§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
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3.4.3 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法
一般规定，若某极点的实部大于主导极点实部的 5~6 倍以上时，则可以忽略相应分量的 影响；若两相邻零、极点间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，则称该零、极点对为 “偶极子”，其作用近似抵消，可以忽略相应分量的影响。
在绝大多数实际系统的闭环零、极点中，可以选留最靠近虚轴的一个或几个极点作为主 导极点，略去比主导极点距虚轴远 5 倍以上的闭环零、极点，以及不十分接近虚轴的相互靠 得很近（该零、极点距虚轴距离是其相互之间距离的 10 倍以上）的偶极子，忽略其对系统 动态性能的影响。然后按表 3-7 中相应的公式估算高阶系统的动态性能指标。
=
Βιβλιοθήκη Baidu
lim(s
s→λ j
− λj )C(s) 是 C(s) 在闭环实极点 λj
处的留数。Bk
和 Ck
是与 C(s) 在闭环复数极点 −ξkωk ± jωk 1− ξk2 处的留数有关的常系数。对式（3-19）进行拉氏 反变换可得
q
r
∑ ∑ c(t) = A0 + Ajeλjt + Dk e−σkt sin(ωdkt + ϕk )
82
分量。此外，各瞬态分量的具体值还与其系数大小有关。根据部分分式理论，各瞬态分量的 系数与零、极点的分布有如下关系：①若某极点远离原点，则相应项的系数很小；②若某极 点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小；③若某极点远离零点又 接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起主 要作用。因此，距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称 相应极点为主导极点。
3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
3.4.1 高阶系统单位阶跃响应
高阶系统传递函数一般可以表示为
Φ(s)
=
M (s) D(s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
L L
+b1s + b0 +a1s + a0
m
K∏ (s − zi )
=
i=1
q
r
∏ ∏ (s − λj ) (s2 + 2ξkωk s + ωk2 )
σ1 σ3
⎟⎟⎠⎞
(σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 , F > 1.1σ1时)
84
85
j =1
k =1
（n ≥ m ）
（3-18）
式中， K = bm an ， q + 2r = n 。由于 M (s), D(s) 均为实系数多项式，故闭环零点 zi 、极
点 λ j 只能是实根或共轭复根。系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为
m
C(s) = Φ(s) 1 =
K∏ (s − zi ) i =1
=
3 + ln c1 C
（C < σ 1 ，σ % = 0时）
非振荡型 三阶系统
ts
=
3
−
ln⎜⎜⎝⎛1 −
σ1 σ2
⎟⎟⎠⎞
−
σ1
ln⎜⎜⎝⎛1 −
σ1 σ3
⎟⎟⎠⎞
(σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 )
ts
=
3
−
ln⎜⎛1 − ⎝
σ1 F
⎟⎞ ⎠
−
ln⎜⎜⎝⎛1 − σ1
σ1 σ2
⎟⎟⎠⎞
−
ln⎜⎜⎝⎛1 −
=
(s
+
383.693(s + 4.17) 4)(s2 + 6s + 25)(s +16)
可见，系统的主导极点为 λ1,2 = −3 ± j4 ，忽略
非主导极点 λ4 = −16 和一对偶极子（ λ3 = −4 ，
z1 = −4.17 ）。注意原系统闭环增益为 1，降阶
处理后的系统闭环传递函数为
Φ
(s)
+ ln c1 C
(σ % = 0时)
tp
=
α D
， c1
=
−⎜⎛ ⎝
A ⎟⎞ 2 ⎜⎛1− B⎠ ⎝
C F
⎟⎞ ⎠
，
c2
=
A B
C D
E F
σ%
= 100 ⎜⎛ C ⎝B
E F
e −σ 1t p
+ c1e − ct p
⎟⎞% ⎠
ts
=
3 + ln c2 σ1
(C > σ 1 ，σ % ≠ 0时）
ts
= 1.17
83
降阶前、后系统的阶跃响应曲线比较如图 3-26 所示。
系统名称
振荡型 二阶系统
表 3-7 动态性能指标估算公式表
闭环零、极点分布图
性能指标估算公式
tp
=
π D
，
σ % = 100e −σ1tp %
3 + ln⎜⎛ A ⎟⎞
ts =
⎝D⎠ σ1
tp
=
π
−θ D
，σ % = 100 E e−σ1tp % F
j =1
k =1
（3-20）
式中， Dk 是与 C(s) 在闭环复数极点 −ξkωk ± jωk 1− ξk2 处的留数有关的常系数； σ k = ξkωk ,ωdk = ωk 1 − ξk2
可见，除常数项 A0 = M (0) D(0) 外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组合，组合系数 即部分分式系数。模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以， 闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。当所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极
应该注意使简化后的系统与原高阶系统有相同的闭环增益，以保证阶跃响应终值相同。 例 3-9 已知系统的闭环传递函数为
Φ(s) =
(0.24s +1)
(0.25s +1)(0.04s2 + 0.24s +1)(0.0625s +1)
试估算系统的动态性能指标。 解 先将闭环传递函数表示为零、极点的形式
Φ(s)
3 + ln⎜⎛ A ⎟⎞⎜⎛ E ⎟⎞
ts =
⎝ D ⎠⎝ F ⎠ σ1
振荡型 三阶系统
tp
=
α D
，
c1
=
−⎜⎛ ⎝
A B
⎟⎞ ⎠
2
，
c2
=
A B
C D
σ % = 100 ⎜⎛ C e −σ 1t p ⎝B
+ c1e −ct p
⎟⎞% ⎠
ts
=
3 + ln c2 σ1
(σ % ≠ 0时)
ts
=
3
点均位于左半 s 平面时，随时间 t 的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶 跃响应最终稳定在 M (0) D(0) 。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零
的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。
3.4.2 闭环主导极点
对稳定的闭环系统，远离虚轴的极点对应的模态因为收敛较快，只影响阶跃响应的起始 段，而距虚轴近的极点对应的模态衰减缓慢，系统动态性能主要取决于这些极点对应的响应
∏ ∏ s
q
r
s (s − λ j ) (s2 + 2ξkωk s + ωk2 )
j =1
k =1
∑ ∑ = A0 + q
Aj
r
+
Bk s + Ck
s j=1 s − λ j k =1 s2 + 2ξkωk s + ωk2
（3-19）
式中， A0
=
lim sC(s)
s→0
=
M (0) D(0)
， Aj
=
383.693× 4.17 4 ×16
s2
+
1 6s
+
25
=
Φ(s)
=
s2
+
25 6s +
25
可以利用式（3-13）、式（3-14）近似估算系统
的动态指标。这里ωn = 5;ξ = 0.6 ，有
图 3-26 降阶前、后系统阶跃响应的比较
σ % = e−ξπ 1−ξ 2 = 9.5%
ts
=
3.5 ξωn
一般规定，若某极点的实部大于主导极点实部的 5~6 倍以上时，则可以忽略相应分量的 影响；若两相邻零、极点间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，则称该零、极点对为 “偶极子”，其作用近似抵消，可以忽略相应分量的影响。
在绝大多数实际系统的闭环零、极点中，可以选留最靠近虚轴的一个或几个极点作为主 导极点，略去比主导极点距虚轴远 5 倍以上的闭环零、极点，以及不十分接近虚轴的相互靠 得很近（该零、极点距虚轴距离是其相互之间距离的 10 倍以上）的偶极子，忽略其对系统 动态性能的影响。然后按表 3-7 中相应的公式估算高阶系统的动态性能指标。
=
Βιβλιοθήκη Baidu
lim(s
s→λ j
− λj )C(s) 是 C(s) 在闭环实极点 λj
处的留数。Bk
和 Ck
是与 C(s) 在闭环复数极点 −ξkωk ± jωk 1− ξk2 处的留数有关的常系数。对式（3-19）进行拉氏 反变换可得
q
r
∑ ∑ c(t) = A0 + Ajeλjt + Dk e−σkt sin(ωdkt + ϕk )
82
分量。此外，各瞬态分量的具体值还与其系数大小有关。根据部分分式理论，各瞬态分量的 系数与零、极点的分布有如下关系：①若某极点远离原点，则相应项的系数很小；②若某极 点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小；③若某极点远离零点又 接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。系数大而且衰减慢的分量在瞬态响应中起主 要作用。因此，距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称 相应极点为主导极点。
3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能
3.4.1 高阶系统单位阶跃响应
高阶系统传递函数一般可以表示为
Φ(s)
=
M (s) D(s)
=
bm s m an s n
+ bm−1sm−1 + + an−1sn−1 +
L L
+b1s + b0 +a1s + a0
m
K∏ (s − zi )
=
i=1
q
r
∏ ∏ (s − λj ) (s2 + 2ξkωk s + ωk2 )
σ1 σ3
⎟⎟⎠⎞
(σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 , F > 1.1σ1时)
84
85
j =1
k =1
（n ≥ m ）
（3-18）
式中， K = bm an ， q + 2r = n 。由于 M (s), D(s) 均为实系数多项式，故闭环零点 zi 、极
点 λ j 只能是实根或共轭复根。系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为
m
C(s) = Φ(s) 1 =
K∏ (s − zi ) i =1
=
3 + ln c1 C
（C < σ 1 ，σ % = 0时）
非振荡型 三阶系统
ts
=
3
−
ln⎜⎜⎝⎛1 −
σ1 σ2
⎟⎟⎠⎞
−
σ1
ln⎜⎜⎝⎛1 −
σ1 σ3
⎟⎟⎠⎞
(σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 )
ts
=
3
−
ln⎜⎛1 − ⎝
σ1 F
⎟⎞ ⎠
−
ln⎜⎜⎝⎛1 − σ1
σ1 σ2
⎟⎟⎠⎞
−
ln⎜⎜⎝⎛1 −
=
(s
+
383.693(s + 4.17) 4)(s2 + 6s + 25)(s +16)
可见，系统的主导极点为 λ1,2 = −3 ± j4 ，忽略
非主导极点 λ4 = −16 和一对偶极子（ λ3 = −4 ，
z1 = −4.17 ）。注意原系统闭环增益为 1，降阶
处理后的系统闭环传递函数为
Φ
(s)
+ ln c1 C
(σ % = 0时)
tp
=
α D
， c1
=
−⎜⎛ ⎝
A ⎟⎞ 2 ⎜⎛1− B⎠ ⎝
C F
⎟⎞ ⎠
，
c2
=
A B
C D
E F
σ%
= 100 ⎜⎛ C ⎝B
E F
e −σ 1t p
+ c1e − ct p
⎟⎞% ⎠
ts
=
3 + ln c2 σ1
(C > σ 1 ，σ % ≠ 0时）
ts
= 1.17
83
降阶前、后系统的阶跃响应曲线比较如图 3-26 所示。
系统名称
振荡型 二阶系统
表 3-7 动态性能指标估算公式表
闭环零、极点分布图
性能指标估算公式
tp
=
π D
，
σ % = 100e −σ1tp %
3 + ln⎜⎛ A ⎟⎞
ts =
⎝D⎠ σ1
tp
=
π
−θ D
，σ % = 100 E e−σ1tp % F
j =1
k =1
（3-20）
式中， Dk 是与 C(s) 在闭环复数极点 −ξkωk ± jωk 1− ξk2 处的留数有关的常系数； σ k = ξkωk ,ωdk = ωk 1 − ξk2
可见，除常数项 A0 = M (0) D(0) 外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组合，组合系数 即部分分式系数。模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以， 闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。当所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极
应该注意使简化后的系统与原高阶系统有相同的闭环增益，以保证阶跃响应终值相同。 例 3-9 已知系统的闭环传递函数为
Φ(s) =
(0.24s +1)
(0.25s +1)(0.04s2 + 0.24s +1)(0.0625s +1)
试估算系统的动态性能指标。 解 先将闭环传递函数表示为零、极点的形式
Φ(s)
3 + ln⎜⎛ A ⎟⎞⎜⎛ E ⎟⎞
ts =
⎝ D ⎠⎝ F ⎠ σ1
振荡型 三阶系统
tp
=
α D
，
c1
=
−⎜⎛ ⎝
A B
⎟⎞ ⎠
2
，
c2
=
A B
C D
σ % = 100 ⎜⎛ C e −σ 1t p ⎝B
+ c1e −ct p
⎟⎞% ⎠
ts
=
3 + ln c2 σ1
(σ % ≠ 0时)
ts
=
3
点均位于左半 s 平面时，随时间 t 的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶 跃响应最终稳定在 M (0) D(0) 。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零
的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。
3.4.2 闭环主导极点
对稳定的闭环系统，远离虚轴的极点对应的模态因为收敛较快，只影响阶跃响应的起始 段，而距虚轴近的极点对应的模态衰减缓慢，系统动态性能主要取决于这些极点对应的响应
∏ ∏ s
q
r
s (s − λ j ) (s2 + 2ξkωk s + ωk2 )
j =1
k =1
∑ ∑ = A0 + q
Aj
r
+
Bk s + Ck
s j=1 s − λ j k =1 s2 + 2ξkωk s + ωk2
（3-19）
式中， A0
=
lim sC(s)
s→0
=
M (0) D(0)
， Aj
=
383.693× 4.17 4 ×16
s2
+
1 6s
+
25
=
Φ(s)
=
s2
+
25 6s +
25
可以利用式（3-13）、式（3-14）近似估算系统
的动态指标。这里ωn = 5;ξ = 0.6 ，有
图 3-26 降阶前、后系统阶跃响应的比较
σ % = e−ξπ 1−ξ 2 = 9.5%
ts
=
3.5 ξωn