矩阵论及其应用-chapter2
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵论课本2
第三章 矩阵分解把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的。
因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
本章将分别介绍矩阵的五种分解：三角分解、QR 分解、满秩分解、谱分解和奇异值分解，并简单介绍了矩阵的正则性。
§3.1 矩阵的三角分解三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积。
定义3.1.1 设n n A C ⨯∈，如果存在下三角矩阵n n L C ⨯∈和上三角矩阵n n R C ⨯∈，使得A LR =，则称A 可以作三角分解。
定理 3.1.1 设n n n A C ⨯∈，则A 可以作三角分解的充分必要条件是0k ∆≠(1,2,,1)k n =-，其中det k k A ∆=为A 的k 阶顺序主子式，而k A 为A 的k 阶顺序主子阵。
证明：必要性。
已知A 可以作三角分解，即A LR =，其中()ij n nL l ⨯=(0,)ij l i j =<，()ij n nR r ⨯=(0,)ij r i j =>。
将A ，L 和R 进行分块，得12122122212222kkkA A L O R R A A L L O R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这里k A ，k L 和k R 分别是A ，L 和R 的k 阶顺序主子阵，且k L 和k R 分别是上三角矩阵和下三角矩阵。
由矩阵的分块乘法运算，得k k k A L R = (1,2,,)k n =，由于1111det det det 0nn nn A L R l l r r ==≠，所以1111det det det 0(1,2,1)k k k kkk kk A L R l l r r k n ∆===≠=-充分性。
矩阵论第二章-1
第二章多项式矩阵1§1.多项式矩阵及其初等变换一、多项式的概念二、多项式矩阵三、初等变换与初等方阵23一、多项式的概念10110()(,0)nn n n k f x a x a xa x a a F a −−=++++∈≠⋯ 数域F 上变量x 的n 次多项式的一般形式为： 当F 是实（复）数域, 称f 是实（复）数域上的n 次多项式.f 的次数记为deg (f ),当a 0=1时称f 为首1多项式。
零多项式即常函数0。
()0,f x ≡ 零次多项式 n =0, 即非零常数。
()0,f x c ≡≠4代数基本定理：在复数域内一个n 次多项式，一定可分解为下面的形式：零点 若f (x 0)=0,则称x 0为 f (x )的一个零点，或为方程 f (x )=0 的一个根。
1011()()(),kn n k k f z a z z z z n n n=−−++=⋯⋯ 在实数域内一个n 次多项式，一定可分解为一次和二次不可约因式的乘积。
5多项式的运算n n mm n n n a z a z a z a z a f ++++++=−−−1110⋯⋯00()a ≠m m m mb z b zb z b g ++++=−−1110⋯00()b ≠()()()m n m n mm n nb a z b a z b a z a g f ++++++++=+−−−1100⋯⋯ 设f 和g 分别是复数域上的n 次和m 次多项式, 不妨设.n m ≥()()()0011nmn m n m n m f g a z a b z a b z a b −−−−=++−++−+−⋯⋯ 即两个多项式相加减为其同次幂系数相加减。
6一般地, ()()(){}deg max deg ,deg f g f g ±≤()()()deg deg deg f g f g ⋅=+()()f z g z ()()0g z ≠带余除法()()()()f z g z h z r z =+()()()deg deg r g < 除法:被除式除式商式余式若r (z )=0,称g (z )整除 f (z ),记作g (z )|f (z ),称g (z )和h (z )都是 f (z )的多项式因子（因式） .7若多项式f (z )与g (z )除了非零常数外没有公因式，则称f (z )与g (z )互质，若deg(f )>deg(g ),称 为既约分式或真分式。
矩阵论-第二章 -程云鹏版
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
2
1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： 当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
14
定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设 都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩 同的，即若 阵。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
15
2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数 ，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
(0.0.3)
是 U + W 的一组基. 为此需要证明该向量组线性无关, 且 U + W 的任何向量均可由这些向量 线性表示.
设
k1α1 + k2α2 + · · · + krαr + br+1βr+1 + · · · + bsβs + cr+1γr+1 + · · · + ctγt = 0. (0.0.4)
0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn) = V
显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。
3. (1) 设 V 是线性空间, U 与 W 是 V 的两个子空间. 证明：
dim (U + W ) = (dim U + dim W ) − dim (U ∩ W ).
(2) 设 V 是有限维线性空间. 证明并解释下面的维数公式: dim V = max{m | 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V, Vi 是 Vi+1 的真子空间}
5. 设
112
A = 0 1 1 ,
134
求 A 的四个相关子空间. 解：
R(A) = [(1, 0, 1)T , (1, 1, 3)T ], R(AT ) = [(1, 0, 1)T , (0, 1, 1)T ], N (A) = [(−1, −1, 1)T ], N (AT ) = [(−1, −2, 1)T ]
矩阵论第二章
基变换与坐标变换
向量在不同基下的表示坐标的关系
n维列向量空间Rn(或Cn)的向量与坐标的关系
例:对于n维列向量空间Rn(或Cn)的存在一个基{ei,i=1,2,…,n}, 其中ei的第i个分量为1，其余分量为0；这个基称为Rn(或Cn) 的自然基。在自然基下，Rn(或Cn)中的任意向量x和它在自 然基下的表示坐标是完全一致的。即
思考
上面的例子告诉我们： 线性空间中定义的向量加法和数乘其实可以有很多种，形式 可以多种多样。 这样一方面说明定义的线性空间可以包括很多的内容，但不 同形式的定义又为我们研究带来困难，所以下面就是要围绕 这个问题给出答案。
线性空间中，向量的关系： 线性相关：若存在一组不全为零的数c1,c2,…,cm,使得 c1x1+c2x2+…+cmxm=0 则称向量组x1,x2,…,xm线性相关，否则为线性无关。
定义一个矩阵有几种方式:
1.可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵;
2. 可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。 如：对称矩阵可以定义为：aij=aji 可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),
可以定义为： Ax=f(x), 其中f(x)=xTAx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
定理1.2 说明虽然n维线性空间有无穷多，但是从代数的角度我们仅 仅研究n维实(或复)向量空间就足够了。
例如：前面介绍次数不超过n1的多项式全体按照通常的多项式加法 和 数 乘 构 成 一 个 线 性 的 多 项 式 函 数 空 间 Pn ， 选 择 Pn 的 一 个 基 x1=1,x2=x,x3=x2,…,xn=xn1, 则任意次数不超过 n1 的多项式 f(x) = a0xn1+a1xn2+…+an2x+an1 = (1,x,x2,…,)( an1, an2,…, a0)T 这样( an1, an2,…, a0)T就是多项式f(x)在基x1,x2,…,xn的坐标。显然我 们可以看成将f(x)映射为( an1, an2,…, a0)T，这时明显可见映射为线 性的，即若 : f(x) ( an1, an2,…, a0)T : g(x) ( bn1, bn2,…, b0)T 则 : f(x)+g(x) (a +b , a +b ,…, a +b )T
矩阵理论及其应用
2
1 0 2 2 4 3 1 且 A( ) 0 2 0 1 2 2
注： ( 1 ) A ( ) B 0 B 1
B ( )，其中 b 11 ( ) r ( )， 11 ( )的次数小于 b 其中 r ( )的次数小于 类似 ( 1 )的证明可得 a 11 ( )的次数 B ( ).
a 11 ( )的次数
( 2 ) 若 a 11 ( ) a 1 j ( )，则 a 1 j ( ) q ( ) a 11 ( ) r ( ).
B 1 ( )与 A ( ) 等价且
则由引理经过有限步之 后
b1 ( ) 0，次数小于 a 11 ( )的次数 .
b 11 ( ) d 1 ( ) 0，首项系数
为 1 且整除 B ( )的所有元素， 即 b ij ( ) d 1 ( ) q ij ( )
其中 r ( )的次数小于
a 11 ( ) A( )~ r ( ) a ( ) m1
a 11 ( )的次数 .
证： ( 1 ) 若 a 11 ( ) a i 1 ( )，则 a i 1 ( ) q ( ) a 11 ( ) r ( ).
上页
下页
返回
2、 可逆的条件：
A ( ) 可逆 A ( ) d 0
“ ”设 A ( ) d 0
* *
逆矩阵求法：
A
1
( )
1 A( )
A ( )
*
则由 A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) A ( ) E 得： 1 * 1 * A ( )( A ( )) ( A ( )) A ( ) E . d d 1 1 * A ( ) A ( ) 可逆 . 且 A ( ) A( ) 1 例 1、 A ( ) 求 的逆矩阵 2 3 1 解： A ( ) 3 0， 2 3
研究生 矩阵论 课后答案
|
xk
|2
)
1 2
是范数.
k =1
(2)证明函数 || x ||∞ = max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |}是范数.
2.设
x∈R2,
A=
⎛4 ⎜⎝1
1⎞ 4⎟⎠
,请画出由不等式||
x
||
A
≤
1决定的x的全
体所对应的几何图形.
3.在平面 R2中将一个棍子的一端放在原点,另一端放
生成子空间V,求V的正交补空间V ⊥.
15.(MATLAB)将以下向量组正交化.
(1) x1 = (1,1,1)T , x2 = (1,1, 0)T , x3 = (1, −1, 2);T
(2) f (t) = 1, g(t) = t, h(t) = t2是[0,1]上的多项式空间
的基,并且定义(
f
9.把下面矩阵A对应的λ -矩阵化为Smith标准形,并且写
出与A相似的Jordan标准形.
⎛1 −1 2 ⎞
(1)
⎜ ⎜
3
−3
6
⎟ ⎟
⎜⎝ 2 − 2 4⎟⎠
⎛ −4 2 10⎞
(2)
⎜ ⎜⎜⎝
−4 −3
3 1
7 7
⎟ ⎟⎟⎠
⎧ dx1
⎪ ⎪
dt
=
3x1
+ 8x3
10.(MATLAB)求解微分方程:
α3 = (0,1,1)T 的矩阵为: ⎡ 1
A=⎢ 1 ⎢⎣−1
0 1⎤ 1 0⎥ 2 1⎥⎦
求在基e1 = (1,0,0)T ,e2 = (0,1,0)T ,e3 = (0,0,1)T下的矩阵.
10.设S = {ε1,ε2 ,ε3,ε4}是四维线性空间V的一个基,已知
矩阵理论及其应用(重大版第二章课件)
矩阵理论及其应用CQU第二讲基变换与坐标变换、线性子空间李东重庆大学数学与统计学院◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQU线性空间的基是不惟一的，同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。
不同的基之间、同一个向量在不同的基下的坐标之间有何关系呢？通过间单的计算知道它们之间相差一个可逆矩阵。
CQUCQU一、基变换设分别是线性空间上的两个不同的基。
由基的定义知道唯一存在可逆矩阵，使得(1)称A 称是由基到的过渡矩阵。
称(1)为基变换公式。
二、坐标变换设向量αϵV,α在这两组基下的坐标分别为：(2)则有下式成立。
CQUCQUCQU从而，有即：(4)称(4)为坐标变换公式。
思考：这里的基变换公式、坐标变化公式和教材有何差别？CQU例1 求R 4中的基，，，到基，，，的坐标变换公式。
解：见下页CQUCQU◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQUCQU定义1.5 设V 是K 上的线性空间，W ⊂V 按V 的线性运算也构成线性空间，称W 是V 的线性子空间(子空间)。
即：W 是V 的线性子空间W 是V 的线性子空间两个平凡子空间：V 和{0}.一、线性子空间的定义判别方法？Important Theorem（TH1.5.1 P11）W 是子空间 W 对V 的线性运算封闭子空间本身就是线性空间。
子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法CQU子空间和非子空间的例子I.V={x=(x1，x2，0｝⊆R3，是子空间II.V={x=(x1，x2，1｝⊆R3，不是子空间例1齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间，称为解空间。
S=｛X：AX=0｝⊆R n，例1’非齐次线性方程的解集：不是子空间M=｛X：AX=b｝CQU例2集合C=a ijn×n |a ij∈K,σi=1n aii=0⊂K n×n是线性子空间。
例3集合M=a ijn×n|a ij∈K，a ij=a ji⊂K n×n是线性子空间。
矩阵理论与方法的应用
n
定理7.2.4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为 A，完全消耗系数矩阵为B，则有
19
B E A E
1
证明 由定理7.2.3知，
bij aij bik akj
k 1 n
i, j 1,2,, n
将 n 个等式用矩阵表示为
2
B A BA或BE A A
消耗系数矩阵
0.25 0.10 0.10 0.20 0.20 0.10 A 0.10 0.10 0.20 直接消耗系数 aij i, j 1,2,, n 具有下面重
要性质：
性质7.2.1 0 aij 1 i, j 1,2,, n 性质7.2.2
第七章 矩阵理论与方法的应用
第二节 投入产出数学模型
1
在经济活动中分析投入多少财力、物力、
人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高
低的主要标志。投入产出技术正是研究一个
经济系统各部门间的“投入”与“产出”关 系的 数学模型，该方法最早由美国著名的经济学
家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前
5
投入产出的基本平衡关系
从左到右： 中间需求＋最终需求＝总产出 从上到下： 中间消耗＋净产值＝总投入 (7-9) (7-10)
由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：
x11 x12 x1n y1 x1 x x x y x 21 22 2n 2 2 xn1 xn 2 xnn yn xn
22
27 5 8 1 1 E A 1 15 4 10 8 20 32
故所求完全消耗系数矩阵为
1.7 0.5 0.8 1 0 . 1 0 .5 0 . 4 B E A E 0 .8 2 2 .2
《矩阵论及其应用》课后答案(大合集)
{
}
的 x = c1 sin t + c 2 sin 2t + ⋯ + c k sin kt ， − x = −c1 sin t − c2 sin 2t − ⋯ − ck sin kt 是其负元素. 由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合 V 关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 为证明函数组 sin t,sin 2 t, ⋯,sin kt 是 V 的一个基，由于 V 中的任意函数均可 由该组函数表示，故只需证明 sin t,sin 2 t, ⋯,sin
⋯, Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = ( aij ) n× n ， 其 中 aij = a ji ， 有
n n
A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,⋯ , F1n , F22 , ⋯, F2 n , ⋯, Fnn 是 R n× n 中全体对称矩阵所构
k+l
= aa−1 = 1
= a k a l = a k ⊕ a l = (k � a) ⊕ (l � a )
⑧ k � (a ⊕ b) = k � (ab ) = ( ab) k = a k b k = (k � a) ⊕ ( k � b) 所以 R+对这两种运算构成实数域 R 上的线性空间. （5）否. 设 V2 = y ( x ) y ′′ + a1 y ′ + a0 y = f ( x ), f ( x) ≠ 0 ，则该集合对函数的 加法和数乘均不封闭. 例如对任意的 y1 , y 2 ∈ V2 , y1 + y 2 ∉ V2 . 故不构成线性空间. （6）是. 集合 V 对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是 V 的零元素；对任意
02南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换
a0
求C的特征多项式
解记
00 1 0 di 0 1
线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间 中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或 者“直观的”视角。
借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对 应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意 味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。
(4)如果1,2,…m 是V1的线性相关组，则 D (1),D (2),…D (n)是V2的一组线性相关向量；
组基1,2,…r，根据扩充定理，将它扩充成 V 的基1,2,…r,r+1,…n，则
Im(D )=span(D (1),…D (r),D (r+1),…D(n))
=span(D (r+1),…D(n)) 如果D (r+1),…D(n)是线性无关的，则有
dim(Im(D ))=n-r
（2） 当且仅当(Ker(D )={0}，也即当且仅当 Im(D )=V时，变换D是可逆的。
例2.3.3 设线性变换 T 在4维线性空间 V 的基
1 , 2 , 3 ,4 下的矩阵为
A [1,2,3,4]
1 0 2 1
1
2
1
3
1 2 5 5
2
2 1 2
0 1 0 0 0 0 0 2 0 0
0 0 0n 2 0
0 0 0 0 n 1(n1)n
于是D 在基1，x, … xn-1与1，x, … xn-2下的矩阵为
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
D=
因此 A x
矩阵论-第二讲
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
W 1 {( a,0, b,0) | a, b R} W 2 {( 0, c,0,0) | c R} W 3 {( 0,0, d , e) | d , e R} W 4 {( f ,0,0, g ) | f , g R} 定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则W1+W2 是直和的充要条件是：对W1+W2中的任何元素u，分解 式u=x+y是唯一的，其中 x W 1, y W 2 。
（ , （ , , （ 1） 2） n）是W 2 的一组基.
定理： 数域F上的任意两个n维线性空间同构。
推论：数域F上的两个有限维线性空间同构的充要条 件是它们的维数相同。
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
第二讲
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
矩阵论第2章
（ 2） V 中线性变换的乘法满足结合律，即 (T1T2 )T3即
T1 (T2 T3 ) T1T2 T1 T3 ， (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3 ． （ 4）设 0 表示 V 中的零变换，则 T 0 0 ， T (T ) 0 ． （ 5） V 中线性变换的数乘运算满足： (kl)T k (lT ) ， (k l )T kT lT ，
V 中一个基 1 , 2 ,, n ，则
R(T ) span {T (1 ),T ( 2 ),, T ( n )} span {T ( r 1 ),T ( r 2 ),, T ( n )}． 现证明 T ( r 1 ),T ( r 2 ),, T ( n ) 是 R (T ) 的一个基，设
例 2.1.1 平面直角坐标系绕坐标原点旋转 角的变换就是欧氏 空间 R 的一个线性变换．对任意 x ( x1 , x2 )T R ，则这个线性
2 2
变换 T 是
cos T ( x) sin
sin x． cos
例 2.1.2 定义在区间 [ a, b] 上的所有连续实函数的集合 C[a, b] 是实数域上的一个线性空间，在 C[a, b] 上定义变换 T ：
T ( f ( x)) f (t )dt ， f ( x) C[a, b] ，
a
矩阵分析课件chapter2 范数理论及其应用例题详解
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔ x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何线性空间在一组基下都代数同构于常用的n维向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维向量空间就足够了。
范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数。
即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 若||⋅||f和||⋅||g为线性空间V上的两个向量范数，则(1). ||⋅||f+ ||⋅||g为V上向量范数。
(2). max{ ||⋅||f, ||⋅||g } 为V上向量范数。
性质4. 若||⋅||f和||⋅||g分别为线性空间V上两个线性交集为0的子空间V1和V2上的两个向量范数，则对任意x∈V1⊕V2,存在唯一分解x= u+v, 其中u∈V1,v∈V2,定义||x||1=||u||f+ ||v||g ,||x||2=max{||u||f,||v||g}则||x||1和||x||2为V1⊕V2上的向量范数。
性质5. (范数与凸集) 若||⋅||为线性空间V上的向量范数，集合Ω={x: ||x||≤ 1}为V上凸集。
反之，若Ω为V上的均衡闭凸集，即x∈Ω,则λ⋅x∈Ω,其中|λ|≤1.其中Ω含有内点，即包含一个小的单位球。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
显然T ( A) B.
变换的概念是函数概念的推广．
线性变换的定义和性质 1.定义2.1.1：线性变换
设 f 是数域P上的线性空间V 到自身的一个映射，
如果下列条件被满足，则称f 是线性空间V的一个线 性变换：
1 对于任意的， V，f ( ) f ( ) f ( ); ） 2） 对于任意的k P, V，f (k ) kf ( ).
k1 (21 2 2 3 ) k2 (21 2 2 3 ) k1 ( 1 2 ) k2 (1 3 ) W
1 , 2 , n是V的一个基，则有 R( f ) span{ f (1 )，f ( 2 )， ，f ( n )}
f ( ) k1 f (1 ) k2 f ( 2 ) kn f ( n )
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
另一方面，基象的线性组合仍是一个象，因此
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
故
R f Span f (1 ), f ( 2 ), , f ( n )
8.定理2.1.3
证明：通过定理2.1.2和基扩充定理。此处略。
f 1 , 2 ,, n f 1 , f 2 ,, f n 1 , 2 ,, n A
11 12 1n 其中 21 22 2 n A , nn n1 n 2 矩阵A称为线性变换 f 在基 1 , 2 , , n下的矩阵. 注： A的第i列是 f ( i ) 在基 1 , 2 , , n 下的坐标，
由此可定义线性变换的差：f g f ( g ); 因此在L(V )中，加法的逆运算减法可以施行。
再设k , t R, f L(V ), , V , a, b R
令h kf , 则
h(a b ) k ( f (a b )) k (af ( ) bf ( )) akf ( ) bkf ( ) ah( ) bh( ) 易证下列等式成立：
(5) k ( f g ) kf kg ; (7) (kt ) f k (tf );
(6) (k t ) f kf tf ; (8) 1f f .
所以 L(V )对于加法与数乘构成数域P上的一个 线性空间
பைடு நூலகம்
由线性变换积的运算，以下运算律成立：
(9) f ( g l ) fg fl; (11) (kf ) g k ( fg ); (10) ( g l ) f gf lf ;
R( f ) { f ( ) | V }显然包含了R( f )中向量的象。
§2.2 线性变换的运算
教学目的: 掌握线性变换的运算及其简单性质 教学难点: 线性变换的乘法运算
教学重点: 线性变换的运算
一、 线性变换的运算
设L(V)表示线性空间V的一切线性变换所组 成的集合，则对任意的 V, k P, f,g L(V )
记作 ker( f )或者f 1 (0)，也称其为f 的零空间或核子空间，
记作N ( f ),即
N ( f ) Ker ( f ) { | f ( ) 0, V } V .
线性变换的核与象
5.定理2.1.1 线性空间V的线性变换 f 的值域与核 都是V的线性子空间。
思考 零变换的核是？ 整个线性空间
9.定义2.1.5
设 f 是线性空间V的一个线性变换，
W是V的一个子空间， 如果对任意的向量 W，都有f ( ) W
则称W是 f 的不变子空间，简称f-子空间。
例：线性空间V自身和零空间在任何变换下显然不变。
R( f ),N( f )为 f 的不变子空间。 N ( f ), f ( ) 0 N ( f )
上述条件等价于 f (a b ) af ( ) bf ( ); V中元素彼此之间存在上述线性关系。
线性变换的定义和性质
2.性质
f是数域P上的线性空间V的一个线性变换，则f有如下性质：
1) f (0) 0, f ( ) f ( )
2) 若 =k11 k2 2 kr r , 则 f ( )=k1 f (1 ) k2 f ( 2 ) kr f ( r ),
3) 若1 , 2 , , r 线性相关, 则 f (1 )，f ( 2 )， ，f ( r ) 也线性相关, 反之不然。
恒等变换和零变换 例2.3.1 判定矩阵空间的下列变换是否为线性变换。
(1)在K nn中，T ( X ) AX XB, X K nn , A、B K nn取定。
f ( 2 ) f (0,1,0) (0,1,1) f ( 3 ) f (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0 f ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
例2.3.1
已知 P3 (t ) 的线性变换
它是唯一的. 故 f 在取定一组基下的矩阵是唯一的.
矩阵
一一对应
线性变换
例1. 设线性空间 P 的线性变换 f 为
f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x1 x2 )
3
求 f 在标准基 1 , 2 , 3 下的矩阵.
解： f ( 1 ) f (1,0,0) (1,0,1)
T ( t ) 1 t ,
2 2
T ( t 3 ) 1 t 3
0 1 0 1 0 1 0 1 A 1 0 1 0 0 1 0 1
1 A 2 2
2 1 2
2 2 1
T (1 ) 1 2 2 2 3 ,
T ( 2 ) 21 2 2 3 ,
T ( 3 ) 21 2 2 3
k1 ( 1 2 ) k2 ( 1 3 )
T ( ) k1T ( 1 2 ) k2T ( 1 3 ) k1T (1 ) k1T ( 2 ) k2T (1 ) k2T ( 3 ) ( k1 k2 )T (1 ) k1T ( 2 ) k2T ( 3 ) (k1 k2 )(1 2 2 2 3 )
零变换的象是？
单位变换的核是？
0
0
单位变换的象是？
整个线性空间
6.定义2.1.4 秩，亏度 象子空间的维数dimR( f )叫作 f 的秩，记为r( f ) 核子空间的维数dimN( f )叫作 f 的亏度或零度， 记为null( f ) 7.定理2.1.2 设 f 是线性空间V的一个线性变换，
1.定义2.2.1 线性变换相等、和、数乘、积 （1）如果f ( ) g ( ), 则称f 与g相等，记作f g.
（2）f ( )+g ( )称为f 与g的和，记作f +g， 即(f +g)( ) f ( )+g ( ).
（3）kf ( )称为k与f 的数乘法，记作kf ， 即(kf )( ) kf ( ) （4）f ( g ( ))称为f 与g的积，记作fg， 即( fg )( ) f ( g ( )).
T ( )
或
T , ( A).
设 A, T ( ) , 就说变换T把元素变为 ,
称为 在变换T下的象, 称为在变换T下的源.
A称为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为 象集, 记作T ( A), 即
T ( A) T ( ) A,
第二章
线性变换
武文佳
上海电机学院数理教学部 wuwj@
§2.1 线性变换的定义
教学目的: 理解线性变换的概念
教学重点: 线性变换的概念 教学难点: 线性变换的概念
一、线性变换的概念
引入 线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的．
定义1 设有两个非空集合A, B , 如果对于A中任一 元素 , 按照一定规则, 总有 B中一个确定的元素 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合 B的变换(或映射), 记作
(12) ( fg )l f ( gl ). n个 由(12)可定义线性变换的幂运算： n f f f , n Z . f
令I 表示V的单位变换，定义f 0 =I .
事实上: (1) f , g L(V ), 一般的,fg gf . (2) 若f , g L(V )，且fg =gf =I，则称f 与g互为逆变换，
T (a0 a1t a2t 2 a3t 3 ) (a0 a2 ) (a1 a3 )t (a2 a0 )t 2 (a3 a1 )t 3
求T在基 1, t , t 2 , t 3 下的矩阵。
T (1) 1 t 2 ,
T (t ) t t 3 ,
记为f 1 =g，g 1 f .
§2.3 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵(建立线性变换与矩阵的关系)
设 1 , 2 , , n 为数域P上线性空间V的一组基， f 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
f ( 1 ) 11 1 21 2 n1 n f ( 2 ) 12 1 22 2 n 2 n f ( ) n 1n 1 2n 2 nn n 用矩阵表示即为
线性变换的核与象
4.定义2.1.3 象子空间，核子空间
设 f 是数域P上的线性空间V的一个线性变换，
(1)V中所有向量在 f 下的象f ( )的集合称为f 的值域， 记作R( f )(也称为f 的象子空间),即R( f )={f ( ) | V }。