中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案

中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题及答案

一、相似

1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．

（1）求证：AF⊥BE；

（2）求证：AD=3DI．

【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，

∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，

∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，

∴AE=CE，

∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，

∴△CDE≌△CDF，

∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，

∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，

在△ABE与△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠ABE=∠FAC，

∵∠BAG+∠CAF=90°，

∴∠BAG+∠ABE=90°，

∴∠AGB=90°，

∴AF⊥BE

（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°

∴四边形DECF是正方形，

∴EC∥DF，EC=DF，

∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，

在△AEH与△FDH中，

∴△AEH≌△FDH（AAS），

∴EH=DH，

∵∠BAG+∠CAF=90°，

∴∠BAG+∠ABE=90°，

∴∠AGB=90°，

∴AF⊥BE，

∵M是IC的中点，E是AC的中点，

∴EM∥AI，

∴，

∴DI=IM，

∴CD=DI+IM+MC=3DI，

∴AD=3DI

【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

2．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长；

（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC

∵AB=BC，

∴△ABD≌CBD

∴∠ABD=∠CBD

在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦

∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，

∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，

∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，

∴CD= ；

（3）解：延长EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，

∴BD=3 ，

∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠BEP=∠EDB，

∴△BPE∽△BED，

∴，

∴BP= ，

∴DP=BD-BP= ，

∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，

∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

∴S△BDE=12，

∴S△DPE= ．

【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。

（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。

（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。

3．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t （0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？

（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．

【答案】（1）解：在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，

∴C（0，4），

∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），

∴B（10，4），

把B、D坐标代入抛物线解析式可得，

解得，

∴抛物线解析式为y＝ x2＋ x＋4；

（2）解：由题意可设P（t，4），则E（t， t2＋ t＋4），

∴PB＝10﹣t，PE＝ t2＋ t＋4﹣4＝ t2＋ t，

∵∠BPE＝∠COD＝90°，

当∠PBE＝∠OCD时，

则△PBE∽△OCD，

∴，即BP•OD＝CO•PE，

∴2（10﹣t）＝4（ t2＋ t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），

∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；

当∠PBE＝∠CDO时，

则△PBE∽△ODC，

∴，即BP•OC＝DO•PE，

∴4（10﹣t）＝2（ t2＋ t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）

综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD

（3）解：当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90°，

∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，

∴∠OCQ＝∠AQB，

∴Rt△COQ∽Rt△QAB，

∴，即OQ•AQ＝CO•AB，

设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，

∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，

①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，