1.1.2 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质

A
(2)如果AD=
1 4
AC,
AE=
1 4
AB,
E
D
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 与（1）同理
(3)如果AD=
1 nAC,
AE=
1 n
AB,
B
C
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE 与（1）同理
由此你能得到一个什么结论?
两腰上距顶点等距的两点 与底边顶点的连线段相等.
这里是一个由特殊 结论归纳出一般结 论的一种数学思想 方法.
求证: BM=CN．
证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
又∵CM= 1 AC
2
∴CM=BN．
，BN=
1 2
AB，
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）． ∴BM=CN.
A
N
M
B
C
新知探究
例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等． 已知：如图,在△ABC中, AB=AC, BP,CQ是 △ABC两腰上的高． 求证: BP=CQ． 证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性 质： 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
课堂小测
1.如图,△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已△ABC 的周长为18cm,EC =2cm, 则△ADE的周长是 12 cm.
E
D
B
C
∠ABD=∠ ACE（已证），
AB=AC（已知），
∠A=∠A（公共角），
∴∠ABD=∠ACE(等量代换). 在△ABD与△ACE中，
∴ △ABD≌△ACE（ASA）．
∴ BD=CE(全等三角形的对应边 相等)．
新知探究
议一议：
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
（∠2A）CE如=果1∠∠AACBBD呢= ?14
3
3
那么BD=CE吗? 为什么？ BD=CE
A
E
D
B
C
∴ AD=AE, (等量代换) 在△ABD与△ACE中，
AB=AC（已知）， ∠A=∠A（公共角）， AD=AE (已证)
∴ △ABD≌△ACE（SAS）． ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
新知探究
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO,
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
本课结束
A
D
E
B
C
课堂小测
2.如图所示，△ACM 和△BCN 都为等边三角形，连接AN，BM，
求证：AN=BM. N
证明：
Mபைடு நூலகம்
∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°，
A
1
2 3
B
C
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN ≌△CMB(SAS)，
在△BQC与△CPB中，
A
Q
P
B
C
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB，∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（AAS）． ∴BP=CQ.
还有其他的结 论吗?
新知探究
议一议：
A
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
（1）如果∠ABD= 1 ∠ABC ， ∠ACE= 1 ∠ACB， 3 那么BD=3CE吗? 为什么？ BD=CE ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中， ∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边）， ∠1=∠2（已证），
∴ △BDC≌△CEB（ASA）．
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
E
D
12
B
C
新知探究
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN 是△ABC两腰上的中线．
∴AN＝BM.
课堂小测
3.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，
求∠AEB的大小. 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边 三角形.
C
E
B
F
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. D
O
A
∵ A,O,D三点共线, ∴ ∠DOB=∠COA=120°,
∴ ∠DBO=∠CAO.
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角). 同理∠A=∠B．
B
C
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
新知探究
例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA
八年级数学北师版·下册
第一章 三角形的证明
1.1.2 等腰三角形的特殊性质与 等边三角形的性质
授课人：XXXX
教学目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角 形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问 题.(重点、难点)
新课引入 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有 很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三 角形.
的度数.
解： ∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
C
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
B
E
D
A
小结
∠ABC ， BD=CE
4
由此你能得到一个什么结论?
过底边的端点且与底边 夹角相等的两线段相等.
A
E
D
B
C
如果∠ABD= 1 ∠ABC ， n
∠ACE=1 ∠ACB ， 那么
n
BD=CE吗? BD=CE
新知探究
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD= 1 AC, AE= 1 AB,
新知探究
二 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么 特征呢？ 定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
可以利用等腰三角 怎样证明这一定 形的性质进行证明. 理了？
新知探究
定理证明
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
你能证明你 的猜想吗？
P
C
新知探究
例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等． 已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．
求证: BD=CE.
A
E
D
B
12
C
新知探究
证明： ∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= 1∠ABC，
2
∠2= 1∠ACB(已知), 2
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形
的各角之间有什么关系呢？ 相等
新知探究
一 等腰三角形的重要线段的性质
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底 角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
A
A
A
E
D
N
MQ
B
CB
CB
猜想：底角的两条平分线相等； •两条腰上的中线相等； •两条腰上的高线相等.