中科大研究生课程 高等固体物理 project 六角二维ising模型的重整化群计算

V 0 3kf (k ) S S 7hf (k ) S I'
IJ I 1
(38)
由此得到六角晶格的重整化变换:
k ' 3kf 2 (k ) h ' 7hf (k )
(39)
临界点对应与重整化变化不稳定不动点,求解不动点方程式(39),可以得到不动点:
(34)
同样,当 S I 1 时,格点自旋的平均值为:
'
S2I ' e H0 ' S2I e H0
{ I } { I }
e12 k
e12 k 4e6 k 2e4 k 4e2 k 3e4 k 6 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16
(32)
V 0 3k S S 7h S1I
IJ I 2 J 6 I
N
(33)
当 S I 1 时,格点自旋的平均值为:
'
S ' e
I 2 { I }
H0
{ I }
'S e
I 2
H0

e12 k
e12 k 4e6 k 2e4 k 4e2 k 3e4 k 6 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16
H {S L } J L
CNL d /2 (I ,J )

SI SJ B SI
I
NL d
(2)
重整化群的基本思想是把关联长度发散的临界点与非线性变换的不动点联系起来.这样可以不直接计算配分函 数,而研究保持配分函数不变的变换性质,因此把连续相变的研究归结为分析这种非线性变换的不动点和在不动点附 近线性化以后的本征值,由它计算临界指数. 系统的配分函数是:
(36)
(35)
由(34)(35)两式可得:
S2I
令:
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 S I' 6k 4k 2k 2 k 4 k 6 k 6e 6e 6e 18e 9e 2e 16
(37)
H k
Sq N / 2 ij

N' I 1
Si S j h S i H 0 V
i 1
N
(24) (25)
H 0 k [(S7I )(S1I S2I S3I S5I S6I )] (S1I S2I S2I S3I S3I S4I S4I S5I S5I S6I S6I S1I )
I 1
N
将(30)代入(29)有:
A ' e H0 'e H0
I I
64
(31)
{ I }
I 1
对于六角晶格来说,内部自由度 J 64 ,
I 1
' 是对 64 个态求和,A 的计算结果为:
'
64
A (e12 k 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16) N 现在计算 V 0 ,由(26)可得:
(8)
K 与 KL 的关系可以由以下变换表示: KL T (K ) (9) 一般说来,重整化群变换 T 是一个非线性变换.而重整化群的含义也在于,作了一次尺度变换和粗粒平均化后,从 原来的格点自旋系统变成集团自旋系统,后者的哈密顿量仍保持着跟原来一样的形式,因此我们可以重复这个过程将 集团划分成更大的集团. 如果系统不是处于临界态,则关联长度是有限的,将集团被划分成更大的集团时有效关联范围将收缩,这就意味着 系统将远离临界点.反过来,如果系统原来是处于临界点,则关联长度无穷大,经过变换后仍处在临点,即系统达到一个 不动点.在不动点上,参数空间矢量 K 不再因为变换 T 而变化,也即临界点满足条件
PROJECT5:六角二维 ISING 模型的重整化群计算 黄晓 SC13014127 中国科学院上海硅酸盐研究所 专业材料物理与化学 一.重整化群方法 临界现象的标度理论建立了临界指数之间的一些关系标度律,但并不能解决计算临界指数的问题;而且标度理论 所基于的标度假设的物理基础也有待从微观上论证.七十年代初,Wilson 在标度理论和普适性的基础上,建立了重整 化群理论,在统计物理的基础上论证了标度假设,提供了从微观上计算临界指数的系统方法;重整化群的基本思想是: 在临界点关联长度趋于无穷大,因此体系应该具有尺度变换下的不变性,由此可以不直接计算配分函数,而是找尺度变 换下的不变性,从而确定临界点并计算临界指数.下面介绍坐标空间的重整化群(position space renormalization group, 简称 PSRG),也称实空间重整化群(real space renormalization group,简称 RSRG). 对于一个具有最近邻相互作用的 d 维的伊辛模型而言,其哈密顿量可表示成
f (k )
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 6e6 k 6e 4 k 6e 2 k 18e 2 k 9e 4 k 2e 6 k 16
2 ' I ' J N'
将(37)(36)两式代入(33)式得到:
V k ( S2I S6J S3I S6J S3I S5J ) h (S1I S2I S3I S4I S5I S6I S7I )
IJ I
(26)
3
2
1
7
4
6
5
2 7 1
3
4
6
5
图 一 六角晶格集团示意图(左)与两自旋集团相互作用示意图(右) 其中 H0 为集团内部自旋相互作用能,V 为集团与集团之间以及集团与外磁场 B 之间相互作用能. 这里六角晶格集团自旋规定采用多数法则,即集团自旋的取向由该集团内占多数的自旋取向决定.六角晶格共有 7 个格点,每个格点有+1 和-1 两种自旋状态,这样集团共有 27=128 种可能的状态.在所有的状态中,有 4 个
以上自旋向上时,则规定该集团自旋向上即 S J 1 ,有 4 个以上自旋向下时,则规定该集团自旋向下即 S J 1 ,集
'
'
团内部自由度 J 2 64 .
6
部分迹定义式:
( I )
( P.T .) e H0 V A eV 0
V
(27)
当 V 很小时, e 0 1 V 0 从而有
矩阵 A 的本征矢可以写成 uL u (16) 这里 是本征值矩阵
u 是右本征矢 u u 1 u2
1 0
0 2
(17)
(18)
在重复进行重整化群变换下,那些沿着本征曲线的运动轨迹为: (19) unL,1 (1 )n u1 (20) unL,2 (2 )n u2 当 >1 时,这些点远离不动点,当 <1 时靠近不动点.大于 1 的 为有关本征值,相应的本征矢可看做是其中的一 个物理参量(就如 ε,B),它代表系统相对于不动点的距离.参数 p 和 q 可以由相应的本征值得出.自由能密度的奇异部 分可通过本征矢 ui 和本征值 i 表示:
SI
)
Z ( K L , NL d )
(7)
(7)式中 KL 表示集团自旋的参数空间的矢量. 既然集团自旋的配分函数具有跟原来一样的函数形式,我们可以将 每个格点的自由能密度表示成:
g ( K ) lim
N
1 1 ln Z ( K , N ) L d lim ln Z ( K L , NL d ) L d g ( K L ) d N N NL
H'
H kBT
'
(4)
然后,配分函数可以表示成:
Z eH
(5)
对于 ising 模型而言,系统的哈密顿量如(1)所示. 其中有效哈密顿量是:
H ' ( K ,{Si }, N ) K1 Si S j K 2 Si
(i. j ) i
CN /2
N
J k BT
CN /2 (i. j )
SS
i
j
S kT
B i
d
B
N
i
(6)
其中 K 表示参数空间的一个矢量.如果整个系统划分成集团还需引入表示每个集团的内部自旋自由度 σI. 因此配分函数可写成
Z ( K , N ) e Fra Baidu bibliotek ( K ,{Si }, N )
Si
{SI ,

I}
e H ( K ,{Si }, N ) e H ( K ,{SI }, NL
Z e

H k BT
(3)
物理体系通常用哈密顿量描述,哈密顿量本身又由一些参数描述,重整化群作用的对象就是这个哈密顿量的参数 组成的空间,重整化群变换实际上包括两步:一是进行粗粒平均,降低分辨率,如用 l× l 的自旋集团来代替单个自旋;第 二步再将长度和自旋重新标度,使哈密顿量又回到原来的形式,只改变参数. 为了简化计算,我们定义有效哈密顿量
gs ( u1 , u2 , u3 , ) Ld gs (1 u1 , 2 u2 , 3 u3 , ) 令 u1 , u2 B
从前面的等式中,我们可以得到
(21)
ln 1 d ln L ln 2 q d ln L p
(22) (23)
这里, p 和 q 可由相应的本征值给出,因此相临界指数就可得到. 在重整化群理论中,参数空间中包括不动点 K*在内的这样的一个特殊的面称为临界面,或者说是一个特殊的子空 间,它具有这样的性质:临界面上的任何点,在反复进行重整化群交换下,最终将趋于不动点 K*.而临界指数由不动点领 域 A 的变换性质决定.因此,属于同一临界面上的点都有相同的临界行为,如果不同的系统,它们的临界点落在同一临 界面上,那么它们就具有相同的临界指数,亦即属于同一个普适类.由此可见,在重整化群的理论中,普适性变得十分自 然,不动点可以不止一个,不同的不动点对应不同临界行为,整个参数空间可以分成若干区,第 n 个区内的代表点经过 重整化变换后趋向该区的不动点,不同的普适类对应不同的区.因此一个区的点所对应的物理体系都具有相同的临界 指数. 二.六角晶格集团的 RSRG 法求解 现取六角晶格为 kadanoff 集团,如图 5.1 所示,两近邻集团中心之间的最小距离为 L = 7a;两集团相互作用如图 5.2 所示,体系有效哈密顿量可以写成
*
K K K (13) 假设 K 与 K L 是小量,即可得到线性变化 K L A K (14)
其中
K1L K 1 A K 2 L K1
K1L K 2 K 2 L K 2 K1 L K1*
(15)
K 2 L K 2*
H {Si } J Si S j B Si
(i , j ) i
CN /2
N
(1)
上式中 C 表示一个格点的最近邻数,N 是总的格点数.晶格常数是 α,设想把晶格分成许多大小相同的团,每一集 团为边长为 Lα 的 d 维超立方,则集团总数为 NL-d,每一集团包含 Ld 个格点.如果保持集团总自旋与格点自旋相同,那 么系数 J,B 就会改变.集团哈密顿量就变成以下形式:
( P.T .) A(1 V 0 )
其中
(28)
A e H0
{ I }
(29) (30)
H 0 H 0I k[(S7I )(S1I S2I S3I S5I S6I ) (S1I S2I S2I S3I S3I S4I S4I S5I S5I S6I S6I S1I )]
K * T (K * )
(10)
T 就叫做重整化群,实际上,它应该是个半群,因为它不存在逆元素. 对于 ising 模型而言,不动点 K*是
K * ( K1* , K2* )
(11) (12)
为了确定参数空间矢量 K 在不动点 K*附近的行为,我们将 K*进行线性化变化.令
KL KK K *