高思奥数导引小学四年级含详解答案第19讲 格点与割补.

第19讲格点与割补
兴趣篇
1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。

三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。

三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。

阴影多边形的面积是多少平方厘米？
4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。

三个多边
形的面积分别为多少平方厘米？
5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。

四边形ABCD和三角形EFG
的面积分别是多少平方厘米？
6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

（单位：厘米）
7、如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。

已知正方形ABCD的边长是6厘
米，图中线段AE AH
、都等于2厘米。

求长方形EFGH的面积。

8、如图所示，四边形ABCD是正方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF
是平行四边形。

如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
9、如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将
小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘米？
10、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。

拓展篇
1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米。

这三个多边形的面
积分别是多少平方厘米？
2、（1）图1中每个小正方形的面积是2平方厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？
（2）图2中每个小正三角形的面积是4平方厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？
3、图中每个小正方形的边长是1厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
4、如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图1中阴影部分的面积是394平方分米。

请问：图2中的阴影部分面积是多少平方分米？
5、如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？
6、如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。

请问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
S
R
Q
A
B C
D E
F N
M P P M F E
D
C
B
A
7、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
8、图中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF 长9厘米，CF 长3厘米，求阴影部分的面积。

图(a ) 图(b )
9、图是一个边长为1米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”。

梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为0.3米。

图中阴影部分 的面积是多少平方米？
H G
I
E
B
D
A
A
D
B
E
E
B
D
A
10、在图中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米。

用粗线围成的图形面积是多少平方厘
米？
11、如图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积。

12、如图，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
超越篇
1、图中每个小正方形的边长为1厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
2、如图，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米。

在每个点都钉上钉子，形成4行4
列的正方形钉阵。

现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形？（面积相同但形状不同的三角形算一种）
3、已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点），形
成的阴影部分面积各是多少平方厘米？
4、图为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点。

围成的阴影部分的面积
为多少平方厘米？
5、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少
平方厘米？（单位：厘米）
6、如图所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7。

问：这个图形的面积最
大可能是多少？
7、如图，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为A、B、C、D。

已知图中每
一个小方格的面积都是1，请选出一个合适的格点P，使得三角形P AC的面积尽可能小（不能等于0），那么这个最小的面积是多少？
8、正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为1厘米），如图，那么空
白部分面积等于多少平方厘米？（原图不标准，待改）
第19讲 格点与割补
兴趣篇
1、图中相邻两个点间的距离均为1厘米。

三个多边形的面积分别是多少平方厘米？
【分析】利用三角形面积公式，易知三个图形的面积分别为：4平方厘米，2平方厘米，8平方厘米
2、图中相邻两格点间的距离均为1厘米。

三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？
【分析】根据格点面积公式： 12
L N +- 第一个阴影图形的面积为：4
4152+
-=(平方厘米)； 第二个阴影图形的面积为：4
4152
+-=（平方厘米）；
第三个阴影图形的面积为：
3
010.5
2
+-=（平方厘米）；；
3、图中每个小正方形的面积均为2平方厘米。

阴影多边形的面积是多少平方厘米？
【分析】阴影部分的面积为：
7
71219
2
⎛⎫
+-⨯=
⎪
⎝⎭
（平方厘米）。

4、图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为1平方厘米。

三个多边
形的面积分别为多少平方厘米？
【分析】根据题意，有①图形的面积为6个小的等边三角为6平方厘米；
根据图②知，
4
2126
2
S
⎛⎫
=+-⨯=
⎪
⎝⎭
（平方厘米）；
根据图③知，
8
41214
2
S
⎛⎫
=+-⨯=
⎪
⎝⎭
（平方厘米）；
5、如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。

四边形ABCD和三角形EFG
的面积分别是多少平方厘米？
【分析】根据毕克定理可知924220ABCD S =⨯+-=四边形（平方厘米）；
424210EFG S =⨯+-=三角形（平方厘米）
6、图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

（单位：厘米）
【分析】将图形补充完整，则可知这个多边形面积为：674221421032⨯-⨯-⨯=-=
4
3
2
2
15
7、如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH 。

已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。

求长方形EFGH 的面积。

【分析】由于2AE AH ==,所以三角形AEH 为等腰直角三角形，所以三角形EBF 也为等腰直角三角形。

则662222244216S =⨯-⨯⨯÷-⨯⨯÷=长方形（平方厘米）。

8、如图所示，四边形ABCD 是正方形，长AD 等于7厘米，宽AB 等于5厘米，四边形CDEF 是平行四边形。

如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？
【分析】阴影部分面积为平行四边形EFCD 的面积与三角细心那个HDC 的面积的差为： 5745220⨯-⨯÷=（平方厘米）。

9、如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影的面积总和等于多少平方厘米？
【分析】分别连相对的四个中点，易知阴影部分面积与空白部分面积相等，为整个正方形面积的一半，为50平方厘米。

10、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC 的面积。

【分析】根据题意，有：313468142⎛⎫
-+⨯=+= ⎪⎝⎭
（平方厘米）。

拓展篇
1、图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为1平方厘米。

这三个多边形的面
积分别是多少平方厘米？
【分析】由格点面积公式知：
①的面积为：9
417.52+-=（平方厘米）
； ②的面积为：9
31 6.52
+-=（平方厘米）；
③的面积为：12412182⎛⎫
+
-⨯= ⎪⎝⎭
（平方厘米）。

2、（1）图1中每个小正方形的面积是2平方厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？ （2）图2中每个小正三角形的面积是4平方厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？
【分析】（1）根据题意，图中 阴影部分面积可以分为两部分,其和为：；
531224172S ⎛
⎫=+-⨯+⨯= ⎪⎝⎭
（平方厘米）；
（2）84142562S ⎛⎫
=+
-⨯⨯= ⎪⎝⎭
阴（平方厘米）；
3、图中每个小正方形的边长是1厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析】8122115124101422⎛⎫⎛⎫
+
--+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（平方厘米）。

4、如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图1中阴影部分的面积是394平方分米。

请问：图2中的阴影部分面积是多少平方分米？
【分析】图1中小三角形的个数共有25个，其中涂有阴影部分的为12个。

所以运原三角形
的面积为：2941225612.5÷⨯=（平方厘米）；
图2中三角形的个数为：()1137249+⨯÷=，阴影部分的个数为16.从而求出阴影部分面积为：612.54916200÷⨯=（平方分米）。

5、如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？
【分析】根据题意，由于正方形A 的面积是36平方厘米，则整个三角新的面积为722平方厘米；
A
对图形进行如下分割，由于整个三角形的面积为72，则正方形B 所在的面积为：4
72329
⨯=（平方厘米）。

6、如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。

请问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
S
R
Q
A
B C
D E
F N
M P P M F E
D
C
B
A
【分析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个
正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF 被分成了24个小正三角形，
每一个小正三角形的面积是6240.25
÷=(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积0.259 2.25
=⨯=(平方厘米)．
7、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘
米？
【分析】连接AB，则三角形ADO的面积与三角形BOC的面积相等。

所以阴影部分的面积即为三角形DBC的面积，为18.
D
A
O
C
B
【答案】18平方厘米
8、图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF
长3厘米，求阴影部分的面积。

图(a ) 图(b )
【分析】 方法一：如图(a )，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．
ABC △占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，
ABC 99240.5S =⨯÷=△(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.59627÷⨯= (平方
厘米)．
方法二：如图(b )，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知3FG FC ==(厘米)，
所以936DG DF FG =-=-=(厘米)，于是211
6944
HIG AIGD S S =⨯=⨯=△正方形. 而四
边形IGFB 为长方形，有6BF AD DG ===(厘米)，3GF =(厘米)，所以
IGFB 6318S =⨯=长方形.阴影部分面积为AHIG 与长方形IGFB 的面积和，即为91827+=(平方厘米)．
9、图是一个边长为1米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”。

梯形的上底长1.5米，A 为上底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为0.3米。

图中阴影部分 的面积是多少平方米？
【分析】三角形AEF 面积=()()1
10.520.3752
⨯+÷=平方厘米 梯形ADGF 面积=()()11
0.7 1.50.5522
+⨯⨯=平方厘米
阴影部分面积=
1(1 1.5)0.520.3750.550.7AEF DGFA S S S S +--=++⨯÷--=正方形梯三角形梯形 (平方米)。

H G
I
E
F
B
D
A
A D B
E
E
B
D
A
10、在图中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米。

用粗线围成的图形面积是多少平方厘
米？
【分析】
7
41 6.5
2
S=+-=（平方厘米）。

11、如图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积。

【分析】图中共有8×6=48个小正方形，则一个小正方形的面积为2，根据毕克定理，知：()
82421238
S=+÷-⨯=
阴
（平方厘米）。

12、如图，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析】根据毕克定理，内部格点数6n =，边上格点数7L =，所以阴影部分面积为：
7612172⎛
⎫+-⨯=
⎪⎝⎭
（平方厘米）。

超越篇
1、图中每个小正方形的边长为1厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？
【分析】()
()()4116219122134S S S S =+-=+÷--+÷-=阴阴内空白内空白（平方厘米）。

2、如图，平面上有16个点，相邻两点间隔为1厘米。

在每个点都钉上钉子，形成4行4 列的正方形钉阵。

现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形？（面积 相同但形状不同的三角形算一种）
【分析】共能形成就9种不同面积的三角形，如下：
3、已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割（切割点均为等分点），形 成的阴影部分面积各是多少平方厘米？
【分析】通过分割法，第一幅图的面积是：7224618÷⨯=（平方厘米）； 第二幅图的面积是：7212954÷⨯=（平方厘米）； 第三幅图的面积是：7218624÷⨯=;
【答案】18平方厘米，54平方厘米，24平方厘米
4、图为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点。

围成的阴影部分的面积 为多少平方厘米？
【分析】如图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是2250.8
⨯÷=。

5、如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少
平方厘米？（单位：厘米）
【分析】大三角形面积=1
7724.5
2
⨯⨯=，小三角形面积=
1
33 4.5
2
⨯⨯=
四边形面积=24.5 4.520
-=；
6、如图所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、4、5、7。

问：这个图形的面积最 大可能是多少？
【分析】多边形面积最大为：452326⨯+⨯=；
7
21
5
4
3
所以这个图形的面积最大可能是26.
7、如图，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为A 、B 、C 、D 。

已知图中每 一个小方格的面积都是1，请选出一个合适的格点P ，使得三角形P AC 的面积尽可能小 （不能等于0），那么这个最小的面积是多少？
【分析】连接AC ，则会与横线产生很多交点。

对这些图形进行分割，对于三角形PAC 来说，高均为80，现在要求最小，则要求与横线的交点尽可能的接近格点。

由于()8020=，100，则其可以分解成400个4×5的小长方形，在这样的一个小长方形内，如下图，最短的为GF ，由于AE:OE=5:4，则OG:OE=1:4，GF:AE=OG:OE=1:4。

所以14GF =
，所以最小的面积为：11
801042
⨯⨯= G F
O
E C
A
8、正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为1厘米），如图，那么空
白部分面积等于多少平方厘米？（原图不标准，待改）
【分析】采用分割法，连接所有的小三角形的底边，则可以形成6个形如ABCD的正方形，这6个正方形的面积为6平方厘米，则空白部分的面积正好是这6个正方形的面积。