第四讲 相关函数

第四讲相关函数与随机信号

------信号的时域分析与处理------

1、研究背景

（1）想通过声音或振动分析实现：①检测发动机机械故障；

②再现发动机缸内燃烧压力曲线；

机械故障诊断。

（2）检测淹没在强噪声中的极微弱信号：TDLAS测量气体浓度。

微弱信号检测。

2、信号的时域分析

定义：在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、

相关性分析等处理统称为信号的时域分析。

突出：信号滤波器分为经典滤波器和现代滤波器：

（1）经典滤波器：强调噪声和有用信号处于不同频带。

（2）现代滤波器：噪声频带和有用信号频带重叠。

维纳滤波器，卡尔曼滤波器：非平稳、多输入、多输出，递推型的线性最小均方误差。

3、时域统计分析与随机过程

3.1概率密度函数的定义（统计模式识别的核心难点）

3.2 宽平稳随机信号的定义

PPT讲义。

4、相关分析及应用

相关分析是数字信号处理中最主要的“时域处理”方法

相关函数：在信号处理中研究信号的相似性，或一个信号经过一段延迟后自身的相似性，以实现信号的检测、识别与提取。

研究信号间的相似性或信号自身的相似性，是信号处理的核心问题。

注意：两个信号相乘的结果表示它们之间的相似性。

有很多基本应用：①噪声中有用信号的检测；

②信号中隐含周期性的检测；

③信号相关性的检验；

④信号延时长度的测量；

⑤作为随机信号的重要统计量；

⑥功率谱估计。

4.1 确定性信号的相关函数

阅读课本P33-P38。

4.1.1 (),()x n y n 是能量有限的确定性信号，

(),()x n y n 的相关系数定义为： 0122200()()[()()]

n xy n n x n y n x n y n ρ∞

=∞∞===∑∑∑

xy ρ的大小由xy r 确定，0()()xy n r x n y n ∞

==∑

相关函数的定义：()()()()()()xy n xy n r m x n y n m r m x n m y n ∞

=-∞

∞=-∞=

+=

-∑∑ 自相关函数定义：()()()xx n r m x n x n m ∞=-∞=

+∑

4.1.2 对于功率信号 相关函数定义为：1()lim ()()21N xx N n N

r m x n y n m N →∞=-=++∑ 若()x n 是周期信号，且周期为N ，其自相关函数为：

1

1

1()lim ()()1()lim ()()()()

N x N n N x N n x x r m x n x n m N r m x n x n N m N r m r m N -→∞=-→∞==+=++=+∑∑ 无限多个周期的求和平均可用一个周期的求和平均代替。

1

1()()()N x n r m x n x n m N -==+∑ 注意：课本P35的例1.8.2，结论：正弦信号的自相关函数为同频率的余弦函数。有重要应用价值。

4.1.3 相关函数的性质

4.1.4 自相关函数的性质

特别是：()x r m 在0m =时取得最大值，即(0)()x x r r m ≥

4.1.5 互相关函数

特别是：()xy r m

满足|()|xy r m ≤

=

4.2 平稳随机信号的自相关函数

定义1：(){()()}x r m E X n X n m *=+（课本P467）

定义2：信号()x t 的自相关函数()x R τ是描述信号一个时刻的取值与另一个时刻的取值之间的依赖关系（工程定义）。

01()lim ()()T

x T R x t x t dt T ττ→∞=+⎰ 若离散化：1

1()()()N n

x r R n x r x r n N n τ-=∆=+-∑ 自相关函数的应用：

（1）根据自相关图的形状来判断原信号的性质（课本P38，图1.8.1）；

（2）用于检测混于随机噪声中的确定性信号；

课本例10.4.3 有先验知识与无先验知识两种情况。

（3）自相关函数作傅立叶变换可求得自功率谱密度函数

2()2(),0j f x x G f R e d f πτττ∞

--∞=≥⎰ 应用举例：（1）识别车床变速箱运行状态

①正常状态变速箱噪声信号的自相关函数；

②异常状态变速箱噪声信号的自相关函数；

将各轴的转速与自相关函数上周期性波动的频率进行比较。

4.3 互相关分析

互相关函数()xy R τ表示两组数据之间依赖关系的相关统计量：

1()lim ()()T xy T R x t y t dt T ττ→∞=+⎰ 互相关函数的应用：

（1） 系统的时间滞后直接由输入输出互相关图中峰值的时间位移来确定；

（2） 利用互相延时和能量信息可对传输通道进行分析识别；

（3） 利用互相关函数可得互谱密度函数2()2()j f xy xy G f R e d πτττ∞

--∞=⎰

课本P478~P480的例子都很重要！

（4） 测定未知参数线性系统得频率响应（课本例10.4.4）

()()uy r m h m =

（5） 相干平均（课本例10.4.5）

课本P480 ：相关函数与功率谱是描述随机信号的两个主要特征量。

对这感兴趣的原因：这涉及工程信号处理与设备故障诊断

① 相关测速和定位；（如何测量白云移动速度？？？）

问题：测量船舶的航速，在船舶前进方向，相距为l 的两点安转两组超声发射机和接收机，得到两组回波信号1()x t 和2()x t ，计算两者之间的互相关函数12()x x R τ，为什么船

舶的航行速度为max /v l τ=？这里max τ是互相关函数上峰值对应得时间。

详细论述见《相关流量测量技术》一书中，P57-P59

()()x t ay t τ=+，另外假设系统是线性的。

② 振动噪声源的测定；

来自多个源的非频变传播的典型互相关图

222111()y y y

σρτσ= ③ 同频检测

5、

微弱信号检测专题—基于TDLAS 测量气体分子浓度