随机过程 计算与应用 泊松过程3

E[Nt ]= kP(Nt =k) k 0
=
[m(t )]k k
e[m(t )]
k 0
k!
=m(t)e[m(t)] [m(t)]k1
k1 (k 1)!
=m(t)
例4.2.5 设非齐次泊松过程N {Nt ,t 0}的均值函数m(t)满足 m() : lim m(t) ,定义函数m(t)的时间逆函数为
复合泊松过程也可以由随机游动和泊松过程的表示.
例4.3.1 设随机变量Yn(n=1,2,…)存在数学期望 EYn和方差 2 DYn，
试计算复合泊松过程的均值函数、方差函数
和相关函数.
Nt
解 mX (t) E[Xt ] E[ Yn ] n1 Nt E[E( Yn Nt )] n1
Yn与Nt独立
则N {M (t) , t 0}是强度为(t)的非齐次泊松过程.
例4.3.3 设随机变量列{k ,k=1,2,L }独立同服从0-1分布， 且 P(k 1) p 0, P(k 0) 1 p,
参数为的泊松分布N与上述0-1随机序列独立.现对t 0,
定义
Mt SNt Lt Nt Mt
注意到随机变量族{Mu ,Lu:u s}由{Nu：u s,1,L ,Ns }决定，
因此， A与{Mu ,Lu:u s}独立.
( ) E[eT ], 0
已经证明：当 a E[1] 时，保险公司最终会破产. 盈余过程的样本轨道
非齐次泊松过程 定义4.2.1 设计数过程N= {Nt,t≥0} 是一个独立增量 过程，(t)是[0,+) [0,+)的函数，如果
P(Nt
- Ns
k) [m(t) m(s)]k k!
盈余。则
保险公司在t>0的盈余为 Xt x at SNt
该随机过程所描述的模型称为经典风险模型.
又称
X t x at Wt SNt
之为布朗扰动下的风险模型.
对于风险模型，一般会关注破产概率，其中破产时定义为
T min{t 0 : Xt 0}
破产概率不易直接计算，通常计算破产时的拉普拉斯变化
n0
n!
• 复合泊松过程
定义2.2.1 设N= {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量, 且与N独立.
Nt
令Xt Yk ,t 0 k 1
称 X={Xt,t≥0}为复合泊松过程.
若将Nt表示[0,t)内的随机点数, Yk表示第k个随机点 所携带的某种(能)量,则总量为 即 X={Xt,t≥0}为复合泊松过程.
5 E[Yn ] 2 ,
E[Yn2
]
43 6
215 E[ X5 ] 25, D[ X5 ] 3
例4.3.2 设某保险公司发生的索赔次数是一个参数为
的泊松过程， k 表示保险公司第k次索赔的金额，k=1.2….
一般认为索赔额序列独立同分布且与泊松过程独立. 假设公司
在每一开始时收取a>0个钱币单位的保险费，x为公司的初始
P(N (t)
-
N (s)
k)
[m( (t)) m( (s))]k
k!
e[m(t )m(s)]

(t s)k e(ts) , k 0,1, 2,L , 0 s t k!
反之也有 设M {Mt ,t 0}是参数为1的齐次泊松过程，
给定一个强度函数(t),令(t)= t (t)dt, 0
泊松过程的推广
• 几何泊松过程
设N= {Nt,t≥0} 是参数为λ 的泊松过程,常数 1 ， 定义
N e ge
Nt ln( 1) t
t
( 1)Nt et , t 0
称N
ge
{N
ge t
,
t
0}为几何泊松过程.
例4.2.3 设N ge {Ntge ,t 0}为几何泊松过程，对任意的
0 s<t,验证
Nt
E[ Yn Nt m]P(Nt m)
m0 n1
m
E[Yn ]P(Nt m)
m0 n1
mP(Nt m) t. m0
Yn独立同分布
类似计算 DX (t) tE[Yn2 ] t 2
利用平稳独立增量性，有
R X (s,t) E[X s Xt ] 不妨设0 s t E[X s ( Xt X s X s )] mX (s)mX (t s) X (min(s,t)). s,t 0
补例1 设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每 周有2户定居，即 λ=2. 如果每户的人口数是随机变量,一户4人的概率为1/6，一户3人 的概率为1/3，一户2人的概率为1/3，一户1人的概率为1/6， 且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区的 人口数的数学期望和方差．
t
(t) m in {s 0 : m (s) t} , t 0
验证： 过程M {N (t) , t 0}是参数为1的齐次泊松过程.
证明：函 数 ( t ) 是 单 调 不 减 ， 右 连 续 的 ， 且 m ( ( t ) ) = t
所以过程M {N (t) , t 0}具有独立增量性.
n
其中，Sn k .验证：过程L={Lt ,t 0}和M={Mt ,t 0} k 1
是两个独立的分别服从参数为p和(1 p)的泊松过程.
证明： 对任意的0 s t,记随机事件
A={Mt Ms m Lt Ls k} (事件还等于)
{SNt SNs m Nt Ns m k}
E[ Ntge ]=1
证明：E[
Ntge
Nsge ]=E[e ] (Nt Ns )ln( 1) (ts)
=e E[e ] Nsge
(t s)
Nts ln( 1)
=e (ts)E[( 1)Nts ]
=e (ts) ( 1)n [(t s)]n e(ts)
n0
n!
=e ( 1)(ts) [ ( 1)(t s)]n e e ( 1)(ts) ( 1)(ts) 1
e , k [m(t )m(s)]
0,1, 2,L
,0 s t
则称N是强度函数为(t) 的非齐次泊松过程.
其中函数m(t) : = t (u)du称为非齐次泊松过程的均值函数. 0
函数m(t)= t (u)du称为非齐次泊松过程的均值函数. 0
事实上，由非齐次泊松过程的定义知道，对于任意的t≥0,