 购物时，我们希望找到价格和质量的最佳平衡点，这可以通过比较不同产品的价格和质
量（即一次函数的斜率和y轴上的截距）来实现。
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斜率k决定了直线的倾斜方向。当k>0 时，直线从左下到右上倾斜；当k<0 时，直线从左上到右下倾斜。
图像与坐标轴的交点
与x轴交点
令y=0，解得x的值即为与x轴的交 点。
与y轴交点
令x=0，解得y的值即为与y轴的交 点。
图像的增减性
单调性
根据斜率k的正负判断。k>0时，函数为增函数；k<0时，函数为减函数。
高度与时间的关系
总结词
高度与时间的关系也是一次函数的应用之一。
详细描述
在航空学中，高度和时间的关系通常用一次函数来表示。例如，一个物体从静止开始自由落体运动时，其高度与 时间的关系就是一次函数。
《一次函数的图像》ppt课件1
变式一：已知直线y=(3k-5)x+7与直线 y=-2x+9平行，则k= 1 . 解：∵3k-5=-2, ∴3k=3,即k=1
新知拓展
1 x 1 与两坐标轴围成的三角形的 1、直线 y 2
面积是多少？ 解: 令x=0, 得y = -1 令y=0, 得 1 x-1=0, 解得x=2 2 ∴直线经过点(0,-1)、(2,0) ∴S = 1 2 × 2× 1 = 1
次函数。 当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0 )叫正比例 函数。
2
2、描点法画函数图象的一般步骤：
列表 描点 连线
3、在平面直角坐标系中用描点法画出 下列函数的图像: (1) (2)
y=3x y 3x 2
华师大版八年级数学下册
17.3.2 一次函数的图像（1）
5
自主探究1：
在平面直角坐标系中用描点法画出下列函 数的图像:
y
5 4 3 2
y=3x
从图中可以看出:
1 y= x+2 2
1.当一次函数的
相同,
k值
1
-4 -3 -2
O -1
-1
-2
· ·
b值不相同时,
直线互相平行.
1 2 3 4 5 X
2.当一次函数的
b
值
-3
-4
相同，
k值不同时,
直线在y轴交于同一 点.
例题：
在同一直角坐标系中画出下列函数图像， 并说一说你是用什么方法画图的？观察直线 位置关系，你又有什么新发现吗？
y
.
. . . .2
0
y=x 2. . . . y=x-2
.
.
y=x+2
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20.2(2)一次函数的图像
班级 姓名 学号
一、课前复习
1、一次函数y=kx+b(k,b 是常数, k ≠0)的图像是________,且经过点____________.
2、已知直线经过点(-3,11)和(5,-5). 求：(1)这条直线的表达式; (2)这条直线的截距;
(3)这条直线与坐标轴的交点坐标.
二、新课探究
在同一直角坐标系中，画出下列直线
（1）y=31x+2, y=x+2, y=3x+2 ； （2）y= -2x+2, y=-x+2, y= -3
1
x+2.
思考：1、6条直线的截距是____________.
2、直线相对于x 轴的倾斜程度，即直线与x 轴正方向夹角的大小与k 的大小有何关系？
3、一次函数y=kx+b(k,b 是常数, k ≠0)，常数k 称为直线的____________.
画图：在同一直角坐标系中画出直线y=-21x+2，直线y=-21x ，直线y=-2
1
x-2，并判断这三条直线之间的位置关系.
思考：一次函数y=kx+b 的图像与 正比例函数y=kx 的图像有什么位置关系?
归纳：
1、一般地，一次函数y=kx+b(（k ≠0，b ≠0）的图像可由正比例函数y=kx 的图像________得到.当b>0时，向________平移b 个单位；当b<0时，向________平移|b|个单位.
2、如果k 1=k 2 ,b 1≠b 2，那么直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2_______.
3、如果直线y=k 1x+b 1与直线y=k 2x+b 2平行，那么______________ .
例1、已知一次函数的图像经过点A(4,-3),且与直线12
1
+=x y 平行, （1）求这个函数解析式.
（2）求该一次函数图像与坐标轴围成的图形形面积？
课课精练
1、在坐标平面上画直线y=kx+b(k≠0),而直线相对于x轴正方向的倾斜程度由决定。
2、一般地，一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象可由正比例函数y=kx的图象得到。
当b>0时，向平移个单位；当b<0时，向平移个单位。
3、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2之间的位置关系：
当时，直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行;
反之，如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么。
当时，直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交;
4、指出下列直线中互相平行的直线：
(1)直线y=5x+1； (2)直线y=-5x+1； (3)直线y=x+5；
(4)直线y=5x-3； (5)直线y=x-3； (6)直线y=-5x+5.
5、已知直线y=(m-1)x+m与直线y=2x+1平行.
(1)求m的值；
(2)求直线y=(m-1)x+m与x轴的交点坐标.
6、已知一次函数的图像经过点M(-3,2),且平行于直线y=4x-1.
(1)求这个函数的解析式；
(2)求这个函数图像与坐标轴围成的三角形面积.
7、已知直线y=2x-3，把这条直线沿y轴向上平移5个单位，再沿y轴向下平移3个单位，求两次平移后的直线解析式.。