华北理工大学材料力学刘文增第五版第5章 弯曲应力解析

dA
A1
(M dM ) y1dA
A1
Iz
M dM
Iz
A1 y1dA
令S
* z
ydA
A1
则：FN 2
(M
dM )Sz* Iz
同理：
FN 1
MS
* z
Iz
顶面rp上力系合力：
由 X 0得：
代入上式得：
M
M+dM
FS
FS
dx
dFS' 'bdx
FN 2 FN1 dFS' 0
(M
第5章 弯曲应力
§5—1 纯弯曲
一、弯曲按内力性质分类
1、纯弯曲：
梁横截面只有弯矩的弯曲称为纯弯 曲。
2、横力弯曲:
梁横截面既有剪力又有弯矩的弯曲 称为横力弯曲或称为剪切弯曲。 二、对称纯弯曲的变形规律
1、试验现象：
2、变形推断：
•平面假设：横截面变形 之前为平面变形之后仍为 形状尺寸相同的平面，且 仍然垂直于轴线。 •纵向纤维间无挤压。 •存在中性层及中性轴。
三、对称纯弯曲应力分布规律推断
•横截面只有正应力。
•横截面正应力沿宽度均匀分布。
§5—2 纯弯曲时的正应力
一、公式推导
1、变形几何关系
b'b y d
bb dx OO O 'O ' d
( y)d d y
d
2、物理关系
由： E
得： E y
(b)
3、静力关系
内力关系：
M
ydA
A
yE y dA E
A
A
y2dA
E
Iz
得： 1 M
(5.1)
EIz
将（5.1）式代入（b)式得: My
Iz
(5.2)
二、公式应用
1、公式适用范围：
•弹性变形（即：σ<σp ） •有纵向对称面的梁。
2、公式使用方法：
（1）M，y分别考虑符号代入数 值，σ取正值时为拉应力负值时 为压应力。
M1 23.6 0.2 4.72kN m
M4 27 0.115 3.11kN m
3）危险截面为1，2，3截面。
M2
23.6 (0.2
0.11) 2
3.42kN m
M3
23.6 (0.2
0.11) 2
25.3
0.11 2
4.64kN
m
4）危险点为各截面的上下缘。 5）强度条件计算
截面1—1：
dA
A
FN
0,
zdA
A
M iy
0,
A ydA Miz M
•由关系式一得:
AdA
A
E
y
dA
E
A
ydA
0
得：A
ydA
Sz
0
得：Z轴过形心。
•由关系式二得:
zdA A
zE y dA E
A
zydA 0
A
得：
A zydA Izy 0
由于y为截面的对称轴，必有Izy=0。
•由关系式三得:
32
6）轴满足强度条件。
解：1）作内力图
FRA 2.5kN
FRB 10.5kN
M C 2.5kN m
M B 4kN m
2）拉应力强度计算
（1）危险截面为B，C截面。
（2）危险点为B截面上缘，C截面下缘。 （3）强度条件计算
B截面：
tB max
M B y1 IZ
(4103 N m)(52103 m) 763(102 m)4
dM
)S
* z
MSz*
'bdx
0
Iz
Iz
化简得： ' dMSz* ,
dxIzb
由
dM (x) dx
FS
(x)
得：
'
Fs
S
z
bI z
从而： FsSz
(5.7)
bI z
•公式的适用范围：σ< σP；任意截面。
SZ
A1 y1dA
2
4、等截面梁最大弯曲正应力
max
M max ymax Iz
(5.3)
或： max
M max W
(5.5)
二、弯曲正应力强度计算
1、正应力强度条件
一般梁： max
等截面梁： max
M max W
(5.6)
2、计算问题类型
•强度校核
•截面设计（选择）
•确定许可载荷
3、计算步骤
•确定危险截面及其弯矩值。 （一般由弯矩图判断确定）
•确定危险点。（由正应力分布规律判断确定）
•对危险点进行强度条件计算。 • 结论
解：1）计算简图
2）作弯矩图
M B Fa 3）危险截面为B截面。
M max M B Fa
4）危险点为B截面上缘和下缘。
5）强度条件计算
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
1max
M1 W1
4.72103 N m
(95103 m)3
32
56106 Pa
截面2—2： 2max
M2 W2
3.42103 N m
(85103 m)3
56.7 106 Pa
32
截面3—3： 3max
M3 W3
4.64103 N m
(88103 m)3
69.4106 Pa
•对L/h＞4的细长梁，近似使用
My
Iz
（工程中的梁一般为细长梁，此公式的计算误差在工程允
许范围内）
3、横截面最大弯曲正应力
max
My m a x Iz
M W
W Iz 称为抗弯截面系数。
ymax
bh3
•矩形截面：
W
Iz
12
bh2
ymax

h
6
2
d 4
•圆形截面： W 64 d 3
d
32
27106 Pa t
C截面：
tC max
MC y2 IZ
(2.5103 N m) (120 20 52) 103 m 763(102 m)4
28.8106 Pa t
3）压应力强度计算
（1）危险截面为B截面。
（2）危险点为B截面下缘。
（3）强度条件计算
cBmax
M B y2 IZ
(4103 N m)(120 20 52) 103 m
763(102 m)4
46.2106 Pa c
4）梁满足正应力强度条件。
§5.4 弯曲切应力
一、弯曲切应力计算公式 （一） h>b的矩形截面梁
1、切应力分布假设
① τ方向平行于FS。 ②τ沿截面宽度均匀分布。
2、推导公式
FN 2
（2）M，y均只考虑绝对值， σ的方向由变形判断。
My
Iz
(5.2)
§5.3 横力弯曲时的正应力
一、横力弯曲梁横截面上的正应力
1、横力弯曲梁的特点
•平面假设不成立。
•横向力使纵向纤维间有相互挤压作用。
•正应力不易精确计算。 •细长梁时正应力分布与纯弯曲接近。
2、工程中横力弯曲正应力计算
•对L/h＜4的深梁，一般采用弹性力学方法计算。
W Iz 1.07cm4 1.07cm3 ymax 1cm
由：M max Fa
WW
得：F W 1.07 (102 )4 m3 140 106 N / m2 3103 N
a
0.05m
6）最大压紧力为3kN。
解： 1）计算简图 2）作弯矩图
FRB 27kN
FRA 23.6kN