整理数学分析课程建设自评报告书

数学分析课程建设自评报告书
《常微分方程》研究性教学设计方案
学院数学
专业数学与应用数学
班级2015级
授课教师周正新
授课团队数学分析教研室
扬州大学教务处
2016年2月10日
注意事项
1．课程设计包括理论讲授内容、自主学习安排、探究知识、实践部分、拓展要求等；
2．教学过程设计分讲授、研讨和实践等设计；
3．每门课程设计要附课程教学大纲；
4．每个单元的教学设计要彰显研究性。

一、课程简介（作用、地位、特点、学情分析）
常微分方程简介常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科，是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。

因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。

常微分方程是数学系各专业必修的一门重要专业基础课之一，是数学分析的继续和进一步学习本学科的近代内容及泛函分析、数学模型、生物数学、数理方程、微分方程数值解等后续课程的必不可少的基础，是数学科学联系实际的重要途径之一，在数学学科人才的培养过程中一直起着重要和特殊的作用。

从数学的角度看，常微分方程分为经典和现代两部分内容，经典部分：以数学分析、高等代数为工具，以求微分方程的解为主要目的；现代部分：主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究解的性质。

常微分方程对先修课程（数学分析与高等代数等）及后继课程（微分方程数值解法、偏微分方程、微分几何、泛函分析等）起到承前启后的作用，是数学理论中不可缺少的一个环节，也是学生学习本学科近代知识的基础，对培养学生分析问题和解决问题的能力有重要作用。

二、课程教学理念与目标
本课程主要是介绍微分方程的基本理论及各种类型的方程及方程组的求解。

通过对这两大基本问题的深入探讨，使学生理解、掌握微分方程的基本思想、基本知识和基本方法与技巧，能熟练运用微积分及代数的方法求解各种类型的方程及其应用微分方程解决实际应用问题，培养学生运用所学微分方程的知识去解决实际问题，建立数学模型以及综合运用所学知识分析解决问题的能力，培养学生应用所学的分析及代数的基本知识研究微分解的性态。

三、使用教材及网站建设
教材: 常微分方程（第三版），朱思明，王高雄等，高等教育出版社。

网站: /eol
四、课程学时分配表
五、内容设计
按照教材章节内容，设计五个课程单元。

每个单元以讲授为主，结合自主学习、自主研究及师生共同探究等多种形式，并配以大量的课堂练习和课后作业。

课程考核方式包括自主学习、单元测试、小论文、期末考试等，按照以下比例给出课程的最后得分：第一单元成绩占16%、第三、四单元成绩各占12%，第二、五单元成绩占10%，期末考试成绩占40%。

【课程单元1】基本概念及初等解法
1. 教学框架与内容微分方程的模型，微分方程的基本概念，发展史，一阶微分方程的初等解法。

2. 重点和难点重点各种类型方程的解法；难点寻找微分方程的首次积分。

3. 教学方式采用讲授、自学、研讨等多种教学方式。

4. 教学方法讲授法、练习法、课堂讨论法等。

5. 教学过程
讲授内容：介绍微分方程的基本概念，微分方程模型的建立，微分方程的发展史，变量分离方程，线性方程与常数变易法，恰当方程与积分因子，一阶隐方程与参数表示。

练习内容：每一节习题一部分作为课堂练习，其余作为课后作业。

自主学习内容：对于一些实际应用问题尝试去建立它们的微分方程数学模型。

自主研究内容：研究用积分因子法求解各种类型的微分方程。

6. 评价方法按照以下比例给出本课程单元的得分：作业10%、自主学习10%、单元测试80%。

【课程单元2】解的存在唯一性定理
1. 教学框架与内容一阶微分方程解的存在唯一性定理，解的近似计算，解的延拓。

2. 重点和难点一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明。

3. 教学方式采用讲授、自学、研讨等多种教学方式。

4. 教学方法讲授法、练习法、课堂讨论法等。

5. 教学过程讲授内容：一阶微分方程解的存在唯一性定理，近似计算误差估
计，解的延拓。

练习内容：每一节习题一部分作为课堂练习，其余作为课后作业。

自主学习内容：解关于初值的连续依赖性和可微性。

自主研究内容：一阶线性方程解的存在唯一性定理，推广到n阶线性方程和一阶线性方程组，由此写一篇小论文：线性方程解的存在唯一性定理及
其推广。

6. 评价方法按照以下比例给出本课程单元的得分：作业10%、自主学习10%、小论文80%。

【课程单元3】高阶方程
1. 教学框架与内容介绍线性微分方程的基本理论，齐线性和非齐线性方程解的性质与结构，以及齐线性和非齐线性方程的求解。

2. 重点和难点重点齐线性和非齐线性方程的求解，难点是齐线性和非齐线性方程解的性质与结构。

3. 教学方式采用讲授、自学、研讨等多种教学方式。

4. 教学方法讲授法、练习法、课堂讨论法等。

5. 教学过程讲授内容：线性微分方程的基本理论，齐线性和非齐线性方程解的性质与结构，常系数方程的求解，非齐线性方程的求解，高阶方程的降阶和幂级数解法。

练习内容：每一节习题一部分作为课堂练习，其余作为课后作业。

自主学习内容：非齐线性方程特解的形式。

自主研究内容：欧拉方程的解与特征根之间的关系。

6. 评价方法按照以下比例给出本课程单元的得分：作业10%、自主学习10%、单元测试80%。

【课程单元4】线性微分方程组
1. 教学框架与内容介绍线性方程组的基本理论，常系数线性方程组的求解及解的性质结构。

2. 重点和难点重点齐线性方程组和非齐线性方程组解的性质及结构。

难点常系数方程组的基解矩阵的求解方法。

3. 教学方式采用讲授、自学、研讨等多种教学方式。

4. 教学方法讲授法、练习法、课堂讨论法等
5. 教学过程讲授内容：线性方程组的基本理论，齐线性方程组和非齐线性方
程组解的性质及结构，常系数线性方程组的求解。

练习内容：每一节习题一部分作为课堂练习，其余作为课后作业。

自主学习内容：拉普拉斯变换及应用
自主研究内容：基解矩阵的计算，及常系数方程解的渐进性研究。

6. 评价方法按照以下比例给出本课程单元的得分：作业10%、自主学习10%、单元测试80%。

【课程单元5】非线性微分方程
1. 教学框架与内容介绍非线性微分方程的Lyapunov关于零解稳定、不稳定、渐进稳定、全局稳定的定义。

平面常系数线性微分系统的奇点的性态及稳定性的判定。

介绍非线性微分系统零解的稳定性的判定。

利用Lyapunov 函数来确定微分系统解的稳定性。

2. 重点和难点定性理论和稳定性理论，李雅普诺夫第一和第二方法。

难点：如何判定和证明零解的稳定性，如何寻找李雅普诺夫函数判定零解的稳定性
3. 教学方式采用讲授、自学、研讨等多种教学方式。

4. 教学方法讲授法、练习法、课堂讨论法等。

5. 教学过程讲授内容：非线性微分方程的Lyapunov关于零解稳定、不稳定、渐进稳定、全局稳定的定义。

平面常系数线性微分系统的奇点的性态及稳定性的判定。

非线性微分系统零解的稳定性的判定。

利用Lyapunov函数来确定微分系统解的稳定性。

练习内容：每一节习题一部分作为课堂练习，其余作为课后作业。

自主学习内容：证明Lyapunov关于微分系统零解的稳定性的相关定理的证明。

自主研究内容：Lyapunov函数的构造。

6. 评价方法按照以下比例给出本课程单元的得分：作业10%、自主学习10%、单元测试80%。

六、总表
以章节、内容、课时、教学方式、研讨和调研等的内容和要求为表头。

整理丨尼克
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