组合数学第二章2指数型母函数

2.5 指数型母函数---解的分析
若研究从中取4个的不同排列总数,以 x 2 x 2 对 1 3 应的两个的不同排列为例,其不同排列数为 4! 6 2!2! 即 a1a1a3a3 , a1a3a1a3 , a3a1a3a1 , a1a3a3a1 , a3a3a1a1 , a3a1a1a3 ,
六种。同样,1个 a1 3个 a3 的不同排列数为 4! 4 3!
2 1 2 2
x2 x3 x ) ( x x x x x x x x1 x2 x3
3 3 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3
x x x x x x x ) (x x x x x x
2 2 3 2 1 3 2 2 3 3 3 3 1 3 3 2 3
n m1 m 2 ...m k n
其中求和是对方程 m1 m 2 ...m k n, mi n i ,i 1, 2,..., k n! 的一切非负整数来求解。另一方面， 就是 m1 !m 2 !..m k ! S的n元子集m1 e1 , m 2 e 2 ,..., m k e k 的排列数。如果 对所有满足上述方程式的m1 , m 2 ,...m k 求和，就是S的 所有n元子集的排列数，也就是S的n-排列数。所以， xn f e (x)的展开式中 的系数a n就是多重集S的n-排列数。 n!
综上可得如下两个结论：
(a) 若元素 a1有n1个，元素a2有n2 个， ……，元素ak有nk个，由此组成的n个元素的 排列，不同的排列总数为 n! n1!n2 ! nk ! 其中 n n1 n2 nk
2.5 指数型母函数---解的分析
(b)若元素 a1有n1个，元素a2有n2 个， ……，元素ak有nk个；由此组成的n个元素中 取r个排列，设其不同的排列数为pr 。则序 列 p0, p1, p2,…pn的指数型母函数为
x x 2x3 x x x3 x x x x
2 1 2 1 2 3 1 3 2 1
2 2
(2 5 1)
(2-5-1)表达了从8个元素(a1,a3各3个,a2 3 2个)中取4个的组合。例如 x1 x3 为一个 a1 ， 2 2 a x1 x3 为两个a1 ，两个 a3 的组 3个 3的组合， 合，以此类推。
2.5 指数型母函数---解的分析
从x4的系数可知,这8个元素中取4个组合， 其组合数为10.这10个组合可从下面展开式 中得到
(1 x1 x x )(1 x2 x )(1 x3 x x )
2 1 3 1 2 2 2 3 3 3
[1 ( x1 x2 ) ( x x1 x2 x )
5! n 30 2!2!1!
2.5 指数型母函数---举例
例2 设{a n }是数列，求它的指数生成函数f(x) e 1)a n =P(m,n), n=0,1,2,... 2)a n =1,
n
n=0,1,2,...

3)a n =b , n=0,1,2,...
m xn 解 :1)f e (x) P(m, n) C(m, n)x n (1 x) m n! n 0 n 0
2.5 指数型母函数－解的分析
为便于计算,利用上述特点,形式地引进函数
x x x x x Ge ( x) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 2 3 x x x (1 ) 1! 2! 3!
2
3
2
2.5 指数型母函数---解的分析
7 3 5 4 1 5 G e (x) (1 2x 2x x x x ) 6 12 12 1 2 1 3 (1 x x x ) 2 6 9 2 14 3 35 4 17 5 1 3x x x x x 2 3 12 12 35 6 8 7 1 8 x x x (2 5 2) 72 72 72
2.5 指数型母函数---问题提出
设有n个元素，其中元素a1重复了n1次，元 素a2 重复了n2次，…，ak重复了nk次，
n n1 n2 nk
从中取r个排列，求不同的排列数 如果 n1 n2 nk 1，则是一般的排列 问题。
2.5 指数型母函数---问题提出
2.5 指数型母函数---解的分析
定义： 对于序列 a0 , a1 , a2 , ，函数
a1 a2 2 a3 3 Ge ( x) a0 x x x 1! 2! 3! ak k x k!
称为是序列 a0 , a1 , a2 ,的指数型母函数
2.5 指数型母函数---解的分析
2.5 指数型母函数---举例
例4：由1，2，3，4四个数字组成的五位 数中，要求数1出现次数不超过2次，但不 能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出 现次数可达3次，也可以不出现；4出现次 数为偶数。求满足上述条件的数的个数。 解:设满足上述条件的r位数为ar 序列 a1 , a2 , a10 的指数型母函数为
xn 2)f e (x) 1 ex n! n 0
n x 3)f e (x) b n e bx n! n 0

2.5 指数型母函数---分析
下面简单介绍指数型母函数的性质
性质1 设{a n }{b n }的指数母函数为Ae (x)Be (x), 则 x Ae (x) Be (x) Cn , n! 其中 n Cn a k bn k k 0 k
n n
2.5 指数型母函数---举例
n 例3 设{a n }是一个数列，若bn =(-1) a k k 0 k n k n 则 a n (-1) b k k 0 k n n n n k 证明：令bn =(-1) a k a k(-1)2n-k k 0 k 0 k k
2.5 指数型母函数---解的分析
即
a1a3a3a3 , a3a1a3a3 , a3a3a1a3 , a3a3a3a1 , 以此类推。故从(2-5-1)式可得问题的解， 其不同的排列数为 1 1 1 1 1 1 4!( 1!3! 1!3! 2!2! 1!1!2! 2!2! 3!1! 1 1 1 1 ) 2!1!1! 1!2!1! 3!1! 2!2! 4 3 3 4 2!2!3 3!3 2!3! 4!( ) 4! 3! 2!2! 2! 2!2!3! 16 18 36 70
现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复杂。 先考虑 n 个元素的全排列，若 n 个元素没有完全 一样的元素，则应有 n! 种排列。若考虑 ni 个元 素 ai 的全排列数为 ni! ， 则真正不同的排列数为
nLeabharlann Baidu n1!n2 ! nk !
2.5 指数型母函数---问题提出
先讨论一个具体问题:若有8个元素，其中设 a1重复3次，a 2重复2次，a 3重复3次，从中取 r个组合，其组合数为cr , 则序列 c0 ,c1 ,c 2 ,c3 ,c 4 ,c5 ,c6 ,c7 的母函数为
x x x Ge ( x) (1 ) 1! 2! n1! x x x x x x (1 ) (1 ) 1! 2! n2 ! 1! 2! nk !
2 n2 2 nk
2
n1
2.5 指数型母函数---举例
由此可以看出指数型母函数在解决有重复 元素的排列时的优越性。 例1：求由两个 a ，1个b ，2个c 组成的不 同排列总数。 根据结论(a)，不同的排列总数为
n k
n =(-1) a k(-1)n-k k 0 k
n n
2.5 指数型母函数---举例
n 记c n k (1) , 则 (-1) bn = a kcn-k k 0 k n 再令bn =(-1) bn , 记{a n },{bn },{c n }的指数母函数为
2
2.5 指数型母函数---解的分析
从(2-5-2)式计算结果可以得出：取一个的 排列数为3，取两个的排列数为29/2=9 取3个的排列数为 3!14/3=28，取4个的排 列数为 4!35/12=70 ，如此等等。把(25-2)式改写成下面形式便一目了然了。
3 9 2 28 3 70 4 170 5 G e (x) 1! x x x x x 1! 2! 3! 4! 5! 350 6 560 7 560 8 x x x (2 5 3) 6! 7! 8!
n k n n
Ae(x),Be(x),Ce(x), 由性质1知 Be(x)=Ae(x) Ce(x)， 而 Ce(x)=e 于是 ex Be(x)=A e(x) 再由性质1立得结论
-x
2.5 指数型母函数---举例
定理1 设多重集S {n1 a1 ,n 2 a 2 ,...,n k a k }，对任意 的非负整数n,令a n为S的n-排列数，设数列{a n } 的指数母函数为f(x), 则 e f(x)=f fnk(x) e n1(x) fn2(x) ... x x 其中 fni(x)=1+x+ ... , i 1,2,...k 2! ni !
2 2 1 3
2 2 2 2 x1 x2 x3 x2 x3 x13 x3 x12 x2 x3 x1 x2 x3 x13 x3
x x )
2 2 1 2
2.5 指数型母函数---解的分析
其中4次方项有
3 2 2 2 2 2 3 x1 x 3 x x x x x x x x x x 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 x3
G ( x) (1 x x x )(1 x x )(1 x x x )
2 3 2 2 3
(1 2 x 3 x 2 3x 3 2 x 4 x 5 ) (1 x x 2 x 3 ) 1 3 x 6 x 2 9 x 3 10 x 4 9 x 5 6 x 6 3 x 7 x 8
2 ni
证明:考察f(x) 的展开式中xn的项，它一定是下面的 e x m1 x m2 x mk 这种项之和： ... ， m1 ! m2 ! mk !
2.5 指数型母函数---举例
其中m1 +m 2 +..+m k =n, 0 mi n i ,i 1, 2,....k 而这种项又可以写成 x n! x . m1 !m 2 !...m k ! m1 !m 2 !..m k ! n! x 所以在f e (x)的展开式中 的系数是 n! n! an m1 !m 2 !..m k !
2 1 2 2 2 2 2 ( x13 x12 x2 x1 x2 ) ( x13 x2 x12 x2 ) x13 x2 ]
(1 x3 x x )
2 3 3 3
2.5 指数型母函数---解的分析
1 (1 x1 x2 x3 ) ( x x1 x2 x x1 x3
2.5 指数型母函数---举例
x x2 x x 2 x3 Ge ( x) ( )(1 x)(1 ) 1! 2! 1! 2! 3! 2 4 x x (1 ) 2! 4! 3 2 1 3 2 3 2 ( x x x )(1 x x x 2 2 3 7 4 1 5 x6 x7 x x ) 24 8 48 144