罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解(新增长理论)【圣才出品】

罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解

第3章

新增长理论

3.1

考虑教材中第3.2节中1θ<时的模型。

（a）在均衡增长路径上，()A A g t *=

，其中A g *

是A g 的均衡增长路径值。利用这个事实

以及方程（3.6）

()()() L t B a L A t A t θ

γ

=

［］推导均衡增长路径上() A t 的一个表达式，

把它用B 、L a 、γ、θ和()L t 来表示。

（b）应用对（a）问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-，求均衡增长路径上()Y t 的表达式。求最大化均衡路径产出的L a 的值。

答：（a）关于产出和知识的生产函数为：

()()()()

1L Y t A t a L t =-（1）()()()()

1L t B a L t t A A θ

γ

θ=<

［］（2）

在均衡增长路径上

()()()

//1A A t A t g n γθ*==-

（3）

对（2）两边除以() A t ，即：

()()()()

1

/L t A t Ba L t A A t γθγ-=

（4）

将（3）（4）联立得：

()()

()

()()1

1

/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γ

θθγ

γγγθγθ--⎡⎤

=-⇒=-⎣⎦

上式简化为：

()()()()

1/11/L A t Ba L t n θγ

γθγ-⎡⎤

=-⎣⎦

（5）

（b）将（5）代入（1）得：

()()()()()

()()()

1/1/11

()

())1(/1/11/1L L L L Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγ

γθγθγθθγθγ---+-⎡⎤

=--⎣⎦

- -⎡=⎤ ⎣⎦

［］两边取对数，可得：

()()()()()()()()

ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

⎦一阶条件为：

经过简单的数学运算求L a

*

：

（6）

θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。γ值越大，劳动在生产函数中的作用越大，

需要雇佣越多的劳动。

3.2

考虑两个经济（用12i = ，表示），这两个经济由

()()

i i Y t K t θ

=和

()()

i i K t s t Y =

描述，

其中1θ>。假设两个经济中K 的初始值相同，但是12s s >。证明12/Y Y 是连续增加的。

证明：将产出函数()()i i Y t K t θ

=代入资本累积方程()()i i K t s t Y =

得：

()()i i i K t s t K θ

=

，1

θ>（1）

在方程（1）两边同时除以()i K t 以求出资本增长率的表达式，即：

()()()()

1

,/K i i i i i g t K t K t s K t θ-≡=

（2）

对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即：

()()()()

,,,/1K i K i i K t g t g t g θ=-

（3）

方程（3）简化为：

()()()

2

,,1K i K i t t g g θ=-

（4）

如图3-1所示。

图3-1资本增长率

由于1θ>，所以K i g ，总是保持增长。K i g ，的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如方程（2）所示。因此，即使两个经济中K 的初始值相同，只要12s s >，则两个经济的初始资本存量的增长率()0K i g ，便不同。由方程（3）可知，K i g ，的增长率是由K i g ，决定的。因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。因此，对于所有的0t ≥，有()()12K K g t g t ，，＞，并且两个国家的差距会越来越大。

将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：

()()()()1212//Y t Y t K t K t θ

=⎡⎤⎣⎦

（5）

对方程（5）两边取对数，然后求导，得：

（6）

由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的0t ≥，都有()()12K K g t g t ，，＞成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。

3.3

考虑第3.3节中分析的经济。假设1θβ+<，0n >，且经济处于均衡增长路径上。

说明以下各种变化如何影响0

A g =

线和

K g =

线，以及变化发生时经济在

()A k g g ，空间上的

位置：

（a）n 增加；（b）K a 增加；（c）θ增加。答：（a）n 增加

0A g = 线和0K g =

线由下式给出：

0A K k g n

g g ∙

=⇒=+（1）()10k A A g g n

g θγβ

∙

=-⇒-=

（2）

资本和知识的增长率公式为：

（3）

（4）

从方程（1）可以看出，对于给定的A g ∙

，由于n 增加，满足0K g ∙

=的k g 变大了，0K g ∙

=线向上移动；从方程（2）可以看出，由于n 增加，对于给定的A g ，满足0A g ∙

=的k g 变小了，因此0A g ∙

=向下移动，如图3-2所示。