光子气体……

§6.3光子气体
热力学得出平衡辐射的能量密度,能量均分定理得到的瑞利——金斯曲线可得所得内能的频率分布在低频范围与实验符合,在高频(紫外)范围内与实验不符.并且利用能量均分定理得到在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的.这些与热力学得到的实验结果是不符合.
一.粒子特性
将空窖的辐射场看作光子气体.每个光子具有确定的能量,动量,自旋.由德
布罗意关系:
由相对论关系,光子质量.
所以即光子的能量动量关系式.
光子是玻色子,达到平衡时遵从玻色分布.但是由于窖壁不断发射和吸收光子,在光子气体中,光子数不是恒定的.在导出Bose分布时,只存在E是常数的条件,而不存在N是常数的条件.因此我们只引进一个拉氏乘子β,这样光子的分布
为.
因为,而光子的,意味着光子气体的化学势为零.
光子的自旋量子数为1,自旋在动量方向的投影可取两个可能值,相当于右,左圆偏振,光子的自旋简并度为2.
在体积V的空窖内,在dP动量范围内,光子的量子态数为
(2为自旋简并度)
在体积V的空窖内,在的圆频率范围内,光子的量子态数为
因此，在空窖内,在圆频率范围内的平均光子数为
在体积V的空窖内,在圆频率范围内,辐射场的内能为
上式给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合.图中画出不同温度下U和ω之间的关系.普朗克公式导出过程中第一次引入能量量子化的概念,这是物理学的一个重大突破,它建立的量子物理学的起点.
讨论低频率和高频率范围的两种极限情况:
(1)低频范围:,,普朗克公式可以
近似为——瑞利金斯公式.
(2)高频范围: 有.
所以普朗克公式近似为——维恩公式可以看出,当时,U(ω,T)随ω的增加而迅速地趋于零.这个结果指出,在温度为T的热力学平衡状态下，几乎不存在的高
频光子.这是因为,高频光子的能量,窖壁发射具有如此高能量的光子的概率是极为微小的.从波动的观点看，这意味着空窖内几乎不存在高频的电磁辐射.
三、空窖辐射的内能
由普朗克公式积分得
引入变量,
——斯特藩—玻耳兹曼定律
这与热力学得到的结果一致，在热力学中比例常数由实验确定，而在统计物理中它可以被求出。

四、
根据Plank公式，辐射场的内能密度随着ω的分布有一极大值，以表
示。

由以下式求得即
这个方程可由图解法或数值方法解出
指出，使辐射场能量密度为极大值的是一定的，即：与T 成正比。

称它为Wien位移定律。

因此，由辐射场的能量密度可以直接得出辐射压强和辐射通量密度。