大学数学+定积分及其应用必做习题

3、微积分基本定理、牛顿莱布尼兹公式
x
∫ � （原函数存在定理）设 f (x)在 [a, b]上连续，则积分上限函数 ϕ( x) = f (t)dt 在[a, b] a
∫ 上可导，且 d
x
f (t)dt = f ( x)
dx a
� （牛顿莱布尼兹公式）设 f (x) 在[a, b] 上连续，若 F( x) 是 f (x) 在[a, b] 上的一个原函
0
1− x2 d (1− x2 ) − 1
1 2
1− x2 d (1− x2 )
2 −1
20
1
=
1
(1−
x2
)
3 2
0
−
1
(1−
x2
一、内容提要
1、定积分的概念
∫ ∑ 由实例可引入定积分的定义：
b
n
f (x)dx = lim
a
λ →0
f (ξi )∆xi
i=1
上述四段横线表达了定积分定义中的“分割、近似、求和、取极限”等四大重要步骤。
b
∫ 可积条件： f (x) 在[a, b]上连续或在[a, b]上有界且仅有有限个间断点则 f ( x)dx 存在。 a
x
∫ x
lim
x f (t)dt = a lim a f (t)dt = a lim f (x) = af (a)
∫ x→a x − a a
x→a x − a
x→ a
解法 2；利用积分中值定理，有
92
高等数学学习指导书 第五章 定积分
∫ lim x x f (t)dt = a lim f (ξ )(x − a)
x →b−
∫ ∫ ∫ b
f ( x)dx = lim
c−ε1 f ( x)dx + lim
b
f (x)dx
(lim f (x ) = ∞ )
a
ε1→ 0+ a
ε 2→ 0+ c +ε 2
x→ c
上述各式中若右边极限存在，则称无穷限或无界函数的广义积分收敛；否则称其发散。
6、定积分的应用 1、元素法
b
b
b
∫ a f ( x)dx ≤ ∫ a f ( x) dx
b
∫ （5）积分估计 设 M = max f ( x), m = min f ( x) 则 m(b − a) ≤ f ( x)dx ≤ M (b − a)
x∈[ a,b]
x∈[a ,b ]
a
88
高等数学学习指导书 第五章 定积分
b
∫ （6）积分中值定理 设 f (x) 在[a, b] 上连续，则 f ( x)dx = f (ξ )(b − a) (a ≤ ξ ≤ b) a
x→a x − a a
x→ a
x−a
x →a
x−a
= a lim f (ξ ) = a f (a) 。
x→ a
π
∫ 例 5 ( 1+ cos 2x + x sin x )dx −π
[分析]： f (x) = 1+ cos 2x 是[−π ,π ]上的偶函数， g( x) = x sin x 是[−π ,π ]上的奇函数，
∫ A = t2 φ (t)ϕ ′(t)dt t1
∫ ∫ l = β r2 (θ ) + r′2 (θ )dθ α
l = t2 φ ′2 (t) +ϕ ′2 (t)dt t1
∫ 旋转 A = π b f 2( x) − g2( x) dx a
∫ 体体 A = π d ϕ 2( y) −φ 2( y) dy
x→a x − a a
x→ a
x−a
= a f (a)
(ξ 在 a 与 x 之间）
∫ 解法 3：利用微分中值定理，令 F(x) = x f (t )dt ，则 F(a) = 0，于是 a
∫ x
lim
x f (t)dt = a lim F( x) − F(a) = a lim F′(ξ )( x − a) （ξ 在 a 与 x 之间）
利用奇偶函数在对称区间上的定积分的性质有：
π
π
∫ ∫ 解：原式= 1+ cos 2xdx + x sin xdx
−π
−π
π
π
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ = 2 1 + cos 2xdx = 2 2 cos x dx = 2 2( 2 cos xdx − π cos xdx ）
0
0
0
2
π
=2
2(
sin x
2
−
−a
0
5、广义积分
（1）无穷限的广义积分
+∞
b
∫ ∫ f (x)dx = lim f (x)dx
a
b→ +∞ a
b
b
∫ ∫ f (x)dx = lim f (x)dx
−∞
a → −∞ a
+∞
c
b
∫ ∫ ∫ f (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x )dx
−∞
a→ −∞ a
b → +∞ c
面积
c
A
∫ 弧长 l = b 1 + y′2 dx a
l
r = r (θ ) θ ∈[α , β ]
∫ A = 1 β r2 (θ )dθ
2α
∫ A = 1
2
β α
[r22
(θ
)
−
r12
]dθ
x = φ (t), y = ϕ(t) t ∈[t1, t2 ]
∫ A = t2 ϕ (t)φ ′(t)dt t1
a
α
公式（1）从左到右是代入法，反之是凑微分法；
定积分的换元法遵循：“换元必换限，不必代回”的原则。
（2）定积分的分部积分法
（1）
设 u = u( x), v = v(x) 在[a, b] 上有连续导数，则
∫ ∫ b u(x)v′(x)dx = (uv) b −
b
u′(x)v(x)dx
a
a
a
∫ ∫ 即
∫ ∫ ∫ 例 3
设M =
π
2 π − 2
sin x 1+ x2
cos4
xdx,
N
=
π
2 π
(sin
3
x
+cos 4)
xdx,
P
=
−
2
π
2 π
(
x2 sin
3
x
−cos
4)
dx
−
2
试比较三者的大小。
[分析]：三个积分都是对称区间上的定积分，不必一一计算，可直接利用定积分的性质判断。 解：M 中的被积函数是奇函数，故 M=0
sin
x
π π
= 1− (− 1) =
2。
0
2
1
∫ 例 6 求 2 x2 − x4 dx −1
[分析]：由于
x2
=
x
=
⎧x ⎨⎩− x
x≥ 0
利用定积分对区间的可加性
x<0
1
1
∫ ∫ ∫ 2 x
1 − x2 dx =
0
−x
1 − x2 dx +
2 x 1 − x2 dx
−1
−1
0
∫ ∫ 解：原式= = 1
π
π
∫ ∫ N =
2 π
(sin3
x
+
cos4) xdx
=
0
+
2 π
cos4 xdx > 0
−
−
2
2
π
∫ P = 0 −
2 π
cos4 dx < 0
−
2
所以 P < M < N 。
∫ 例 4 已知 f (x) 是连续函数，求 lim x
x
f (t)dt
x→a x − a a
x
∫ 解法 1：注意到 lim f (t )dt =0，使用罗比达法则，有 x→ a a
f (x)dx = 0 ， f ( x)dx = − f ( x)dx ， 1dx = dx = b − a
a
b
a
a
a
b
∫ （4）不等式性 f (x) ≥ 0 ( x ∈[a, b]) ⇒ f ( x)dx ≥ 0 a
(a < b)
b
b
f (x) ≥ g (x) ( x ∈[a, b]) ⇒ ∫a f (x)dx ≥ ∫a g (x)dx (a < b)
∫ 数，则 b f ( x)dx = F(b) − F(a) = F (x) b
a
a
4、定积分的主要计算方法
（1）定积分的换元法
设函数 f (x) 在[a, b]上连续， x = ϕ(t)在[α, β]上有连续导数，当 t 在 [α, β]变化时，
b
β
∫ ∫ x 在[a, b] 上变化且ϕ(α ) = a ，ϕ(β ) = b 则 f ( x)dx = f (ϕ(t))φ ′(t)dt
=
sin x x
在该区间上的最
大、最小值为 M = f (π ) = 2 2 , m = f (π ) = 2 ，由积分的估值不等式，得：
4π
2π
∫ ∫ 2 (π − π ) ≤
π2 4
π
2 π
4
sin xdx ≤ x
2 2(π π2
−
π ) ，即 4
1 2
≤
π sin x
2 π