第一讲A 行列式的基本内容和行列式的几种形式
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第一讲 行列式
一、内容提要
（一）n 阶行列式的定义
∑-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
n
n j j j njn j j j j j nn n n n
n a a a a a a a a a a a a D
21212211)
(2
1
2222111211)
1(τ
（二）行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；
3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；
5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即
nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D
212
21
111211+++=，
则
nn
n n in i n nn
n n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D
2
1
121112112
1
121
11211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 （三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式 （1）余子式的定义
去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M
（2）代数余子式的定义
ij a 的代数余子式的记为ij j
i ij ij M A A +-=)
1(,
2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式
∑
=⎩⎨
⎧≠==n
j kj ij k
i k i D
A a 1
（2）按列展开公式
∑
=⎩⎨
⎧≠==n
i is ij s
j s j D
A a 1
（四）范德蒙行列式
∏≤<≤----=
=n
j i i j
n n
n n n n x x
x x x x x x x x x D 11
1
2
1
1
2
2
22
1
21
)(111
（注意其转置行列式）
（五）分块行列式
若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()
m n
A
O A A O A B
O B O B B
O A A A B
B
O B
O *==*
*=-1（拉普拉斯展开式）
三、典型例题 行列式的计算
1. 数字型行列式的计算 例1 计算行列式
n
n n n n b a a a a a b b b D 1
2
3
2
1
1210000000000
00000---=
解：由于前n -1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知D n 只含一项：b 1b 2…b n ，且
符号为,)
1()1(2
)
1(2(),1,,1(----=-n n n n τ从而n n n n b b b D 212
)
2)(1()
1(---=。
例2 计算下列行列式
（1）621
721342
443543
1014
327427246
)2(;2
2
2
-+++b
a c
a c
b c
b
a c
b a
解（1）：c
b a
c b a c
b a c
b
a
c b a b a c a c
b c
b
a c
b a
++++++=
+++2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
111
)(1
11)(c
b
a
c b a
c b a c
b
a
c b a
c b a ++=++= ))()()((b c a c a b c b a ---++=
（2）621
100
1000
44310020003271001000
621
721
1000
4435432000327
4271000
621
721
342
4435431014
327
427246
==-
5
5
5
10294294
21110327
1110621
1
1
443123271110
⨯-=--==
例3 计算下列n 阶行列式
a
x a
a
a
a a x a a a a a x a
a a a a x D n ----=
解
1
)
2]()2([---+=n n a x a n x D
说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：
1
)]()1([---+==n n x a x n a a x x x x a x x
x
x a x
x x x a D
)1()1(01111011
1101
11101
--==-n D n n
1
)1]()1(1[1
111---+==n n a a n a
a
a
a a a
a
a a
a a a D
例4 计算n 阶行列式
),,2,1(00
1
0001
001
1111321n i a a a a a D i n
n
=≠= 解：
))(1(0
000000001111122
1322
1n n
i i
n
n
i i
n a a a a a a a a a D
∑
∑
==-
=-=