中科大研究生课程 高等固体物理 project 六角二维ising模型的重整化群计算

H'
H kBT
'
(4)
然后,配分函数可以表示成:
Z eH
(5)
对于 ising 模型而言,系统的哈密顿量如(1)所示. 其中有效哈密顿量是:
H ' ( K ,{Si }, N ) K1 Si S j K 2 Si
(i. j ) i
CN /2
N
J k BT
CN /2 (i. j )
(34)
同样,当 S I 1 时,格点自旋的平均值为:
'
S2I ' e H0 ' S2I e H0
{ I } { I }
e12 k
e12 k 4e6 k 2e4 k 4e2 k 3e4 k 6 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16
H k
Sq N / 2 ij

N' I 1
Si S j h S i H 0 V
i 1
N
(24) (25)
H 0 k [(S7I )(S1I S2I S3I S5I S6I )] (S1I S2I S2I S3I S3I S4I S4I S5I S5I S6I S6I S1I )
*
K K K (13) 假设 K 与 K L 是小量,即可得到线性变化 K L A K (14)
其中
K1L K 1 A K 2 L K1
K1L K 2 K 2 L K 2 K1 L K1*
(15)
K 2 L K 2*
Z e

H k BT
(3)
物理体系通常用哈密顿量描述,哈密顿量本身又由一些参数描述,重整化群作用的对象就是这个哈密顿量的参数 组成的空间,重整化群变换实际上包括两步:一是进行粗粒平均,降低分辨率,如用 l× l 的自旋集团来代替单个自旋;第 二步再将长度和自旋重新标度,使哈密顿量又回到原来的形式,只改变参数. 为了简化计算,我们定义有效哈密顿量
gs ( u1 , u2 , u3 , ) Ld gs (1 u1 , 2 u2 , 3 u3 , ) 令 u1 , u2 B
从前面的等式中,我们可以得到
(21)
ln 1 d ln L ln 2 q d ln L p
(22) (23)
这里, p 和 q 可由相应的本征值给出,因此相临界指数就可得到. 在重整化群理论中,参数空间中包括不动点 K*在内的这样的一个特殊的面称为临界面,或者说是一个特殊的子空 间,它具有这样的性质:临界面上的任何点,在反复进行重整化群交换下,最终将趋于不动点 K*.而临界指数由不动点领 域 A 的变换性质决定.因此,属于同一临界面上的点都有相同的临界行为,如果不同的系统,它们的临界点落在同一临 界面上,那么它们就具有相同的临界指数,亦即属于同一个普适类.由此可见,在重整化群的理论中,普适性变得十分自 然,不动点可以不止一个,不同的不动点对应不同临界行为,整个参数空间可以分成若干区,第 n 个区内的代表点经过 重整化变换后趋向该区的不动点,不同的普适类对应不同的区.因此一个区的点所对应的物理体系都具有相同的临界 指数. 二.六角晶格集团的 RSRG 法求解 现取六角晶格为 kadanoff 集团,如图 5.1 所示,两近邻集团中心之间的最小距离为 L = 7a;两集团相互作用如图 5.2 所示,体系有效哈密顿量可以写成
(8)
K 与 KL 的关系可以由以下变换表示: KL T (K ) (9) 一般说来,重整化群变换 T 是一个非线性变换.而重整化群的含义也在于,作了一次尺度变换和粗粒平均化后,从 原来的格点自旋系统变成集团自旋系统,后者的哈密顿量仍保持着跟原来一样的形式,因此我们可以重复这个过程将 集团划分成更大的集团. 如果系统不是处于临界态,则关联长度是有限的,将集团被划分成更大的集团时有效关联范围将收缩,这就意味着 系统将远离临界点.反过来,如果系统原来是处于临界点,则关联长度无穷大,经过变换后仍处在临点,即系统达到一个 不动点.在不动点上,参数空间矢量 K 不再因为变换 T 而变化,也即临界点满足条件
矩阵 A 的本征矢可以写成 uL u (16) 这里 是本征值矩阵
u 是右本征矢 u u 1 u2
1 0
0 2
(17)
(18)
在重复进行重整化群变换下,那些沿着本征曲线的运动轨迹为: (19) unL,1 (1 )n u1 (20) unL,2 (2 )n u2 当 >1 时,这些点远离不动点,当 <1 时靠近不动点.大于 1 的 为有关本征值,相应的本征矢可看做是其中的一 个物理参量(就如 ε,B),它代表系统相对于不动点的距离.参数 p 和 q 可以由相应的本征值得出.自由能密度的奇异部 分可通过本征矢 ui 和本征值 i 表示:
I 1
N
将(30)代入(29)有:
A ' e H0 'e H0
I I
64
(31)
{ I }
I 1
对于六角晶格来说,内部自由度 J 64 ,
I 1
' 是对 64 个态求和,A 的计算结果为:
'
64
A (e12 k 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16) N 现在计算 V 0 ,由(26)可得:
(36)
(35)
由(34)(35)两式可得:
S2I
令:
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 S I' 6k 4k 2k 2 k 4 k 6 k 6e 6e 6e 18e 9e 2e 16
(37)
(32)
V 0 3k S S 7h S1I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ IJ I 2 J 6 I
N
(33)
当 S I 1 时,格点自旋的平均值为:
'
S ' e
I 2 { I }
H0
{ I }
'S e
I 2
H0

e12 k
e12 k 4e6 k 2e4 k 4e2 k 3e4 k 6 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16
以上自旋向上时,则规定该集团自旋向上即 S J 1 ,有 4 个以上自旋向下时,则规定该集团自旋向下即 S J 1 ,集
'
'
团内部自由度 J 2 64 .
6
部分迹定义式:
( I )
( P.T .) e H0 V A eV 0
V
(27)
当 V 很小时, e 0 1 V 0 从而有
f (k )
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 6e6 k 6e 4 k 6e 2 k 18e 2 k 9e 4 k 2e 6 k 16
2 ' I ' J N'
将(37)(36)两式代入(33)式得到:
K * T (K * )
(10)
T 就叫做重整化群,实际上,它应该是个半群,因为它不存在逆元素. 对于 ising 模型而言,不动点 K*是
K * ( K1* , K2* )
(11) (12)
为了确定参数空间矢量 K 在不动点 K*附近的行为,我们将 K*进行线性化变化.令
KL KK K *
V k ( S2I S6J S3I S6J S3I S5J ) h (S1I S2I S3I S4I S5I S6I S7I )
IJ I
(26)
3
2
1
7
4
6
5
2 7 1
3
4
6
5
图 一 六角晶格集团示意图(左)与两自旋集团相互作用示意图(右) 其中 H0 为集团内部自旋相互作用能,V 为集团与集团之间以及集团与外磁场 B 之间相互作用能. 这里六角晶格集团自旋规定采用多数法则,即集团自旋的取向由该集团内占多数的自旋取向决定.六角晶格共有 7 个格点,每个格点有+1 和-1 两种自旋状态,这样集团共有 27=128 种可能的状态.在所有的状态中,有 4 个
PROJECT5:六角二维 ISING 模型的重整化群计算 黄晓 SC13014127 中国科学院上海硅酸盐研究所 专业材料物理与化学 一.重整化群方法 临界现象的标度理论建立了临界指数之间的一些关系标度律,但并不能解决计算临界指数的问题;而且标度理论 所基于的标度假设的物理基础也有待从微观上论证.七十年代初,Wilson 在标度理论和普适性的基础上,建立了重整 化群理论,在统计物理的基础上论证了标度假设,提供了从微观上计算临界指数的系统方法;重整化群的基本思想是: 在临界点关联长度趋于无穷大,因此体系应该具有尺度变换下的不变性,由此可以不直接计算配分函数,而是找尺度变 换下的不变性,从而确定临界点并计算临界指数.下面介绍坐标空间的重整化群(position space renormalization group, 简称 PSRG),也称实空间重整化群(real space renormalization group,简称 RSRG). 对于一个具有最近邻相互作用的 d 维的伊辛模型而言,其哈密顿量可表示成
SS
i
j
S kT
B i
d
B
N
i
(6)
其中 K 表示参数空间的一个矢量.如果整个系统划分成集团还需引入表示每个集团的内部自旋自由度 σI. 因此配分函数可写成