2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一(上)期末数学试卷
汕头市金山中学2020级高一上学期期末考试 数学试题(含答案)
16 .
（2）因为 sin 2 2 sin cos 24 , cos 2 2 cos2 1 7 ，所以
25
25
1
sin
4
2
sin
4
cos
2
cos
4
sin
2
2 2
7 25
2 24 31 2 . 2 25 50
22.
【解】（1）先求矩形
PMON
面积的最大值：设
BOP
数学 第 3页（共 4 页）
21．（本题满分 12 分）
已知
0,
2
， cos
3 5
.
sin 4 cos （1）求 sin cos 的值；
（2）求
sin
4
2
的值.
22．（本题满分 12 分）
如图，现有一块半径为 2m，圆心角为 90 的扇形铁皮 AOB ，欲从其中裁剪出一块内接五边形 ONPQR ，使点 P 在 AB 弧上，点 M , N 分别在半径 OA 和 OB 上，四边形 PMON 是矩形，点 Q
则 RQ 2 cos , RM 2 sin 2 ，
∴ S梯形PQRM
1 (2 cos α 2
2（) 2sin α
2) 2sin α cos α
2 sin α cos α 1
令 t sin cos
2
sin
4
，
∵
4
,
2
，∴
t
(0,1)
，
此时 2 sin cos 1 t 2 ，则 SQPMR t 2
2t t
2 2
2
1 2
，
当t
2 2
时， SQPMR
专题02 必考必刷解答题之数列综合题(解析版)
2019-2020学年高一数学下学期期末复习备考秘籍专题02必考必刷解答题之数列综合题1．【西藏自治区林芝市第一中学2019-2020学年高一上学期期末】已知点（1，2）是函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T【答案】（1）a n ＝2n －1；（2）T n ＝(n －1)2n ＋1.【解析】(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ， 所以a n b n ＝n ·2n －1. T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1.2．【新疆维吾尔自治区石河子市石河子第一中学2019-2020学年高一上学期期末】设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S 试比较n S 与6的大小. 【答案】（1）1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（2）n S 12362n n -+=-【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ．则依题意有0q >且421221{1413d q d q ++=++=， 解得2,2d q ==，所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（2）1212n n n a n b --=， 122135232112222n n n n n S ----=+++++L ，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++L ，②②-①得：22122221222222n n n n S ---=+++++-L2211112122(1)2222n n n ---=+⨯++++-L1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．3．【天津市六校2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列{}n b 的前n 项和，其中11n n n n a b S S ++=⋅，求n T ；（3）若存在*N n ∈，使得3n n T a λλ-≥成立，求出实数λ的取值范围【答案】（1）n a n =；（2）()()2312n n n T n n +=++；（3）1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S +=，当2n ≥时，()()11122n n n n n n na S S n -+-=-=-=， 当1n =时，111a S ==也符合上式，n a n ∴=； （2）1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-⋅⋅Q ，122311*********n nn n T S S S S S S S S ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()22311212n nn n n n +=-=++++.（3）Q 存在*N n ∈，使得3n n T a λλ-≥成立，∴存在*N n ∈，使得()()()23312n nn n n λ+≥+++成立，即()()12n n n λ≤++有解， ()()max12nn n λ⎡⎤∴≤⎢⎥++⎣⎦，而()()1121263nn n n n=≤++++，当1n =或2n =时取等号， λ∴的取值范围为1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 4．【天津市六校2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{}n a 满足146n n a a -=-（2n ≥且*N n ∈），且174a =-，设()1423log 2n n b a +=+，N n +∈，数列{}n c 满足()2n n n c a b =+.（1）求证：{}2n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析，124nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()3221334nn n S +⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【解析】（1）146n n a a -=-Q ，1482n n a a -∴+=+，()11224n n a a -+=+，{}2n a ∴+是等比数列，其中首项是1124a +=，公比为14. 12=4nn a ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，即124nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()1423log 2n n b a +=+Q （*N n ∈），32n b n ∴=-，由（1）知，124n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，32n b n ∴=-，()1324nn c n ⎛⎫∴=-⨯ ⎪⎝⎭，（*n N ∈）， ()()23111111147353244444n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111473532444444nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2312113113111111324433214444444414nn n n n n S n +-+⎛⎫- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+--⨯=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-113224n n ++=-， ()3221334nn n S +⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.5．【浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{a n +1﹣a n }是首项为14，公比为12的等比数列，a 1＝1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{（3n ﹣1）•a n }的前n 项和S n ． 【答案】（Ⅰ）a n ＝3122n -；（Ⅱ）S n 34=n （3n +1）+5﹣（3n +5）•（12）n ． 【解析】（Ⅰ）数列{a n +1﹣a n }是首项为14，公比为12的等比数列，a 1＝1， 可得a n +1﹣a n 14=•（12）n ﹣1＝（12）n +1，*n N ∈，即有a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝11148++++L （12）n 11113122122212nn⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--；所以*31,22n n a n =-∈N . （Ⅱ）（3n ﹣1）•a n 32=（3n ﹣1）﹣（3n ﹣1）•（12）n ，前n 项和S n 32=（2+5+L +3n ﹣1）﹣[2×12+5×14++L （3n ﹣1）•（12）n ]，设T n ＝2×12+5×14++L （3n ﹣1）•（12）n ，12T n ＝2×14+5×18++L （3n ﹣1）•（12）n +1， 两式相减可得12T n ＝1+3（1148+++L （12）n ）﹣（3n ﹣1）•（12）n +1＝1+3×111142112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭--（3n ﹣1）•（12）n +1， 化简可得T n ＝5﹣（3n +5）•（12）n ，则S n 34=n （3n +1）﹣5+（3n +5）•（12）n ．6．【江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高一上学期期末】设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）31n a n =+；()1*,2n n b n N -=∈（2）137142n n -+-【解析】（1）当1n =时，1a =1S =4； 当2n ≥时，()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+， 且14a =亦满足此关系，∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈，设{}n b 的公比为q ，则3638b q b ==，则2q =，∴()31*32n n n b b qn N --=⋅=∈；（2）由题意，1312n n n n a n c b -+==， 而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++， 27101331281242n n n T -+=++++L ，两式相减，有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L ， 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．7．【广东省汕头市金山中学2019-2020学年高一上学期期末】已知数列{}n a 是等差数列，满足25a =，49a =，数列{}n n b a +是公比为3的等比数列，且13b =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =+，*n ∈N ．1*63(21),n n b n n -=⨯-+∈N （Ⅱ）12332n n n +---【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由25a =，49a =，得952d =+，解得2d =． 所以2(2)52(2)21n a a n d n n =+-=+-=+． 即{}n a 的通项公式为：21n a n =+，*n ∈N ． 由于{}n n b a +是公比为3的等比数列，且116b a +=， 所以1111()363n n n n b a b a --+=+⋅=⨯．从而11*6363(21),n n n n b a n n --=⨯-=⨯-+∈N ．（Ⅱ）由（Ⅰ）1*63(21),n n b n n -=⨯-+∈N ．数列{}n b 的前n 项和16(133)[35(21)]n n S n -=+++-++++L L6(13)[3(21)]132n n n -++=-- 12332n n n +=---．8．【云南省玉溪市红塔区第一中学2019-2020学年高一上学期期末】（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)13n n a -=.（2）22n n nS -=.【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得1413{81a q a q ==， 解得11{3a q ==， 因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. 9．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高一下学期期末】等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，12b =，且2232,b S = 33120b S =． （1）求n a 与n b ；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,2nn n a n b =+=；（2）1(21)22n n T n +=-⋅+【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，12n n b q -=依题意有23322(93)2120{(6)232S b d q S b d q =+==+=，即2(93)60{(6)16d q d q +=+=，解得2{,2d q ==或者65{103d q =-=（舍去）， 故32(1)21,2nn n a n n b =+-=+=． 4分 （2）(21)2nn n a b n =+⋅． 6分213252(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅++⋅L ， 23123252(21)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅++⋅L ，两式相减得23132222222(21)2nn n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-+L 8分23112112222(21)222(21)2(12)22n n n n n n n n +++++=++++-+=--+=--L ，所以1(21)22n n T n +=-⋅+12分10．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高一下学期期末】已知公差大于零的等差数列{}n a 满足：343448,14a a a a =+=．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）记n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)2n a n = (2) 1222n n T n n +=++-【解析】（1）由公差0d >及343448,14a a a a =+=，解得346,8a a ==， 所以432d a a =-=，所以通项()332n a a n d n =+-=（2）由（1）有22na n n nb a n =+=+，所以数列{}n b 的前n 项和()12212(22)22212n n nn n T n n +-+=+=++--． 11．【黑龙江省大庆中学2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{}n a 为等差数列，且满足20a =，612a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =，121n n b S +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式12n n k S a ⎛⎫⋅+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）36n a n =-；13n n b -=（Ⅱ）2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）∵62412a a d -==，∴3d =， ∴()22n a a n d =+-，即36n a n =-， ∵121n n b S +=+，∴()1212n n b S n -=+≥， ∴()112n n n n b b S S +--=-，∴()132n n b b n +=≥，又21213b S =+=，213b b =也成立，∴{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴13n n b -=.（Ⅱ）()1113311132nnn n b q S q---===--， ∴3113622n k n ⎛⎫-⋅+≥-⎪⎝⎭对*n N ∈恒成立， 即()623nn k -≥对*n N ∈恒成立，令23n n n c -=，112327333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<， ∴()3max 127n c c ==，故3269k c ≥=， 即k 的取值范围为2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.12．【黑龙江省大庆中学2018-2019学年高一下学期期末】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-．（1）求等比数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（1）2nn a =（2）1n nT n =+ 【解析】（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-①，342S a =-②．②﹣①，得3422a a a =-，则220q q --=，又0q >，所以2q =，因为2222S a =-，所以12222a a a +=-， 所以12a =， 所以2nn a =；（2）22log log 2nn n b a n ===，11111(1)1n n b b n n n n +==-++ 所以前n 项和11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++L ． 13．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*22,()n n S a n n N =-∈．（1）求123,,a a a 的值；（2）证明{}2n a +是等比数列，并求n a ；（3）若(21)4n n b n a n =++,数列{}n b 的前n 项和为n T ． 【答案】（1）2，6，14；（2）1*22,()n n a n N +=-∈（3）2*(21)224,()n n T n n n N +=--+∈【解析】（1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =；当2n =时，221222424S a a a a =-⇒+=-，解得26a =； 当3n =时，3312332626S a a a a a =-⇒++=-，解得314a =. （2）22n n S a n =-当2n ≥时，()11221n n S a n --=--两式相减，11122222n n n n n n S S a a a a ----=--⇒=+()1122422n n n a a a --∴+=+=+1222n n a a -+∴=+()2n ≥ ，且124a +={}2n a ∴+时首项为4，公比为2的等比数列.（3）根据（2）可知，122n n a +=- ，()12122n n b n +=+⋅-设()1212n n c n +=+⋅，设其前n 项和为n S ，()2341325272......212n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅2n S = ()()34123252......212212n n n n ++⋅+⋅++-⋅++⋅两式相减可得()23412322222......22212n n n S n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅解得()22124n n S n +=-⋅+ ，数列2n d =，前n 项和为2n ，∴数列(){}12122n n ++⋅-的前n 项和是2*(21)224,()n n T n n n N +=--+∈14．【上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）12(2)n n a -=-；（2）存在，13n =【解析】（1）因为1222416a q q =⎧⎨=+⎩，所以4q =或2-，又20200S <，则2q =-，所以12(2)n n a -=⋅-；（2）因为2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--，则(2)3029n -<-，当n 为偶数时有(2)0n ->不符合；所以n为奇数，且11(2)2048-=-，13(2)4096-=-，所以13n ≥且n 为奇数，故min 13n =.15．【上海市上海中学2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =-+∈（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*133log log n n a n b n N++=∈，求{}nb 的前n 项和nT （结果需化简）【答案】（1）0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）()3899164n n nn T -+=•；【解析】（1）221n S n n =-+可得110a S ==2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-则0,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩（2）数列{}n b 满足133log log n n a n b ++=，可得3321log log n n n b -+=，即213n n b n -=⋅，前n 项和32113233,n n T n -=⋅+⋅++⋅L 3521913233n n T n +=⋅+⋅++⋅L两式相减可得352121833333n n n T n -+-=++++-⋅L 化简可得()3899164n n nn T -+=•16．【上海市延安中学2018-2019学年高一下学期期末】己知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若1a ＝1，q ＞1，求limnn na S →∞的值； （2）若首项110a =，1q t=，t 是正整数，满足不等式|t ﹣63|＜62，且911n S <<对于任意正整数n 都成立，问：这样的数列{}n a 有几个？ 【答案】（1）11q-；（2）114 【解析】（1）已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1a ＝1，∴ ()11111nnn a q qS qq--==--，111n n n a a q q --== ，则11111lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n q q a q q q q S q q q q -→∞→∞→∞→∞⋅--====---⎛⎫- ⎪-⎝⎭； （2）Q t 满足不等式|t ﹣63|＜62，6263621125t t ⇒-<-<⇒<<．Q 1q t =，∴ 11(,1)125q t =∈，且110a =，∴()111011111n nna q t S qt⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，得n S 随着n 的增大而增大，得1010,11n S t ⎡⎫⎪⎢∈⎪⎢⎪⎢-⎣⎭ ，又且911n S <<对于任意正整数n 都成立，得101111t-…，11t ⇒≥，且t 是正整数， 满足t 的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个q ，所以有114个数列{}n a ．17．【北京市海淀区北京一零一中学2018-2019学年高一下学期期末】数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+（1c >为常数，n =1，2，3，…），且3218a a -=. （1）求c 的值；（2）求证：①1n n a a +<；②2n a <；（3）比较11a +21a +…+1n a 与40391n a +的大小，并加以证明. 【答案】(1)2c =；(2) ①见证明；②见证明；(3)11a +21a +…+1n a >40391n a +，证明见解析 【解析】（1）由题意：22111122a a a c c =-+=-，223221111()2222a a a c c =-+=-+. 而3218a a -=，得211111()()22228c c -+--=，即2320c c -+=，解得2c =或1c =，因为1c >，所以2c =满足题意. （2）因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥， 所以1n n a a +≥.则11110n n n a a a a +-≥≥≥≥=>K . 231111221233121111112(2)()(2)()(2)()(2)2222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------------=-=-=-==-L L ， 因为120a -<，0n a >，所以20n a -<， 所以2n a <. （3）由21122n n n a a a +-=+，可得112(2)2n n n a a a +=--， 从而112112(2)2n n n n n a a a a a +==--⋅--，所以111122n n n a a a +=---.因为11a =，所以111111111111()122222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++=-=-=------∑∑， 所以1111140140139239nn n k k n a a a a ++=+-=---∑ 2111111404139(53)(813)39(2)39(2)n n n n n n a a a a a a ++++++--+-==⋅-⋅-. 232a =，3138a =，1322n a +≤<，1153039(2)n n a a +++>⋅-, 当n =1时，28130a -<,故2114039a a <； 当n =2时，38130a -=，312114039a a a +=； 当n ≥3时，13138n a a +=>，则18130n a +->，1114039nn k ka a +=-=∑111(53)(813)039(2)n n n a a a ++++->⇒⋅-1114039nn k ka a +=>∑. 18．【上海市延安中学2018-2019学年高一下学期期末】已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）2n S n =【解析】（1）由题意，得12348a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，所以11a =，48a =，或18a = ，41a =， 由{}n a 是递增的等比数列，得1q > ，所以11a =，48a =，且2q =，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=，即12n n a -=；（2）由（1）得()()111212log log 2221n n n n n b a a n -+-+=⋅=⋅=-，得()1211212n n b b n n +-=+--+=，所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以()122n n n b b n S +==.19．【广西南宁市第二中学2018-2019学年高一下学期期末】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)n n a =-；（2）见解析.【解析】（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩ ，解得2q =-，12a =-. 故{}n a 的通项公式为()2nn a =-. （2）由（1）可得()()111221133nn nn a q S q+-==-+--.由于()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.20．【上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高一下学期期末】已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈.（1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+L ，*n N ∈ 【答案】（1）证明见解析，(1)n a n n =+；（2）见解析 【解析】由1(1)(1)n n na n a n n +=+++可知：1(1)(1)(1)(1)(1)n n na n a n n n n n n n n +++=++++，则有111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+，所以{}n a n 为等差数列，且首相为121a=，公差1d =，所以1n a n n=+，故(1)n a n n =+； （2）22(1)n b n n =+ ，当1n =时，111124b =<-成立； 假设当n k =时，不等式成立则：12211(1)k b b b k +++<-+L ；当1n k =+时，12122121(1)(1)(2)k k b b b b k k k +++++<-++++L ，因为22222212112111(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭ 222222(1)2(1)(2)10(1)(2)(1)(2)k k k k k k k +++-+-==<++++ ，所以22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，则121211(2)k k b b b b k +++++<-+L ，故1n k =+时不等式成立， 综上可知：12211(1)n b b b n +++<-+L .。
广东省汕头市金山中学高一数学上学期期末试题新人教A版
一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|20}A x x =+=,集合2{|40}B x x =-=,则A B =( )A. {2}B. {2}-C. {2,2}-D. ∅ 2．若0log log 22<<b a ，则（ ）A. 10<<<a bB. 10<<<b aC. 1>>a bD. 1>>b a3．已知)2,3(-=，)0,1(-=，向量+λ与垂直，则实数λ的值为（ ）A.21 B. 21- C. 31 D. 31- 4．函数)0(,)21sin(πϕϕ≤≤-=x y 是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A ．0B ．4πC ．2π D ．π5．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）6．函数()2xf x e x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．)2,1(D ．)3,2(7．在ABC ∆中，若1tan tan 0<⋅<B A ，那么C tan 的值（ ）A.恒大于0B.恒小于0C.可能为0D.可正可负 8．在ABC △中，c AB =，b AC =．若点D 满足DC BD 3=，则AD =（ ） A ．c b 4743+- B ．c b 4143- C ．c b 4143+D ．c b 4341+9. 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]3,1[∈x 时，22)(--=x x f ，则（ ）xxA ．B ．C ．D ．B D CA第8题图A ．)6(sin )3(sinππf f > B ． )32(cos )32(sin ππf f < C ．)4(cos )3(cos ππf f < D ．)4(tan )6(tanππf f <10.已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意R x ∈，有x m x f ≤)(，则称函数)(x f 为-F 函数.给出下列函数：①2)(x x f =；②1)(2+=x x x f ；③()2xf x =；④()sin 2f x x =.其中是-F 函数的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分）请把答案填写在答题卡相应的位置上. 11．已知21sin =α，则)2cos(απ+的值为______________. 12．已知函数⎩⎨⎧<≥=)0()0(0)(x x x f π，则))1((-f f 的值等于______________.13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π-等于 ． 14．函数]),0[)(62sin(2ππ∈-=x x y 为减函数的区间是______________.15.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(<a f ,则实数a 的取值范围是___________.16．设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x =++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为________.三、解答题（本大题共有5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分14分）设函数1cos sin 22cos 3)(++=x x x x f ．（1）求)3(πf 的值；（2）若)2,0(π∈x ，求函数)(x f 的最大值.18．（本题满分14分）已知函数()),22,0,0)(sin(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 其部分图象如下图所示.（1）求函数 )(x f y =的表达式；（2）若,66ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且53)(=αf ，试求αsin 的值.19.(本题满分14分)为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元. 根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.设每辆自行车的日租金x （元）),203(*∈≤≤N x x ，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？20．（本题满分14分）设函数)0(1)(2>+=x xxx g ，22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >,区间}0)({>=x f x I（1）证明：函数)(x g 在]1,0(单调递增；（2）求I 的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-)；（3）给定常数(0,1)k ∈,当k a k +≤≤-11时,求I 长度的最小值.21．（本题满分14分）设a 为非负实数，函数()f x x x a a =--. （1）当2a =时，求函数的单调区间；（2）讨论函数()y f x =的零点个数，并求出零点．高一数学期末考试试题参考答案 BBDCA ABCBC11.21-12.0 13.1 14.]65,3[ππ 15. )1,0()1,(⋃--∞16.87a ≤-17.解：（1）法1：∵1cos sin 22cos 3)(++=x x x x f∴113cos 3sin 232cos 3)3(=++=ππππf ………5分 法2：∵1)2cos 232sin 21(21cos sin 22cos 3)(++=++=x x x x x x f 1)32sin(2++=πx∴11)332sin(2)3(=++=πππf ………10分（2）∵1)2cos 232sin 21(21cos sin 22cos 3)(++=++=x x x x x x f ………8分 1)32sin(2++=πx ………10分∵20π<<x ， ∴34323πππ<+<x ………11分∴当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)32sin(π+x 有最大值1，此时，函数)(x f 有最大值3. ………14分18．解：（1）由图象知 (4,1==T A ,12,2)632===-Tπωπππ ………3分 将 )1,6(π代入)sin()(ϕ+=x x f ，得 ,1)6sin(=+ϕπ因为2π-<ϕ<2π，3263πϕππ<+<-，所以26πϕπ=+ ，即3πϕ=………5分 所以 R x x x f ∈+=),3sin()(π………6分（2）因为3()5f α=，所以3sin()35πα+= ………7分,,66632πππππαα-<<∴<+< 4cos()35πα∴+= ………9分sin sin()sin()cos cos()sin333333314352510ππππππαααα∴=+-=+-+=⨯-=-………14分19．解：（1）当*,63N x x ∈≤≤时，11550-=x y ………3分 当*,206N x x ∈≤<时， 115)]6(350[---=x x y ………6分故⎩⎨⎧∈≤<-+-∈≤≤-==*),206(115683*),63(11550)(2N x x x x N x x x x f y ………7分 （2）对于)63(11550)(≤≤-=x x x f ， ∵)(x f 在]6,3[递增，∴当6=x 时，185max =y （元） ………9分对于)206(3811)334(3115683)(22≤<+--=-+-=x x x x x f ∵)(x f 在]334,6[递增，在]20,334[递减又*∈N x ，且)12()11(f f >………12分当11=x 时，270max =y （元） ………13分185270> ，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多.………14分 20．解: （1）∵)1)(1()1)((11)()(2221212122221121x x x x x x x x x x x g x g ++--=+-+=- 若1021≤<<x x ，则021<-x x ，0121>-x x ，0121>+x ，0122>+x 则0)()(21<-x g x g ，即)()(21x g x g < ∴函数)(x g 在]1,0(单调递增. ………5分 (2)∵0])1([)(2>+-=x a a x x f∴)1,0(2a a x +∈，即区间I长度为21a a+.………7分 (3) 由（1）知，)1)(1()1)(()()(2221212121x x x x x x x g x g ++--=- 若211x x <≤，则021<-x x ，0121<-x x ，0121>+x ，0122>+x 则0)()(21>-x g x g ，即)()(21x g x g > ∴)(x g 在),1[+∞单调递减，………9分由(2)知,21)(aaa g I +==，又∵211,1-10),1,0(<+<<<∈k k k ， ∴函数)(a g 在]1,1[k -单调递增，)(a g 在]1,1[k +单调递减；………11分∴当k a k +≤≤-11时, I 长度的最小值必在k a -=1或k a +=1处取得，而122)1(11)1(11)1()1(323222<+---=+++-+-=+-k k k k k k k kk g k g ，又0)1(>+k g 故)1()1(k g k g +<-………13分所以2221)1(1k k kk g I k a +--=--=取最小值时，当. ………14分21．解：（1）当2a =时，2222,2()2222,2x x x f x x x x x x ⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， ----1分① 当2x ≥时，22()22(1)3f x x x x =--=--， ∴()f x 在(2,)+∞上单调递增； ------2分② 当2x <时，22()22(1)1f x x x x =-+-=---，∴()f x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞上单调递增； ---------3分综上所述，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞和(2,)+∞，单调递减区间是(1,2). ------4分（2）①当0a =时，()||f x x x =，函数()y f x =的零点为00x =； -----5分②当0a >时，22,(),x ax a x af x x x a a x ax a x a⎧--≥⎪=--=⎨-+-<⎪⎩， --------6分故当x a ≥时，22()()24a a f x x a =---，二次函数对称轴2ax a =<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，0)(<-=a a f ； -----------7分当x a <时，22()()24a a f x x a =--+-，二次函数对称轴2ax a =<， ∴()f x 在(,)2a a 上单调递减，在(,)2a-∞上单调递增； ------------8分又22()()2224a a a a f a a a =-+⨯-=-， 1 当()02af <，即04a <<时，函数()f x 与x 轴只有唯一交点，即唯一零点，由20x ax a --=解之得函数()y f x =的零点为0x =或0x =（舍去）； --------10分2 当()0af =，即4a =时，函数()f x 与x 轴有两个交点，即两个零点，分别为12x =和222a x ==+ ------11分3 当()02af >，即4a >时，函数()f x 与x 轴有三个交点，即有三个零点，由20x ax a -+-=解得，2a x =，∴函数()y f x =的零点为x =0x =. -------12分综上可得，当0a =时，函数的零点为0；当04a <<时，函数有一个零点，且零点为2a +；当4a =时，有两个零点2和2+；当4a >时，函数有三个零点2a ±和2a +. -----------14分。
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合P ＝{x |x ＞1}，Q ＝{x |x 2－x ＞0}，则下列结论正确的是( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．P ＝Q D ．P ∪Q ＝R【答案】A【解析】(,0)(1)Q =-∞⋃+∞， ,所以P ⊆Q , 选 A. 2．已知1cos()23πα-=，则cos(2)πα-=（ ）A ．9-B ．9C ．79-D ．79【答案】C【解析】分析：首先应用三角函数的诱导公式，根据1cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，求得1sin 3α=，再利用诱导公式，将()cos 2πα-转化为cos2α-，最后应用余弦的倍角公式2cos 212sin αα=-从而求得结果.详解：()()2117cos sin cos 2cos212sin 2339πααπααα⎛⎫-=∴=∴-=-=--=- ⎪⎝⎭Q ，故选择C ．点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，所涉及的知识点有诱导公式和余弦的倍角公式，在解题的过程中，需要时刻保证相应的公式的正确性，最后算出结果即可. 3．已知角α的终边经过点()3,4-，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725-B ．1825-C ．1225-D ．10【答案】D【解析】由已知结合三角函数定义，求出sin ,cos αα，再用两角和正弦公式，即可求解.【详解】角α的终边经过点()3,4-，则5r ==，43sin ,cos 55αα∴==-，43sin sin cos cos sin ()44425510πππααα⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数的定义，以及两角和的正弦求值，属于基础题.4．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =u u u r u u u r，则下列关系中正确的是（ ）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【答案】A 【解析】【详解】 ∵3BC CD u u u v u u u v=∴AC u u u v −AB u u u v =3(AD uuu v −AC u u uv )；∴AD uuu v =43AC u u uv −13AB u u u v .故选A.5．设3ln2a =，32logb e=，实数c 满足ln c e c -=，（其中e 为自然常数），则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】根据对数函数的单调性可判断1,2a b <>，设()ln ,xf x x e c -=-是()f x 的零点，根据()f x 的单调性，c 为函数()f x 唯一零点，判断(1),(2)f f 的正负，即可求解. 【详解】3lnln 1,12e a <=∴<，233223log log ()2,22e b >=∴>， 设()ln ,xf x x e c -=-是()f x 的零点，()f x 在(0,)+∞是增函数，c 为函数()f x 唯一零点，1(1)ln10f e -=-<， 2211(2)ln 20,122f e c e-=->-><<， b c a ∴>>.故选:B. 【点睛】本题考查比较数的大小，考查对数函数的单调性，以及函数零点所在区间的判断，要注意与特殊数对比，属于中档题. 6．函数()2sin()0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ．2，6π B ．2，3π-C ．4，6π-D ．4，3π 【答案】B【解析】根据图像最高点与相邻最低点的横坐标，求出周期，进而求出ω，再由最高点（或最低点）坐标结合正弦函数用整体代换求出ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】根据图像可得周期11522(),21212T ππππωω=-==∴=， 再由最高点的横坐标为512π，可得522()122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，2(),,2233k k Z ϕϕπϕππππ-<<∴∴=-∈=+-Q .故选:B.【点睛】本题考查由图像求参数，考查三角函数的性质，属于基础题.7．要得到函数cos 2y x =的图象，只要将函数cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 【答案】D【解析】cos 2y x =化为cos(2())84y x ππ=-+，再根据图像平移规律，即可得到结论. 【详解】cos(2()8co )4s 2x y x ππ-+==，只需将cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像向右平移8π个单位， 得到cos 2y x =的图像. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数图像之间的平移关系，属于基础题.8．函数2()1xx xe f x e =+的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得函数在x>0时()f x >0，在x<0时()f x <0，从而排除即可得到答案． 【详解】函数在x>0时()2e 1x xx f x e =+>0，排除C 、D ，在x<0时()2e 1xx x f x e =+<0，排除B ， 故选A. 【点睛】本题考查了函数的图象的应用，注意确定函数在某区间的值域，从而利用排除法求解即可．9．已知函数2()33x x f x -=+，则（ ） A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于y 轴对称【答案】C【解析】令930,xt y t t =>=+，根据对勾函数性质可得函数9y t t=+单调区间，以及指数函数3x t =单调性，结合复合函数的单调性，可得()f x 在(,1)-∞单调递减，(1,)+∞单调递增，所以选项A,B 错误；选项C ，判断(2),()f x f x -是否相等；选项D ，判断()f x -与()f x 是否有相等，或先取两个互为相反数的自变量计算函数值是否相等，若不相等，则否定，若相等，再算一般情况()f x -与()f x . 【详解】930,x t y t t=>=+，根据对勾函数的图像特征，9y t t =+在(0,3)单调递减，在(3,)+∞单调递增，3x t =在R 上单调递增，根据复合函数的单调性可得，当(0,3)t ∈，即(,1)x ∈-∞，函数2()33x xf x -=+单调递减， 当(3,)t ∈+∞，即(1,)x ∈+∞，函数2()33xxf x -=+单调递增，所以选项A,B 错误； 由22(2)2(2)3333()xx x x f x f x -----=+=+=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，选项C 正确；由82(1)6,(1)3f f =-=，()y f x =的图像不关于y 轴对称， 选项D ，错误. 故选C. 【点睛】本题考查函数的单调性，涉及到指数函数、对勾函数、复合函数的单调性判断，考查函数的对称性，属于中档题.10．函数()sin 2cos f x x x =+的值域为（ ）A ．⎡⎣B ．[]1,2C ．⎡⎣D ．5⎣ 【答案】A【解析】如何去函数()f x 中的绝对值，需判断sin ,cos x x 的正负，将x 的范围缩小，考虑周期性，只要研究一个周期的值域即可，而()()f x f x π+=，周期为π，取[0,]x π∈，对()f x 分段讨论，由辅助角公式，结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】()=sin()2cos()()f x x x f x πππ++++=，所以()f x 周期为π，取[0,]x π∈，当()[0,],sin 2cos )2x f x x x x πϕ∈=+=+，其中sin2x πϕϕϕϕϕ==≤+≤+，当2x πϕ+=时，max ()f x =sin()12πϕϕϕ=+==，min ()1f x =；当()(,],sin 2cos )2x f x x x x ππϕ∈=-=-，其中sin2x πϕϕϕϕπϕ==-≤-≤-，当2x πϕ-=时，max ()f x =sin())22πϕϕπϕϕ-==-==， min ()1f x =；[0,],()x f x π∈∈，()f x Q 周期为π，所以()f x 的值域为. 故选:A. 【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，确定周期、分类讨论去绝对值是解题的关键，属于中档题.二、多选题11．关于函数21()lg (0)||x f x x x +=≠，有下列结论，其中正确的是（ ） A ．其图象关于y 轴对称； B ．()f x 的最小值是lg 2；C ．当0x >时，()f x 是增函数；当0x <时，()f x 是减函数；D ．()f x 的增区间是(1,0)-，(1,)+∞； 【答案】ABD【解析】可证()()f x f x -=，选项A 正确；令21||x t x +=，求出t 的最小值为2， 可判断选项B 正确；当0x >，由对勾函数的性质可得函数211||x t x x x+==+单调区间，结合复合函数单调性，可判断选项C 错误，运用偶函数的对称性，求出0x <时，()f x 单调区间，可判断选项D 正确. 【详解】2()1()lg ()||x f x f x x -+-==-，()f x 是偶函数，选项A 正确；令211||2||||x t x x x +==+≥，lg y t =在(0,)+∞上是单调递增， lg lg 2y t =≥，所以()f x 的最小值为lg 2，选项B 正确；当0x >时，211x t x x x +==+，根据对勾函数可得，1t x x=+单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞， lg y t =在(0,)+∞上是单调递增，所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，选项C 错误； 根据偶函数的对称性，()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,0)-单调递增， ()f x 的增区间是(1,0)-，(1,)+∞，选项D 正确.故选:ABD. 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到函数奇偶性、单调性、最值，考查对数函数和对勾函数的性质，应用复合函数的关系是解题的关键，属于中档题.12．已知函数()sin |cos |f x x x =⋅，给出下列结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 的图象关于直线2x π=对称；B ．若12|()||()|f x f x =，则12()x x k k π=+∈Z ；C ．()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； D ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称.【答案】AC【解析】求出()f x π-，判断()()f x f x π-=，选项A 正确；取特值验证当12|()||()|f x f x =时，12()x x k k π=+∈Z 不成立，选项B 错误；1,,cos 0,()sin 2442x x f x x ππ⎡⎤∈->=⎢⎥⎣⎦，可判断选项C 正确；求出()f x π--，可判断()()0f x f x π--+≠，选项D 错误. 【详解】()sin()|cos()|sin |cos |()f x x x x x f x πππ-=-⋅-=⋅=,()f x 的图象关于直线2x π=对称，选项A 正确；当125,66x x ππ==时，满足12|()||()|f x f x =， 而1223x x π-=-，不满足12()x x k k π=+∈Z ，选项B 错误；1,,cos 0,()sin 2442x x f x x ππ⎡⎤∈->=⎢⎥⎣⎦，2212,,()sin 22x f x x ππ⎡⎤∈-=⎢⎥⎣⎦单调递增，选项C 正确；()sin()|cos()|sin |cos |()f x x x x x f x πππ--=--⋅--=⋅=，不关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，选项C 错误.故选:AC. 【点睛】本题考查三角函数的化简以及函数的性质，解题的关键要掌握对称关系的代数表示，考查化归转化数学思想，属于中档题.三、填空题13．已知平面向量(4,3)a =r ，(6,)b m =r ，若a r与2b a -r r 平行，则m =________.【答案】92【解析】求出2b a -r r的坐标，再利用共线向量的坐标关系，即可求解. 【详解】(4,3)a =r ，(6,)b m =r ，2(8,23)b a m -=-r r， //2,6(23)80a b a m m -∴--=r r r Q ，解得92m =.故答案为:92. 【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，涉及到平面向量的线性运算、共线向量的坐标关系，属于基础题.14．已知函数22)()4x f x x-=+，若()5f a =，则()f a -=________. 【答案】3【解析】根据已知与所求的自变量关系，考虑利用奇偶性求函数值，但()f x 不具有奇偶性，可以考查局部奇偶性，令()g x =则()()4f x g x =+，可证()g x 是奇函数，即可求解. 【详解】令22)()x g x x=，222)()()0x x g x g x x +-+==, ()(),()g x g x g x -=-∴是奇函数，()()45,()1,()1f a g a g a g a =+==∴-=-， ()()43f a g a -=-+=.故答案为:3.【点睛】本题考查函数求值，实际是考查函数的性质应用，解题的关键要把问题化归为函数的奇偶性，属于中档题. 15．函数221()3x xy +=的单调递减区间为________；值域是________.【答案】[1,)-+∞ (0,3]【解析】令212,()3uu x x y =+=，根据复合函数单调性原则，只需求出22u x x =+的单调递增区间即可，求出22u x x =+的值域，利用1()3uy =单调性，即可求出值域. 【详解】212,()3u u x x y =+=在实数R 上是单调递减，222(1)1u x x x =+=+-在[1,)-+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减，根据复合函数的单调性， 函数()f x 的单调递减区间是[1,)-+∞，221112(1)11()()333u u x x x y -=+=+-≥-=≤=，，0,()y f x >∴Q 的值域为(0,3].故答案为：（1）[1,)-+∞；（2）(0,3]. 【点睛】本题考查指数型函数的性质，运用换元方法，转化为复合函数的单调性，注意指数型函数值大于零不要遗漏，属于中档题.16．已知平面向量a r 与b r 的夹角为34π，且||1a =r ，||b =r |2|a b -=r r ________.【解析】利用模长关系有22|2|(2)a b a b -=-r r r r ，按向量数量积的运算即可求解，然后开方，可得出结论. 【详解】2222|2|(2)=44a b a b a a b b -=--⋅+r r r r r r r r .=4141(2102⨯-⨯-+=，|2|a b ∴-=r r故答案为. 【点睛】本题考查向量的模长，考查向量的数量积，属于基础题.17．已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1[()]2f f a =-，则a 的值是________.【答案】-1或2【解析】根据函数值的正负，由1[()]02f f a =-<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解. 【详解】当0x ≤时，()0,f x >1[()]02f f a =-<， 411[()]log (()),()22f f a f a f a ∴==-∴=，当410,()log ,22a f a a a >==∴=，当10,()2,12aa f a a ≤==∴=-，所以1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题.18．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠有零点，且()f x 的零点都是函数(())f f x 的零点；反之，(())f f x 的零点都是()f x 的零点.则实数b 的取值范围是________. 【答案】[0,4)【解析】由()f x 的零点是函数(())f f x 的零点，可得0c =，设(())f f x 的零点零点为n ，可得()0f n =或者()b f n a =-，而n 也为()f x 的零点，得出0b a -=或()bf n a=-无解，即可求出b 的范围. 【详解】若m 为()f x 的零点，则()0f m =，m 也是(())f f x 的零点，(())(0)0f f m f c ===，2=0,0ax bx x +=或b x a=-， 设n 设(())f f x 的零点，则有(())0,()0f f n f n ==或()b f n a=-， 而n 是()f x 的零点，()0,0,0b f n b a =∴-==或()bf n a=-无解， 即20ban bn a++=没有实数解240,04b b b ∆=-<∴<<， 综上实数b 的取值范围是[0,4). 故答案为:[0,4). 【点睛】本题考查函数零点，考查二次函数根的判别式，考查分析问题，解决问题能力，属于较难题.四、解答题19．已知函数22()cos cos sin 1()f x x x x x x =⋅+--∈R . （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围. 【答案】（1）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[3,0]- 【解析】（2）用二倍角公式和辅助角公式化简可得()2sin(2)16f x x π=+-，整体替换正弦函数的递增区间，即可求解； （2）由5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出26x π+范围，结合正弦函数图像，即可求解.【详解】解：（1）由题设()2cos212sin(2)16f x x x x π=+-=+- 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()y f x =的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由5012x π-≤≤，可得22366x πππ-≤+≤∴11sin(2)62x π≤+≤- 于是32sin(2)106x π≤+-≤-.故()y f x =的取值范围为[3,0]- 【点睛】本题考查三角恒等变换化简三角函数，考查三角函数的性质，解题的关键应用整体思想转化为考查正弦函数的性质，属于基础题.20．已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-r ，(1,2)b =r，[0,2]θπ∈.（1）若a b ⊥r r，求21sin 2cos θθ+的值；（2）若函数2()(3sin )1f x x a b x θ=+⋅+-r r在区间1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数，求θ的取值范围. 【答案】（1）1321；（2）240,,233πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】（1）由已知结合向量垂直数量积关系，求出2tan 3θ=，把所求的式子“1”用22sin cos αα+替换，化为齐次分式，进而化为tan α，即可求解；（2）求出2()2cos 1f x x x θ=+-，要使函数1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，对称轴不在区间之间，求出cos θ范围，结合θ范围，即可求解. 【详解】解：（1）∵a b ⊥r r ，∴sin 2(cos 2sin )0θθθ+-=，即2tan 3θ=，∴原式2222sin cos 1tan 132sin cos cos 2tan 121θθθθθθθ++===++； （2）∵22()(3sin )12cos 1f x x a b x x x θθ=+⋅+-=+-r r在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴1cos 2x θ=-≤，即1cos 2θ≥-； 又[0,2]θπ∈，∴240,,233ππθπ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∈ 【点睛】本题以向量为背景，考查三角函数求值以及三角不等式的求解，解题的关键是化齐次分式、化弦为切，也考查二次函数的性质，属于基础题.21．某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为024t ≤≤． （Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？ 最少水量是多少吨？ （Ⅱ）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？ 【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）8【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）函数应用题，关键在于正确理解题意：存水量为蓄水池原有水量加上注水量，减去供水量，即存水量40060y t =+-[1,24]，所以当6t =时，min 40y =，（Ⅱ）先由题意得：y ≤80时，就会出现供水紧张．由此建立关于x 的不等关系，最后解此不等式即得一天中会有多少小时出现这种供水紧张的现象． 试题解析：（Ⅰ））设供水t 小时，水池中存水y 吨．则40060y t =+-240=+(124)t ≤≤当6t =时，min 40y =，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少水量为40吨．（Ⅱ=x ；则x 2＝6t ，即y ＝400+10x 2﹣120x ； 依题意400+10x 2﹣120x ＜80，得x 2﹣12x +32＜0,解得，4＜x ＜8，即48，83233t ＜＜； 即由328833-=，所以每天约有8小时供水紧张． 答：一天24小时内大约有8小时出现供水紧张． 【考点】函数应用题 【名师点睛】 解函数应用问题的步骤（1）审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握．因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．（2）建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式（也叫目标函数），将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．（3）解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型或目标函数）予以解答，求得结果．（4）还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．22．已知函数2()f x ax x =-，()g x =(,)a b ∈R . （1）当0b =时，若()f x 在区间[2,4]上单调递减，求a 的取值范围；（2）求满足下列条件的所有实数对(),a b ：当a 是整数时，存在0x ，使得()0f x 是()f x 的最大值，()0g x 是()g x 的最小值； 【答案】（1）12a ≤；（2）()1,1--，()1,3- 【解析】（1）()24f x ax x =-，对()f x 开口方向，结合对称轴与区间[2,4]的关系，得出关于a 的不等式，即可求解；（2）根据已知可得0x x a ==，()g x 取得最小值，分析()f x 具有最大值的条件，求出,a b 的取值范围，进而得出()f x 是开口向下的抛物线，求出最大值时的0x 且等于a ，得出,a b 关系，利用,a b 范围，即可求解. 【详解】解：（1）当0b =时，()24f x ax x =-，若0a =，()4f x x =-，则()f x 在[2,4]上单调递减，符合题意.若0a ≠，则0442a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩或0422a a<⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴102a <≤或0a <，综上，12a ≤（2）若0a =，()f x =-， 则()f x 无最大值，故0a ≠，∴()f x 为二次函数，要使()f x 有最大值，必须满足2420a b b <⎧⎨+-≥⎩，即0a <且11b ≤≤此时，0x x ==()f x 有最大值.又()g x 取最小值时，0x x a ==，a =∈Z ，则2a ==，∵0a <且11b ≤≤∴)20a a <∈Z ， 得1a =-，此时1b =-或3b =.∴满足条件的实数对(),a b 是()1,1--，()1,3-. 【点睛】本题考查二次函数的性质，涉及到二次函数的单调性、最值，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.。
广东省汕头市金山中学2019_2020学年高一数学10月月考试题
广东省汕头市金山中学2019-2020学年高一数学10月月考试题一．选择题（共12题，每题5分，共60分.四个选择项选择一项，答案填涂在答题卡相应位置）1.若函数y=|x|的定义域为M={-2，0，2}，值域为N ，则M ∩N=( ) A.{-2，0，2} B.{0，2} C.{2} D.{0}2.函数14)(2---=x xx x f 的定义域是( ) A.(1,2] B ．[1,2] C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞3.已知全集U=R ，集合A={x|-2≤x ≤3}，B={x|x 2-3x-4＞0}，那么A ∩(C U B)=( ) A.{x|-2≤x ＜4} B.{x|x ≤3或x ≥4} C.{x|-2≤x ＜-1} D.{x|-1≤x ≤3}4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A .y ＝x 0，y ＝x ＋1x ＋1B .y ＝x 2－1，y ＝x ＋1·x －1C .y ＝x ，y ＝3x 3D .y=x , y=x x 25.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=，若{}1A B =I ，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,56.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.47.下列函数中，既是奇函数又在区间（1，+∞）上单调递增的函数为A ．1y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．xx y 1+= 8.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是（ ）A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减9.已知函数f )11(xx+-＝1－x 21＋x 2，则函数f (x )的解析式为( )A.x 1＋x 2B.－2x 1＋x 2C.2x 1＋x 2D.－x 1＋x 210.若函数b a y x+=的部分图象如下图所示，则 （ ）A. 01,10<<-<<b aB. 10,10<<<<b aC. 01,1<<->b a D . 10,1<<>b a11.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若)5.2(-=g a ，0.8(2)b g =，)8(log 2g c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<12. 已知集合A={062|2=++-t tx x x }，B={0|<x x }，若φ≠⋂B A ,则实数t 的取值范围是 （ ）A. （-6，-2）B. [-6,-2]C.(-∞,-2]D. (-∞,-6]二．填空题（共6题，每题5分，共30分.答案填入答题卡相应位置） 13. 已知函数)(x f 为R 上的奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=+-)0()2(f f 14. 函数)(x f =1-x 2)31(的值域是15.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图，可知骑自行车者用了6 h ，沿途休息了1 h ，骑摩托车者用了2 h ，根据这个图象，提出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了1.5 h 后，追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是 .16.若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的个数是 ．17.已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是 .18.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,()f x =________________.三．解答题（共4题，每题15分，共60分.详细解答写在答题卡相应位置上）19. 已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}.(1)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围； （6分） (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围. （9分）20.已知f (x )＝x (12x －1＋12)(1)判断f (x )的奇偶性；（ 8分） （2）比较f (x )与0的大小关系.（ 7分）21. 已知函数,1)(2-=x axx f 其中a 为非零常数。
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合M={x||x-1|＜2，x∈R}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A.{0，1，2}B.{-1，0，1，2}C.{-1，0，2，3}D.{0，1，2，3}2.（单选题，5分）已知一个扇形的圆心角为5π6，半径为3．则它的弧长为（）A. 5π3B. 2π3C. 5π2D. π23.（单选题，5分）若0＜a＜1，则函数y=log a（x+5）的图象（）A.不经过第一象限，但过点（-4，0）B.不经过第二象限，但过点（-4，0）C.不经过第三象限，但过点（0，1）D.不经过第四象限，但过点（a-4，1）4.（单选题，5分）对于a，b是任意非零实数，且a＞b．又c∈R，则有（）A.lg（a-b）＞0B.ac2＞bc2C. 1a ＜1bD. (13)a＜(13)b5.（单选题，5分）函数f(x)=xx2+1，则函数y=f（x）的最大值是（）A. 14B. 12C.1D.26.（单选题，5分）渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的类似物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐烂）．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分）满足的函数关系式为h=m•a t．若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（）（已知lg2=0.3，结果取整数）A.33分钟B.43分钟C.50分钟D.56分钟7.（单选题，5分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与g（x）=-log b x的图象可能是（）A.B.C.D.8.（单选题，5分）如果tanθ=2，那么1−sin(θ−π)sin(17π−θ)的值是（）2A. 54B. 53C. 73D. 759.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A.y=cos2x，x∈RB.y=log2|x|，x∈R且x≠0C.y= e x−e−x2，x∈RD.y=x3+1，x∈R10.（单选题，5分）今有过点M（-1，1）的函数f(x)=4log4(√x2+a−x)−3，则函数y=f（x）的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数11.（单选题，5分）已知函数f（x）=（x-1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则f（3-x）＜0的解集为（）A.（2，4）B.（-∞，2）∪（4，+∞）C.（-1，1）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）12.（单选题，5分）已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)满足f(x)=−f(x+π2)，f(0)=12，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，π2]上的最大值为（）A.4B. √3C.1D.-213.（填空题，5分）式子sin 4π3+cos（-60°）的值是___ ．14.（填空题，5分）函数f（x）=（x-3）0+log0.5（x-2）的定义域是___ ．15.（填空题，5分）把函数y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数，再向左平移π6个单位得到函数解析式是___ ．16.（填空题，5分）设函数f(x)=ax2x+3，若f（f（x））=x恒成立，则实数a的值为___ ．17.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为___ ．18.（填空题，5分）用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[-1.6]=-2．下面关于函数f （x）=x-[x]说法正确的序号是___ ．① 当x∈[0，1]时，f（x）=x；② 函数y=f（x）的值域是[0，1）；③ 函数y=f（x）与函数y=14x的图象有4个交点；④ 方程y=4f（x）-|x|零点的个数为7个．19.（问答题，15分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，- π2＜φ＜π2）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[-π，- π6]时，求f（x）的取值范围．20.（问答题，15分）已知二次函数f（x）对x∈R都有f（x+1）-f（x）=2x+2成立，且f（1）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在x∈[-2，3]上的最小值．21.（问答题，15分）已知函数f（x）=log a x−5x+5（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）的定义域，并求出当f(254)=−2时，常数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数f（x）在（5，+∞）的单调性，并用单调性定义证明；（3）设g（x）=log a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有实根，求a的取值范围．22.（问答题，15分）设函数f(x)={1ax，0≤x≤a11−a(1−x)，a＜x≤1，其中a为常数且a∈（0，1）．新定义：若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的回旋点．（1）当a=12时，分别求f(f(13))和f(f(45))的值；（2）当x∈（a，1]时，求函数y=f（f（x））的解析式，并求出f（x）回旋点；（3）证明函数f（x）在x∈[0，1]有且仅有两个回旋点，并求出回旋点x1，x2．2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合M={x||x-1|＜2，x∈R}，N={-1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A.{0，1，2}B.{-1，0，1，2}C.{-1，0，2，3}D.{0，1，2，3}【正确答案】：A【解析】：利用交集定义求解．【解答】：解：∵M={x||x-1|＜2，x∈R}={x|-1＜x＜3}，N={-1，0，1，2，3}∴M∩N={0，1，2}．故选：A．【点评】：本题考查集合的交集的求法，是基础题，解题时要注意含绝对值不等式的性质的合理运用．2.（单选题，5分）已知一个扇形的圆心角为5π6，半径为3．则它的弧长为（）A. 5π3B. 2π3C. 5π2D. π2【正确答案】：C【解析】：由已知利用弧长公式即可求解．【解答】：解：∵一个扇形的圆心角为5π6，半径为3，∴弧长l= 5π6 ×3= 5π2．故选：C．【点评】：本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．3.（单选题，5分）若0＜a＜1，则函数y=log a（x+5）的图象（）A.不经过第一象限，但过点（-4，0）B.不经过第二象限，但过点（-4，0）C.不经过第三象限，但过点（0，1）D.不经过第四象限，但过点（a-4，1）【正确答案】：A【解析】：根据对数的性质，求解对数的恒过定点，即可判断；【解答】：解：函数y=log a（x+5），令x+5=1，可得x=-4，那么函数值y=0，即对数的恒过定点为（-4，0），∵0＜a＜1，函数y=log a（x+5）是递减函数，可得图象过二，三，四；不经过第一象限故选：A．【点评】：本题考查对数恒过定点的求法和图象的判断，属于基础题．4.（单选题，5分）对于a，b是任意非零实数，且a＞b．又c∈R，则有（）A.lg（a-b）＞0B.ac2＞bc2C. 1a ＜1bD. (13)a＜(13)b【正确答案】：D【解析】：根据a，b是任意非零实数，且a＞b，c∈R，取a=c=0，b=-1，则可排除错误选项．【解答】：解：根据a，b是任意非零实数，且a＞b，c∈R，取a=c=0，b=-1，则可排除ABC．故选：D．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.（单选题，5分）函数 f (x )=xx 2+1 ，则函数y=f （x ）的最大值是（ ） A. 14B. 12 C.1 D.2【正确答案】：B【解析】：由题意，可知函数 f (x )=xx 2+1 取最大值，则x ＞0，然后利用基本不等式求解．【解答】：解：函数 f (x )=xx 2+1 取最大值，则x ＞0， 由 f (x )=xx 2+1 =1x+1x≤ 2√x•1x=12 ， 当且仅当x= 1x ，即x=1时等号成立， 得函数y=f （x ）的最大值是 12 ． 故选：B ．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，是基础题． 6.（单选题，5分）渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺量是一种挥发性碱性氨，是氨的类似物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐烂）．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为h=m •a t ．若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（ ）（已知lg2=0.3，结果取整数） A.33分钟 B.43分钟 C.50分钟 D.56分钟 【正确答案】：B【解析】：依题设有 {ℎ(10)=ma 10=0.1ℎ(20)=ma 20=0.2 ，求出函数的解析式，即可求出答案．【解答】：解：依题设有 {ℎ(10)=ma 10=0.1ℎ(20)=ma 20=0.2，解得a= 2110 ，m=0.05，故h （t ）=0.05×（ 2110）t ， 令h （t ）=0.05×（ 2110）t =1， 得（ 2110）t =20， 故t=lg20lg2110 = 1+lg2110lg2=10(1+0.3)0.3≈43（分钟）， 故选：B ．【点评】：本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题7.（单选题，5分）已知a ＞0，b ＞0且ab=1，则函数f （x ）=a x 与g （x ）=-log b x 的图象可能是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：推导出g（x）=-log b x=log 1b x，1b=a，由此利用指数函数、对数函数的图象和性质能求出结果．【解答】：解：g（x）=-log b x=log 1bx，∵a＞0，b＞0且ab=1，∴当a＞1时，1b=a＞1，此时函数f（x）=a x的图象过点（0，1），图象在x轴上方，是增函数，g（x）=-log b x的图象过点（1，0），图象在y轴左侧，是增函数，B满足条件；当0＜a＜1时，1b=a∈（0，1），此时函数f（x）=a x的图象过点（0，1），图象在x轴上方，是增减数，g（x）=-log b x的图象过点（1，0），图象在y轴左侧，是减函数，都不满足条件．故选：B．【点评】：本题考查指数函数与对数函数的图象，以及函数图象的平移变换，属中档题．8.（单选题，5分）如果tanθ=2，那么1−sin(θ−π)sin(17π2−θ)的值是（）A. 54B. 53C. 73D. 75【正确答案】：D【解析】：由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．【解答】：解：∵tanθ=2，∴ 1−sin(θ−π)sin(17π2−θ) =1-（-sinθ）•cosθ=1+sinθ•cosθ= sin2θ+cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+1+tanθtan2θ+1 = 22+1+222+1= 75．故选：D．【点评】：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．9.（单选题，5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（）A.y=cos2x，x∈RB.y=log2|x|，x∈R且x≠0C.y= e x−e−x2，x∈RD.y=x3+1，x∈R【正确答案】：B【解析】：利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由在区间（1，2）内有增区间，有减区间，可排除A，从而可得答案．【解答】：解：对于A，令y=f（x）=cos2x，则f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），为偶函数，而f（x）=cos2x在[0，π2 ]上单调递减，在[ π2，π]上单调递增，故f（x）=cos2x在（1，π2 ]上单调递减，在[ π2，2）上单调递增，故排除A；对于B，令y=f（x）=log2|x|，x∈R且x≠0，同理可证f（x）为偶函数，当x∈（1，2）时，y=f（x）=log2|x|=log2x，为增函数，故B满足题意；对于C，令y=f（x）= e x−e−x2，x∈R，f（-x）=-f（x），为奇函数，故可排除C；而D，为非奇非偶函数，可排除D；故选：B．【点评】：本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断，着重考查函数奇偶性与单调性的定义，考查“排除法”在解题中的作用，属于基础题．10.（单选题，5分）今有过点M（-1，1）的函数f(x)=4log4(√x2+a−x)−3，则函数y=f（x）的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【正确答案】：A【解析】：根据题意，将点M的坐标代入函数的解析式，计算可得a的值，即可得函数的解析式，分析函数的定义域以及f（x）+f（-x）的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f(x)=4log4(√x2+a−x)−3过点M（-1，1），则有1=4log4（√1+a +1）-3，即可得a=8，即f（x）=4log4（√x2+8 -x）-3，其定义域为R，则f（-x）=4log4（√x2+8 +x）-3，则有f（x）+f（-x）=4log48-6=0，则函数f（x）为奇函数，故选：A．【点评】：本题考查函数的奇偶性的判断以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．11.（单选题，5分）已知函数f（x）=（x-1）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则f（3-x）＜0的解集为（）A.（2，4）B.（-∞，2）∪（4，+∞）C.（-1，1）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）【正确答案】：B【解析】：根据f（x）为偶函数，可得b=a；根据f（x）在（0，+∞）上递减得a＜0；然后解一元二次不等式可得．【解答】：解：∵f（x）=ax2+（b-a）x-b为偶函数，所以b-a=0，即b=a，∴f（x）=ax2-a，由f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以a＜0，∴f（3-x）=a（3-x）2-a＜0，可化为（3-x）2-1＞0，即x2-6x+8＞0，解得x＜2或x＞4故选：B．【点评】：本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．12.（单选题，5分）已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)满足f(x)=−f(x+π2)，f(0)=12，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间[0，π2]上的最大值为（）A.4B. √3C.1D.-2【正确答案】：B【解析】：求出ω，φ得到g （x ）的解析式，根据余弦函数的图象和x 的范围得出g （x ）的最值．【解答】：解：∵f （0）= 12 ，∴sinφ= 12 ，∴φ= π6 ．∵f （x ）=-f （x+ π2 ），∴ sin (ωx +π6)=−sin [ω(x +π2)+π6] ∴ωπ2=π ，即ω=2．∴ g (x )=2cos (2x +π6) ， ∵x∈[0， π2 ]，∴ 2x +π6∈[π6，7π6] ∴当2x+ π6 = π6 时，g （x ）取得最大值， g max (x )=2cos π6=√3 ．故选：B ．【点评】：本题考查了正余弦函数的图象与性质，属于中档题． 13.（填空题，5分）式子sin 4π3 +cos （-60°）的值是___ ． 【正确答案】：[1]1−√32【解析】：利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】：解：sin 4π3+cos （-60°）=（- √32）+ 12= 1−√32． 故答案为： 1−√32．【点评】：本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.（填空题，5分）函数f （x ）=（x-3）0+log 0.5（x-2）的定义域是___ ． 【正确答案】：[1]（2，3）∪（3，+∞）【解析】：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】：解：函数f （x ）=（x-3）0+log 0.5（x-2）中， 令 {x −3≠0x −2＞0 ，解得x ＞2且x≠3，所以f （x ）的定义域是（2，3）∪（3，+∞）．故答案为：（2，3）∪（3，+∞）．【点评】：本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，列出使解析式有意义的不等式组是解题的关键，是基础题．15.（填空题，5分）把函数y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数，再向左平移π6个单位得到函数解析式是___ ．【正确答案】：[1]y=sin（2x+ π3）【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：把函数y=sinx图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数y=sin2x的图象，再向左平移π6个单位得到函数解析式是 y=sin（2x+ π3），故答案为：y=sin（2x+ π3）．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．16.（填空题，5分）设函数f(x)=ax2x+3，若f（f（x））=x恒成立，则实数a的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：由f（x）的解析式，求得f（f（x））的解析式，结合恒等式的性质，可得a的方程，解方程可得a的值．【解答】：解：函数f(x)=ax2x+3，若f（f（x））=x，即为a•ax2x+32•ax2x+3+3= a2x(2a+6)x+9=x，由恒等式的性质可得2a+6=0，且a 29=1，解得a=-3，故答案为：-3．【点评】：本题考查函数恒成立问题解法，注意运用恒等式的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．【解答】：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2-4b=0，则4b=a2不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+b＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+b-c=0的两个根x1，x2分别为m，m+6∴两根之差为|x1-x2|=|m+6-m|=6根据韦达定理可知：=-ax1+x2=- a1=b-cx1x2= b−c1∵|x1-x2|=6∴ √(x1+x2)2−4x1x2 =6∴ √(−a)2−4(b−c) =6∴ √4b−4b+4c =6解得c=9故答案为：9【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．18.（填空题，5分）用[x]表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[-1.6]=-2．下面关于函数f （x）=x-[x]说法正确的序号是___ ．① 当x∈[0，1]时，f（x）=x；② 函数y=f（x）的值域是[0，1）；x的图象有4个交点；③ 函数y=f（x）与函数y=14④ 方程y=4f（x）-|x|零点的个数为7个．【正确答案】：[1] ② ④【解析】：根据f（x）解析式即可判断① ，结合f（x）的周期性可判断② ，作出f（x）的图象即可判断③ ④ ．【解答】：解：对于① ，当x∈[0，1）时，[x]=0，故f（x）=x-[x]=x，当x=1时，f（1）=1-[1]=1-1=0故① 错误；对于② ，由于[x+1]=[x]+1，故f（x+1）=x+1-[x+1]=x-[x]=f（x），∴f（x）是以1为周期的函数，又当x∈[0，1）时，f（x）=x，故f（x）的值域为[0，1），故② 正确；对于③ ，作出y=f（x）和y= 14x的函数图象，故由图象可知y=f（x）和y= 14x的图象有3个公共点，故③ 错误，对于④ ，作出y=f（x）和y=| 14x|的函数图象，故由图象可知y=f（x）和y=| 14x|的图象有7个公共点，故④ 正确，故答案为：② ④ ．【点评】：本题考查函数周期性判断，函数值域求解，考查函数零点与函数图象的关系，属于中档题．19.（问答题，15分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，- π2＜φ＜π2）（x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[-π，- π6]时，求f（x）的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由图象可求得A=1，由T4 = π2可求得ω，f（x）过（π6，1）点可求得φ，从而可求得函数y=f（x）的解析式；（2）当x∈[-π，- π6 ]时，可求得x+ π3的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的取值范围．【解答】：解：（1）由图象得A=1，T4 = 2π3- π6= π2，∴T=2π，则ω=1；将（π6，1）代入得1=sin（π6+φ），而- π2＜φ＜π2，所以φ= π3，因此函数f（x）=sin（x+ π3）；（6分）（2）由于x∈[-π，- π6]，- 2π3≤x+ π3≤ π6，所以-1≤sin（x+ π3）≤ 12，所以f（x）的取值范围是[-1，12]．（ 12分）【点评】：本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图象与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识，属于中档题．20.（问答题，15分）已知二次函数f（x）对x∈R都有f（x+1）-f（x）=2x+2成立，且f（1）=3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在x∈[-2，3]上的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）利用待定系数法，设f（x）=ax2+bx+c，a≠0，由f（x+1）-f（x）=2x+2，可列出关于a和b的方程组，再结合f（1）=3，可求得c的值，从而得解；（2）g（x）=x2-2mx+2，对称轴为x=m，开口向上，然后分m＜-2，-2≤m≤3和m＞3三种情况，讨论g （x ）在[-2，3]上的单调性，从而求得最小值．【解答】：解：（1）设二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，a≠0， ∵f （x+1）-f （x ）=2x+2，∴a （x+1）2+b （x+1）+c-（ax 2+bx+c ）=2x+2，化简得2ax+a+b=2x+2， ∴ {2a =2a +b =2 ，解得 {a =1b =1 ， ∴f （x ）=x 2+x+c ，又f （1）=3，∴1+1+c=3，得c=1， ∴f （x ）=x 2+x+1．（2）g （x ）=f （x ）-（1+2m ）x+1=x 2-2mx+2=（x-m ）2+2-m 2，对称轴为x=m ，开口向上， ① 当m ＜-2时，g （x ）在[-2，3]上单调递增，g （x ）min =g （-2）=6+4m ；② 当-2≤m≤3时，g （x ）在[-2，m ）上单调递减，在（m ，3]上单调递增， g (x )min =g (m )=2−m 2 ；③ 当m ＞3时，g （x ）在[-2，3]单调递减，g （x ）min =g （3）=11-6m ．综上，g （x ）min = {6+4m ，m ＜−22−m 2，−2≤m ≤311−6m ，m ＞3．【点评】：本题考查求二次函数的解析式，以及动轴定区间的最值问题，主要运用了待定系数法和分类讨论思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 21.（问答题，15分）已知函数f （x ）=log a x−5x+5 （a ＞0且a≠1） （1）求函数f （x ）的定义域，并求出当 f (254)=−2 时，常数a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数f （x ）在（5，+∞）的单调性，并用单调性定义证明； （3）设g （x ）=log a （x-3），若方程f （x ）-1=g （x ）有实根，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，由函数的解析式可得 x−5x+5＞0 ，解可得函数的定义域，由 f (254)=−2 得 f (254)=log a 545=log a 19=−2 ，变形整理可得答案，（2）根据题意，设5＜x 1＜x 2，利用对数函数的性质分析f （x 1）与f （x 2）的大小关系，结合函数单调性的定义分析可得答案，（3）根据题意，原问题等价于 log a x−5(x+5)a =log a （x-3）在（5，+∞）有实根，即 x−5(x+5)a =x −3 在（5，+∞）有实根，化简整理得，方程 x 2+(2−1a )x −15+5a =0 在（5，+∞）上有解，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，函数f （x ）=log a x−5x+5 ，则有 x−5x+5＞0 ，解可得x ＞5或x ＜-5， 则函数f （x ）的定义域{x|x ＜-5或x ＞5}，由 f (254)=−2 得 f (254)=log a 545=log a 19=−2 ，变形可得 a −2=19，a 2=9 ， 又由a ＞0，a≠1，则a=3， （2）由（1）可得： f (x )=log 3x−5x+5 = log 3(1−10x+5) ，f （x ）在（5，+∞）的单调递增， 证明：设5＜x 1＜x 2，则10＜x 1+5＜x 2+5，则有 1＞10x1+5＞10x 2+5 ，变形有 0＜1−10x 1+5＜1−10x 2+5， 则有f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在（5，+∞）的单调递增（3）函数y=f （x ）的定义域为（-∞，-5）∪（5，+∞），函数y=g （x ）的定义域为（3，+∞），若f （x ）-1=g （x ）有实根，即 log a x−5x+5−1 =log a （x-3）在（5，+∞）有实根，若 log a x−5(x+5)a=log a （x-3）在（5，+∞）有实根， 即 x−5(x+5)a =x −3 在（5，+∞）有实根，化简整理得，方程 x 2+(2−1a )x −15+5a =0 在（5，+∞）上有解， 设 ℎ(x )=x 2+(2−1a )x −15+5a ，对称轴 x =−1+12a ． ① −1+12a ≤5 即 a ≥112且a ≠1 ，h （5）＞0且y=h （x ）在（5，+∞）为增函数，所以方程h （x ）=0在（5，+∞）无解． ② −1+12a ＞5 ，即 0＜a ＜112 ，则Δ≥0，解得 0＜a ≤3−√516， 综上 0＜a ≤3−√516 ．【点评】：本题考查函数与方程的关系，涉及对数函数的性质，属于基础题．22.（问答题，15分）设函数f(x)={1ax，0≤x≤a11−a(1−x)，a＜x≤1，其中a为常数且a∈（0，1）．新定义：若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的回旋点．（1）当a=12时，分别求f(f(13))和f(f(45))的值；（2）当x∈（a，1]时，求函数y=f（f（x））的解析式，并求出f（x）回旋点；（3）证明函数f（x）在x∈[0，1]有且仅有两个回旋点，并求出回旋点x1，x2．【正确答案】：【解析】：（1）将a=12代入f（x）中，然后直接计算f(f(13))和f(f(45))的值即可；（2）根据条件求出f（x）的解析式，然后讨论a，a2-a+1，1的大小关系，得到函数f（f （x）），再根据f（f（x0））=x0，求出f（x）的回旋点；（3）根据新定义，分0≤x≤a2或a2＜x≤a两种情况讨论，再根据定义证明即可，进一步求出回旋点x1，x2．【解答】：解：（1）当a=12时，f(x)={2x，0≤x≤122(1−x)，12＜x≤1，则f(13)=23，f(f(13))=f(23)=2(1−23)=23，f(45)=2×(1−45)=25，f(f(45))=f(25)=2×25=45；（2）f（x）中x∈[0，1]时，值域也是[0，1]，又a＜x≤1，a∈（0，1），∴ f(x)=11−a(1−x)，由a＜11−a(1−x)≤1，得a＜x＜a2-a+1，∴当a＜x＜a2-a+1时，f(f(x))=11−a [1−11−a(1−x)]=1(1−a)2(x−a)，同理，当a2-a+1≤x≤1时，0＜f(x)=11−a(1−x)≤a，∴f（f（x））= 1a ×[11−a(1−x)]=1a(1−a)(1−x)，∴当x∈（a，1]时，f(f(x))={1(1−a)2(x−a)，a＜x＜a2−a+11a(1−a)(1−x)，a2−a+1≤x≤1；当a＜x＜a2-a+1，由1(1−a)2(x−a)=x，得x=12−a∈（a，a2-a+1），∴ f(12−a )=11−a(1−12−a)=12−a，故x=12−a不是f（x）的回旋点．当a2-a+1≤x≤1时，由1a(1−a)(1−x)=x，得x=1−a2+a+1∈（a2-a+1，1]，f(1−a2+a+1)=11−a(1−1−a2+a+1) = a−a2+a+1≠1−a2+a+1，∴ x=1−a2+a+1是f（x）的回旋点；证明：（3）当0≤x≤a2时，由f（f（x））= 1a2x=x，解得x=0，由于f（0）=0，故x=0不是f（x）的回旋点．当a2＜x≤a时，由f（f（x））= 1a(1−a)(a−x)=x，解得x=a−a2+a+1∈（a2，a），∵ f(a−a2+a+1)=1a•a−a2+a+1=1−a2+a+1≠a−a2+a+1，故x=a−a2+a+1是f（x）的回旋点．因此，函数f（x）有且仅有两个回旋点，x1=a−a2+a+1，x2=1−a2+a+1．【点评】：本题考查求函数的值，新定义的理解，考查了方程的思想和转化化归的思想，难度较大，综合性强．。
【35套试卷合集】广东省汕头市2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案一、选择题（本题包含12个小题，每小题5分，共60分）1．0cos(300)-=（ ）A ．12B ．21－C．2D ．23－2．已知向量a=(1,2),b=(2-,m),若a ∥b ，则m=（ ） A ．－1B ．－4C ．4D ．13．已知函数sin ,0()1,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．f(x)是周期函数B ．f(x)是奇函数C ．f(x)在（0，+∞）是增函数D ．f(x)的值域为[1,)-+∞4．△ABC 中，∠C=90°，)1,(k =，)3,2(=，则k 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．将函数)32sin(2π+=x y 的图像向左平移14个最小正周期后，所得图像对应的函数为（ ）A. )32sin(2π+-=x yB ．)322sin(2π-=x y C ．)32cos(2π+=x yD ．)32cos(2π+-=x y6．已知向量a 与b 的夹角为120︒， ()1,0,2a b ==，则2a b += （） A ．B ． 2C ． 3D ． 47．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则=ϕ（ ） A ．6π-B ．6πC ．3π-D ．3π 8．在平面内用下图的方式放置两个相同的直角三角板，直角板一个角为30°， 则下列结论不成立．．．的是（ ） A ．0=∙B ．与的夹角为60°C ．AD AB +与CB CD +共线D ．AB 在AC 上的投影等于BC 在BD 上的投影9．已知函数(x)sin()(0)f x ωπω=>在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω 的取值范围是（ ）A ．1324ω≤< B ．1524ω≤< C ．3544ω≤< D ．314ω≤< 10．已知22cos 1sin =-αα，则ααsin 1cos +的值是（ ）A ．22B ．22-C ．2D ．2-11．△ABC 中，AB=4，AC=6，BC=7，其外接圆圆心为O ，则∙=（ ） A ．9B ．10C ．11D ．1212. 设函数()sin cos f x a x b x =+，其中,0a b R ab ∈≠，，若)6()(πf x f ≥对一切x R ∈恒成立，则下列结论中正确的是（ ） A ．()03f π=B ．点)0,65(π是函数)(x f 的一个对称中心 C ．)(x f 在)6,0(π上是增函数D ．存在直线经过点（a ，b ）且与函数)(x f 的图像有无数多个交点二、填空题（本题包含4个小题，每小题5分，共20分） 13．y =的定义域为 ．14．已知a =，则与a 垂直的一个单位向量的坐标为 ． 15．已知，，22)tan(22tan -=-=βαα则=βtan ． 16．设,m n 为非零向量，=1,21m m n +=，则+m n n +的最大值为 ．三、解答题（本题包含6个大题，第17题10分，第18—22题每题12分，共70分）17．（本题10分）已知函数()()()()3sin cos tan 222tan sin f ππααπαααπαπ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++．（I ）化简()fα；（II ）若()22f f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()2f f παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭的值．18．（本题12分）已知向量a 与b 的夹角为060， 3,2a b ==， 23,3m a b n a kb =-=+． （I ）若m n ⊥，求实数k 的值； （II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由．19．（本题12分）已知函数x x x x f ωωω2sin cos sin 3)(+∙=．（I ）若函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，且(0,2]ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（II ）在（I ）的条件下，当]2,0[π∈x 时，求函数()f x 的值域．20．（本题12分）如图，D 为BC 边上的中点， G 是△ABC 的重心，E 点为边AC 上靠近点C 的三等分点.，(I)若=GF mGD ，求m 的值；(II)AD 与BE 交于点F ，设b AC a AB ==,，请用b a ,表示向量AF ．F EG DABC21．（本题12分）如图（1）所示，1cm 和1cm 的矩形钢板（1PQ =，1MN =），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．(I)设∠POA=x ，请问下料时x 应取多少度？(II)如图（2）所示，在以O 为圆心，OA 为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG ，其中动点F 在扇形的弧BAC 上，求矩形DEFG 面积的最大值．图（1） 图（2）22．（本题12分）设二次函数()y f x =的图像过点(0,0)，且满足231()62x f x x +≥≥--恒成立．（I ）求()f x 的解析式； （II ）若对任意的)2,0(π∈x ，不等式014cos )(cos )(sin <-+∙x x f x f p 恒成立，求实数p 的取值范围．16.提示：2222=121441()0m n m n m m n n m n n +⇒+=⇒+∙+=⇒+∙=故,m nn +是斜边长为1的直角三角形的两直角边 可令cos ,sin m n n θθ+==，所以，+cos +sin )4m n n πθθθ+=-≤17.【解析】（1）cos (sin )tan()()cos tan sin f ααααααα--==-（-）（2）()22f f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭()222=(cos )(cos())=sin cos 22sin cos tan 2=sin cos 1tan 5f f ππαααααααααααα⎛⎫⋅---- ⎪⎝⎭==-++18.【解析】（1）=0(23)(3)0m n a b a kb ∙⇔-+=（2）//23(3)0m n a b a kb λ⇔-=+=19.【解析】（1）2()cos sin f x x x x ωωω=∙+1cos 2221sin(2)62xx x ωωπω-+=-+23()1()3622k k Z k k Z πππωπω-=+∈⇒=+∈(0,2]ω∈=1ω∴1()sin(2)62f x x π∴=-+令222()262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，则有,63k x k k Zππππ-<<+∈所以，()f x 的递增区间是(,)63k k k Z ππππ-+∈ （2）5022666x x ππππ≤≤⇒-≤-≤ 所以，113sin(2)10sin(2)+26622x x ππ-≤-≤⇒≤-≤所以函数f(x)的值域是3[0,]220.【解析】（1）由题意有，GE ∥DC 且22=33GE DC BD =， 所以222335GF GE GF FD GF GD FD BD ==⇒=⇒=（2）由（1）可知，22115525GF GD AG AG ==∙=66241()553522255AF AG GF AG AD AB AC a b =+==∙=∙+=+21.【解析】（1）过A 作A 、AY 分别垂直OP 、ON 于、Y ，则在RT △OA 与RT △OAY中，)60sin(sin 0x AYx AX OA -==001sin(60)1)sin(60)sin sin cos x x x x x⇒=-⇒-=⇒= 所以，045=x•••••••••••••4分（2）由（1）知，262)13(+=∙+==OA OF•••••••••••••5分设∠BOF=θ，θθsin )26(sin +==OF EF)sin 33)(cos 26(sin 326cos )26(60tan 0θθθθ-+=+-+=-=-=EF OE OD OE DE •••••••••••••9分2222222sin (cos )(sin cos )1cos 2[sin 2)2321[(sin 22)2[)]362DEFG S EF DE θθθθθθθθθθθϕ=∙==---=+=+-≤=+所以，矩形DEFG面积的最大值为2•••••••••••••12分22.【解析】（1）（1）设二次函数2()=f x ax bx c ++，则 (0)0f c ==而231=621x x x +--∴=-，， 2222222(1)4(4)31(1)104(1)(2)02,2()22f a b ax bx b x bx x R b x bx R b b b b a f x x x-=-=∴+=++≤+∴++-≤∴∆++=+≤∴=-=∴=-在上恒成立在上恒成立=•••••••••••••4分（2）*))2,0((1)cos (sin cos sin cos sin 2))2,0(()1)(cos 1(sin cos sin 2))2,0((cos sin 2)1)(cos 1(sin cos sin 8)1)(cos 1(sin cos sin 42sin 2)1)(cos 1(sin cos sin 4014cos )1(cos cos 2)1(sin sin 2014cos )(cos )(sin 222 πππ∈++-<⇔∈--<⇔∈<--⇔<--⇔<--⇔<-+--∙⇔<-+∙x x x x x x x p x x x x x p x x x x x p x x x x x x p x x x x x p x x x x x p x x f x f p•••••••••••••8分令)4sin(2cos sin π+=+=x x x t ，因为)2,0(π∈x ，所以]2,1(∈t且21cos sin 2-=t x x故)121(21)1(21211*22-+=-+=+---<⇔t t t t t t p•••••••••••••10分令)121(2)(-+=t t g 在]2,1(上递减， 246)2()(min +==g t g由题意可得，246+<p ．•••••••••••••12分2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案命题：桂本祥 罗毅 审核：曾昌涛 打印：罗毅 校对：陈方玉数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集={1,2,3,4,5,6}I ，集合={1,2,4,6}A ，={2,4,5,6}B ，则()I A B =ð（A ）{1,2,4,5,6}（B ）{1,3,5}（C ）{3}（D ）Φ2. 下列关于向量的命题，正确的是（A ）零向量是长度为零，且没有方向的向量 （B ）若b= -2a （a ≠0），则a 是b 的相反向量 （C ）若b= -2a ，则|b|=2|a|（D ）在同一平面上，单位向量有且仅有一个 3. 若sin()sin()sin()1παπαα++-+-=，则sin =α （A ）1（B ）13（C ）13-（D ）-14. 已知向量a=(1, 2)，b=(x, -6)，若a//b ，则x 的值为 （A ）-3（B ）3（C ）12（D ）-125. 已知角θ为第四象限角，且3tan =4θ-，则sin cos θθ+= （A ）15（B ）75 （C ）15-（D ）75-6.要得到函数2sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点（A ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变） （B ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变） （C ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） （D ）向左平移4π个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） 7. 已知4log 5a =，124b -=，sin2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 （A ）b c a <<（B ）c a b <<（C ）a b c <<（D ）c b a <<8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，3()24x f x x =+-．若存在0x I ∈，使得0()0f x =，则区间I 不可能．．．是 （A ）(2,1)--（B ）(1,1)-（C ）(1,2)（D ）(10)-，9. 函数112211()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x ππ=+----在区间1(,2)2上的图像大致为10．如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中60POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB =y AC +，则xy 的取值范围是（A ）1(0,]4（B ）11[,]164（C ）13[,]1616（D ）31[,]164第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B -，则2OA OB +的坐标为 ． 12. 函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．13.2cos 202sin 503-=- ．14. 若实数x 满足方程(32)(12)4x x-+-=，则x= ．15. 已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足：对任意,x y R ∈有()()()f x y f x g y -=()()f y g x -且0)1(≠f ．若)2()1(f f =，则=+-)1()1(g g ．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知二次函数)(x f y =满足(0)(1)1f f ==，且13()24f =，求： （Ⅰ）)(x f 的解析式；（Ⅱ）)(x f 在(0,1)上的值域．17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知向量a 、b 满足：|a|=1，|b|=2，且a 、b 的夹角为60． （Ⅰ）求a +b 的模；（Ⅱ）若λa -6b 与λa +b 互相垂直，求λ的值．18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）已知函数()cos sin )2f x x x x =--．求： （Ⅰ）函数)(x f y =的对称轴方程； （Ⅱ）函数)(x f y =在区间[0,]2π上的最值．19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知sin()cos()8282παπα++,(,)42ππα∈，3cos()45πβ-=，(,)2πβπ∈． （Ⅰ）求)4cos(πα+的值；（Ⅱ）求cos()αβ+的值．20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+． （Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记r =．若定义cot xyθ=，sec rxθ=，csc r y θ=．（Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；（Ⅱ）求函数()|sin cos tan cot sec +csc |f θθθθθθθ=++++的最小值．数学试题 参考答案一、选择题 BCDAA BADAC10 析：易知(1,0)B ，(1,0)C -，由三角函数定义，可设(cos ,sin )A θθ，则(cos ,0)H θ，5[,]36ππθ∈．(0,sin )AH θ=-，(1cos ,sin )AC θθ=---，(1cos ,sin )AB θθ=--，由AH xAB y AC =+0(1cos )(1cos )sin sin cos x y x y θθθθθ=--+-⎧⇒⎨-=--⎩1cos 21cos 2x y θθ-⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩，21cos 1cos 1=sin 224xy θθθ-+=⋅，由5[,]36ππθ∈，知xy ∈13[,]1616，选C ．二、填空题 11.(1,8)- 12. (,3)(3,4)-∞13. 1214. 2log 3-15．1析：令vu x -=，则)()]()()()([)()()()()()(x f v f u g v g u f u f v g u g v f u v f x f -=--=-=-=-∴)(x f 为奇函数．)1()1()1()1()1()1()1()1()]1(1[)2(f g g f f g g f f f +-=---=--==)]1()1()[1(g g f +-．又∵0)1()2(≠=f f ，∴1)1()1(=+-g g ．三、解答题16.（Ⅰ）由待定系数法可求得2()1f x x x =-+ ……………………………………………………..…………6分 （Ⅱ）213()(),(0,1)24f x x x =-+∈；当21=x 时，min 3()4f x = ；又(1)1f =，综上，)(x f 在(0,1)上的值域是3[,1)4…………………………………………………………13分 17.（Ⅰ）||7a b += …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由条件，知(6)()0a b a b λλ-⋅+=222560a a b b λλ⇒-⋅-=25240λλ⇒--=，8λ=或3λ=- (13)分18.（Ⅰ）2()sin cos 2f x x x x =--1cos 21sin 2222x x +--1=2sin 222x x - s i n (2)3x π=-- (4)分 令2()32x k k Z πππ-=+∈，解得5()212k x k Z ππ=+∈ 故()y f x =的对称轴方程为5()212k x k Z ππ=+∈ ……………………………………7分（Ⅱ）由02x π≤≤22333x πππ⇒-≤-≤，所以sin(2)13x π≤-≤，从而min 1y =-，max y =……13分 19.（Ⅰ）由题知：11sin()sin()cos()24442πππααα+⇒+=⇒+=±，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππα，所以3(,)424πππα+∈，故1cos()42πα+=- (5)分（Ⅱ）因为3cos(),45πβ-=所以4sin()45πβ-=±，又(,)2πβπ∈，故3(,)444πππβ-∈ 从而4sin(),45πβ-=cos()cos[()()]44ππαβαβ+=++-134cos()cos()sin()sin()4444255ππππαβαβ=+--+-=-⨯= ……………………………12分20.（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ (其中0x >)所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间． ………………………………………5分（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩………………………………………8分 ① 若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =；② 若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求． ………………………………………12分21. （Ⅰ）222222sin cos tan cot sec +csc =3θθθθθθ+--+ …………………………………………………………4分 （Ⅱ）由条件，cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ= 令()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11sin cos +cos sin cos sin θθθθθθθθ=++++ 1sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+=+++…………………………………………………………6分令sin cos t θθ+=，则sin cos )4t πθθθ=++[∈，1t ≠±，且21sin cos 2t θθ-=，从而2222()11t g y t t t θ==++--22(1)1t t t +=+-21t t =+-2111t t =-++-，……………………………………………9分令1u t =-，则21y u u=++，[1]u ∈，且0t ≠，2t ≠-．所以，(,1[322,)y ∈-∞-++∞．从而()||1f y θ=≥，即min ()1f θ=． …………………………………………………………12分ABC第9题图D第8题图2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案1．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{－2，0，2，4}，则A ∩B ＝ ． 2．计算：sin210°的值为 ．3．函数f(x)＝log 2(x ＋1)的定义域为 ． 4．计算：2lg 2＋lg5的值为 ．5．已知a ＝30.2，b ＝0.32，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系为 ．(用“＜”连结)6．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2－x ，x ＜1，x 2＋x ，x ≥1，则f(f(0))的值为 ．7．对于任意的a ∈(1，＋∞)，函数y ＝log a (x －2)＋1的图象恒过点 ．(写出点的坐标) 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜ϕ≤π)与x 轴的两个交点的横坐标分别为5π24，7π8，则函数f(x)距离是 ．9．在△ABC 中，已知D 是BC 上的点，且CD ＝2BD ．设→AB ＝a ，→AC ＝b ， 则→AD ＝ ．(用a ，b 表示)10．函数y ＝sin(x ＋π3)在区间[0，π2]的最小值为 ．11．若函数y ＝|log 2x|在区间(0，a]上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．12．将函数y ＝sinx 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝f(x)的图象，再将函数y ＝f(x)的图象沿着x 轴的正方向平移π6个单位长度，得到函数y ＝g(x)的图象，则g(x)的解析式 ． 13．给出下列四个函数：①y ＝x ＋sinx ；②y ＝x 2－cosx ；③y ＝2x －2－x ；④y ＝e x ＋lnx ，其中既是奇函数，又在区间(0，1)上单调的函数是 ．(写出所有满足条件的函数的序号)14．设定义在R 上的函数f(x)满足：对任意的x ，y ∈R ，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)＞0，且f(1)＝2．若对任意的x ∈[－3，3]都有f(x)≤a ，则实数a 的取值范围为 ． 15．设向量a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)．(1)当a ⊥b 时，求实数k 的值；(2)当a ∥b 时，求实数k 的值．16．已知tan α＝3．(1)求sin α＋cos αsin α－cos α的值；(2)若π＜α＜3π2，求cos α－sin α的值．17．已知向量e 1，e 2的夹角为120o ，且|e 1|＝2，|e 2|＝3．若a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2， (1)求a ＋2b ；(用e 1，e 2表示);(2)求|a|的值．18．已知函数f(x)是实数集R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝log 2x ＋x －3．(1)求f(－1)的值；(2)求函数f(x)的表达式；(3)求证：方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解．19．下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．来近似描述，求A ，ω，b 的值；(2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m ，安全条例规定至少要有2.5m 的安全间隙(船底与海底的距离)，试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口？20．设函数f(x)＝x 2－2tx ＋2，其中t ∈R ．(1)若t ＝1，求函数f(x)在区间[0，4]上的取值范围；(2)若t ＝1，且对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f(x)≤5，求实数a 的取值范围． (3)若对任意的x 1，x 2∈[0，4]，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤8，求t 的取值范围． 数学参考答案及评分标准卷 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．{0，2} 2．－12 3．(－1，＋∞) 4．1 5．c ＜b ＜a 6．6 7．(3，1) 8．2π3 9．23a ＋13b 10．12 11．(0，1] 12．g(x)＝sin(2x －π3) 13．①③ 14．[6，＋∞)． 二、解答题：本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解 因为a ＝(6，2)，b ＝(－3，k)，所以(1)当a ⊥b 时，a ·b ＝0，即6×(－3)＋2k ＝0，解得k ＝9． ………………………………4分 (2)当a ∥b 时，6k ＝2×(－3)，解得k ＝－1． ………………………………8分16．解 因为tan α＝3，所以sin αcos α＝3，即sin α＝3cos α，且cos α≠0． ………………………………2分 (1)sin α＋cos αsin α－cos α＝3cos α＋cos α3cos α－cos α＝2． ………………………………6分 (2)因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以9cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝110．又π＜α＜3π2，所以cos α＜0，从而cos α＝－1010，所以 cos α－sin α＝cos α－3cos α＝－2cos α＝105． ……………………………10分17．解 (1)因为a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1－2e 2，所以a ＋2b ＝2e 1＋e 2＋2(e 1－2e 2)＝4e 1－3e 2． ………………………………4分 (2)因为向量e 1，e 2的夹角为120o ，且|e 1|＝2，|e 2|＝3，所以a 2＝(2e 1＋e 2)2＝4e 21＋4e 1·e 2＋e 22＝4×22＋4×2×3cos120o ＋32＝13， ………8分所以 |a|＝13． ……………………………10分18．解 (1)因为函数f(x)是实数集R 上的奇函数，所以对任意的x ∈R ，都有f(－x)＝－f(x)．所以f(－1)＝－f(1)．因为当x ＞0时，f(x)＝log 2x ＋x －3，所以f(1)＝log 21＋1－3＝－2．所以 f(－1)＝－f(1)＝2． ………………………………3分(2)当x ＝0时，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＝log 2(－x)＋(－x)－3＝log 2(－x)－x －3． 所以－f(x)＝log 2(－x)－x －3，从而f(x)＝－log 2(－x)＋x ＋3．所以 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(－x)＋x ＋3，x ＜0，0，x ＝0，log 2x ＋x －3，x ＞0．………………………………6分(3)因为f(2)＝log 22＋2－3＝0，所以方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有解x ＝2． 又方程f(x)＝0可化为log 2x ＝3－x ． 设函数g(x)＝log 2x ，h(x)＝3－x ．由于g(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，h(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数， 所以，方程g(x)＝h(x) 在区间(0，＋∞)上只有一个解．所以，方程f(x)＝0在区间(0，＋∞)上有唯一解． ………………10分 说明：指出有解2分，指出单调性2分．19．解 (1)由题知，A ＝3，b ＝5，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6． ……………………………4分(2)由(1)得y ＝3sin(π6t)＋5（0≤x ≤24）．货船需要的安全水深为4＋2.5＝6.5(m)，所以当y ≥6.5时，货船就可以进港． 方法一 由3sin(π6t)＋5≥6.5，得sin(π6t)≥12． 因为0≤π6t ≤4π，所以π6≤π6t ≤5π6，或13π6≤π6t ≤17π6， 解得1≤t ≤5，或13≤t ≤17．答 该货船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00进入港口． ……………………………10分 方法二 由3sin(π6t)＋5＝6.5，得sin(π6t)＝12．如图，在区间[0，12]内，函数的图象与直线y ＝6.5有两个交点A ，B ，因此π6t A ＝π6或π－π6t B ＝π6，解得t A ＝1，t B ＝5．在区间[12，24]内，设函数的图象与直线y ＝6.5有两个交点C ，D ． 由函数的周期性，易得t C ＝12＋1＝13，t D ＝12＋5＝17．答 该货船可以在1∶00～5∶00和13∶00～17∶00进入港口． …………………………10分 说明：缺答扣1分．20．解 因为f(x)＝x 2－2tx ＋2＝(x －t)2＋2－t 2，所以f(x)在区间(－∞，t]上单调减，在区间[t ，∞)上单调增，且对任意的x ∈R ，都有f(t ＋x)＝f(t －x)， (1)若t ＝1，则f(x)＝(x －1)2＋1．①当x ∈[0，1]时．f(x)单调减，从而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1． 所以f(x)的取值范围为[1，2]；②当x ∈[1，4]时．f(x)单调增，从而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1． 所以f(x)的取值范围为[1，10]；所以f(x)在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]． ……………………………3分 (2)“对任意的x ∈[a ，a ＋2]，都有f(x)≤5”等价于“在区间[a ，a ＋2]上，[f(x)]max ≤5”． 若t ＝1，则f(x)＝(x －1)2＋1，所以f(x)在区间(－∞，1]上单调减，在区间[1，∞)上单调增． 当1≤a ＋1，即a ≥0时，由[f(x)]max ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＋1≤5，得－3≤a ≤1，从而 0≤a ≤1．当1＞a ＋1，即a ＜0时，由[f(x)]max ＝f(a)＝(a －1)2＋1≤5，得－1≤a ≤3，从而 －1≤a ＜0．综上，a 的取值范围为区间[－1，1]． ……………………………6分 (3)设函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的x 1，x 2∈[0，4]，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤8”等价于“M －m ≤8”． ①当t ≤0时，M ＝f(4)＝18－8t ，m ＝f(0)＝2．由M－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t2．由M－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得4－22≤t≤4＋22．从而4－22≤t≤2．③当2＜t≤4时，M＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．由M－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－22≤t≤22．从而2＜t≤22．④当t＞4时，M＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．由M－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，a的取值范围为区间[4－22，22]．……………………………10分答卷纸一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答．卷纸．．．．．相应位置．上．1．2．3．4．5．6．7．8．9．10． 11． 12． 13． 14．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答．卷纸．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）16．（本小题满分10分）17．(本小题满分10分)18．（本小题满分10分）19．(本小题满分10分)20．(本小题满分10分)2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案本试卷共4页，20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.参考公式：线性回归方程a x by ˆˆ+=中系数计算公式∑∑==⋅-⋅-=ni i ni ii xn x yx n yx b 1221ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={-1，0，1}，N={0，1，2}，则M ∪N=A ．{-1，0，1，2}B ．{-1，0，1}C ．{-1，0，2}D ．{0，1}2．为了解2000名学生对学校食堂的意见，准备从中抽取一个样本容量为50的样本. 若采用系统抽样，则分段间隔k 为A ．20B ．30C ．40D ．50 3．已知集合}31|{<<-=x x P ，}12|{<<-=x x Q ，则=Q PA .（-2，1）B . （-2，3）C .（1，3）D . （-1，1） 4．已知一组数据为0，3，5，x ，9，13为A ．13B ．9C 5．下列各组函数表示相等函数的是 A ．0)(x x f =与1)(=x gB ．12)(+=x x f 与xxx x g +=22)(C ．⎩⎨⎧<->=)0(),0()(x x x x x f 与||)(x x g =D ．|1|)(2-=x x f 与22)1()(-=t t g6．执行右图所示的程序框图，如果输入的N 是5，那么输出的P 是A ．1B ．24C ．120D ．7207．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上 是增函数的是A ．xx f )21()(= B ．32)(x x f =C ．x x f ln )(=D ．4)(2+-=x x f 8．已知曲线xy )101(=与x y =的交点的横坐标是0x ，则0x 的取值范围是 A ．（0，21） B ．{21} C ．（21，1） D ．（1，2） 9．函数)(x f （R x ∈）为奇函数，21)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f A ．0 B ．1 C ．25D ．5 10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若)()(x f x f >-，则x 的取值范围是A ．（-∞，-1) ∪（1，+∞）B ．（-1，0）∪（0，1)C ．（-∞，-1) ∪（0，1)D ．（-1，0）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11．函数22)(-+-=x x x f 的定义域是 ▲ ．12．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ▲ ． 13．将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图. 若第一组至第六组数据的频率之比为234641，且前三组数据的频数之和等于36，则n 等于 ▲ ．14．已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减，且0)2(=f . 若0)1(>-x f ，则x 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）A 、B 、C 、D 、E 五位学生的数学成绩x 与物理成绩y （单位：分）如下表：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆ+=； （参考数值： 2319062606465687066757080=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，24750606570758022222=++++）（2）若学生F 的数学成绩为90分，试根据（1）求出的线性回归方程，预测其物理成绩（结果保留整数）．16．（本小题满分12分）已知函数||log )(2x x f =.（1）求函数)(x f 的定义域及)2(-f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性；（3）判断()f x 在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．17．（本小题满分14分）某工厂的A 、B 、C 三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示. 质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测.车间 A B C 数量50150100（1）求这6件样品中自A 、B 、C 各车间产品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件商品自相同车间的概率.18．（本小题满分14分）已知函数αx x x f -+=11)(（R ∈α），且35)3(-=f . （1）求α的值；（2）求函数()f x 的零点；（3）判断()f x 在（-∞，0）上的单调性，并给予证明．19．（本小题满分14分）某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台. 现销售给A 地10台，B 地8台. 已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的费用分别为300元和500元.（1）设从甲地调运x 台至A 地，求总费用y 关于台数x 的函数解析式； （2）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案； （3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.20．（本小题满分14分）已知函数3241)(1+-=-x x x f λ（21≤≤-x ）． （1）若32λ=时，求函数)(x f 的值域； （2）若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值.一、选择题二、填空题11．{2} 12．3113．80 14．（-1，3）三、解答题15．（本小题满分12分） 解：（1）因为7056065707580=++++=x ， （1分）6656264686670=++++=y ， （2分）231906260646568706675708051=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i ii yx ， （3分）24750606570758022222512=++++=∑=i ix（4分）所以36.070524750667052319055ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==i ii ii x xyx yx b， （6分） 8.407036.066ˆˆ=⨯-=-=x b y a. （7分） 故所求线性回归方程为8.4036.0ˆ+=x y. （8分） （2）由（1），当x=90时，732.738.409036.0ˆ≈=+⨯=y， （11分） 答：预测学生F 的物理成绩为73分. （12分）16．（本小题满分12分）解：（1）依题意得0||>x ，解得0≠x ， （1分） 所以函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ . （2分）212log |2|log )2(2122==-=-f . （4分） （2）设),0()0,(+∞-∞∈ x ，则),0()0,(+∞-∞∈- x .)(||log ||log )(22x f x x x f ==-=-， （6分）所以)()(x f x f =-. （7分） 所以函数)(x f 是偶函数. （8分） （3）()f x 在（0，+∞）上的单调增函数. （9分） 设),0(,21+∞∈x x ，且21x x <，则212221221log ||log ||log )()(x x x x x f x f =-=-. （10分） 因为210x x <<，所以121<x x . （11分） 所以0log 212<x x ，即)()(21x f x f <，所以()f x 在（0，+∞）上的单调增函数.（12分）17．（本小题满分14分）解：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是501100150506=++，（3分） 所以A 车间产品被选取的件数为150150=⨯， （4分） B 车间产品被选取的件数为3501150=⨯， （5分） C 车间产品被选取的件数为2501100=⨯. （6分） （2）设6件自A 、B 、C 三个车间的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：（A ，B 1），（A ，B 2），（A ，B 3），（A ，C 1），（A ，C 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 2，B 3），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 3，C 1），（B 3，C 2），（C 1，C 2），共15个. （10分）每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件D ：“抽取的这2件产品自相同车间”，则事件D 包含的基本事件有：（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3），（C 1，C 2），共4个. （12分） 所以154)(=D P ，即这2件产品自相同车间的概率为154. （14分）18．（本小题满分14分）解：（1）由35)3(-=f ，得353311-=-+α，解得1=α. （4分） （2）由（1），得x x x f -+=11)(. 令0)(=x f ，即011=-+x x ，也就是012=--x x x ， （6分） 解得251±=x . （8分） 经检验，251±=x 是011=-+x x的根， 所以函数()f x 的零点为251±. （9分） （3）函数x xx f -+=11)(在（-∞，0）上是单调减函数. （10分） 证明如下： 设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <. （11分）)11)(()11()11()()(2112221121+-=-+--+=-x x x x x x x x x f x f （12分） 因为021<<x x ，所以012>-x x ，021>x x . （13分）所以0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >， （14分） 所以x xx f -+=11)(在（-∞，0）上是单调减函数.19．（本小题满分14分）解：（1）设从甲地调运x 台至A 地，则从甲地调运（12-x ）台到B 地，从乙地调运（10-x ）台到A 地，从乙地调运6-（10-x ）=（x-4）台到B 地， （1分）依题意，得)4(500)10(300)12(800400-+-+-+=x x x x y ， （5分）即10600200+-=x y （100≤≤x ，Z x ∈）. （6分）（2）由9000≤y ，即200106009000x -+≤，解得8≥x . （8分）因为100≤≤x ，Z x ∈，所以x=8，9，10. （10分）答：共有三种调运方案.（3）因为函数10600200+-=x y （100≤≤x ，Z x ∈）是单调减函数，（12分）所以当x=10时，总运费y 最低，8600min =y （元）. （13分） 此时调运方案是：从甲分厂调往A 地10 台，调往B 地2台，乙分厂的6台机器全部调往B 地. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）3)21(2)21(3241)(21+⋅-=+-=-x x x x x f λλ（21≤≤-x ） （1分） 设x t )21(=，得32)(2+-=t t t g λ（241≤≤t ）. （2分） 当23=λ时，43)23(33)(22+-=+-=t t t t g （241≤≤t ）. （3分） 所以1637)41()(max ==g t g ，43)23()(min ==g t g . （5分） 所以1637)(max =x f ，43)(min =x f ，故函数)(x f 的值域为[43，1637]．（6分） （2）由（1）2223)(32)(λλλ-+-=+-=t t t t g （241≤≤t ）（7分） ①当41≤λ时，16492)41()(min +-==λg t g ，（8分） 令116492=+-λ，得41833>=λ，不符合舍去；（9分） ②当241≤<λ时，3)()(2min +-==λλg t g ，（10分） 令132=+-λ，得2=λ，或412<-=λ，不符合舍去；（11分） ③当2>λ时，74)2()(min +-==λg t g ，（12分） 令174=+-λ，得223<=λ，不符合舍去.（13分） 综上所述，实数λ的值为2．（14分）2019-2020学年高一上数学期末模拟试卷含答案满分150分，时间为120分钟。
广东省汕头市金山中学高一数学上学期期末考试试题【会员独享】
广东省汕头市金山中学高一数学上学期期末考试试题一．选择题（本大题为单选题,共10题,每小题5分，共50分）1．已知θθtan sin ⋅＜0，那么角θ是 （ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A ．3x y -= B ．x y sin = C ．x y = D ．xy )21(=3.要得到⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像，只需将x y 2sin =的图像 （ ） A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位4、已知函数sin ,4()6(1),4x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．12B ．C ．D ．15.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝（ ）(用a b 、表示) A.-2133a b +B.2133a b +C.b a3121+ D.b a 3231- 6.若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（ ） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 7．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|()g x |是偶函数 B ．()f x -|()g x |是奇函数 C ．|()f x | +()g x 是偶函数 D ．|()f x |- ()g x 是奇函数 8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A.)322sin(2π+=x yB.)32sin(2π+=x y C.)32sin(2π-=x yD.)32sin(2π-=x y 9．下列命题中：①()()a b c a b c ++=++②()()⋅⋅=⋅⋅；③函数tan y x =的图像的所有对称中心是(,0),k k Z π∈； ④函数3sin 2y x =的所有对称轴方程为,24k x k Z ππ=+∈。
2019-2020学年广东省汕头市高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【分析】求解f′（x）＝ex﹣1，运用导数判断f（x）＝ex﹣x﹣2在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
根据零点存在性定理得出f（1）＝e﹣3＜0，f（2）＝e2﹣4＞0，f（x）在（1，2）内存在零点．
【分析】根据函数奇偶性和定义和性质，以及函数单调性分别进行判断即可．
【解答】解：y＝x2+2x的对称轴是x＝﹣1，函数不是偶函数，不满足条件．
y＝x3是奇函数，不满足条件．
y＝lnx的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．
y＝x2是偶函数，在（0，+∞）上为增函数，满足条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的单调性和奇偶性的是解决本题的关键．比较基础．
6．α是第四象限角，tanα＝﹣ ，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）＝sinx+λcosx（λ∈R）的图象关于x＝﹣ 对称，则把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移 ，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一条对称轴方程为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
8．已知函数值可以是（ ）
A．1B． C． D．
9．已知函数f（x）＝ ，则f（f（﹣2））的值为（ ）
A．81B．27C．9D．
10．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性，运用导数判断，零点问题，属于中档题，难度不大．
【数学】广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期末考试试卷(理)
广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期末考试数学试卷（理）一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的) 1. 若i z 21+=,则=-⋅14z z i( )A.1B.C. iD.2. 如图所示,向量A ,B ,C 在一条直线上,且，则( )A. B.C. D.3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还 ”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地 ”请问此人第5天走的路程为( ) A. 36里 B. 24里 C. 18里D. 12里4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A.π32 B.π C. π34 D. π35 5. 已知命题],0[:0π∈∃x p ,使得a x <0sin ,命题:q 对，]3,21[∈∀x a x>+11若q p ∧为真 命题,则a 的取值范围是( )BC AC 4=3221+=OB OA OC 2123-=2+-=OB OA OC 3431+-=A.)340(， B.)30(， C.)341(， D. )31(，6. 已知直线,354)3(:1m y x m l -=++ 8)5(2:2=++y m x l 平行,则实数m 的值为( ) A.7-B.1-C. 7-或1-D.313 7. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,22=a ,且对于任意1>n ,N n ∈,满足)1(211+=+-+n n n S S S ,则=10S ( )A. 91B. 90C. 55D. 548. 已知函数,为的导函数,则函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.9. 如图,正四棱锥ABCD P -的侧面PAB 为正三角形,E 为PC 中点,则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为 ．A.33 B. 23 C. 22 D. 21 10. 函数)2)(2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后所得图象对应的函数是 x x x f sin )(=)('x f )(x f )('xf偶函数,且存在]2,0[π∈x ,使得不等式m x f ≤)(成立,则m 的最小值是( ) A.1-B.21-C.21 D. 111. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为53，,第三行为 ，，，1197第四行为，，，，19171513如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为j i a ,,比如，92,3=a ，152,4=a ，234,5=a 若，0172,=j i a ,则=+j i ( )A.64B.65C.71D. 7212. 已知菱形ABCD 的边长为32,O BAD 60=∠，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起,使得二面角C BD A --的余弦值为31-,则该四面体ABCD 外接球的体积为( ) A.π3728 B. π68 C.π3520 D.π36二、填空题：（本大题共4小题，共20分）13. 设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥x y y x x 222,则22y x z +=的最大值是 ．14. 函数)0(1)6sin(2)(>--=ωπωx x f 最小正周期是π,则函数)(x f 的单调递增区间是 ．15. 已知函数21111)(++++=x x x x f , 由11111)1(+++-=-x x x x f 是奇函数, 可得 函数)(x f 的图象关于点)0,1(-对称, 类比这一结论得函数++++++=2312)(x x x x x g (6)7+++x x 的图象关于点______对称． 16. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=1,11,)(32x x x x x x f ，若函数)1()(--=x a x f y 恰有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分）17.(12分）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为,,,c b a CA Bc b c a sin sin sin +=--. Ⅰ 求角A 的大小；．Ⅱ 若2=a ,求c b +的取值范围．18.(12分）已知}{n a 为等差数列, 前n 项和为)(*N n S n ∈,}{n b 是首项为2的等比数列且公比大于0,1232=+b b ,1432a a b -=,41111b S =． Ⅰ 求}{n a 和}{n b 的通项公式； Ⅱ 求数列}{2n n b a 的前n 项和.n T19.(12分）如图, 在四棱锥ABCD P -中, 平面⊥ABCD 平面PAD , BC AD //，AD AP BC AB 21=== ，O ADP 30=∠,O BAD 90=∠, E 是PD 的中点．证明：PB PD ⊥；设2=AD ,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为510,求二面角P AB M --的余弦值．20.(12分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为34． Ⅰ 求椭圆C 的方程；Ⅱ 如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为B A ,, 当动点M 在定直线4=x 上运动时, 直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点, 求四边形APBQ 面积的最大值．21.(12分）已知函数.,21ln )(2R a x ax x x f ∈+-=． 当0=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程； 令)1()()(--=ax x f x g , 求函数)(x g 的极值；若2-=a , 正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f , 证明：.21521-≥+x x ．(22题、23题选择一道作答)22.(10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为,sin cos 3⎩⎨⎧==θθy x (θ为参数 ,直线l 的参数方程为,14⎩⎨⎧-=+=ty ta x (t 为参数 ．若1-=a ,求C 与l 的交点坐标；若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a ．23.(10分）已知函数.22)(-+=x x x f 解不等式;4)(≤x f设函数)(x f 最小值为m ,若实数a 、b 满足222m b a =+, 求11422++b a 最小值．【参考答案】1-12 CDDDA AAAAB DB13. 8 14., 15.16. ]3,()43,1[--∞⋃--17. 解： 由,利用正弦定理可得：,化为： ．由余弦定理可得：, ．． Ⅱ 在 中有正弦定理得,又 ,所以,,故,因为,故,所以, ,故b+c 的取值范围是（2，4]．18. 解： Ⅰ 设等差数列 的公差为d,等比数列 的公比为q ． 由已知 ,得 ,而 , 所以 , 又因为 ,解得 , 所以 ．由 ,可得 ①, 由 ,可得 ②, 联立①②,解得 , , 由此可得 ．所以 的通项公式为 , 的通项公式为 ； Ⅱ 设数列 的前n 项和为 ,由 , 有 ,, 上述两式相减,得,得 ．所以数列 的前n 项和为 ．19. (1) 证明：, , 平面 平面PAD,交线为AD, 平面PAD, , 在 中,, ,,,, 平面PAB, 平面PAB, ．解：如图,以P 为坐标原点,过点P 垂直于平面PAD 的射线为z 轴,射线PD 为x 轴, 射线PA 为y 轴,建立空间直角坐标系,, , ,0, , 1, , 1, ,,0, ,设,则 ,,, 又,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为,, 整理,得 ,解得或舍 ,,设平面MAB 的法向量y, , 则,取 ,得 ,由 知 平面PAB, 平面PAD 的一个法向量为 0, ,． 二面角 的余弦值为． ︒=∠90BAD ︒=∠90APD20. 解：Ⅰ根据题意,椭圆C：的离心率为,则有,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为,则有,又,解得,,,故椭圆C的方程为；Ⅱ由对称性,可令点,其中．将直线AM的方程代入椭圆方程,得,由,得,则．再将直线BM的方程代入椭圆方程得,由,得,则．故四边形APBQ的面积为．由于,且在上单调递增,故,从而,有．当且仅当,即,也就是点M的坐标为时,四边形APBQ的面积取最大值6．21. 解：当时,,则,所以切点为,又,则切线斜率,故切线方程为：,即；,所以,当时,因为,所以．所以在上是递增函数,无极值；当时,,令,得或,由于,所以．所以当时,；当时,,因此函数在是增函数,在是减函数,当时,函数的递增区间是,递减区间是,时,有极大值,综上,当时,函数无极值；当时,函数有极大值,无极小值；由,,即．,所以,令,且令,则由,得,,,可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增．所以,所以,解得或,又因为,,因此成立．22. 解：曲线C的参数方程为为参数,化为标准方程是：；时,直线l的参数方程化为一般方程是：；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为和的参数方程为参数化为一般方程是：,椭圆C上的任一点P可以表示成,,所以点P到直线l的距离d为：,满足,且的d的最大值为．①当时,即时,解得和,符合题意．②当时,即时,解得和18,符合题意．23. 解：当时,则,解得：, 当时,则,解得：,当时,则,此时无解,综上,不等式的解集是；由知,当时,,当时,则,当时,则,故函数的最小值是2,故,即,则,当且仅当且,即,取“”,故的最小值是．。
广东省汕头市金山中学高一数学上学期期末考试试题
汕头市金山中学2015—2016年上学期高一数学期末考试试题分值：150分 时量：120分钟一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A.34- B.43 C.43± D.34±2、与463-o终边相同的角可表示为（ ） A ．()360436k k Z ⋅+∈o o B ．()360103k k Z ⋅+∈o o C ．()360257k k Z ⋅+∈o oD ．()360257k k Z ⋅-∈o o3、已知ABC ∆中，4,43,30a b A ===o，则B 等于（ ）A ．30oB ．30150o o 或C ．60oD ．60120o o或 4、在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．23- C ．14 D ．14- 5、如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为（ ）A.6πB.4πC. 3πD. 2π 6、在ABC ∆中，AB c =u u u r r ，BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r，下列推导不正确的是（ ）A ．若0a b >r r g，则ABC ∆为钝角三角形 B ．0a b =r r g ，则ΔABC 为直角三角形C ．a b b c =r r r r gg ，则ABC ∆为等腰三角形 D ．()0c a b c ++=r r r r g ，则ABC ∆为正三角形 7、设向量,a b r r满足1a b a b ==+=r r r r ，则()a tb t R -∈r r 的最小值为（ ）A.32 B. 12C.1D.2 8、在ABC ∆中，已知53cos ,sin 135A B ==，则cos C 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516-9、已知O 是平面上一定点,,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 10、为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，可将函数sin y x =的图像向左平移m 个单位长度或向右平移n 个单位长度（,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）A.3π B.23π C.43π D.53π11、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2220b c bc a ++-=，则()sin 30a C b c--o 的值为（ ）A ．12 B．2 C ．12- D．2-12、已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13、已知二次函数221y x mx =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数m 的取值范围是 .14、已知24sin 225α=，02πα<<4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭= . 15、如图在ABC ∆中，,60,45,5,263οο=AB 则AD = .16、设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心.研究函数()3sin 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、解答题:本大题共5小题，每题14分，共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.17、已知函数()12sin()33f x x π=-.（1）求()f x 的单调增区间； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，163217f πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()635f βπ+=，求()cos αβ+的值.18、在ABC ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设向量(cos ,sin ),A A =m (cos ,sin ),A A =-n 且m 与n 的夹角为π.3（1）求⋅m n 的值及角A 的大小； （2）若7,3a c ==，求ABC ∆的面积S ．19、已知函数()f x 是二次函数，且满足()()()01,125f f x f x x =+-=+； 函数()()01xg x aa a =>≠且.（1）求()f x 的解析式； （2）若()124g =，且()g f x k ≥⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围.20、已知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2cos 2cos sin 2)(（其中0>b ，0>ω）的最大值 为2，直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为2π． （1）求b ，ω的值； （2）若32)(=a f ，求)465sin(a -π的值．21、已知函数21()2f x ax x c =-+()a c ∈R 、满足条件：①(1)0f =；②对一切x ∈R ，都有()0f x ≥． （1）求a 、c 的值；（2）若存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5，求出实数m 的值.汕头市金山中学2015—2016年上学期高一数学期末考试答案1—12 ACDDA DAABB AC13.(][),23,-∞⋃+∞ 14.7515.7 16.82 17.解：（1）若()f x 单调递增，则122,2332k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈.56622k x k ππππ∴-+≤≤+. 所以()f x 的增区间为()56,622k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）11632sin (3)2sin 2cos 2323217f ππππαααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 所以8cos 17α=. ()1632sin (3)2sin 335f πβπβπβ⎡⎤+=+-==⎢⎥⎣⎦.所以3sin 5β=.因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====， 所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-.18解：（1）1,==Q m 1,==n∴⋅⋅m n=m n π1cos.32⋅=22cos sin cos 2A A A ⋅-=Q m n=， 1cos 2.2A ∴= π0,02π,2A A <<<<Q ππ2,.36A A ∴==（2）(法一) a c ==Q π,6A =及2222cos a b c bc A =+-,2733b b ∴=+-, 即1b =-(舍去)或 4.b = 故1sin 2S bc A ==(法二) a c ==Q π,6A =及sin sin a cA C =,sin sin c A C a ∴==a c >Q , π2C ∴<<,cos C ==π1sin sin(π)sin()cos62B A C C C C =--=+==Q .sin4sin a B b A ∴==.故1sin 2S bc A ==19.解：（1）设()()20f x mx bx c m =++≠.()()20 1.1f c f x mx bx ==∴=++Q .()()()()2211111f x f x m x b x mx bx ∴+-=++++---22 5.mx m b x =++=+1,4m b ∴==.()241f x x x ∴=++.（2）()()24121112...422x x g a a g f x ++⎛⎫==∴=∴=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭Q()f x Q 开口向上，对称轴为2x =-.()f x ∴在[]1,1-上单调递增. ()()max 16f x f ∴==. ()6min12g f x ⎛⎫∴=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 611264.k ⎛⎫∴≤=⎪⎝⎭20.解：（1）()sin 2cos2.f x x b x ωω=+Q()2max 1 2.0. 3.f x b b b ∴=+=>∴=Q()sin 23cos 22sin 23f x x x x πωωω⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭.又2. 1.2T ππωω==∴=Q ()2sin 2.3f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）()212sin 2.sin 2.3333f ππααα⎛⎫⎛⎫=+=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 又227cos 412sin 2339ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 53227sin 4sin 4cos 4.62339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21.解：（1）当0a =时，1()2f x x c =-+．由(1)0f =得：102c -+=，即12c =，∴11()22f x x =-+．显然x ＞1时，()f x ＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴ 0a ≠，函数21()2f x ax x c =-+是二次函数．由于对一切x ∈R ，都有()0f x ≥，于是由二次函数的性质可得20140.2a ac >⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，－－即 ()010.16a ac >⎧⎪*⎨≥>⎪⎩，由(1)0f =得 12a c +=，即12c a =-， 代入（*）得11216a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭．整理得 2110216a a -+≤，即2104a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭．而2104a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴ 14a =．14c =.（Ⅱ）∵ 14a c ==， ∴ 2111()424f x x x =-+．∴2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭．该函数图象开口向上，且对称轴为21x m =+．若存在实数m 使函数2111()()424g x f x mx x m x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭在区间[],2m m +上有最小值-5① 当m ＜－1时，21m +＜m ，函数()g x 在区间[],2m m +上是递增的，∴()g m ＝－5，即21115424m m m ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭， 解得 m ＝－3或m ＝73．∵ 73＞－1， ∴m ＝73舍去．② 当－1≤m ＜1时，m ≤21m +＜m ＋1，函数()g x 在区间[],21m m +上是递减的，而在区间[]21,2m m ++上是递增的，∴ ()21g m +＝－5，即 ()()211121215424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭． 解得 m ＝112122-m ＝112122-+③当m ≥1时，21m +≥m ＋2，函数()g x 在区间[],2m m +上是递减的，∴ ()2g m +＝－5，即()()2111225424m m m ⎛⎫+-+++=- ⎪⎝⎭． 解得 m ＝122--m ＝122-+m ＝122--综上可得，当m ＝－3或m ＝122-+()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值－5。
广东省汕头市金山中学2019届高三数学上学期期末考试试题理
理2019广东省汕头市金山中学届高三数学上学期期末考试试题)一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的i4?i2?1?z)( 则 ,若1.1?z?z i 1B.C. D.A.CBA), 在一条直线上, ,且，则( 2. 如图所示,向量BC?4AC1321OB?OC?OA?OCOA?OB A. B. 322241OB?OC??OA C. D. OBOAOC??2?33次日脚痛减,,初步健步不为难3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关378第一天,要见次日行里数,里路请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走一半,六朝才得到其关,6走了因脚痛每天走的路程为前一天的一半,健步行走,从第二天起,5) 天走的路程为( 天后到达目的地”请问此人第18361224 D. 里A. 里 B. 里里 C.)4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为(524???? B. D. A. C. 33311?a?]sinx,p:?x?[0a1?，?x?[,3]?qp?q:a的,命题为真命题若使得,5.已知命题对,则00x2)取值范围是(44)(1，)0，(，()(3)1，30 B. C. D. A.338??(5?m)yx3)l:(3?mx?4y?5?m,l:2m)的值为( 则实数已知直线6.平行,211377??11?? C. A.或 B.D.3}{a)12S?(SS??S2a??a1n Nn?1n?,,且对于任意,,,满足,7.已知数列的前项和为nn?1?nn1n21?S)则 ( 1054909155 B. A. C. D.1)xf'(x?sinxf'(x)f(x)f(x))( , 则函数8.的导函数已知函数,为的部分图象大致为C. A.D. B.PCP?ABCDEPAB,的侧面为如图,正四棱锥为正三角形,中点9.PABE和所成角的余弦值为则异面直线．2331 D. B. A. C.2232????))(?f(x)sin(2x??且存在函数,个单位后所得图象对应的函数是偶函数10.的图象向左平移62?]0,x?[mm?f(x))成立,则,使得不等式的最小值是( 211?1?1 C. B.A. D. 22，，57，9，11311第三行为第四行,第二行为11.已知从,开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为ij，19，1713，，15列的数记为行为,如图所示,在宝塔形数表中位于第第，?2017??a9，a?15，a23，aa则若,比如,j4i,45i,j,23,2,?i?j)(72716564 C.B.A. D.O3260BAD??ABCDABCDBD使得二面角，沿对角线已知菱形12.折起将菱形的边长为,,1?ABCDA?BD?C)外接球的体积为( 的余弦值为 ,则该四面体3528720????6836 D. B. A.C.33分）4小题，共20（本大题共二、填空题：2?x???222?2x?yyxz??y,x设变量13.满足约束条件：． ,则的最大值是??y?x?2????)?1(x?0)?)f(x?2sin(f(x)的单调递增区间,最小正周期是14.函数则函数6是．111111f(x?1)f(x)??????)xf(的图, , 15.已知函数由可得函数是奇函数xx?1x?2x?1xx?1x?2x?3x?7g(x)????)0(?1,…对对称, 类比这一结论得函数的图象关于点象关于点______x?1x?2x?6称．2??x?x,x?1?a?)(xf)?1?a(xy?f(x)?的取值范围是已知函数恰有三个零点，则实数，若函数16.3?1?x,x?1?．三、解答题：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分）a?csinB?,,ca,bCA,B,ABC?. 的对边分别为中(12分）在,角17.b?csinA?sinC A的大小；．Ⅰ求角cb?2?a的取值范围．,求Ⅱ若*)nS(?N}{a}{bn02,的等比数列且公比大于,是首项为为等差数列, 前项和为18.(12分）已知nnn b?b?12b?a?2aS?11b． ,,13324411{a}{b}的通项公式；和Ⅰ求nn{ab}T.n求数列Ⅱ项和的前nnn2BCABCDAD?PABCD?//PAD分）如图19.(12, 中, 平面在四棱锥, ，平面1OO90?30?ADP?BAD?AD???ABBCAPEPD的中点． , ， ,是23PBPD?证明：；10CEPCM?2ADBM求二面角,点与在线段所成角的余弦值为上且异面直线, 设5PM?AB?的余弦值．??0??C:??1ba以分）20.(12已知椭圆, 的离心率为22ba234椭圆长、短轴22yx1四个端点为顶点的四边形的面积为．C求椭圆的方程；ⅠB,A M在定直线, 当动点Ⅱ如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为Q4?xPBMAM求四边分别交椭圆于两点、、, 上运动时, 直线APBQ面积的最大值．形12.Rax?x,)f(x?lnx?a?分）已知函数．21.(122))1,f(1(f(x)0a?时,求函数当处的切线方程；在))g(xf(x)?(ax?1?g(x) , 令求函数的极值；1?5.?x?x0ffx,x(x)?(x)?xx?2?a? , 正实数证明：满足若, ．212221112)(22题选择一道作答题、23?cos?x3??xOy,lC的参数方程为(直线为参数,,22、(10分）在直角坐标系中曲线的参数方程为??sin?y?t4x?a??t,为参数．(?t??y1?l?1C?a ,的交点坐标；若求与417a lC上的点到求距离的最大值为．若,.?2x?x2f(x)? 23、分）已知函数(10;4x)?f(解不等式14222ma?b??am)(fx b若实数最小值为,、满足, 求最小值．设函数221?ab5汕头市金山中学2019级高三上学期期末理科数学参考答案1-12 CDDDA AAAAB DB3)?(??,?1[?,?3] 15.16. 13. 8 14. ,4化为：． 17.利用正弦定理可得：解：,由,．．由余弦定理可得：,中有正弦定理得,在又,Ⅱ,, 所以故,所以,故,因为,,故b+c的取值范围是（2，4]．18.解：Ⅰ设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q．得,而, 由已知,所以,又因为,解得,所以．可得,, 由可得,, 由联立,解得,,由此可得．所以的通项公式为,的通项公式为；Ⅱ设数列的前n项和为,由,有,,得, 上述两式相减,得．项和为．的前n 所以数列?BAD?90?, (1),19. 证明：平面平面PAD,交线为AD,PAD,, 平面?APD?90?,在中,,, 6,PAB,,平面．平面PAB,, 轴PD为x垂直于平面PAD的射线为z轴,射线解：如图,以P为坐标原点,过点P,建立空间直角坐标系y轴,射线PA为,,,则设,0,,1,0,,1,,,,,,又,,所成角的余弦值为BM与CE,点M在线段PC上且异面直线,,整理,,得,或解得舍,y,的法向量MAB设平面,,得则,取,的一个法向量为由知平面PAB,平面PAD0,．二面角．的余弦值为,的离心率为：,C20. 解：Ⅰ根据题意,椭圆则有,则有以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为,, ,,又,解得的方程为故椭圆C；可令点,,其中．Ⅱ由对称性得代入椭圆方程AM将直线,的方程,得则,,．由 BM再将直线的方程代入椭圆方程得,7则得,．由,的面积为故四边形APBQ．有,从而,且在上单调递增,．故由于, 6．四边形APBQ的面积取最大值即,也就是点M的坐标为时,当且仅当,,所以切点为,则,,21. 解：当时；故切线方程为：,又,即则切线斜率,,,所以 ,无极值；,所以．所以在上是递增函数当时,因为所以,由于时,,,令,．得或当,；当时所以当时,,,是增函数,是减函数因此函数在在,的递增区间是,当时,函数递减区间是,,有极大值时 ,函数无极值；综上,当时 ,时,函数无极小值；有极大值当．,由,即,,所以且令,则令,,由得,,,上单调递减,上单调递增．可知,在区间在区间,所以, 所以,解得或 ,,又因为因此成立．8化为标准方程是：；的参数方程为为参数22. 解：曲线C,时,直线l的参数方程化为一般方程是：；或,,解得联立方程和和直线l的交点为所以椭圆C的参数方程为参数化为一般方程是：,椭圆C上的任一点P可以表示成,,所以点P到直线l的距离d为：的最大值为．d, 满足,且的当时,即时,解得和,符合题意．当时,即时,解得和18,符合题意．解得：,,则,解：23. 当时当时,则,解得：,当时,则,此时无解,不等式的解集是；, 综上由知,当时,,当时,则,当时,则,故函数的最小值是2,即,, 故则,且,当且仅当的最小值是．,取“即,”故9。
汕头市金山中学2019届高三数学(文 )上学期期末试卷附答案详析
则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
1
A．4π B．9π
C．41π
4
D．12π
11. 设数列 an 满足 a1 2 ，且an+1 = an + 2n + 1，若 x 表示不超过 x 的最大
整数，
（例如 1.6 1, 1.6 2 ）则22 + 32 + ⋯ + 20192＝（ ）
┄┄┄1 分
即12 = a2 + b2 − 2a ⋅
b⋅
cos 2π
3
┄┄┄2 分
∴ 1 = a2 + b2 + a ⋅
b ≥ 2ab + ab = 3ab（当且仅当 a = b =
3时等号成立）
3
┄┄┄3 分
∴
S1
=
1 ab sin 2π
2
3
≤
1 2
×
1 3
×
3 = 3（当且仅当 a = b =
2 12
（2）过点
作斜率为 1 直线 与圆 交于 两点，试求
的值．
23. （本小题满分 10 分）选修 ᘁ：不等式选讲
已知函数 f (x) x 2 x 1 .
（1）解不等式 f (x) 1 ； 2
（2）若正数 a
，b
， c ，满足 a
2b 4c
f
(1) 2 ，求 2
1 2 4 的最小值. abc
┄┄┄10 分
＝3－1( 1 ＋ 1 ) < 3． 4 2 n＋1 n＋2 4
┄┄┄12 分
18. 解：（1）∵ AB = BC = CA，D 是 AC 的中点
金山中学高一数学上学期期末考试试题含解析
【方法点睛】本题通过新定义“和谐区间”主要考查函数 定义域、值域及函数的单调性以及导数的应用，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算,使问题得以解决。本题四个选项都围绕“和谐区间”的两个重要性质展开的,只要能正确运用这一条件，问题就能迎刃而解.
函数 当 时是对勾函数，因为 ，当且仅当 即 时，取最小值．所以函数最小值为2，且在 上为减函数，在 上为增函数．当 时， 是减函数，且 ,所以 为增函数，且 ，所以函数 为增函数，且 ，函数图像如图所示．令 ,函数 恰有三个不同的零点,可以看成函数 恰有三个不同的零点，函数 的图像与直线 有三个交点．由图像可知 ．
【详解】对于A, 定义域是 , 定义域是 定义域不同,故不是同一函数；
对于B， 定义域是 ， 定义域是 定义域不同,故不是同一函数;
对于C, 定义域是 ， 定义域是 定义域不同，故不是同一函数；
对于D， ， ,两个函数的定义域和对应法则都相同，故二者是同一个函数。
故选:D.
【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数,注意要从二个方面来分析：定义域、对应法则,只有二要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准。
18。已知不等式 的解集为 ，函数
(1）求出 的值;
（2）若 在 上递增，解关于 的不等式 。
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1）利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，即可求 的值；
（2）先确定 ，再将不等式转化为一元二次不等式组，即可求得结论．
【详解】（1) 不等式 的解集为 ,
【数学】广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期末考试试卷(文)
广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期末考试数学试卷（文）一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．已知集合 ， ， ，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（ ） A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{2，3，4}D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ． 的虚部为iB ．2z =C ． 的共轭复数1z i =-+D ． 为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列 中，前 项和 满足 ，则 （ ） A ． 7 B ． 9 C ． 14 D ． 185. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<6. 定义在R 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则（ ） A ．B ．C ．D ．17.在 中， 为 边上的中线，点 满足，则 （ ） A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB - D ． 1566AC AB + 8. 已知，则 （ ）A.B.C.D.9. 函数 ，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C.将函数 的图象向左平移个单位得到函数 的图象 D.若方程 在上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 设数列{}n a 满足12a =，且 ，若[]x 表示不超过x 的最大整数， （例如[][]1.61, 1.62=-=-）则＝（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．201712. 已知函数 ，， 方程 有5个不同的实根，则取值范围是（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知曲线 在 处的切线过点 ，那么实数 _______． 14. 设向量 ， ，且 ，则向量在向量 方向上的投影是 .15.如图，在直三棱柱 中， ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为 .16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段 的长度为a ，在线段 上取两个点 ， ，使得，以 为一边在线段 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为 ，则（1） ；（2）如果对 恒成立，那么线段 的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34 .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，分别是的中点.（1）求证：平面;（2）求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边，上分别取点，，用长度为的围网依托岸边围成三角形（为围网）.方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形（，为围网）. 记三角形的面积为，四边形的面积为. 请分别计算，的最大值，并比较哪个方案好.20.（本小题满分12分）设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．21. （本小题满分12分）已知函数，g(x)＝x2e ax (a∈R).（1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点；（2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 注：复合函数y=e ax的导函数=a e ax.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
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2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合P ＝{x|x >1}，Q ＝{x|x 2−x >0}，则下列结论正确的是（ ） A.P ⊆Q B.Q ⊆P C.P ＝Q D.P ∪Q ＝R2. 若cos (π2−α)=13，则cos (π−2α)＝（ ） A.−4√29B.4√29C.−79D.793. 已知角α的终边经过点(−3, 4)，则sin (α+π4)的值（ ）A.√25 B.−√25C.√210 D.−√2104. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=3CD →，则( ) A.AD →=−13AB →+43AC →B.AD →=13AB →−43AC →C.AD →=43AB →+13AC →D.AD →=43AB →−13AC →5. 设a =ln 32,b =log 32e ，实数c 满足e −c ＝ln c ，（其中e 为自然常数），则（ ）A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.c >b >a6. 函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0, −π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.2,−π3B.2,−π6C.4,−π6D.4,π37. 要得到函数y＝cos2x的图象，只需将y＝cos(2x+π4)的图象（）A.向左平移π8个单位长度 B.向右平移π8个单位长度C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度8. 设函数f(x)=xe xe2x+1的大致图象是（）A.B.C.D.9. 已知函数f(x)＝3x+32−x，则（）A.f(x)在(0, 2)单调递增B.f(x)在(0, 2)单调递减C.y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f(x)的图象关于y 轴对称10. 函数f(x)＝|sin x|+2|cos x|的值域为（ ） A.[1, 2]B.[√5, 3]C.[2, √5]D.[1, √5]二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．关于函数f(x)＝lgx 2+1|x|(x ≠0)，有下列结论，其中正确的是（ ）A.其图象关于y 轴对称B.f(x)的最小值是lg 2C.当x >0时，f (x)是增函数；当x <0时，f(x)是减函数D.f(x)的增区间是 (−1, 0)，(1, +∞)已知函数f(x)＝sin x ⋅|cos x|，给出下列结论，其中正确的是（ ） A.f(x)的图象关于直线x =π2对称B.若|f(x 1)|＝|f(x 2)|，则x 1＝x 2+kπ(k ∈Z)C.f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增D.f(x)的图象关于点(−π2,0)成中心对称．三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．已知平面向量a →=(4,3),b →=(6,m)，若a →与2b →−a →平行，则m ＝________．已知函数f(x)=ln (√4x 2+1−2x)x 2+4，若f(a)＝5，则f(−a)＝________；函数y =(13)x2+2x的单调递减区间为________；值域是________.已知平面向量a →与b →的夹角为3π4，且|a →|=1,|b →|=√2，则|2a →−b →|=________；已知函数f(x)={2x ,x ≤0log 4x,x >0 ，若f[f(a)]=−12，则a 的值是________．已知函数f(x)＝ax 2+bx +c(a ≠0)有零点，且f(x)的零点都是函数f （f(x)）的零点；反之，f （f(x)）的零点都是f(x)的零点．则实数b 的取值范围是________． 四、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=2√3sin x ⋅cos x +cos 2x −sin 2x −1(x ∈R) （1）求函数y ＝f(x)的单调递增区间；（2）若x ∈[−5π12,0]，求f(x)的取值范围．已知向量a →=(sin θ, cos θ−2sin θ)，b →=(1, 2)，θ∈[0, 2π]， （1）若a →⊥b →，求1sin 2θ+cos 2θ的值；（2）若函数f(x)=x 2+(a →⋅b →+3sin θ)x −1在区间x ∈[12,+∞)上是增函数，求θ的取值范围．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为120√6t 吨，(0≤t ≤24) (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．已知函数f(x)=ax 2−2√4+2b −b 2⋅x ，g(x)=−√1−(x −a)2，(a, b ∈R) (Ⅰ)当b ＝0时，若f(x)在区间[2, 4]上单调递减，求a 的取值范围；(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对(a, b)：当a 是整数时，存在x 0，使得f(x 0)是f(x)的最大值，g(x 0)是g(x)的最小值；参考答案与试题解析2019-2020学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】D二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【答案】A,B,D【答案】A,C三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】92【答案】 3【答案】[−1, +∞),(0, 3] 【答案】√10【答案】 −1或2 【答案】 [0, 4)四、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】由题设f(x)=√3sin 2x +cos 2x −1=2sin (2x +π6)−1，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， 故函数y ＝f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； 由−5π12≤x ≤0，可得−2π3≤2x +π6≤π6，∴ −1≤sin (2x +π6)≤12， 于是−3≤2sin (2x +π6)−1≤0．故y ＝f(x)的取值范围为[−3, 0]． 【答案】 ∵ a →⊥b →，∴ a →⋅b →=sin θ+2cos θ−4sin θ=0， ∴ tan θ=23，∴ 原式=sin 2θ+cos 2θ2sin θcos θ+cos 2θ=1+tan 2θ2tan θ+1=1+4943+1=1321；∵ f(x)=x 2+(a →⋅b →+3sin θ)x −1=x 2+2x cos θ−1在[12,+∞)上单调递增， ∴ x =−cos θ≤12，即cos θ≥−12，又θ∈[0, 2π]， ∴ 0≤θ≤2π3或4π3≤θ≤2π， ∴ θ的取值范围为[0,2π3]∪[4π3,2π]． 【答案】解：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y=400+60t−120√6t；令√6t=x；则x2=6t，即y=400+10x2−120x=10(x−6)2+40；∴当x=6，即t=6时，y min=40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400+10x2−120x<80，得x2−12x+32<0，解得，4<x<8，即4<√6t<8，83<t<323.即由323−83=8，所以每天约有8小时供水紧张．【答案】（1）当b＝0时，f(x)＝ax2−4x，若a＝0，f(x)＝−4x，则f(x)在[2, 4]上单调递减，符合题意，若a≠0，则{a>0 42a ≥4或{a<042a≤2，∴0<a≤12a<0，综上，a≤12；（2）若a＝0，f(x)=−2√4+2b−b2x，则f(x)无最大值，故a≠0，∴f(x)为二次函数，要使f(x)有最大值，必须满足a<0且1−√5≤b≤1+√5，此时，x=x0=√4+2b−b2a时，f(x)有最大值．又g(x)取最小值时，x＝x0＝a，依题意，有√4+2b−b2a=a∈Z，则a2=√4+2b−b2=√5−(b−1)2∵a<0且1−√5≤b≤1+√5，∴0<a2≤√5(a∈Z)，得a＝−1，此时b＝−1或b＝3．∴满足条件的实数对(a, b)是(−1, −1)，(−1, 3)．。