哥德尔不完备性定理浅释

哥德尔不完备性定理浅释

【数学故事】哥德尔不完备性定理浅释

哥德尔不完备定理的本质与自然数的性质紧密相连，如果计算机使用离散形式的算法(也就是图林机)，则计算机的任何复杂、高妙的算法，比如并行运算，都超不过图林机操作的范畴，也就跑不脱自然数的性质，因此也就不能解决不可计算问题。

要理解哥德尔定理，先得理解集的概念。

(一) 集合

"集合"或集的描述：集这个概念，是不可以精确定义的数学基本概念之一，故只能作描述：凡具有某种特殊性质对象的汇集，其总合被称为集。

例：一组数(可能是无限的)，一群人，一栏鸡蛋。

在作数学上具体研究时，组成集的个体，被称为"元"的其他特殊属性，如鸡的特性，人的特性，数的特性，都不再考虑。于是，一个集合就被抽象成A，它的元被抽象成x。我们有：x 属于 A

我们也归定：A 不能属于 A

即A不能是A自己的一元，这个规定不是不合理的，例如，所有的书所组成的集不是书！所以所有书的集合不能是这个集合的一元。

A 的某一部份B也可自行构造出一集，被称为A之"子集"。

我们有：B 含于 A

特殊情况：B可以等于A，B也可以没有元素，被称为"空集"，我们称这样两种情况叫A的"平凡"子集。

定义：对等设A，B分别为两个集，如果A和B之间能建立1-1的对应关系，则我们称：A 对等于 B。反之亦然。

对等是集与集之间最基本的关系。若A和B都含有限个元，则两集之间要对等，当且仅当二者的元的数目相等。

如果A和B都是无限的，则也能/不能建立对等关系，如两个无限数列A和B：

A：1，2，3，。。。

B：2，4，6，。。。

就能建立1-1对应，故

A 对等于 B

可以证明，任何两个无限数列的集合都能对等。

但是，有些无限集之间却不能对等。

例：设实数轴0到1之间的所有有理数所组成的集为R，又设0到1之间所有的无理数所组成的集为I，则可证明(略)：

1。R和I之间不对等；

2。R对等于I中的一个非平凡子集，在这样的情况下，综合1。，我们说 R 小于 I

3。R 对等于一个自然数序列

数目在无限大时候的推广。我们称上述A有"势"为可数势，意味着，A的元数目可以一个一个地数下去，虽然不一定能数完。于是，自然数序列集具有可数势，任何有限集合也有可数势，而且，由上面的3。可知有理数集也有可数势。

再从1。的结论可知，无理数的集有大于可数势的势，我们称这个势为"不可数势"！

(二) "康脱悖论"

设M是一个集，这个集的元是由集合X所组成，其中，X 不属于 X。

康脱悖论：M 不属于 M 同时 M 属于 M

事实上，如果M属于M，则由定义，M不属于M；反过来，如果M不属于M，则同样由定义，M属于M。这就出现了悖论，这个悖论首先由康脱提出来，它类似于"塞维尔村理发师悖论"，1902年，罗素又把它在叙述上修改了一下，把它作为一种悖论，用来说明集合论的形式公理体系建立的必要。康脱悖论的发现，引起了十九世纪末的数学界很大的震动，原因在一切数学的推理和由推理得出的结论最终可以由"与、或、非"三种基本逻辑运算所构成的组合操作，而这些组合操作的集合本身构成了矛盾，于是所有数学成就的整个大厦开始动摇！

其后，罗素等人提出了形式(逻辑)公理体系，试图甩掉那些悖论，让数学在无悖论的情况下发展(事实上，至今数学里还没有这样的悖论的干扰)。办法就是，如怀特海所说，当一个形式逻辑体系出现康脱悖论时，就用一个更大的逻辑体系去把它包了，换句话说，就是让原先那个逻辑体系作为更大的逻辑体系的子集合。当然这样做的结果，新的母体系又产生了不可避免的矛盾。怀特海问：就这样一层一层地包下去，以致于无穷，是否就可避免了矛盾？(三) 哥德尔不完备性定理浅释

哥德尔不完备性定理的提出和证明就是为了解决怀特海上述猜想，它指出：使用层层外延法扩张形式逻辑体系并不能清除其总和的矛盾！

哥德尔最妙的想法就是把一切逻辑运算视作一种二进制代码(CODE)，就例如，"与"可对应为1，"或"可对应为10，"非"可对应为11。但这些二进制数却被他再转换成小数，如0.1，0.01，0.11，组合逻辑运算不过是这三种码的组合，也就是更复杂的小数。

递归：逻辑运算里有一种调用自身的运算，称为"递归"。递归术语今天是编程算法里最基本的运算方法之一。递归有两种结局：1。终止于有限次数的操作；2。无限递归下去，在编程上被称为死循环。

当逻辑体系按照怀特海的办法延拓到一个新的，更大的逻辑体系时，旧的逻辑体系中的操作如果被新的体系调用，就会出现递归，递归有时是无限次数的(这是允许的，不象计算机运算不允许)，在此情况下，由二进制代码所代表的逻辑运算将出现无限循环的小数。

这样，哥德尔就用递归把每一次形式逻辑体系的外延后的操作，用有限小数和无限循环小数代表出来，而且他还证明了，这种代表是唯一对应的，也就是说，每一二进制有限小数或无限循环小数皆唯一对应于怀特海意义下的无限扩张逻辑体系下的某一逻辑操作。

二进制与十进制：二进制数与十进制数之间能建立起唯一对应关系，因之，实轴上0-1的一端(剃除掉两个端点，0、1)的所有小数都可以由二进制小数表出，而且，两种进位制里的有限小数和无限循环小数都对应。

有理数和无理数：任何有限小数和无限不循环小数都属于0-1之间的有理数。0-1数段的实数除了全部含于其中的有理数以外，还存在着无理数，例如2分之2的平方根。如果我们表0-1数段的所有有理数集合为Ro，表剩下的所有无理数集合为Io，则可证明：

Ro 对等于 R;

Io 对等于 I

这里的R、I见(一)中例的定义。因此，我们遂有

Ro有可数势，而Io有不可数势。

哥德尔证明了：怀特海意义下的无限延拓形式逻辑体系的所有逻辑操作所组成的集合与Ro 之间能够建立起1-1的对应关系，也就是说，这两个集合对等，因此，它们有相同的势。即都具有可数势。

但是，如果我们把0-1间任意一个无理数对应成一个逻辑操作，因为它无限不循环，这个操作是我们不能确定的，但却能有限截断后知道的，我们就可以理解成不能用确定的逻辑操作去解决的，或者换个口吻，说成是矛盾。

于是，哥德尔就得出了结论，形式逻辑分析不能用来解决认识中的所有出现的矛盾，更有甚