第3次_谱线宽度、展宽
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4 2I0
g (
)
4
2
A
(
0 )2
2019/6/23
8
利用归一化条件： g( )d 1
4
2
A
(
d 0 )2
1
利用积分公式：
dx x2 a2
1 arctg a
x a
Me (T ) T 4
5.67 188 28564
3.77 106 W m2
斯忒藩常数： 5.67 188W m2 K 4
Me
e A
e Me A 3.77 106 8106 30.16W
2019/6/23
28
设光源为均匀光源：Ie
e
30.16
4
2.4W
sr 1
黑体辐射为余弦辐射体：Le
Ie A
2.4 8 106
3105W m2 sr 1
照度：Ee
e A
e A
r2 r2
e
1 r2
Ie
1 r2
2.4 1 0.09
26.67W m2
2019/6/23
跃迁过程中断
跃迁时间t变小
E t h
E增大，能级变宽
b、晶体中原子与相邻原子间的耦合作用，可认为是碰撞
碰撞加宽的线型函数gL ( )
gL ( )
L 2
L
2
2
1
(
0 )2
在气压不太高，温度不太低时，
与气压成正比
L
L p
2019/6/23
21
作业解答
1、推导磁场在无源区均匀极化介质中的波动方程。
2、何为态密度，导出它与光波频率的函数关系。
2019/6/23
22
1、一个电子处在1s态，另一个电子处在3d态，
请写出该原子的状态符号。
解：（1） 两电子自旋方向相反
S
s1
s2
1 2
1 2
0
L l1 l2 0 2 2
则：
dn21
dt
n2 B21
g( )( )d
n2B21( 0 ) g( )d
n2B21( 0 )
同理：
dn12 dt
n1B12( 0 )
2019/6/23
17
受激跃迁几率：
WW1221
B21( 0 ) B12( 0 )
25
3、波长为0.510m的绿光的光通量为100lm，
其视见函数V () 0.50, 入射到一个屏幕上，
求在1min 时间内该屏所接收的辐射能量。
解：V () 0.5 K () 1 v () Km 683 e ()
v () 100lm
e
()
100 683 0.5
J
m3
8.33105 eV m3
2019/6/23
32
7、如果激光器分别以 10m和 5m
输出1W的连续光功率，试求这两种情况下， 每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子 数分别是多少？
解：
1s内输出的能量为：W n21 h 1W 1s 1J
百度文库
粒子数为：n21
(
)
取 1
3 () 8 h
代入普朗克公式：
I自 I受
8 h 3
3
（e
h kT
-1）
e
h kT
-1
2.18
108
8 h
2019/6/23
31
（2） 要使 I受 1，则 3 () 1
I自
8 h
( )
8 h 3
1.3331013
n2 A21( )d
n2 A21
结论：谱线加宽对自发辐射没有影响
2019/6/23
12
（2） 受激辐射情况
爱因斯坦受激辐射系数：
B21
c3
8 h 3
A21
c3
8 h 3
A21( ) g( )
B21 ( ) B21g( ) 将受激辐射系数看成频率的函数
W
h
W
hc
10m 时，n21 51019， 5m 时，n21 2.51019
2019/6/23
33
8、设一对激光能级E2和E（1 g2 =g1）,两能级间的跃迁频率为 （相应波长为），能级上的粒子数密度分别为n2和n1。试求：
的任一频率都有贡献。
（1） 自然加宽：粒子自发辐射过程中不可避免的增宽效应
g( )
4 2
4
2
1
(
0 )2
N 2
2
N
2
1
(
0 )2
2019/6/23
19
（2） 碰撞加宽
a、气体分子间的碰撞、气体分子与容器的碰撞
碰撞
同理：
dn12 dt
n1B12 g( )
在频率的单色辐射场的作用下，
受激跃迁几率为：
WW1221
B21 g ( B12 g(
) )
2019/6/23
15
物理意义：
由于谱线的加宽，能够与原子相互作用的光的频率不一定严格等
于原子发光的中心频率（
），只要在不偏离中心频率太大的范围内，
3、2、1
原子的状态符号为： 1s3d 3D3 、1s3d 3D2、1s3d 3D1
2019/6/23
24
2、汞原子的原子序数是80，核外有80个电子， 请写出汞原子基态的电子组态。
1s22s22p63s23p6 4s23d10 4p6 5s2 4d105p6 6s2 4f145d10
2019/6/23
受激辐射跃迁几率：
W21( ) B21g( )( )
2019/6/23
13
那么，单位时间内，上能级E2上粒子数随时间的变化率为：
dn21
dt
n2W21( )d
n2B21g( )( )d
n2B21 g( )( )d
结论：dn21 dt
( 0 )2
0
4
0
4
光谱宽度为： N
2
2019/6/23
11
三、谱线加宽对原子与辐射场相互作用的影响
（1） 自发辐射情况
高能级E2上的粒子数n2随时间的变化关系为：
dn21
dt
自发辐射
n2 A21(
)d
0.29W
Qe et 0.29 60 17.4J
2019/6/23
26
6、温度为2856K的溴钨灯，灯丝面积为2mm×4mm
（视为黑体），求该辐射源的M
e
(T
)、Le、
e、I
。
e
在30cm处，一垂直于光传播方向放置的平面上的
辐射照度是多少？
2019/6/23
27
解：对于黑体
g( ) I ( )
I0 归一化条件：
g( )d
1
I ( )d
I0 0
I0 1 I0
2019/6/23
3
（3） 总自发辐射功率
I0 n2h 0 A21
I ( ) I0g( ) n2h 0 A21g( )
令A21( )=A21g( ),表示总自发跃迁几率A21中
简并度 2S 1 1
J LS 2
原子的状态符号为： 1s3d 1D2
2019/6/23
23
（2） 两电子自旋方向相同
S
s1
s2
1 2
1 2
1
L l1 l2 0 2 2 简并度 2S 1 3
J L S、L S 1、....L S
0
E0e
2
t
e
j
2
(
0
)t
dt
2
E0
j2 ( 0
)
2019/6/23
(1 6 8)
6
频率在 ~ d间的光强：
I ( )d E( ) 2 d E( )E( ) d
I ( )
2
E0
j2 ( 0
)
2
E0
j2 ( 0
§1-6 谱线形状和宽度
一、谱线加宽与线型函数
（1） 原子能级跃迁产生光子的能量为：
h E2 E1 光波频率： E2 E1
h 谱线应为线光谱
为单一频率
实际谱线总是有一定的宽度
2019/6/23
1
谱线加宽的原因：测不准原理
E t h 某一时刻，粒子所处的能级有一定的宽度E
属于频率 处单位频率内的自发跃迁几率
I ( ) n2h 0 A21( ) A21( )也可理解为跃迁几率按频率分布函数
2019/6/23
4
二、自然加宽的线型函数的推导
设t 0时刻 E2能级上的粒子数为n20
t时刻
n2 (t) n20e A21t
自发辐射光强为：
I (t) h 0 A21n2(t)=h 0 A21n20e A21t
不再简单等于n2
B21
(
)
2019/6/23
14
（1） 原子与准单色场(线宽很窄)作用
辐射场的中心频率为，光谱宽度为 ,并且 （原子能级
的光谱宽度）。在此范围内，线型函数g( )可看成常数。
则：
dn21
dt
n2 B21
g( )( )d
n2B21g( )
)
E02
2
4
4
1
2 ( 0
)2
E02
4 2
4
2
1
(
0 )2
改变一下顺序
2019/6/23
7
由g( )的定义：
g( )
I ( )
I0
1 I0
E02
4 2
4
2
1
(
0 )2
令 E02 A为待定常数
A
1
arctg
0
1
4
4
A 4 1
A
4 2
2019/6/23
9
自然加宽的线型函数为：
g( )
4 2
4
2
1
(
0 )2
这种函数称为洛仑兹函数
当 0时，g( )取最大值
gmax
4
2019/6/23
1
2
E2
E1 h
导致谱线加宽
——自然加宽
自然加宽的谱线
宽度记为 N
2019/6/23
2
（2） 线型函数g( )
以光强的相对值为纵坐标，以频率为横坐标，
所得光强分布曲线——线型函数g( )
定义：总辐射功率为I0的光谱中，落在频率～ d 范
围内的辐射功率与总功率之比值随频率的分布情况。
29
1、求在T 1500K的热平衡空腔中， 0.5m的
可见光的自发辐射功率与受激辐射功率之比。 要使受激辐射超过自发辐射，辐射场的能量密度 必须大于多少？
2019/6/23
30
解：（1）
I受 n2B21()h B21()
I自
n2 A21h
A21
8
c3
h
3
3
光的电场强度：
E(t)
t
E0e 2 e
j 20t
为衰减因子
2019/6/23
5
光强I (t) E2 (t) E 2
h
A n e A21t
0 21 20
E02e t
A21
根据傅立叶变换，电磁波的频谱为：
E( ) E(t) e j2tdt 0
-----结果同黑体辐射场（连续辐射场）
意义： 用连续谱的辐射光照射原子系统，总有与原子
系统的频率相符合辐射场，从而对原子系统进行激 励、泵浦，但辐射场的利用率比较低，大部分辐射 场都没有用上。
2019/6/23
18
§1-7 均匀加宽和非均匀加宽
一、均匀加宽
定义：在这类加宽中，每一个发光粒子所发的光对谱线
为比例系数，随气体和谱线而变。
2019/6/23
20
自然加宽和碰撞加宽均属于均匀加宽，谱线线型相同， 由二者引起的谱线加宽可以直接相加。
N L
一般情况下，碰撞加宽远大于自然加宽，自然加宽是 谱线所能达到的最低值，只有在极低的气压下才出现。 二、非均匀加宽 定义：粒子所发出的光只对谱线内某些确定的频率有贡献。 多普勒加宽：由于气体分子的多普勒效应引起的加宽 综合加宽：均匀加宽和非均匀加宽的共同作用。
0
都可以产生受激跃迁。只是在
0时跃迁几率最大，偏离
时，跃迁几
0
率会变小。（
=
时跃迁几率最大）
0
原子能级跃迁线型函数
准单色光（入射光）谱线
2019/6/23
16
（2） 原子与连续光辐射的作用
与上一情况相反：
g( )只在 0附近才有非零值，在此范围内可用( 0 )代替( )
10
谱线宽度：峰值降到 1 大小处所对应的波长范围。 2
自然加宽谱线宽度＝右侧半峰值波长－左侧半峰值波长
g( )
4 2
4
2
1
( 0 )2
1 2
gmax
2
2 8 2
4
2
( 0 )2
2 16 2
g (
)
4
2
A
(
0 )2
2019/6/23
8
利用归一化条件： g( )d 1
4
2
A
(
d 0 )2
1
利用积分公式：
dx x2 a2
1 arctg a
x a
Me (T ) T 4
5.67 188 28564
3.77 106 W m2
斯忒藩常数： 5.67 188W m2 K 4
Me
e A
e Me A 3.77 106 8106 30.16W
2019/6/23
28
设光源为均匀光源：Ie
e
30.16
4
2.4W
sr 1
黑体辐射为余弦辐射体：Le
Ie A
2.4 8 106
3105W m2 sr 1
照度：Ee
e A
e A
r2 r2
e
1 r2
Ie
1 r2
2.4 1 0.09
26.67W m2
2019/6/23
跃迁过程中断
跃迁时间t变小
E t h
E增大，能级变宽
b、晶体中原子与相邻原子间的耦合作用，可认为是碰撞
碰撞加宽的线型函数gL ( )
gL ( )
L 2
L
2
2
1
(
0 )2
在气压不太高，温度不太低时，
与气压成正比
L
L p
2019/6/23
21
作业解答
1、推导磁场在无源区均匀极化介质中的波动方程。
2、何为态密度，导出它与光波频率的函数关系。
2019/6/23
22
1、一个电子处在1s态，另一个电子处在3d态，
请写出该原子的状态符号。
解：（1） 两电子自旋方向相反
S
s1
s2
1 2
1 2
0
L l1 l2 0 2 2
则：
dn21
dt
n2 B21
g( )( )d
n2B21( 0 ) g( )d
n2B21( 0 )
同理：
dn12 dt
n1B12( 0 )
2019/6/23
17
受激跃迁几率：
WW1221
B21( 0 ) B12( 0 )
25
3、波长为0.510m的绿光的光通量为100lm，
其视见函数V () 0.50, 入射到一个屏幕上，
求在1min 时间内该屏所接收的辐射能量。
解：V () 0.5 K () 1 v () Km 683 e ()
v () 100lm
e
()
100 683 0.5
J
m3
8.33105 eV m3
2019/6/23
32
7、如果激光器分别以 10m和 5m
输出1W的连续光功率，试求这两种情况下， 每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子 数分别是多少？
解：
1s内输出的能量为：W n21 h 1W 1s 1J
百度文库
粒子数为：n21
(
)
取 1
3 () 8 h
代入普朗克公式：
I自 I受
8 h 3
3
（e
h kT
-1）
e
h kT
-1
2.18
108
8 h
2019/6/23
31
（2） 要使 I受 1，则 3 () 1
I自
8 h
( )
8 h 3
1.3331013
n2 A21( )d
n2 A21
结论：谱线加宽对自发辐射没有影响
2019/6/23
12
（2） 受激辐射情况
爱因斯坦受激辐射系数：
B21
c3
8 h 3
A21
c3
8 h 3
A21( ) g( )
B21 ( ) B21g( ) 将受激辐射系数看成频率的函数
W
h
W
hc
10m 时，n21 51019， 5m 时，n21 2.51019
2019/6/23
33
8、设一对激光能级E2和E（1 g2 =g1）,两能级间的跃迁频率为 （相应波长为），能级上的粒子数密度分别为n2和n1。试求：
的任一频率都有贡献。
（1） 自然加宽：粒子自发辐射过程中不可避免的增宽效应
g( )
4 2
4
2
1
(
0 )2
N 2
2
N
2
1
(
0 )2
2019/6/23
19
（2） 碰撞加宽
a、气体分子间的碰撞、气体分子与容器的碰撞
碰撞
同理：
dn12 dt
n1B12 g( )
在频率的单色辐射场的作用下，
受激跃迁几率为：
WW1221
B21 g ( B12 g(
) )
2019/6/23
15
物理意义：
由于谱线的加宽，能够与原子相互作用的光的频率不一定严格等
于原子发光的中心频率（
），只要在不偏离中心频率太大的范围内，
3、2、1
原子的状态符号为： 1s3d 3D3 、1s3d 3D2、1s3d 3D1
2019/6/23
24
2、汞原子的原子序数是80，核外有80个电子， 请写出汞原子基态的电子组态。
1s22s22p63s23p6 4s23d10 4p6 5s2 4d105p6 6s2 4f145d10
2019/6/23
受激辐射跃迁几率：
W21( ) B21g( )( )
2019/6/23
13
那么，单位时间内，上能级E2上粒子数随时间的变化率为：
dn21
dt
n2W21( )d
n2B21g( )( )d
n2B21 g( )( )d
结论：dn21 dt
( 0 )2
0
4
0
4
光谱宽度为： N
2
2019/6/23
11
三、谱线加宽对原子与辐射场相互作用的影响
（1） 自发辐射情况
高能级E2上的粒子数n2随时间的变化关系为：
dn21
dt
自发辐射
n2 A21(
)d
0.29W
Qe et 0.29 60 17.4J
2019/6/23
26
6、温度为2856K的溴钨灯，灯丝面积为2mm×4mm
（视为黑体），求该辐射源的M
e
(T
)、Le、
e、I
。
e
在30cm处，一垂直于光传播方向放置的平面上的
辐射照度是多少？
2019/6/23
27
解：对于黑体
g( ) I ( )
I0 归一化条件：
g( )d
1
I ( )d
I0 0
I0 1 I0
2019/6/23
3
（3） 总自发辐射功率
I0 n2h 0 A21
I ( ) I0g( ) n2h 0 A21g( )
令A21( )=A21g( ),表示总自发跃迁几率A21中
简并度 2S 1 1
J LS 2
原子的状态符号为： 1s3d 1D2
2019/6/23
23
（2） 两电子自旋方向相同
S
s1
s2
1 2
1 2
1
L l1 l2 0 2 2 简并度 2S 1 3
J L S、L S 1、....L S
0
E0e
2
t
e
j
2
(
0
)t
dt
2
E0
j2 ( 0
)
2019/6/23
(1 6 8)
6
频率在 ~ d间的光强：
I ( )d E( ) 2 d E( )E( ) d
I ( )
2
E0
j2 ( 0
)
2
E0
j2 ( 0
§1-6 谱线形状和宽度
一、谱线加宽与线型函数
（1） 原子能级跃迁产生光子的能量为：
h E2 E1 光波频率： E2 E1
h 谱线应为线光谱
为单一频率
实际谱线总是有一定的宽度
2019/6/23
1
谱线加宽的原因：测不准原理
E t h 某一时刻，粒子所处的能级有一定的宽度E
属于频率 处单位频率内的自发跃迁几率
I ( ) n2h 0 A21( ) A21( )也可理解为跃迁几率按频率分布函数
2019/6/23
4
二、自然加宽的线型函数的推导
设t 0时刻 E2能级上的粒子数为n20
t时刻
n2 (t) n20e A21t
自发辐射光强为：
I (t) h 0 A21n2(t)=h 0 A21n20e A21t
不再简单等于n2
B21
(
)
2019/6/23
14
（1） 原子与准单色场(线宽很窄)作用
辐射场的中心频率为，光谱宽度为 ,并且 （原子能级
的光谱宽度）。在此范围内，线型函数g( )可看成常数。
则：
dn21
dt
n2 B21
g( )( )d
n2B21g( )
)
E02
2
4
4
1
2 ( 0
)2
E02
4 2
4
2
1
(
0 )2
改变一下顺序
2019/6/23
7
由g( )的定义：
g( )
I ( )
I0
1 I0
E02
4 2
4
2
1
(
0 )2
令 E02 A为待定常数
A
1
arctg
0
1
4
4
A 4 1
A
4 2
2019/6/23
9
自然加宽的线型函数为：
g( )
4 2
4
2
1
(
0 )2
这种函数称为洛仑兹函数
当 0时，g( )取最大值
gmax
4
2019/6/23
1
2
E2
E1 h
导致谱线加宽
——自然加宽
自然加宽的谱线
宽度记为 N
2019/6/23
2
（2） 线型函数g( )
以光强的相对值为纵坐标，以频率为横坐标，
所得光强分布曲线——线型函数g( )
定义：总辐射功率为I0的光谱中，落在频率～ d 范
围内的辐射功率与总功率之比值随频率的分布情况。
29
1、求在T 1500K的热平衡空腔中， 0.5m的
可见光的自发辐射功率与受激辐射功率之比。 要使受激辐射超过自发辐射，辐射场的能量密度 必须大于多少？
2019/6/23
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解：（1）
I受 n2B21()h B21()
I自
n2 A21h
A21
8
c3
h
3
3
光的电场强度：
E(t)
t
E0e 2 e
j 20t
为衰减因子
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5
光强I (t) E2 (t) E 2
h
A n e A21t
0 21 20
E02e t
A21
根据傅立叶变换，电磁波的频谱为：
E( ) E(t) e j2tdt 0
-----结果同黑体辐射场（连续辐射场）
意义： 用连续谱的辐射光照射原子系统，总有与原子
系统的频率相符合辐射场，从而对原子系统进行激 励、泵浦，但辐射场的利用率比较低，大部分辐射 场都没有用上。
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§1-7 均匀加宽和非均匀加宽
一、均匀加宽
定义：在这类加宽中，每一个发光粒子所发的光对谱线
为比例系数，随气体和谱线而变。
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自然加宽和碰撞加宽均属于均匀加宽，谱线线型相同， 由二者引起的谱线加宽可以直接相加。
N L
一般情况下，碰撞加宽远大于自然加宽，自然加宽是 谱线所能达到的最低值，只有在极低的气压下才出现。 二、非均匀加宽 定义：粒子所发出的光只对谱线内某些确定的频率有贡献。 多普勒加宽：由于气体分子的多普勒效应引起的加宽 综合加宽：均匀加宽和非均匀加宽的共同作用。
0
都可以产生受激跃迁。只是在
0时跃迁几率最大，偏离
时，跃迁几
0
率会变小。（
=
时跃迁几率最大）
0
原子能级跃迁线型函数
准单色光（入射光）谱线
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（2） 原子与连续光辐射的作用
与上一情况相反：
g( )只在 0附近才有非零值，在此范围内可用( 0 )代替( )
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谱线宽度：峰值降到 1 大小处所对应的波长范围。 2
自然加宽谱线宽度＝右侧半峰值波长－左侧半峰值波长
g( )
4 2
4
2
1
( 0 )2
1 2
gmax
2
2 8 2
4
2
( 0 )2
2 16 2