三重积分习题ppt

1 x5 y6dxdy1
4 Dxy
4
1
d
x
x
x5
y6d
y
0
0
1 364
习题10-3
第7
题
8.
计算三重积分 zdxdydz. 其中 是由锥面
z h x2 y2 R
与平面z h(R0, h0)所围成的闭区域。
分析 由于被积函数 f(x, y,z)z只与变量 z有关, 且积分区域 被竖坐标为 z的平面所截的平面闭区域为圆域 Dz : x2y2 Rh22z2 故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；
a
20/37
y x
x
-
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4. 计算三重积分 xy2z3dxdyd。z 其中 是由曲面 zxy 与平面 yx，x1及 z 0所围成的闭区域。
分析: 由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、 柱面 坐标和球面坐标计算的特点, 故本题考虑利用直角坐标来计算.
解: (1) 求 （如图）在平面 xo上y 的投影区域为 D xy
D x: y 0yx ,0x1
(2)
确定上顶曲面
及下顶曲面
1
。2
因为当(x, y)Dx时y 满足 x ，0 y ,0
zxy0 。因此 1 :zxy 2 :z0
z zxy
o
(3) 转化为先对 z后对 x, y的三次积分计算：
y yx
x
xy2z3dxdydz
x
dxdy
yxy2z3dz
0
Dxy
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 { ( x ,y ,z )|( x ,y ) D z ,0 z 2 }
oD
y
由于当 0z1 时， Dz: x2y2z2；
x
而当 1 z 2 时， D z: x2y22z2。
-
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故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分：12
b
o
.
a
x
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
及z0所围成的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
z
x2 y2
a2
b2
1
1(4)题
y
cz=xy
b
o z=0
a
.
x
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
常见的二次曲面
1. 柱面
2. 锥面
3. 椭球面
4. 双曲面
5. 抛物面
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
:zx与 y xy1,z0所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
:zx与 y xy1,z0所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
习题10-3 第1(1)题
计I 算 f(x,y,z)d xd yd z
:zx与 y xy1,z0所围成的区域 。
。
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
z =0
1
.
x
xy
1 1x xy
Idxdy0
f(x,y,z)d z d x 00
1zz2dz 2z(2z2)dz
0
1
1z41(z21z4) 2
40
41 2
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 : z2 2 ,0 1 ,0 2
故有
zdxdydz 2d 1d 22 zdz
0
0
Байду номын сангаас
2 11(222)d 02
(2 1 4)1
20 2
注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z dz
0 Dz
0
h2
R 2
h2
h z3dz 1 R 2 h2
0
4
解法2：利用柱面坐标计算。
在柱面坐标下 :hzh ,0R ,02
R
故有
zdxdydz
2
d
0
R
d
0
R hhzdz20R1 2(h2R h222)d
(1h22 2
4hR224)0R
1 4
R 2h2
及z0所围成
的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
1(4)题
z
cz=xy
.
b
o
a
y x
z
用哪种坐标？ 直角坐标 cz=xy
是曲顶柱 由体,
xy
上顶 ： z c
.
b
o
a
下底 ： z = 0
Dxy:
x,
y,
x2 y
a
b
1
围成
y
xy
b
Idxdyc f(x,y,z)dz
D
a
bax
xy
Dxy
dxa dyc f(x,y,z)dz 0
其中
1 { ( x , y , z ) |( x , y ) D z , 0 z 1 }
2 { ( x , y , z ) |( x , y ) D z , 1 z 2 }
于是，得
zdxdydz zdxdydzzdxdydz
1
2
1
2
0zdzdxdy1 zdzdxdy
Dz
Dz
考虑到积分区域在xo坐y 标 面上的投影区域为圆域
z
Dxy: x2y2R2
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 { x ,( y ,z ) |( x ,y ) D z ,0 z ，h }
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x2y2 Rh22，z2 故
zdxdydz
d y f(x,y,z)d z 0
D
习题10-3
第
1(2)题
z
1
Dxy 0
y
1
x
习题10-3
第
1(3)题
计I算 f(x,y,z)d xd yd z:czxy(c0),a x2 2b y2 21
及z0所围成的在区 第域 习一 题。 10卦 -3 限第的
z
x2 y2
a2
b2
1
1(4)题
y
cz=xy
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
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9(2). 计算三重积分 zdxdydz, 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2x2 y2所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
z
2