第2章_有限元法的直接刚度法-1梁单元
《有限元导论》弹簧单元与梁单元实例计算
有限元方法对工程问题的研究具有重要帮助，本文介绍了有限元方法及其基本原理以及优势，对其解决问题的一般步骤进行了总结分析。
并具体用 MATLAB 对弹簧单元和梁单元实例进一步分析计算，得出了弹簧单元各个节点位移、支反力以及单元内力；计算了梁单元所受位移、转角、力和力矩大小并绘制其剪力图和转矩图。
有限元方法；弹簧单元；梁单元;matlab1有限单元法最初作为结构力学位移法的拓展,它的基本思路是将复杂的结构或物体看成由有限数目的单元体彼此仅在结点处相联系而构成的集合体。
首先,对每一个单元分析其特性,建立相关物理量之间的相互联系;然后，依据单元之间在结点处的联系，再将各单元组装成整体,从而获得整体特性方程;最后,应用与所得方程相应的解法，即可完成整个问题的分析。
这种先“化整为零”，然后再“集零为整"和“化未知为已知”的研究方法，是有普遍意义的，是科学研究的基本方法之- -。
有限单元法作为一种近似的(除杆件体系结构静力分析外)数值分析方法,它借助于矩阵等数学工具,尽管计算工作量很大,但是分析流程是- -致的,有很强的规律性和统--的模式，因此特别适合于编制计算机程序来处理。
-一般来说,一定前提条件下分析的近似性,随着离散化单元网格的不断细化,计算精度将随之提高。
随着计算机软硬件技术的飞速发展,有限单元分析技术得到了越来越多的应用，五十多年来的发展几乎涉及了各类科学、工程领域中的问题。
从应用的深度和广度来看,有限单元法的研究和应用正继续不断地向前探索和推进。
2基础工程学科中的各种力学问题,最终归结为求解数学物理方程边值或初值问题。
而传统的研究成果只能对较简单、规则的问题进行解析求解,大量的实际科学、工程计算问题,由于数学上的困难无法得到解析的解答。
从有限单元法正式提出至今已经历了半个多世纪的发展,用有限单元法来解决问题,从理论上讲，无论是简单的十维杆件体系结构,还是承受复杂荷载和不规则边界情况的二维平面轴对称问题、三维空间块体等问题的静力、动力和稳定性分析,考虑材料具有非线性力学行为和有限变形的分析,温度场、电磁场,流体、液-固、结构与土壤相互作用等工程复杂问题的分析,都可以得到满意的解决。
有限元分析基础(推荐完整)
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。 （2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
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有限元分析 第三讲
m1 l 2 2 EJ
θ =+
1
l
1 2
m1 l EJ
m1
2
l
1节点桡度 节点桡度 1节点转角 节点转角
Q1l 3 m1l 2 f1 = 1 = 3EJ 2 EJ m1l Q1l 2 θ1 = 0 = EJ 2 EJ
解得
Q1 =
12 EJ = k11 3 l 6 EJ m 1 = 2 = k 21 l
局部坐标下梁 单元刚度矩阵
[ ]
12 EJ k e = 3 6l l 12 6l
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l 2l 2 6l 4l 2
对称矩阵
上述由几何关系, 物理方程, 上述由几何关系 物理方程 受力和位移的关系求出单元刚度矩阵 的方法——直接刚度法 的方法 直接刚度法
整体座标下的单元刚度矩阵换算通式
[ K e ] = [T ]T [ K e ][T ]
思考: 整体刚度矩阵如何迭加? 思考 整体刚度矩阵如何迭加
§3.3 位移函数—虚功原理推导单元有限元格式 位移函数—
基本原理 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数——位 将单元内任一点的位移表示成节点位移的某种函数 位 移函数, 利用虚功原理, 推导单元的刚度矩阵. 移函数 利用虚功原理 推导单元的刚度矩阵.
对方程加" 项 扩展为: 对方程加"0"项,扩展为:
N1 EA 1 11 N = 2 l 1 1 2
N1 1 0 0 0 EA 0 N = 1 1 l 0 0 0 0
6l f1 2l 2 θ1 6l f 2 4l 2 θ 2
0 0 0 0 0 0
杆件结构的有限元法
第一篇 有限元法
第二章 杆件结构的有限元法
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。
杆件结构可分为珩杆和梁两种。
和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。
Ke 1 kkaa
ka
ka
中的元素在总刚度矩阵中应在位置第1行、第2行的第1列，第2列
k k
1 11
1 21
k
1 12
k
1 22
0
0
0 0 0
第2个单元的节点号为2和3，则单元刚度矩阵叠加到总刚度矩阵 的第2行、第3行的第2列、第3列元素上
0 0 0
0
k
2 22
k
2 23
0
k
2－3 杆件系统的有限元法
一、铰支杆系统的有限元计算格式 上面求解弹簧系统的有限元方法可以直接用力求解受轴向力的杆件系统。 均质等截面铰支杆，刚度值可由材料力学中力与变形的关系中获得
AE F1 L u1
k AE L
均质等截面铰支杆的力－位移方程可写为
F F12ALE11 11uu12
坐标变换
由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。
有限元法
李中秋20111323 热能一班第一章有限元法简介有限元法是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它用于在科学研究中，可成为探究物质客观规律的先进手段。
将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
1.1 有限元法发展简史早在1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。
20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，设计师需要对飞机结构进行精确的设计和计算，便逐渐在工程中产生了的矩阵力学分析方法；1943年，Courant 发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element met hod)的名称；1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书，为后续的有限元研究奠定了重要的基础，1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著；1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题；我国的一些学者也在有限元领域做出了重要的贡献，如胡海昌于1954提出了广义变分原理[8]，钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系，钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的余能原理，冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论基础。
1.2基本概念1.2.1 有限单元数值计算的思路是将复杂问题简单化，求近似解。
即将复杂的结构分解成若干相对简单的构件或部件，分别分析，然后求解。
而且这种近似解可以收敛于问题的精确解。
有限元杆单元讲解
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
应变： L
E L EA EA 杆内力：F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
第2章 杆单元与梁单元
第 2 章
杆单元与梁单元
§ 2.1 等截面杆单元
杆单元
2.1.1 一维等截面杆单元
2.1.2 二维空间杆单元
•如何用直接法求杆单元特性？ •如何用公式法导出杆单元特性？ •什么是虚功原理？ •杆单元刚度矩阵的特点？
第 2 章 杆单元与梁单元
•什么叫坐标变换？ •如何对节点位移向量进行坐标变换？ •如何对刚度矩阵进行坐标变换？ •应用举例
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
对于杆单元，定义虚位移如下：
第二章 有限元分析基本理论
第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。
单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。
这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。
根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。
有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。
如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。
2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。
如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。
将结构离散为三个节点，两个单元。
结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。
单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。
从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。
将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。
独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。
记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。
根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。
桥梁结构分析的有限元法(62页)
桥梁结长构安及大计学算 贺拴海 培训讲义
第1篇 桥梁结构整体分析
桥梁结构分析的有限元法 梁板式结构分析的有限条法 能量原理及组合结构分析的变形协调法 变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法 桥梁结构的材料几何非线性分析
Qx
N
桥梁结构分析的有限元法j M x
桥梁结构有限元法的分析过程
桁架桥结构分析
要求。一般来说，
假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式
多项式的项数应 等于单元的自由
定单元和结点 的数目等问题。
或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以
度数，它的阶次 应包含常数项和
导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系 线性项等。这里
所谓单元的自由
式：
度是指单元结点
{ f } [N ]{ }e
6EI y
0
- l 2 (1 z )
0
(2 z )EI y 0
l(1 z )
0
6EI y
(4 z )EI y
0
l 2 (1 z )
0
l(1 z )
0
6EI z l 2 (1 y )
0
0
0
(2 y )EI z 0
l(1 y )
结点力列阵 { }e [ui , wi ,u j , wj ]T 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
[k ]0e
EA 1
l
0
0
0
结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
[k]e
EA c2
cs
l cs s2
c cos, s sin
第二部分 平面杆系结构的线弹性有限元法
§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。
其中提出最早并且应用最广的是位移法。
对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。
杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。
其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。
这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。
研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。
研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。
在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。
因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。
§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。
在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。
杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。
在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。
结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。
○2结点的编号。
为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。
2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。
第二章-杆和梁结构的有限元法案例
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
注意： 上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元 法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求 解原理和过程。
第二章
杆和梁结构的有限元法
§2.1.2 弹簧系统分析
例题1：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移
单元特性
系统平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
KD F
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
引入系统节点平衡条件
KD F
系统节点平衡方程
第二章 杆和梁结构的有限元法
2.2 杆单元和平面桁架
杆单元
2.2.1 一维等截面 杆单元
fi k f j k
第二章
k ui k u j
f kd
杆和梁结构的有限元法
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 ( k1 k2 )u2 k2u3 F3 k2u2 k2u3
第二章 杆和梁结构的有限元法
k k k
k k
fi k f j k
k ui k u j
kii k k ji
kij k jj
§2.1.2 弹簧系统分析
求解一个弹簧系统：
1）各单元的特性分别为：
第二章 杆和梁结构的有限元法
有限元分析第二章
——图2.3(b)所示 q i 单独作用所产生的位移； ——图2.3（b)所示 单独作用所产生的位
mi
移。 fi i
qi l 3 qi l 2 mi l 2 mi l f i , i , f i , i 3EI 2 EI 2 EI EI
qi l 3 mi l 2 1 3EI 2 EI 2 q l i mi l 0 2 EI EI (2 15)
qi a11 a12 a13 a14 1 a11 m a a a a a i 21 21 22 23 24 0 q a31 a a a a 32 33 34 0 j 31 m j a41 a42 a43 a44 0 a41
如图所示直梁，已知
E, I , Z , M , AB BC CD l, I AC 2I , I CD I .
图2.1 直梁
2.1.1 划分单元
两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可以按 以下原则选取： （1）杆件的交点一定要取为节点； （2）阶梯型杆截面变化处一定要取为节点； （3）支撑点和自由端要取为节点； （4）集中载荷作用处要取为节点； （5）欲求位移的点要取为节点；
EI 1 2 Z q q (12 f1 6l1 12 f 2 6l 2 ) 2 2 3 2 l EI 3 (12 f 2 6l 2 12 f 3 6l 3 ) l M m1 m 2 EI (6lf 2l 2 6lf 4l 2 ) 2 2 1 1 2 2 2 l3 EI 3 (6lf 2 4l 2 2 6lf 3 2l 2 3 ) l
第2章杆件结构的有限元法_直接刚度法
对于弹簧2-3（2单元）
F2( 2) 1800 − 1800 u 2 ( 2) = u F3 − 1800 1800 3
对于弹簧3-4（3单元）
F3( 3) 1500 − 1500 u 2 ( 3) = u F4 − 1500 1500 3
上式可以简写为 {F} = [K ]{δ } 上述过程可以用节点力平衡来完成。 为此，先写出单元的节点位移和节点力向 量的关系式： F1( e1 ) k1 − k1 u1 ( e1 ) = u F2 − k1 k1 2 F2( e2 ) k 2 − k 2 u2 ( e2 ) = u F3 − k 2 k 2 3
F 2 = 10 kN
F 3 = 20 kN
F1
F4
1
k1
2
k2
3
k3
4
三弹簧受力系统
解： （1）单元分划 一个弹簧为一个单元，一共3个单元，4个节点。 （2）形成每个单元的刚度矩阵 对于弹簧1-2（1单元）
F1(1) 1200 − 1200 u1 (1) = u F2 − 1200 1200 2
用下，发生与杆长垂直方向的位移。
（3） 局部坐标系和总体坐标系的关系 为了根据节点的力平衡条件建立杆系总体刚度矩 阵，必须将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换到 总体坐标系下。
y
(e Fy(e ) 2
F
(e) y1
2
Fx(1e )
o
o
ϕ
F22 = (k1 + k 2 )u 2
F12 = −k1u2
F32 = −k 2u2
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
第2章_有限元法的直接刚度法_平面刚架
0 0 1 0 0
0 0 0 cos 0
0 0 0 sin cos 0
0 sin
0 ui 0 vi 0 i u 0 j 0 v j 1 j
i 0 i 分块形式为 0 j j
{
单元：6个 节点：4个
结构自由度
{ 4 3 12
的矩阵。
每个节点3个自由度
个自由度
结构的整体刚度矩阵是一个
12 12
二、单元刚度矩阵 1、单元的节点力、节点位移 任取一个单元，设单元号为 e，两个节点分别为i、j。 局部坐标：局部坐标只对 该单元有效，每一个单元 有一个局部坐标。以下对 该单元所进行的分析都在 这个局部坐标系下进行。 在局部坐标系下，两个 节点的节点位移为：
6 EI l 2 f 2 EI i l i 6 EI f j 2 l j 4 EI l
(3)刚架单元的节点力和节点位移之间的关系——单元刚度矩阵 刚架单元的所有节点力和节点位移之间的关系为：
EA 0 l 12EI Ti 0 q l3 i 6 EI 0 2 mi l EA T j 0 qj l 12EI 0 m j l3 6 EI 0 l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12EI l3 6 EI 2 l 0 12EI l3 6 EI 2 l 6 EI i 2 l f 2 EI i i l j 0 f j 6 EI 2 l j 4 EI l 0
有限单元法
37
•从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而
来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析, 实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从 理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足 够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁 场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求 解几个交叉学科的问题。
时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
系统和32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元
分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前国际上著名的
有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到Wintel平
台上。
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43
44
4.2 有限单元法的分析步骤
40
但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处 理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸 张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以 上的精力都花在数据准备和结果分析上。
因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都 有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强 调"可视化"的今天,很多程序都建立了对用户非常友 好的GUI(Graphics User Interface),使用户能以可 视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限 元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成 变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的 列表输出。
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平面应力
平面应变
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(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
第2章_有限元法的直接刚度法-1梁单元
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
图2.1
(b) 单元的节点力
2.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点
的节点位移分量有2个：挠度
和转角fi'
qil3 3EI
，一般规定，向上为正，逆
1
f2
2
f3
3
f4
4
f1
1
f2
2
f3
3
f4
T 4
（2-6）
2.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
qi a11fi a12i a13f j a14j mi a21fi a22i a23f j a24j qj a31fi a32i a33f j a34j mj a41fi a42i a43f j a44j
如图2.1(a)所示
直梁，已知E、I、
Z、M， AB=BC=CD=l， IAC=2l，ICD=l。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
2.1.1划分单元
• 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取：
1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
分量等于0时，对应的第2个节点力分量。
a 41 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
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qi l 3 ' mi l 2 mi l qi l 2 ' " " fi f ，i ，i ， i 3EI 2 EI 2 EI EI
（2-14）
（2-15）
12EI qi l 3 a11 6 EI mi 2 a 21 l
（2-16）
2.1直梁的有限元分析
12 6l 12 6l
6l f 2 2l 2 2 6l f 3 4l 2 3
（2-24）
3 q3 6l 12 3 4l 2 m3 EI 6l 3 3 q 4 l 12 6l 3 m 4 6l 2l 2
2.1直梁的有限元分析
a11 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第1个节点力分量。 a 21的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 分量等于0时，对应的第2个节点力分量。 a31 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 分量等于0时，对应的第3个节点力分量。 a 41的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 分量等于0时，对应的第4个节点力分量。
fi i f i i T i
（2-1）
图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分 fi 量：、 i 、f j j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位 、 移列阵。
e
f i i
fj j
T
（2-2）
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 1 a11 a 24 0 a 21 a34 0 a31 a 44 0 a 41
e
（2-12）
由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 K 中第一列元素的物理意义： 为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 力。
'
f i f i ' f i" 1 i i' i" 0
'
i
图2.3 (b) 节点i的节点力
2.1直梁的有限元分析
可得到
qi l 3 mi l 2 1 3EI 2 EI qi l 2 mi l 0 2 EI EI 解方程（2-15）得：
f1 1 f2 2 f1 1 f3 3 f4 4
f2 2
f3 3
f4 4
T
（2-7）
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为：
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
2.1.1划分单元 • 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取： 1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
第1章 有限元法的直接刚度法
知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法 重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换 难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的
横向外力或外力偶作用。
变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作
用于梁的纵向对称面内，
因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并
不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
(b) 单元的节点力
图2.1
2.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点 的节点位移分量有2个：挠度 f 和转角 ，一般规定，向上为正，逆 时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。
2.1直梁的有限元分析
在 点固定，令 点有如图2.3(a)所示的位移，即 有 f i 1， i 0 ， j 0， j 0。代入公式（2-10）中，得 f
j
i
qi a11 m i a 21 q j a31 m j a 41
单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别 见式（2-23）、（2-24）和（2-25）
。
图2.5 三个单元的受力图
2.1直梁的有限元分析
1 q1 1 m1 2 EI 1 3 l q2 1 m 2
6l 12 6l 4l 2 12 6l 6l 2l 2
Zi Qi Z i M i
同理：
Mi
T
（2-5）
Q
e
Zi
Mi
Zj
Mj
T
（2-6）
2.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
（2-18）
2.1直梁的有限元分析
单元刚度矩阵K 中第二列元素的物理意义是： 0 ， 1 ， f 0 ， 0 时，作用在单元节点上的节点
e
fi
i
j
j
力，如图2.4所示。 求单元刚度矩阵 K e的第二列元素， 由叠加原理，可得：
q i l 3 mi l 2 ' " 0 fi fi fi 3EI 2 EI 2 ' " q i l mi l 1 i i i 2 EI EI
单元刚度矩阵 K 中元素 a ml 的物理意义：单元第 l 个节点位 移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第 m个节点力分 量。
e
2.1直梁的有限元分析
求单元刚度矩阵
K e的第一列元素，由叠加原理，可得：
（2-13）
其中，f i 、 i 为图2.3（b）所示 q i 单独作用所产生的位 移， f i 、 为图2.3（b）所示 mi 单独作用所产生的位移。
（2-3）
mj q m 图2.2(b)所示梁单元共有4个节点力分量： i 、 i、 j、 ，可用一个 列阵表示，式（2-4）称为单元的节点力列阵。
q
p
e
qi
mi
qj
mj
T
（2-4）
2.1直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力 Z 和力偶 M 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式 M Z i （2-5），表示 节点的节点载荷。 ，
对梁单元分析受力，列平衡方程，解得：
K e
（2-22）
6l 12 6l 4l 2 EI 3 l 12 6l 2l 2 6l
2.1直梁的有限元分析
从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵 K 是一个对称矩阵， 即 aij a ji 。
e
K e的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁 将单元刚度矩阵
对梁单元分析受力，如图2.3（c）所示，列平衡方程
qi q j 0 mi m j qi l 0
（2-17）
图2.3 (c) 单元的节点力
解方程（2-17）得
12EI q j qi 3 a31 l 6 EI m j qi l mi 2 a 41 l
2.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个： 剪力 Q 、弯矩 M 。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q 、 m 来表示，规定： q 向上为正， m逆时针为正。写成列阵形式见式（23），表示 i 节点的节点力。
qi p i m i
（2-19）
解方程（2-19）得：
6 EI qi l 2 a12 4 EI mi a 22 l
（2-20）
图2.4 单元刚度矩阵第2列元素的意义
2.1直梁的有限元分析
6 EI q j 2 a32 l 2 EI mj a 42 （2-21） l 同理，可求出单元刚度矩阵 K e 中的第三、四列元素，从而得到 单元刚度矩阵 K e 。
12 6l 12 6l
6l f1 2l 2 1 6l f 2 4l 2 2
（2-23）
2 q2 2 m2 2 EI 2 3 l q3 2 m3
6l 12 6l 4l 2 12 6l 2l 2 6l
写成矩阵形式： qi
（2-9）
a11 m i a 21 q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 f i a 24 i a34 f j a 44 j