2020年二次函数与特殊图形的存在性问题(解析版)
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二次函数与特殊图形的存在性问题
1.如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣2,2),B(﹣2,0),C(0,2),D(2,0)四点,动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合),设运动时间为t(秒).(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)点P在(1)中的抛物线上,当M为BC的中点时,若△PAM≌△PBM,求点P的坐标;
(3)当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥x轴,垂足为F,ME⊥AB,垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值;
(4)点Q为x轴上一点,直线AQ与直线BC交于点H,与y轴交于点K.是否存在点Q,使得△HOK 为等腰三角形?若存在,直接写出符合条件的所有Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,将点A(﹣2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式即可;
(2)由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,点P的纵坐标是1,则有1=﹣﹣x+2,即可求P;
(3)S=(GM+BF)×MF=(2t﹣4+t)×(4﹣t)=﹣+8t﹣8=﹣(t﹣)2+;
(4)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=x+2,直线AQ的解析式y=﹣(x+2)+2,求出点K
(0,),H(﹣,),由勾股定理可得OK2=,OH2=+,HK2=+,分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可.
【解答】解:(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,
将点A(﹣2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式可得
,∴,∴y=﹣﹣x+2;
(2)∵△PAM≌△PBM,∴PA=PB,MA=MB,∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,
∵AB=2,∴点P的纵坐标是1,∴1=﹣﹣x+2,∴x=﹣1+或x=﹣1﹣,
∴P(﹣1﹣,1)或P(﹣1+,1);
(3)CM=t﹣2,MG=CM=2t﹣4,
MD=4﹣(BC+CM)=4﹣(2+t﹣2)=4﹣t,MF=MD=4﹣t,
∴BF=4﹣4+t=t,
∴S=(GM+BF)×MF=(2t﹣4+t)×(4﹣t)=﹣+8t﹣8=﹣(t﹣)2+;
当t=时,S最大值为;
(4)设点Q(m,0),直线BC的解析式y=x+2,直线AQ的解析式y=﹣(x+2)+2,
∴K(0,),H(﹣,),
∴OK2=,OH2=+,HK2=+,
①当OK=OH时,=+,
∴3m2+12m+8=0,∴m=﹣2+或m=﹣2﹣;
②当OH=HK时,+=+,
∴m2+4m+8=0,∴m无解;
③当OK=HK时,=+,
∴m2+4m﹣8=0,∴m=﹣2+2或m=﹣2﹣2;
综上所述:Q(﹣2+2,0)或Q(﹣2﹣2,0)或Q(﹣2+,0)或Q(﹣2﹣,0)【点评】本题考查二次函数综合;熟练应用待定系数法求函数解析式,掌握三角形全等的性质,直线交点的求法是解题的关键.
2.如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上,抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时,那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线.如图1,已知抛物线C1:y1=x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线,点A,B分别是抛物线C1,C2的顶点,抛物线C2经过点D(6,﹣1).
(1)直接写出A,B的坐标和抛物线C2的解析式;
(2)抛物线C2上是否存在点E,使得△ABE是直角三角形?如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)如图2,点F(﹣6,3)在抛物线C1上,点M,N分别是抛物线C1,C2上的动点,且点M,N 的横坐标相同,记△AFM面积为S1(当点M与点A,F重合时S1=0),△ABN的面积为S2(当点N与
点A,B重合时,S2=0),令S=S1+S2,观察图象,当y1≤y2时,写出x的取值范围,并求出在此范围内S的最大值.
【分析】(1)由抛物线C1:y1=x2+x可得A(﹣2,﹣1),将A(﹣2,﹣1),D(6,﹣1)代入y2=ax2+x+c,求得y2=﹣+x+2,B(2,3);
(2)易得直线AB的解析式:y=x+1,①若B为直角顶点,BE⊥AB,E(6,﹣1);②若A为直角顶点,
AE⊥AB,E(10,﹣13);③若E为直角顶点,设E(m,﹣m2+m+2)不符合题意;
(3)由y1≤y2,得﹣2≤x≤2,设M(t,),N(t,),且﹣2≤t≤2,易求直线AF 的解析式:y=﹣x﹣3,过M作x轴的平行线MQ交AF于Q,S1=,设AB交MN于点P,易知P(t,t+1),S2=2﹣,所以S=S1+S2=4t+8,当t=2时,S的最大值为16.
【解答】解:由抛物线C1:y1=x2+x可得A(﹣2,﹣1),
将A(﹣2,﹣1),D(6,﹣1)代入y2=ax2+x+c
得,解得,∴y2=﹣+x+2,∴B(2,3);
(2)易得直线AB的解析式:y=x+1,
①若B为直角顶点,BE⊥AB,k BE•k AB=﹣1,∴k BE=﹣1,直线BE解析式为y=﹣x+5
联立,解得x=2,y=3或x=6,y=﹣1,∴E(6,﹣1);
②若A为直角顶点,AE⊥AB,同理得AE解析式:y=﹣x﹣3,
联立,解得x=﹣2,y=﹣1或x=10,y=﹣13,∴E(10,﹣13);
③若E为直角顶点,设E(m,﹣m2+m+2)由AE⊥BE得k BE•k AE=﹣1,
即,,,(m﹣2)2(m﹣6)(m+2)=﹣16(m+2)(m﹣2),(m+2)(m﹣2)[(m﹣2)(m﹣6)+16]=0,∴m+2=0或m﹣2=0,或(m﹣2)(m﹣6)+16=0(无解)
解得m=2或﹣2(不符合题意舍去),∴点E的坐标E(6,﹣1)或E(10,﹣13);
(3)∵y1≤y2,∴﹣2≤x≤2,设M(t,),N(t,),且﹣2≤t≤2,
易求直线AF的解析式:y=﹣x﹣3,过M作x轴的平行线MQ交AF于Q,
则Q(﹣),S1=QM•|y F﹣y A|=
设AB交MN于点P,易知P(t,t+1),S2=PN•|x A﹣x B|=2﹣
S=S1+S2=4t+8,当t=2时,S的最大值为16.
【点评】本题考查了二次函数,熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键.
3.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点A在x轴上,点B在y轴上,点C(3,1),二次函数y=x2+bx﹣的图象经过点C.
(1)求二次函数的解析式,并把解析式化成y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)把△ABC沿x轴正方向平移,当点B落在抛物线上时,求△ABC扫过区域的面积;
(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P,使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?如果存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
【分析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值,从而可得到抛物线的解析式,然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)作CK⊥x轴,垂足为K.首先证明△BAO≌△ACK,从而可得到OA=CK,OB=AK,于是可得到点A、B的坐标,然后依据勾股定理求得AB的长,然后求得点D的坐标,从而可求得三角形平移的
+S△DEH求解即可;
距离,最后,依据△ABC扫过区域的面积=S
四边形ABDE
(3)当∠ABP=90°时,过点P作PG⊥y轴,垂足为G,先证明△BPG≌△ABO,从而可得到点P的坐标,然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可,当∠PAB=90°,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,同理可得到点P的坐标,然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可.
【解答】解:(1)∵点C(3,1)在二次函数的图象上,
∴x2+bx﹣=1,解得:b=﹣,∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣
y=x2﹣x﹣=(x2﹣x+﹣)﹣=(x﹣)2﹣
(2)作CK⊥x轴,垂足为K.
∵△ABC为等腰直角三角形,∴AB=AC.又∵∠BAC=90°,∴∠BAO+∠CAK=90°.
又∵∠CAK+∠ACK=90°,∴∠BAO=∠ACK.
在△BAO和△ACK中,∠BOA=∠AKC,∠BAO=∠ACK,AB=AC,∴△BAO≌△ACK.
∴OA=CK=1,OB=AK=2.∴A(1,0),B(0,2).
∴当点B平移到点D时,D(m,2),则2=m2﹣m﹣,解得m=﹣3(舍去)或m=.
∴AB==.
+S△DEH=×2+××=9.5
∴△ABC扫过区域的面积=S
四边形ABDE
(3)当∠ABP=90°时,过点P作PG⊥y轴,垂足为G.
∵△APB为等腰直角三角形,∴PB=AB,∠PBA=90°.∴∠PBG+∠BAO=90°.
又∵∠PBG+∠BPG=90°,∴∠BAO=∠BPG.
在△BPG和△ABO中,∠BOA=∠PGB,∠BAO=∠BPG,AB=PB,
∴△BPG≌△ABO.∴PG=OB=2,AO=BG=1,∴P(﹣2,1).
当x=﹣2时,y≠1,∴点P(﹣2,1)不在抛物线上.
当∠PAB=90°,过点P作PF⊥x轴,垂足为F.同理可知:△PAF≌△ABO,
∴FP=OA=1,AF=OB=2,∴P(﹣1,﹣1).
当x=﹣1时,y=﹣1,∴点P(﹣1,﹣1)在抛物线上.
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定,作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.
4.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3,0)和点B(1,0),交y轴于点C.(1)求这个抛物线的函数表达式.
(2)点D的坐标为(﹣1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值.
(3)点M为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,即﹣3a=2,即可求解;
=S△APO+S△CPO﹣S△ODC,即可求解;
(2)S
四边形ADCP
(3)分点N在x轴上方、点N在x轴下方两种情况,分别求解.
【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x﹣1)=a(x2+2x﹣3)=ax2+2ax﹣3a,
即﹣3a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣x+2,
则点C(0,2),函数的对称轴为:x=﹣1;
(2)连接OP,设点P(x,﹣x2﹣x+2),
=S△APO+S△CPO﹣S△ODC=×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD 则S=S
四边形ADCP
=(﹣x2﹣x+2)×2×(﹣x)﹣=﹣x2﹣3x+2,
∵﹣1<0,故S有最大值,当x=﹣时,S的最大值为;
(3)存在,理由:
△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角时,点N的位置如下图所示:
①当点N在x轴上方时,点N的位置为N1、N2,N1的情况(△M1N1O):
设点N1的坐标为(x,﹣x2﹣x+2),则M1E=x+1,
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F,过点M1作x轴的平行线交N1F于点E,
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°,∠M1N1E+∠EM1N1=90°,∴∠EM1N1=∠FN1O,
∠M1EN1=∠N1FO=90°,ON1=M1N1,∴△M1N1E≌△N1OF(AAS),∴M1E=N1F,
即:x+1=﹣x2﹣x+2,解得:x=(舍去负值),则点N1(,);
N2的情况(△M2N2O):同理可得:点N2(,);
②当点N在x轴下方时,点N的位置为N3、N4,
同理可得:点N3、N4的坐标分别为:(,)、(,);
综上,点N的坐标为:(,)或(,)或(,)
或(,).
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及三角形全等、等腰直角三角形的性质、图形的面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
5.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点A,C的坐标分别为(6,0),(4,3),经过B,C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若∠AOC的平分线交BC于点E,交抛物线的对称轴于点F,点P是x轴上一动点,当PE+PF的
值最小时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点A作OE的垂线交BC于点H,点M,N分别为抛物线及其对称轴上的动点,是否存在这样的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.
【分析】(1)由平行四边形OABC的性质求点B坐标,根据抛物线经过点B、C、D用待定系数法求解析式.
(2)由OE平分∠AOC易证得∠COE=∠AOE=∠OEC,故有CE=OC,求得点E坐标,进而求得直线OE解析式.求抛物线对称轴为直线x=7,即求得点F坐标.作点E关于x轴的对称点点E',由于点P在x轴上运动,故有PE=PE',所以当点F、P、E'在同一直线上时,PE+PF=PE'+PF=FE'最小.用待定系数法求直线E'F解析式,即求得E'F与x轴交点P的坐标.
(3)设AH与OE相交于点G,且G的横坐标为t,即能用t表示OG、AG的长,由AH⊥OE于点G,根据勾股定理可得AG2+OG2=OA2,把t代入解方程即求得t的值即求得点G坐标.待定系数法求直线AG解析式,令y=3时求x的值即为点H坐标.故可得HE=9﹣5=4,且点H、E关于直线x=7对称.由于以点M,N,H,E为顶点的平行四边形中,H、E固定,以HE为平行四边形的边或对角线进行分类讨论.①以HE为边时,可得MN∥HE,且MN=HE,故可得点M横坐标为3或11,代入抛物线解析式即求得纵坐标.②以HE为对角线时,根据平行四边形对角线互相平分可得点M在抛物线对称轴上,求顶点即可.
【解答】解:(1)∵平行四边形OABC中,A(6,0),C(4,3)
∴BC=OA=6,BC∥x轴∴x B=x C+6=10,y B=y C=3,即B(10,3)
设抛物线y=ax2+bx+c经过点B、C、D(1,0)
∴解得:∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣
(2)如图1,作点E关于x轴的对称点E',连接E'F交x轴于点P
∵C(4,3)∴OC=∵BC∥OA∴∠OEC=∠AOE∵OE平分∠AOC
∴∠AOE=∠COE∴∠OEC=∠COE∴CE=OC=5∴x E=x C+5=9,即E(9,3)
∴直线OE解析式为y=x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F,对称轴为直线:x=﹣=7∴F(7,)
∵点E与点E'关于x轴对称,点P在x轴上∴E'(9,﹣3),PE=PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时,PE+PF=PE'+PF=FE'最小
设直线E'F解析式为y=kx+h
∴解得:∴直线E'F:y=﹣x+21
当﹣x+21=0时,解得:x=∴当PE+PF的值最小时,点P坐标为(,0).
(3)存在满足条件的点M,N,使得以点M,N,H,E为顶点的四边形为平行四边形.
设AH与OE相交于点G(t,t),如图2,∵AH⊥OE于点G,A(6,0)∴∠AGO=90°
∴AG2+OG2=OA2∴(6﹣t)2+(t)2+t2+(t)2=62∴解得:t1=0(舍去),t2=
∴G(,)设直线AG解析式为y=dx+e∴解得:
∴直线AG:y=﹣3x+18当y=3时,﹣3x+18=3,解得:x=5
∴H(5,3)∴HE=9﹣5=4,点H、E关于直线x=7对称
①当HE为以点M,N,H,E为顶点的平行四边形的边时,如图2,则HE∥MN,MN=HE=4∵点N在抛物线对称轴:直线x=7上∴x M=7+4或7﹣4,即x M=11或3
当x=3时,y M=﹣×9+×3﹣=∴M(3,)或(11,)
②当HE为以点M,N,H,E为顶点的平行四边形的对角线时,如图3则HE、MN互相平分∵直线x=7平分HE,点F在直线x=7上∴点M在直线x=7上,即M为抛物线顶点
∴y M=﹣×49+×7﹣=4∴M(7,4)
综上所述,点M坐标为(3,)、(11,)或(7,4).
【点评】本题考查了平行四边形的性质,二次函数的图象与性质,平行线性质,角平分线定义,等腰三角形性质,轴对称求最短路径,解二元一次方程,勾股定理,解一元二次方程.其中第(2)题由轴对称求最短路径和第(3)题已知平行四边形的两顶点固定、求另两个顶点位置,都是函数与几何综合题里的常考题型.
6.如图:在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PF=3PE.求证:PE⊥PF;
(3)若(2)中的点P坐标为(6,2),点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形?如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由.
【分析】(1)先求得点A的坐标,然后依据抛物线过点A,对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可;
(2)设P(3a,a),则PC=3a,PB=a,然后再证明∠FPC=∠EPB,最后通过等量代换进行证明即可;(3)设E(a,0),然后用含a的式子表示BE的长,从而可得到CF的长,于是可得到点F的坐标,然
后依据中点坐标公式可得到=,=,从而可求得点Q的坐标(用含a的式子表示),最后,将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可.
【解答】解:(1)当y=0时,x﹣=0,解得x=4,即A(4,0),抛物线过点A,对称轴是x=,得,解得,抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;
(2)∵平移直线l经过原点O,得到直线m,∴直线m的解析式为y=x.
∵点P是直线m上任意一点,∴设P(3a,a),则PC=|3a|,PB=|a|.
又∵PF=3PE,设PB=n,PC=3n,PE=m,PF=3m,
则CF==3,BE=,∴===3,∵∠PCF=∠PBE=90°,∴△PCF∽△PBE,∴∠FPC=∠EPB.∵∠CPE+∠EPB=90°,∴∠FPC+∠CPE=90°,∴FP⊥PE.(3)如图所示,点E在点B的左侧时,设E(a,0),则BE=6﹣a.
∵CF=3BE=18﹣3a,∴OF=20﹣3a.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,
∴=,=,∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,
∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=4或a=8(舍去).∴Q(﹣2,6).
如图所示:当点E在点B的右侧时,设E(a,0),则BE=a﹣6.
∵CF=3BE=3a﹣18,∴OF=3a﹣20.∴F(0,20﹣3a).∵PEQF为矩形,
∴=,=,
∴Q x+6=0+a,Q y+2=20﹣3a+0,∴Q x=a﹣6,Q y=18﹣3a.
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得:18﹣3a=(a﹣6)2﹣3(a﹣6)﹣4,解得:a=8或a=4(舍去).∴Q(2,﹣6).
综上所述,点Q的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6).
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式,用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键.
7.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式,即可求解;
=×DQ×BC,即可求解;
(2)S
△ACQ
(3)分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况,分别求解即可.
【解答】解:(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,
故抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3,则点A(1,4);
(2)将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AC的表达式为:y=﹣2x+6,
点P(1,4﹣t),则点D(,4﹣t),设点Q(,4﹣),
S△ACQ=×DQ×BC=﹣t2+t,∵﹣<0,故S△ACQ有最大值,当t=2时,其最大值为1;
(3)设点P(1,m),点M(x,y),
①当EC是菱形一条边时,当点M在点P右方时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,
则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m﹣3=y,
而MP=EP得:1+(m﹣3)2=(x﹣1)2+(y﹣m)2,解得:y=m﹣3=,故点M(4,);
当点M在点P左方时,同理可得:点M(﹣2,3+);
②当EC是菱形一对角线时,则EC中点即为PM中点,则x+1=3,y+m=3,
而PE=PC,即1+(m﹣3)2=4+m2,解得:m=1,故x=2,y=3﹣m=3﹣1=2,故点M(2,2);
综上,点M(4,)或(﹣2,3+)或M(2,2).
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
8.如图,抛物线顶点P(1,4),与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A,B.
(1)求抛物线的解析式.
(2)Q是抛物线上除点P外一点,△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.
(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?如果存在,求正方形MNED的边长;如果不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)设出抛物线顶点坐标,把C坐标代入求出即可;
(2)由△BCQ与△BCP的面积相等,得到PQ与BC平行,①过P作PQ∥BC,交抛物线于点Q,如图1所示;②设G(1,2),可得PG=GH=2,过H作直线Q2Q3∥BC,交x轴于点H,分别求出Q的坐标即可;(3)存在点M,N使四边形MNED为正方形,如图2所示,过M作MF∥y轴,过N作NF∥x轴,过N 作NH∥y轴,则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形,设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线MN解析式为y=﹣x+b,与二次函数解析式联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数关系表示出NF2,
由△MNF 为等腰直角三角形,得到MN 2=2NF 2,若四边形MNED 为正方形,得到NE 2=MN 2,求出b 的值,进而确定出MN 的长,即为正方形边长.
【解答】解:(1)设y=a (x ﹣1)2+4(a ≠0),
把C (0,3)代入抛物线解析式得:a +4=3,即a=﹣1,
则抛物线解析式为y=﹣(x ﹣1)2+4=﹣x 2+2x +3;
(2)由B (3,0),C (0,3),得到直线BC 解析式为y=﹣x +3,∵S △OBC =S △QBC ,∴PQ ∥BC ,①过P 作PQ ∥BC ,交抛物线于点Q ,如图1所示,
∵P (1,4),∴直线PQ 解析式为y=﹣x +5,联立得:,解得:或,即Q (2,3);
②设G (1,2),∴PG=GH=2,
过H 作直线Q 2Q 3∥BC ,交x 轴于点H ,则直线Q 2Q 3解析式为y=﹣x +1,
联立得:,解得:或,
∴Q 2(,),Q 3(,);
(3)存在点M ,N 使四边形MNED 为正方形,
如图2所示,过M 作MF ∥y 轴,过N 作NF ∥x 轴,过N 作NH ∥y 轴,则有△MNF 与△NEH 都为等腰直角三角形,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),设直线MN 解析式为y=﹣x +b ,联立得:,消去y 得:x 2﹣3x +b ﹣3=0,∴NF 2=|x 1﹣x 2|2=(x 1+x 2)2﹣4x 1x 2=21﹣4b ,∵△MNF 为等腰直角三角形,∴MN 2=2NF 2=42﹣8b ,
∵NH 2=(b ﹣3)2,∴NF 2=(b ﹣3)2,若四边形MNED 为正方形,则有NE 2=MN 2,
∴42﹣8b=(b 2﹣6b +9),整理得:b 2+10b ﹣75=0,解得:b=﹣15或b=5,
∵正方形边长为MN=,
∴MN=9或.
【点评】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,根与系数的关系,等腰直角三角形的性质,正方形的性质,勾股定理,以及一次函数与二次函数的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.。