信号与系统-第3章例题

周期信号的傅立叶级数表示
例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数
f t
1
0 T/2 T
t
1
解：直接代入公式有
a0
1 T
T 0
f
(t)dt
0
直接代入公式有
T
T
an
2 T
2 T
f
(t) cosn0tdt
2 T
0
(1) cosn0tdt
T
2 T
2 0
(1) cosn0tdt
2
2
0
T
2 T
1
n0
( sin n0t)
T
2 T
1
n0
2
(sin n0t)
0
0
2
T
T
bn
2 T
2 T
2
f
(t) sin n0tdt
2 T
1
n0
0
c os n0 t
T 2
2 T
1
n0
2
( cosn0t)
0
2
n
(1
cosn
)
0 4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
所以有 an 0
0
bn
4
n
]
4
Tn1
c os n1t
2 T
4
4
8
n2 2
sin
n
2
8
n1
(1) 2
2n2
n为奇数
0
n为偶数
[例题] 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数
[解] 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
f
(t)
A， 0，
| t | / 2 | t | / 2
由傅立叶正变换定义式，可得
F( j)
F ( jt ) 2f ( )
f (at) 1 F ( j )
a
a
f (t t0 ) F( j) e-jt0
f (t) ej0t F[ j( 0 )]
f1(t) f2(t)F1( j) F2( j)
f1(t)
f2
(t)
1
2
[F1(
j )
F2 (
j )]
t
f
dn f
dt n
( )d
(
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
t
f (t) 1
Tt
例：有一奇函数，其波形如图所示，求其傅立 叶展开式并画出其频谱图。
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
f (t) 2 t T
T tT 22
f(t) 是奇函数，故 an 0
An
2
2
3
21
41
0 11
31
1
1
2
bn 4 T
T 2 0
A 2 j sin( )
( j)F( j)
2
因此有
F( j) 2A sin( ) ASa( )
2
2
[例4] 试求单位斜坡信号tu(t)的傅立叶变换。
[解] 已知单位阶跃信号傅立叶变换为: F[u(t)] () 1 j
利用频域微分特性可得:
F[tu(t)]
j d [ () d
1]
0
f (t) cos0t
A
/2
/2
t
0
F ( j)
0
0
[例3]试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。
f (t)
A
f '(t)
(A)
• [解]
t
0
2
2
/2 0
f '(t) A (t ) A (t )
2
2
/2
t
(A)
由时域微分特性
j
-j
F[ f '(t)] Ae 2 Ae 2
3T
4 T
E sin n1tdt)
2
E (cosn 1 cos3n cosn )
n 2
2
E (1 cosn ) 0
n
2E
n
n为奇数 n为偶数
f (t) 2E 1 sin 2n t
n n2 j
T
j 1、2、
例：已知三角脉冲信号如图所示， 求它的频谱 F(ω)
f t
1
解： f (t) 可表示为
f (t)ejtdt
2
A ejtdt
2
f (t)
A Sa( )
2
F () A
A
t
2
2
2
2
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
T T
T
1
2
2
40
在有限带宽 0 ~ 2 内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。
有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为
4
P' F02 2 Fn 2 n1
(1)2 5
2 52
[Sa 2
(
5
)
Sa
2
(
2
5
)
Sa
2
( 3
5
)
Sa
2
(
4
5
)]
0.1806
P' 0.1806 0.904 90.4% P 0.2000
0
f (t) (1 t )u(t ) u(t) (1 t )u(t) u(t )
对其求一阶、二阶导数得
t
df (t) 1 u(t ) u(t) 1 u(t) u(t )
dt
d
2 f (t) dt 2
1
[
(t
)
(t
)
2
(t)]
例：已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱 F(ω)
T
2 T
4
(2
4t T
)
c
osn1tdt]
0
若
f1(t) F1(), f2 (t) F2 ()
则
a f1(t) b f2 (t) a F1() b F2 ()
其中，a, b 均为常数。
说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。
例: u(t) 1 1sgn(t) F () π () 1
j
1
)n F(
F ( j) j) F
(0)
(
)
j
tn
f
(t)
jn
dF n ( j) d n
T
T
t
22
解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为
Fn
A
T
Sa n0
2
将A＝1，T＝0.25s， τ=0.05s，ω0 =2 π /T=8 π代入得
信号总平均功率为
Fn
1 Sa n0
5 40
T
1
P 1
2
f 2 (t)dt 1
2
40
f 2 (t)dt 4 12 dt 0.2000
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。
5. 脉冲宽度越窄，有限带宽越宽，高频分量越多。 即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用 的频带越宽。
例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。
f t
E
O
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
解：
令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱 函数为F0(ω)，则
解： f (t) 可表示为
f (t) t u(t) u(t ) u(t )
对其求导数得
df (t) 1 u(t) u(t )
dt
df (t)
根据矩形脉冲频谱及时移性质知道
的频谱为
dt
F1 ( )
Sa (
2
)
e
j 2
f (t) 1
0
t
1
f1 (t )
df (t) dt
0
t
[例2] 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
F0 ()
E
Sa
2
F0
E
O (b)
2π
f (t) 8 (1)n1 1 sin 2n t
2 n2 j1
n2
T
An
8
2
31 0 11
－8 9 2
8
25 2
51
j 1,2,L
[例1]试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(j)。
f1 (t )
A
f (t)
A
0
T
t
0
t
T T
2
f (t)
E
TT t
2
例：有一偶函数，其波形如图所示，求其傅立 叶展开式并画出其频谱图。
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
f (t)
2E t T 2E t
T
0tT 2
T t0 2
f(t) 是偶函数，故 bn 0
2
a0 T
T
2 T
2
f (t)dt
2[ T
T 2 0
2Etdt T
f (t)
解: f(t) 在一个周期内可写为如下形式
2 4t T t T
1
f (t)
T
4
2
4t T tT
T
4
4
T 2
TT
T
42
t
2 4t T
T t T
2
4
an 2 T
T
2 T
2
f
(t) cosn1tdt
2 T
[
T
4 T
(2
2
4t T
)
c
os
n1tdt
T 4 T 4
4t T
cosn1tdt
解:
an
2 T
(
T 4 0
E
c os n1tdt
3T
4 T
E cosn1tdt)
2
2E T
(
1
n1
sin
n1
T 4
1
n1
sin
n1
3T 4
1
n1
sin
n1
T 2
)
E (sin n sin 3n ) 0
n 2
2
An E
E 2 E 3
0
21 41 61
bn
2 T
(
T 4 0
E
sin
n1tdt
2Fra Baidu bibliotek
2
•[解] 无延时且宽度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，
其对应的频谱函数为
F( j) A Sa( )
2 因为 f1(t) f (t T ) 故，由延时特性可得
F1( j) F ( j)e-jT
A Sa( )e-jT
2
例: 求取样信号
f
(t)
c
Sa(c
t) 的频谱。
解： 此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根
据傅立叶变换的对称性来求。
由前面知道，高度为 E ，宽度为τ 的对称矩形脉冲的频谱为
F() E Sa( )
根据傅立叶变换的对称性，有 2
F (t )
E
Sa(t
2
)
2
f
()
2E
G
()
2E
G ()
上式中，令 2c ，E=1，则有
c
Sa(c
t)
G2c
()
f (t) E
0 TT T
42
t
例：有一偶谐函数，其波形如图所示，求其傅 立叶展开式并画出其频谱图。
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 3
sin
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n 0t
]
例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数
f t
A
解： 直接代入公式有
T
T
t
22
Fn
1 T
T 2
T
f (t)e-jn0tdt
1 T
2
Ae - jn0t dt
f (t) sin n1tdt
(1
2
T
)
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
T
8 T2
(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 0
2 (1)n1
n
f (t ) 2 (1)n1 1 sin 2n t
n1
nT
例：有一奇谐函数，其波形如图所示，求其傅
立叶展开式并画出其频谱图。
j
(
)
1
2
傅立叶变换性质一览表
• 1. 线性特性 • 2. 对称互易特性 • 3. 展缩特性 • 4. 时移特性 • 5. 频移特性 • 6. 时域卷积特性 • 7. 频域卷积特性 • 8. 时域微分特性 • 9. 积分特性 • 10. 频域微分特性
af1(t) bf2(t) aF1() bF2()
0 2E
T 2
T
tdt] E
An E
11 31
51
0
4E 2
4E 9 2
4E 25
2
an 4
T
T 2 0
2Et T
cosn1tdt
(1
2
T
)
8E T2
[
t
n1
sin
n1t
T
2 0
T 2 0
1
n1
sin
1tdt]
2E
(n )2
[(1)n
1]
4E
(n )2
0
(n为奇数) (n为偶数)
f (t)
A
T
sin n0
2
n0
=
A
T
Sa n0
2
2
2
2
所以f (t)
Fne jn0t
n
A
T
Sa( n0 )e jn0t
n=-
2
例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度 0 ~ 2 内谐波分量所具 有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知 A=1, T=0.25s,
τ=0.05s。
f t
A
22
j
bn 4 T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
(1
2
T
)
4 T
[
T 4 0
4t T
sin
n1tdt
T
2 T
4
(2
4 T
t
)
s
in
n1tdt
]
T
16 T2
[(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
4 0
T
T
(
t
n1
c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 T
E 2
4E
2
n1,3,5L
1 n2
cos
2n
T
t
[例题3]
f (t)
2 1
f (t) 1.5
Sa ( n ) cos(nt )
n1
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
t
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f2 (t)
1
t
f2 (t) 0.5
n1
Sa ( n ) cos(nt )
乘后信号的频谱函数。
[解] 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为
F( j) A Sa( )
2
应用频移特性可得
F[
f
(t)
cos 0t ]
1 2
F[
j(
0
)]
1 2
F[
j(
0
)]
1 {A Sa[( 0 ) ] A Sa[( 0 ) ]}
2
2
2
f (t)
A
/2 0
/2
t
F ( j)