中科大研究生课程 高等固体物理 project 六角二维ising模型的重整化群计算

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晶体相场方法研究二维六角相向正方相结构转变_概述说明

晶体相场方法研究二维六角相向正方相结构转变_概述说明

晶体相场方法研究二维六角相向正方相结构转变概述说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍晶体相场方法在研究二维六角相向正方相结构转变中的应用。

通过对二维晶体结构及其转变机制的研究,我们可以深入理解材料的性质以及在不同相态中的行为差异。

1.2 文章结构文章分为五个部分:引言、二维晶体结构研究方法、实验设备和步骤、结果与讨论以及结论与展望。

接下来将依次介绍这些部分的内容。

1.3 目的本文的主要目的是探讨晶体相场方法在研究二维六角相向正方相转变过程中的作用和意义。

通过使用晶体相场方法,我们能够模拟和预测原子排列方式及其对材料性质的影响,有助于加深我们对于材料行为的认识,并为设计新型材料提供理论依据。

2. 二维晶体结构研究方法:2.1 传统晶体学方法:传统晶体学方法是通过X射线衍射、电子衍射、中子衍射等手段来研究晶体的结构。

这些方法需要制备高质量的单晶样品,并利用入射束与样品的相互作用,测量出衍射图案以获取结构信息。

然而,对于二维材料来说,获得高质量的单晶并不容易,而且传统晶体学方法无法很好地适应二维材料的特殊性质。

2.2 晶体相场方法介绍:晶体相场方法是一种通过建立适当的势能函数描述多组分材料之间相互作用关系的计算模拟方法。

该方法基于Ginzburg-Landau理论和动力学方程,将材料系统看作一个多自由度耦合系统,并通过解耦自由度来描绘相变过程。

在二维材料中应用晶体相场方法可以更好地考虑到表面效应、缺陷影响和几何约束等因素。

2.3 二维六角相向正方相转变研究意义:二维六角相向正方相转变是一种晶体结构转变现象,对理解材料性质和应用具有重要意义。

通过研究该相变过程,可以揭示材料在不同结构下的性能差异,并深入理解表面、界面和缺陷对材料特性的影响。

此外,二维六角相向正方相的转变机制还涉及到能量优化和动力学等关键问题,对于设计和控制新型功能材料具有指导意义。

以上是“2. 二维晶体结构研究方法”部分的内容。

3. 实验设备和步骤:3.1 设备介绍:本实验使用了以下设备:- 高分辨电子显微镜(Transmission electron microscope,简称TEM):用于观察晶体结构以及相变过程。

基于神经网络量子态的横场Ising模型研究

基于神经网络量子态的横场Ising模型研究
–v–
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
北京工业大学理学硕士学位论文
4.2 平均磁矩和磁敏感度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 关联函数与关联⻓度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5 纠缠熵的测量 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35 结论 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 41 参考文献 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 43 攻读硕士期间发表的论文 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 49 致谢 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
摘要
摘要
我们使用神经⺴络量子态表示一维与二维横场 Ising 模型的波函数,这样的波函数 相当于一种从自旋位形空间到由⺴络参数序列决定的复数域的映射,也就是说当我们 给波函数输入一种自旋位形时,它就会反馈一个复数。我们使用无监督机器学习方法 去寻找基态波函数,具体是,我们采用随机重构 (SR) 方法不断调整波函数中的⺴络参 数,使得这个波函数不断逼近基态。同时,我们还从最小作用量原理和信息几何的角度 为 SR 方法提供了一种理解方式。在找到基态波函数之后,我们根据它并且使用重要性 抽样方法计算了几种关键的热力学量,它们包括,每个格点的平均能量、两点关联函数 和关联⻓度、平均磁矩和磁敏感度。我们探究了这些物理量与外加横场强度的关系,我 们得到的结果与已有文献的结果高度一致。特别地,纠缠熵的计算不同于这些物理量, 因为在其计算过程中会面临对密度矩阵 ρ 的操作,以致无法使用简单的重要性抽样方 法计算他们的统计平均值。我们提供了一种可行的用于计算纠缠熵的近似方法,并且 其一维结果与已有解析结果高度一致,其二维结果也与已有的几种其它数值结果给出 了相近的量子相变的位置。另外,我们还讨论了⺴络参数 α 对计算精度的影响,结果 显示出 α 的值对计算精度的影响很小。 关键词:横场 Ising 模型,神经⺴络量子态,随机重构方法,纠缠熵

中科院研究生院《固体物理》课程课件合集.pdf

中科院研究生院《固体物理》课程课件合集.pdf

X射线衍射
X射线衍射
X射线主要与电子云相互作用 只考虑原子对X射线的弹性反射
晶面反射
相长干涉需要光程相等
bc ad dac bca
Bragg 把晶体对 X光的衍射当作由原子平面(晶面)的镜面反射, 在满足镜面反射的衍射方向上,一个晶面内所有原子的散射波位相 相同、相互叠加,形成相长干涉
晶体结构的探测
虽然点群和空间群理论以及晶格理论都是19世纪提出的, 但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得以 从实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。
普通光学显微镜受分辨率的限制,无法观测原子排列,使 用X光源,至今又没有可以使X光聚焦的透镜,所以只能依 靠衍射现象来间接观测晶体中的原子排列。
这就是X射线衍射的劳厄条件;
可以证明劳厄条件和布拉格条件等价。
劳厄条件
k
k
G
h
k k Gh
k k
k
Gh
k
Ewald球
k k Gh
劳厄法
晶体取向固定,采用波长在 min 和max 之间的连续 波长的X射线;
劳厄法
晶体取向固定,采用波长在 min 和max 之间的连续 波长的X射线;
1.2
(nm )
eV 12
波长与晶格常数可比时,如波长 0.1nm 对应 的能量 150 eV 。因此适合于晶体结构研究的 是20~250eV的低能电子束。
电子带电,与原子相互作用强,穿透深度约几个 原子层间距量级,因此低能电子衍射(Low Energy Electron Diffraction, LEED)主要用于晶体表面结构 研究。
T (Rn ) (r ) (r Rn )
电子密度具有平移对称性

中科大高等固体物理——BE凝聚

中科大高等固体物理——BE凝聚

Bose and Einstein
• In 1924 an Indian physicist named Bose studied the quantum behaviour of a collection of photons. • Bose sent his work to Einstein, who realized that it was important. • Einstein generalized the idea to atoms, considering them as quantum particles with mass. • Einstein found that when the temperature is high, they behave like ordinary gases. • However, when the temperature is very low, they will gather together at the lowest quantum state. This is called Bose-Einstein condensation.
h mv
Against Our Intuition?!
In most everyday matter, the de Broglie wavelength is much shorter than the distance separating the atoms. In this case, the wave nature of atoms cannot be noticed, and they behave as particles. The wave nature of atoms become noticeable when the de Broglie wavelength is roughly the same as the atomic distance. This happens when the temperature is low enough, so that they have low velocities. In this case, the wave nature of atoms will be described by quantum physics, e.g. they can only stay at discrete energy states (energy quantization).

中科大固体物理

中科大固体物理

中科大固体物理
中科大固体物理专业是中科院固体物理研究所的研究生培养项目之一,该研究所成立于1982年3月,由国际著名物理学家、中国科学院院士葛庭燧先生创建。

经过三十多年的发展,现已成为凝聚态物理和材料科学基础研究的基地型研究所。

固体物理研究所是中科院材料物理重点实验室、安徽省纳米材料与技术重点实验室、安徽省特种金属材料工程实验室、安徽省纳米材料工程技术中心、中科院合肥物质科学研究院物质科学计算中心的依托单位,是凝聚态物理专业和材料物理与化学专业的硕士、博士学位培养基地,拥有物理学博士后流动站。

研究方向包括:纳米材料技术,新型功能材料,计算材料物理,内耗与固体缺陷,极端环境材料物理,核能工程材料,特种金属材料等。

1。

固体物理试题

固体物理试题

中科院考研固体物理试题(1997~2012)一九九七年研究生入学考试固体物理试题一 很多元素晶体具有面心立方结构,试:1 绘出其晶胞形状,指出它所具有的对称元素2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状3 面心立方的Cu 单晶(晶格常熟a=3.61Å)的x 射线衍射图(x 射线波长λ=1.54Å)中,为什么不出现(100),(422),(511)衍射线?4它们的晶格振动色散曲线有什么特点?二 已知原子间相互作用势n m r rr U βα+-=)(,其中α,β,m,n 均为>0的常数,试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m 。

三 已知由N 个质量为m ,间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为2sin 421qa m ⎪⎭⎫ ⎝⎛=βω 1 试给出它的格波态密度()ωg ,并作图表示2 试绘出其色散曲线形状,并说明存在截止频率max ω的意义四 半导体材料的价带基本上填满了电子(近满带),价带中电子能量表示式())(10016.1234J k k E ⨯-=,其中能量零点取在价带顶。

这时若cm k 6101⨯=处电子被激发到更高的能带(导带)而在该处产生一个空穴,试求此空穴的有效质量,波矢,准动量,共有化运动速度和能量。

(已知s J ⋅⨯=-3410054.1 ,23350101095.9cm sw m ⋅⨯=-)五金属锂是体心立方晶格,晶格常数为5.3aÅ,假设每一个锂原子贡献一个=传导电子而构成金属自由电子气,试推导K=时,金属自由电子气费米能表T0示式,并计算出金属锂费米能。

(已知J⨯=)1-.110602eV19六 二维自由电子气的电子能量表达式是()m k m k E y x 222222 += 当z k 方向有磁场入射时,电子能量本征值将为一系列Landau 能级。

Landau 能级是高简并度分立能级,试导出其简并度。

一九九八年研究生入学考试固体物理试题一 简要回答以下问题(20分)1 试绘图表示NaCl 晶体的结晶学原胞、布拉菲原胞、基元和固体物理学原胞。

中国科学院研究生院研究生课程中英文对照

中国科学院研究生院研究生课程中英文对照
Theory of the sol理分析方法
Analytical methods in modern solid state physics
59
介观物理与纳米电子学导论
Introduction to mesosocopic physics and nanoelectronics
10
原子分子光谱与结构理论
Theory of atomic and molecular spectra and structure
11
团簇和纳米材料的分子设计原理
Principle of the molecular design of clusters and nanomaterials
12
半导体器件物理
53
基元反应动力学
Elementary reaction kinetics
54
量子场论
Quantum field theory
55
量子统计
Quantum statistical mechanics
56
凝聚态物理导论
Introduction to condensed matter physics
57
固体理论
33
生化生产工艺学
Biochemical process technology
34
环境催化
Environmental catalysis
35
基因工程原理
Principles of genetic engineering
36
肿瘤细胞生物学
Tumor cell biology
37
生物化学实验原理与技术
Principle and technique in the experiments of biochemistry

中科大高等固体物理维度公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

中科大高等固体物理维度公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
The Nobel Prize in Physics 1998
for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.
Robert B. Laughlin(1950)
Horst L. Stormer(1949)
换如F证e实rm:i能级处于能隙中 GH
ec n( F )
B
无外磁场,
g
(
E
)=
m
2
2
加磁场 Landau能级
简并度c g( E )
eB hc
如电子占据 i个Landau能级:
n ieB hc
RH (i )
1 GH
h e2i
第19页
应用: (a)电阻原则
自1990年起,电阻标准:h 25812.806(精度~2 108 ) e2
v 1 / 3 FQHE 态. 绿球代表被暂时冻结电子, 蓝色为代表性
电子电荷密度, 黑色箭头代表磁通线.
第26页
同 IQHE一样, Fermi 能级处于能隙位置时, 出现FQHE 平 台. 不同之处于于IHQE能隙起源于单粒子态在强磁场中 量子化, 而FQHE能隙起源于多体关联效应.
Haldane 和 Halperin, 利用级联模型, 指出Laughlin 态准粒 子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从 1/3 态出发, 加入准粒子造成 2/5态, 加入空穴造成2/7态. 准粒子由这 些态激发出来并凝聚为下一级态 .
,i
为整数, 相应于占满第 i
个Landau能级,
精度大约为5ppm.
3, 台阶处纵向电阻为零.

中国科学与技术大学凝聚态物理复试

中国科学与技术大学凝聚态物理复试

中科大凝聚态物理专业复试笔试试卷(完整版)作者:彭越一、固体物理部分1.名词解释:1)布洛赫定理2)声子态密度2.二维立方布喇斐点阵如下图:1)画出原胞,基矢,并写e出基矢的矢量表达式;2)画出倒格子点阵,倒格子基矢,倒格子原胞,并写出倒格子基矢的表达式;3)画出第一布里渊区,并·指出第一布里渊区边界和布拉格衍射的关系。

3.已知紧束缚近似下的能带公式为:n R k i ns at J J k E ∙∑--=e )(0ε(n 为近邻原子)1)写出体心立方晶格的s 能带表达式;2)给出[100]方向的E-k 关系式,并画图;3)求出带顶和带底电子的有效质量。

4.对于掺杂的金属和掺杂的半导体,二者的电阻率随温度的变化是怎样的?请给出二者物理上的解释。

二、大学物理实验部分1.请画出惠斯通电桥侧电阻实验中的电路图,并指出在什么情况下电桥平衡。

如果被测电阻的阻值不能改变,问可以用什么方法测得该电桥的灵敏度。

2.写出下面几个物理实验在改变我们对世界的认识中起到的重大作用(只要写出作用,不用写具体的实验过程)1)卢瑟福等人的α粒子散射实验:2)密立根油滴实验:3)迈克尔逊—莫雷实验:3.在测量氢原子的光谱实验中如何才能区分那些光谱是氢原子发出的,那些是氢分子发出的?三、理论物理部分1.一个刚体是由一个平面S和xoy、yoz、zox三个平面为成的在第一挂限的部分,请给出转动惯量张量的表达式,并写出惯量主轴。

(这个内容在科大出版社杨维弘的《力学》中有关刚体转动的部分有涉及。

原试卷中该平面在xyz轴的截距是给出具体数值的,但我忘掉了,大家自己写个差不多合适的练练吧)2.(量子力学题,有关高等量子力学中的Dirac 矩阵和电子自旋波函数,基本可以放弃,我也记不得了......)3.对于有N 个氧气分子组成的系统,回答下面问题:1)在常温下,该系统的内能,焓,等容和等压热容量各为多少;2)如果温度为几千K ,那么该系统的内能,焓,等容和等压热容量又该为多少。

中国科学技术大学研究生院科学岛分院

中国科学技术大学研究生院科学岛分院

中国科学技术大学研究生院科学岛分院博士研究生课程设置中科院合肥物质科学研究院研究生处二〇一六年七月目录一、课程说明 (3)二、各学科专业课程设置 (5)专业名称:材料物理与化学(080501) (5)专业名称:等离子体物理(070204) (5)专业名称:光学(070207) (6)专业名称:核能科学与工程(082701) (7)专业名称:环境科学与工程(083000) (8)专业名称:计算机应用技术(081203) (9)专业名称:检测技术与自动化装置(081102) (10)专业名称:精密仪器及机械(080401) (10)专业名称:模式识别与智能系统(081104) (11)专业名称:凝聚态物理(070205) (12)专业名称:生物物理学(071011) (12)一、课程说明博士生学位课程由公共必修课、专业学位课和必修环节三部分组成,总学分应不低于23学分。

其中公共必修课(综合英语、学术交流英语和中国马克思主义与当代)以课堂教学为主,由科学岛分院统一组织;专业学位课学习可采用读书笔记报告或笔试等多种形式,由导师和导师组负责。

博士生学位课程学习时间可根据科研工作需要确定,一般应安排在第一学期,最迟应在入学后的一年半内完成。

申请博士学位研究生通过全部学位学习课程考试,成绩合格者方可参加博士学位论文答辩。

考试成绩不合格者不得补考,并取消学籍。

专业学位课程设置应注重综合性、前沿性和交叉性,以综述性前沿讲座为主,其内容包括两方面:一方面是拓宽专业基础所需要的理论和实验课程,另一方面是为进入学科前沿,结合研究课题所需阅读的专著、文献和必须掌握的新理论,新方法等。

对于学科交叉或所学专业,研究方向改变的博士生,必须补充学习2-3门本专业或相关专业的基础理论或专业课程。

课程的选择和内容应注意与硕士学位课程的衔接,在硕士学位课程的基础上拓宽加深。

专业学位课的学习方式主要是在导师指导下,通过阅读大量的文献、专著,撰写读书报告的方式来完成;考试须由科学岛分院组织,三位研究员(或相当的专业技术职务)组成的考试委员会主持。

中科大高等固体物理4--维度

中科大高等固体物理4--维度
v1/3FQHE 态. 绿球代表被暂时冻结的电子, 蓝色为代表
性电子的电荷密度, 黑色箭头代表磁通线.
同 IQHE一样, Fermi 能级处于能隙位置时, 出现FQHE 平台. 不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁 场中的量子化, 而FQHE的能隙来源于多体关联效应.
Haldane 和 Halperin, 利用级联模型, 指出Laughlin 态的 准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态, 如从 1/3 态 出发, 加入准粒子导致 2/5态, 加入空穴导致2/7态. 准粒 子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态 .
e2 ri rj
在超强磁场下, 电子位于第一Landau能级. 其单粒子波函数为
mz*mex 2m p 1 |m z|!(2/4Ic 2),zxiy
这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动
m |z ||2 |m 2 lc 2 (m 1 )
Laughlin 建议了如下形式的波函数
The Nobel Prize in Physics 1998
for their discovery of a new form of quantum fluid with fractionally charged excitations.
Robert B. Laughlin(1950)
Horst L. Stormer(1949)
The Nobel Prize in Physics 1985
K. von Klitzing(1943~)
for the discovery of the quantized Hall effect.
实验设置示意图
实验观测到的霍尔电阻
1, 霍尔电阻有台阶,
2, 台阶高度为

“双碳”背景下新工科“固体物理”课程教学改革探索

“双碳”背景下新工科“固体物理”课程教学改革探索

“双碳”背景下新工科“固体物理”课程教学改革探索作者:高健赵晟杨来源:《黑龙江教育·高校研究与评估》2024年第02期摘要:新能源材料的研发是实现“碳中和—碳达峰”的重要环节,“固体物理”是研究材料结构—性能关系、微观结构对宏观性能影响的物理专业基础课程,对加速新能源材料研发具有重要作用。

基于新工科发展要求,将“固体物理”课程引入工科本科生培养体系,首先需要解决“固体物理”理论性较强的难点。

在教学实践基础上,提出融入量子力学基本知识,利用可视化软件、计算软件和数据库等辅助教学手段,开展“翻转课堂”引入科技前沿,从而提高教与学的效率。

关键词:固体物理;教学模式;软件;实践;翻转课堂中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1002-4107(2024)02-0088-04“固体物理”是研究固体的物理性质、微观结构、固体中各种粒子运动形态和规律及它们相互关系的物理专业传统核心课,是各种材料科学的学科基础[1]。

“碳中和—碳达峰”和“中国制造2025”等国家计划对新能源材料的研发速度提出了新的挑战。

美国与中国先后开启“材料基因组计划”和“材料科学系统工程”[2-4],将基于“固体物理”的理论计算模拟贯穿于新能源材料研发的各个步骤,通过数据挖掘探寻材料结构和性能之间的关系,显著提高了新材料的研发效率。

为了响应新一轮科技革命与产业变革,优化人才培养模式,构建跨学科、创新型和具有前瞻性的人才培养体系显得尤为重要。

为了实现这一目标,2017年以来,新工科建设迅速推进,在传统学科的基础上进行学科融合,对理工复合型课程建设提出了新的要求[5]。

对于新能源材料的研发而言,要求新型人才既具备宽厚的理论基础、前瞻的科技视野,又了解先进工业研发和生产技术,正是基于这一需求,在新工科人才培养体系中引入“固体物理”课程成为当务之急[6]。

然而,面向工科背景学生开设物理专业课程是一个挑战。

在教学实践中,传统的物理教学方法,即基于量子力学中的理论,进行严谨的数学和物理公式推导的这一过程,对于工科背景的学生来说过于抽象。

中科大研究生课程 高等固体物理 project 六角二维ising模型的重整化群计算

中科大研究生课程 高等固体物理 project 六角二维ising模型的重整化群计算

SS
i
j
S kT
B i
d
B
N
i
(6)
其中 K 表示参数空间的一个矢量.如果整个系统划分成集团还需引入表示每个集团的内部自旋自由度 σI. 因此配分函数可写成
Z ( K , N ) e H ( K ,{Si }, N )
Si
{SI ,

I}
e H ( K ,{Si }, N ) e H ( K ,{SI }, NL
矩阵 A 的本征矢可以写成 uL u (16) 这里 是本征值矩阵
u 是右本征矢 u u 1 u2
1 0
0 2
(17)
(18)
在重复进行重整化群变换下,那些沿着本征曲线的运动轨迹为: (19) unL,1 (1 )n u1 (20) unL,2 (2 )n u2 当 >1 时,这些点远离不动点,当 <1 时靠近不动点.大于 1 的 为有关本征值,相应的本征矢可看做是其中的一 个物理参量(就如 ε,B),它代表系统相对于不动点的距离.参数 p 和 q 可以由相应的本征值得出.自由能密度的奇异部 分可通过本征矢 ui 和本征值 i 表示:
V 0 3kf (k ) S S 7hf (k ) S I'
IJ I 1
(38)
由此得到六角晶格的重整化变换:
k ' 3kf 2 (k ) h ' 7hf (k )
(39)
临界点对应与重整化变化不稳定不动点,求解不动点方程式(39),可以得到不动点:
f (k )
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 6e6 k 6e 4 k 6e 2 k 18e 2 k 9e 4 k 2e 6 k 16

二维晶格色散关系和态密度的紧束缚模型计算

二维晶格色散关系和态密度的紧束缚模型计算

二维晶格色散关系和态密度的紧束缚模型计算
王妮娜;路洪艳;魏梦俊;徐慧;刘晓静;张娇娇;胡新春
【期刊名称】《淮北师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2014(035)004
【摘要】文章利用紧束缚模型计算了二维正方、三角、六角格子色散关系。

对于
正方和三角格子,主要考虑电子在最近邻格点上的跳跃情况。

对于六角格子,以石墨烯为例,考虑电子只在最近邻格点上跳跃以及同时考虑电子在最近邻和次近邻格点上跳跃两种情况。

对于以上3种格子的色散关系,利用Matlab软件进行图形化,并用Fortran软件编程计算相应的态密度,计算结果对理解不同晶格的电学性质提供理论基础。

【总页数】5页(P12-16)
【作者】王妮娜;路洪艳;魏梦俊;徐慧;刘晓静;张娇娇;胡新春
【作者单位】淮北师范大学物理与电子信息学院,安徽淮北235000
【正文语种】中文
【中图分类】O481
【相关文献】
1.二维晶格色散关系和态密度的紧束缚模型计算
2.二维声子晶体色散关系的大尺度晶格动力学计算
3.计及次近邻作用二维单原子正方晶格振动的色散关系
4.二维双
原子正方晶格振动的色散关系5.具有在位势的二维单原子晶格的色散关系
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P6mm结构二维平面空间群的IR矩阵和IR基的计算

P6mm结构二维平面空间群的IR矩阵和IR基的计算

P6mm结构二维平面空间群的IR矩阵和IR基的计算成泰民;祁烁【摘要】利用量子力学中完备算符集的本征函数法计算P6mm结构二维平面空间群的IR(不可约表示)矩阵.同时给出P6mm结构二维平面空间群IR基的计算,以及其IR基之间相对相因子的处理.所用本征函数法的特点是利用量子力学中Dirac的完备算符集理论作为群表示论的基础,其理论本身简明易懂,方法简单,使用方便,较之传统的群表示论有很多优点.【期刊名称】《沈阳化工大学学报》【年(卷),期】2011(025)001【总页数】5页(P75-79)【关键词】平面空间群;不可约表示矩阵(IR矩阵);不可约基(IR基);本征函数法;完备算符集【作者】成泰民;祁烁【作者单位】沈阳化工大学,数理系,辽宁,沈阳,110142;沈阳化工大学,数理系,辽宁,沈阳,110142【正文语种】中文【中图分类】O152.6;O413.1石墨烯具有原子级的厚度、优异的电学性能、出色的化学稳定性和热力学稳定性,这些性能使石墨烯在未来纳米电子学中具有重要的应用前景,并已成为目前凝聚态物理和材料科学研究的热点[1].石墨烯属于P6mm结构二维平面空间群[2-4].在与完整晶体相关问题的研究中,Hamilton量在空间群算符的作用下是不变的,因此空间群的不可约表示指标可用来标志一个粒子或准粒子在晶体中的能级,标志晶体中的电子能带和声子色散的曲线[5].此外掌握了空间群的IR矩阵及其IR基的性质,就能了解Hamilton量本征解的一些性质,并大大简化Hamilton量本征态的求解过程.此外,在空间群的C-G系数计算中,空间群的IR矩阵也极其重要. Berenson和Birman(1975)[6-7]以及其他人对空间群C-G系数也都做过研究,但迄今为止,还只计算过极少数情形下的空间群C-G系数.Birman(1974)[6-7,10]预言,一旦空间群C-G系数可以容易的得到,它的很多重要应用会接踵而来.例如晶体中拉曼散射张量,形变效应散射张量,外电磁场诱导下的形变散射张量,红外吸收中高阶矩阵展开式,动力矩阵的对角化等的计算,均与空间群的C-G系数密切相关[6-10].本文利用陈金全的本征函数法[6-7,11],计算了二维平面空间群P6mm结构的第一布里渊区的主要对称点、线上,与波矢群对应的表象群的不可约表示.1 计算方法分别属于 G(空间群) ⊃G(K)(波矢群)⊂T(格群)的分类基.规范变换后所得到的表象群G'K的群元如下:表象群G'K的群元之间乘法满足其中,其中,m-1;ai(i=1,2,3)是晶体的正格子基矢.从而可知:其中对于表象群G'K,对应η'12=1(即n=0)的群元Ri作gl个基矢.由布洛赫定理可得:其中,uK=ei(K+Km)·r,i=1,2,…,gl.gl与波矢群G(K)的点群G0(K)的阶数相同.这些gl个基矢构成G'K的一个表示空间L(K)(即波矢群G(K)的点群 G0(K) 的内禀表示).D(K) =,其中N'是表象群G'K的线性独立类算符的个数,D(K)为表象群G'K在空间L(K)中的表示矩阵,D(v,K)为表象群G'K的IR矩阵.因此有其中hv是不可约表示D(v,K)的维数.为做出 gl维空间 L(K)的 CSCO-Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ(第一、第二、第三类完备算符集),引入合适的群链G'k⊃G'(s),及其对应的内禀群链'K⊃'(s),使 (C,C(s)(s)) 构成 L(K) 的 CSCO-Ⅲ.CSCO-Ⅲ的共同本征函数就是G'K⊃G'(s)分类基(v,K)a和'K⊃'(s)分类基(v,K)b.即其中,把(5)式代入(4)式得其中求解(6)式,并利用归一条件,可得设为表象群G'K的广义投影算符波矢群G(K)的IR基可写成将(7)式代入(8)式,并利用(3)式所得结果与(5)式对比可得但是从(9)式求出的IR矩阵未必正确.对(4)式中本征矢量的位相调节后才能得出正确的IR矩阵.调节本征矢量位相的步骤如下:(1)幺元前的系数必须是正数以保证Dv,K({E|0})=I(单位矩阵).(2)内禀量子编号为b=1的IR(v)基中除含幺元的IR(v)基外其余的IR(v)基可以任意选取(即相因子任意选取).(3)对于b≠1的位相,可由中某一Ri在b=1的IR(v)基中的矩阵元对比(9)式和(10)式可确定b≠1时的位相.将空间群 G按波矢群G(K)的左陪集{βσ|V(βσ)}分解:空间群G与波矢群G(K)的不可约表示基之间的关系为:其中,Kσ=βσK,q个波矢构成一个波矢星*K=(K1,K2,…,Kq).且荷载空间群G的一个 qhv维不可约表示矩阵 IRD(v,*K),简记D(v,K).其中b,a=1,2,…,hv;其中从(11)式可知,Rτσ∈ G(K)或Rτσ∉G(K).当Rτσ∈G(K)时,(13)式才不为0.因此,当Rτσ∉G(K)时,Rτσ作用在上必将改变其波矢K.由于K标志平移群的IR基,而属于不同IR基之间是正交的.因此,此时(13)式等于0.未规范变换的表象群GK与规范变换的表象群G'K有相同的IR基,其IR矩阵之间的关系为根据(13)式、(14)式和K·(αVσ-Vτ+ a)=βτK·(αVσ-Vτ+a)可得其中Vτασ是与αβσ相关的非初始平移.将(16)式写成矩阵形式:其中D(τσ)≡D(v,K)(Rτσ),其维数为hv的hv× hv矩阵,q=g/gl,g为空间群的点群G0的阶数,gl为波矢群G(K)的点群G0(K)的阶数.由于[{E|Rn},{γ|V(γ)}]=0(即对易)波矢群G(K)与未规范变换的表象群GK的不可约表示之间的关系由(15)式、(18)式可知,波矢群G(K)与G'K的不可约表示之间的关系根据(18)式、(19)式可知只要是已知D(v,K)({γ|V(γ)}),空间群的IR矩阵就能算出.因此,本文只讨论D(v,K)({γ|V(γ)}).2 计算结果考虑到篇幅,本文只给出石墨烯结构(P6mm)第一布里渊区主要对称点K波矢群的二维平面空间群的IR基与IR矩阵.二维平面空间群P6mm对应的点群是6mm(熊夫利符号C6v),点群C6v的群元为:其中R1={E|0},R2={C6|0},(1)BZ区对称点 K点的波矢群的点群G0(KK)与3mm(熊夫利符号C3v)同构.C3v的群元为:C3v群的分类:{E|0};{C3|0}、{|0};共3类.C3v群的阶数为6,所以因此,BZ区对称点K点的波矢群的点群G0(K)以及其表象群G'K与C3v的不可约表示(IR表示)中1个是二维表示、2个是一维表示.K点波矢群左陪集为{{E|0},{C6|0}}.即空间群的阶数除以K点的波矢群的阶数等于2,且左陪集为{{E|0},{C6|0}},并把它左乘K点的波矢群就可得石墨烯结构空间群.即q= g/gl=12/6=2,βσ={E,C6}(其中σ=1,2,…,q).(2)BZ区的对称点K点的波矢群的表象群G'K是三重覆盖群(阶数为18).因为 KK=所以m=3.因此,n=0,1,2.由K点的表象群与在BZ区的对称点K点的波矢群的点群关系=e2πni/mRi=η'12Ri可知:虽然K点的表象群G'K是三重覆盖群,但线性独立的类算符只有3个与K点的波矢群的点群类算符一致.由C3v的群乘表及其性质可知,的本征值为(3,-3,0),CSCO-Ⅱ(C(s) = ),,即的内禀群).本文只讨论二维不可约表示,所以CSCO-Ⅰ的本征值对应0.由此可知,对称点K的表象群G'K的不可约表示相关的、简并破缺的本征矢量为:利用(9)式、(10)式、(13)式、(16)式、(17)式、(20)式可得在对称点K,当CSCO-Ⅰ的本征值为0时,二维平面空间群P6mm的IR矩阵如下:3 讨论本文所采用的量子力学中完备算符集的本征函数法,对于处理晶体对称性相关的空间群的特性非常简便.并且本文所计算的相对于对称点K的二维平面空间群P6mm 的IR基满足正交归一性.IR基所张开的空间的维数满足qhv=(g/ gl)hv关系.二维平面空间群P6mm的IR矩阵也满足(17)式.参考文献:【相关文献】[1] Castro Neto A H,Guinea F,Peres N M R,et al.The Electronic Properties of Grapheme[J].Rev.Mod.Phys.,2009,81(1):109-162.[2]俞文海.晶体结构的对称群[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1990:105-147.[3]肖序刚.晶体结构的几何理论[M].北京:高等教育出版社,1960:95-124.[4]本斯G,格莱A M.固体科学中的空间群[M].俞文海,周贵恩,译.北京:高等教育出版社,1984: 182-183,261-269.[5]琼斯H.晶体中的布里渊区和电子态理论[M].朱兰,杨顺华,译.北京:科学出版社,1965:126-136.[6]陈金全.群表示论的新途径[M].上海:上海科学技术出版社,1984:373-379.[7] Chen Jin-quan.Group Representation Theory for Physics[M].Beijing:World Scientific,1987:283-352.[8]徐恩生,成泰民.关于空间群C-G系数及IR表示的计算中位相因子的处理方法[J].辽宁大学学报(自然科学版),2003,30(2):113-115.[9]成泰民,古太成.结构空间群的IR矩阵和IR基的计算[J].辽宁大学学报(自然科学版),1999,26(2):123-127.[10]古太成,成泰民结构空间群C-G系数的计算[J].光谱学与光谱分析,2000,20(1):13-22.[11]曾谨言.量子力学(上册)[M].北京:科学出版社,1995:109-159.。

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H'
H kBT
'
(4)
然后,配分函数可以表示成:
Z eH
(5)
对于 ising 模型而言,系统的哈密顿量如(1)所示. 其中有效哈密顿量是:
H ' ( K ,{Si }, N ) K1 Si S j K 2 Si
(i. j ) i
CN /2
N
J k BT
CN /2 (i. j )
(34)
同样,当 S I 1 时,格点自旋的平均值为:
'
S2I ' e H0 ' S2I e H0
{ I } { I }
e12 k
e12 k 4e6 k 2e4 k 4e2 k 3e4 k 6 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16
H k
Sq N / 2 ij

N' I 1
Si S j h S i H 0 V
i 1
N
(24) (25)
H 0 k [(S7I )(S1I S2I S3I S5I S6I )] (S1I S2I S2I S3I S3I S4I S4I S5I S5I S6I S6I S1I )
*
K K K (13) 假设 K 与 K L 是小量,即可得到线性变化 K L A K (14)
其中
K1L K 1 A K 2 L K1
K1L K 2 K 2 L K 2 K1 L K1*
(15)
K 2 L K 2*
Z e

H k BT
(3)
物理体系通常用哈密顿量描述,哈密顿量本身又由一些参数描述,重整化群作用的对象就是这个哈密顿量的参数 组成的空间,重整化群变换实际上包括两步:一是进行粗粒平均,降低分辨率,如用 l× l 的自旋集团来代替单个自旋;第 二步再将长度和自旋重新标度,使哈密顿量又回到原来的形式,只改变参数. 为了简化计算,我们定义有效哈密顿量
gs ( u1 , u2 , u3 , ) Ld gs (1 u1 , 2 u2 , 3 u3 , ) 令 u1 , u2 B
从前面的等式中,我们可以得到
(21)
ln 1 d ln L ln 2 q d ln L p
(22) (23)
这里, p 和 q 可由相应的本征值给出,因此相临界指数就可得到. 在重整化群理论中,参数空间中包括不动点 K*在内的这样的一个特殊的面称为临界面,或者说是一个特殊的子空 间,它具有这样的性质:临界面上的任何点,在反复进行重整化群交换下,最终将趋于不动点 K*.而临界指数由不动点领 域 A 的变换性质决定.因此,属于同一临界面上的点都有相同的临界行为,如果不同的系统,它们的临界点落在同一临 界面上,那么它们就具有相同的临界指数,亦即属于同一个普适类.由此可见,在重整化群的理论中,普适性变得十分自 然,不动点可以不止一个,不同的不动点对应不同临界行为,整个参数空间可以分成若干区,第 n 个区内的代表点经过 重整化变换后趋向该区的不动点,不同的普适类对应不同的区.因此一个区的点所对应的物理体系都具有相同的临界 指数. 二.六角晶格集团的 RSRG 法求解 现取六角晶格为 kadanoff 集团,如图 5.1 所示,两近邻集团中心之间的最小距离为 L = 7a;两集团相互作用如图 5.2 所示,体系有效哈密顿量可以写成
(8)
K 与 KL 的关系可以由以下变换表示: KL T (K ) (9) 一般说来,重整化群变换 T 是一个非线性变换.而重整化群的含义也在于,作了一次尺度变换和粗粒平均化后,从 原来的格点自旋系统变成集团自旋系统,后者的哈密顿量仍保持着跟原来一样的形式,因此我们可以重复这个过程将 集团划分成更大的集团. 如果系统不是处于临界态,则关联长度是有限的,将集团被划分成更大的集团时有效关联范围将收缩,这就意味着 系统将远离临界点.反过来,如果系统原来是处于临界点,则关联长度无穷大,经过变换后仍处在临点,即系统达到一个 不动点.在不动点上,参数空间矢量 K 不再因为变换 T 而变化,也即临界点满足条件
矩阵 A 的本征矢可以写成 uL u (16) 这里 是本征值矩阵
u 是右本征矢 u u 1 u2
1 0
0 2
(17)
(18)
在重复进行重整化群变换下,那些沿着本征曲线的运动轨迹为: (19) unL,1 (1 )n u1 (20) unL,2 (2 )n u2 当 >1 时,这些点远离不动点,当 <1 时靠近不动点.大于 1 的 为有关本征值,相应的本征矢可看做是其中的一 个物理参量(就如 ε,B),它代表系统相对于不动点的距离.参数 p 和 q 可以由相应的本征值得出.自由能密度的奇异部 分可通过本征矢 ui 和本征值 i 表示:
I 1
N
将(30)代入(29)有:
A ' e H0 'e H0
I I
64
(31)
{ I }
I 1
对于六角晶格来说,内部自由度 J 64 ,
I 1
' 是对 64 个态求和,A 的计算结果为:
'
64
A (e12 k 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16) N 现在计算 V 0 ,由(26)可得:
(36)
(35)
由(34)(35)两式可得:
S2I
令:
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 S I' 6k 4k 2k 2 k 4 k 6 k 6e 6e 6e 18e 9e 2e 16
(37)
(32)
V 0 3k S S 7h S1I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ IJ I 2 J 6 I
N
(33)
当 S I 1 时,格点自旋的平均值为:
'
S ' e
I 2 { I }
H0
{ I }
'S e
I 2
H0

e12 k
e12 k 4e6 k 2e4 k 4e2 k 3e4 k 6 6e6 k 6e4 k 6e2 k 18e2 k 9e4 k 2e6 k 16
以上自旋向上时,则规定该集团自旋向上即 S J 1 ,有 4 个以上自旋向下时,则规定该集团自旋向下即 S J 1 ,集
'
'
团内部自由度 J 2 64 .
6
部分迹定义式:
( I )
( P.T .) e H0 V A eV 0
V
(27)
当 V 很小时, e 0 1 V 0 从而有
f (k )
e12 k
e12 k 4e6 k 2e 4 k 4e 2 k 3e 4 k 6 6e6 k 6e 4 k 6e 2 k 18e 2 k 9e 4 k 2e 6 k 16
2 ' I ' J N'
将(37)(36)两式代入(33)式得到:
K * T (K * )
(10)
T 就叫做重整化群,实际上,它应该是个半群,因为它不存在逆元素. 对于 ising 模型而言,不动点 K*是
K * ( K1* , K2* )
(11) (12)
为了确定参数空间矢量 K 在不动点 K*附近的行为,我们将 K*进行线性化变化.令
KL KK K *
V k ( S2I S6J S3I S6J S3I S5J ) h (S1I S2I S3I S4I S5I S6I S7I )
IJ I
(26)
3
2
1
7
4
6
5
2 7 1
3
4
6
5
图 一 六角晶格集团示意图(左)与两自旋集团相互作用示意图(右) 其中 H0 为集团内部自旋相互作用能,V 为集团与集团之间以及集团与外磁场 B 之间相互作用能. 这里六角晶格集团自旋规定采用多数法则,即集团自旋的取向由该集团内占多数的自旋取向决定.六角晶格共有 7 个格点,每个格点有+1 和-1 两种自旋状态,这样集团共有 27=128 种可能的状态.在所有的状态中,有 4 个
PROJECT5:六角二维 ISING 模型的重整化群计算 黄晓 SC13014127 中国科学院上海硅酸盐研究所 专业材料物理与化学 一.重整化群方法 临界现象的标度理论建立了临界指数之间的一些关系标度律,但并不能解决计算临界指数的问题;而且标度理论 所基于的标度假设的物理基础也有待从微观上论证.七十年代初,Wilson 在标度理论和普适性的基础上,建立了重整 化群理论,在统计物理的基础上论证了标度假设,提供了从微观上计算临界指数的系统方法;重整化群的基本思想是: 在临界点关联长度趋于无穷大,因此体系应该具有尺度变换下的不变性,由此可以不直接计算配分函数,而是找尺度变 换下的不变性,从而确定临界点并计算临界指数.下面介绍坐标空间的重整化群(position space renormalization group, 简称 PSRG),也称实空间重整化群(real space renormalization group,简称 RSRG). 对于一个具有最近邻相互作用的 d 维的伊辛模型而言,其哈密顿量可表示成
SS
i
j
S kT
B i
d
B
N
i
(6)
其中 K 表示参数空间的一个矢量.如果整个系统划分成集团还需引入表示每个集团的内部自旋自由度 σI. 因此配分函数可写成
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