组合数学第二章2指数型母函数
指数母函数
指数母函数指数母函数是概率论中一个重要的概念，它在组合学、统计学、以及算法设计中具有广泛的应用。
本文将介绍指数母函数的定义、性质以及一些典型的应用场景。
首先，让我们来了解一下指数母函数的定义。
在概率论中，我们通常通过概率分布来描述一个随机变量的性质。
指数母函数是一种生成函数，可以用来完整地描述一个非负随机变量的概率分布。
对于一个非负随机变量X，指数母函数定义为G_X(t) = E[t^X] = ∑_(k=0)^(∞) P(X=k)t^k其中，E[•]表示数学期望操作，P(X=k)表示随机变量X取值为k的概率。
通过指数母函数，我们可以方便地计算出随机变量的各种矩、生成函数以及其他相关特征。
指数母函数具有一些重要的性质。
首先，对于独立同分布的随机变量序列X_1, X_2, ... , X_n，它们的指数母函数的乘积等于它们各自的指数母函数的乘积。
也就是说，如果我们知道了每个随机变量的指数母函数，那么我们就可以得到它们共同的指数母函数。
其次，通过指数母函数的导数，我们可以计算出随机变量的矩。
具体来说，对于指数母函数G_X(t)，它的k阶导数G_X^(k)(0)可以表示随机变量X的k阶矩。
这个性质在数理统计中经常被使用，特别是在估计参数、构造置信区间等问题中。
除了基本的性质之外，指数母函数还有一些典型的应用场景。
一个典型的例子是在组合学中的应用。
对于一个集合，我们可以用一个0-1序列来表示它的子集。
对于一个具有n个元素的集合，我们可以定义一个指数母函数，它的每一项表示集合的各个子集的个数。
这样，我们就可以通过指数母函数来计算出子集个数的期望值、方差等统计量。
指数母函数在算法设计中也有广泛的应用。
在某些问题中，我们需要计算出满足一定条件的排列或者子集的个数。
通过构造相应的指数母函数，我们可以很方便地计算出这些排列或者子集的个数。
这个方法在算法设计中被广泛使用，特别是在动态规划、组合优化等领域。
综上所述，指数母函数是概率论中一个重要的工具，它可以用来描述非负随机变量的概率分布。
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
卢开澄组合数学--组合数学第二章
(1 9x)B(x) xA(x) 1
故得关于母函数 A(x) 和 B(x) 得连立方程组：
{ (1 9x) A(x) xB(x) 8 xA(x) (1 9x)B(x) 1
§2.2 递推关系
C(n,0)C(m,0)
(2 -1- 3)
正法如下：
(1 x)n (11/ x)m xm (1 x)mn
§2.1 母函数
[C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn ] [C(m,0) C(m,1)x1 C(m, m)xm]
xm[C(m n,0) C(m n,1)x C(m n,2)x2 C(m n, m n)xmn
C(n,0),C(n,1),,C(n, n)
的关系时所起的作用。对其他序列也有同样 的结果。现引进母函数概念如下：
定义：对于序列 a0, a1, a2,, 构造一
函数：
G(x) a0 a1x a2x2 ,
称函数G(x)是序列a0, a1, a2,的母函数
§2.1 母函数
(1 x)n
例如
C(n,0),C(n,1),,C(n, n)
如若已知序列 a0 , a1, a2,,则对应的母函
数G(x)便可根据定义给出。反之，如若以求得 序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。
序列 a0, a1, a2,, 可记为{an}。
§2.2 递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法 分析中经常用到，举例说明如下：
A
B
C
§2.2 递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出 算法；n=3时，第一步便利用算法把上面 两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转 移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到 柱C上。N=4，5，…以此类推。
组合数学课件--第二章第五节 指数型母函数
1
2.11：指数型母函数
2.11.1 问题的来源 对n个互不相同的元素进行全排列， 可得n!个不同的排列。 k个不同的元素a1,a2,…,ak作允许重复 的排列: 如果a1有n1个，a2有n2个，…，ak有nk个， n1+n2+…+nk=n, 这样的n个元素进行全排列，不同的排 列数为：
n!/(n1!n2!…nk!)
G(x)=(1+x +x2 +x3 ) (1+x +x2) =1+2x+3 x2 +3 x3 +2 x4+x5 (1+x1+x12+x13 ) (1+x2+x22)
展开式中3次方项如下：x1x22+x12x2+x13 x1x22对应的是取一个x1,两个x2,若是作排 列,其不同排列数为： 3! 3! 3! 3 1 3 2! ! 1 3! 1!2!
2 3
m
4、无区别,有区别，无空盒
G( x) ( x x x ...)
2 3
m
23
n个球放进m个盒子放法总结:
n个球放进m个盒子里，球是否有区别，盒 子是否有区别，是否允许空盒，共有八种情况：
5、无区别,无区别，有空盒
1 G ( x) 2 3 m (1 x)(1 x )(1 x )...(1 x )
6、无区别,无区别，无空盒
xm G ( x) (1 x)(1 x 2 )(1 x 3 )...(1 x m )
*** 24
2.12：广义二项式定理
二项式定理
(1 x) n C (n,0) C (n,1) x C (n,2) x 2 ... C (n, n) x n
卢开澄《组合数学》习题答案第二章
2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()046414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x - 2.3 已知母函数G （X ）= 25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B AG （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
母函数与指数型母函数市公开课金奖市赛课一等奖课件
1: b0 a0 a1 a2 A(1) x: b1 a1 a2 a3 A(1) a0
__+_)___x2_: _b2__a_2 __a3__a_4 ____A_(1_)_a_0__a1__
B( x) A(1)(1 x x2 ) a0 x(1 x x2 )
a1 x2 (1 x x2 )
A(1) (a0 a 1 x ) x A(1) xA( x) .
1 x
1 x
1 x
第21页
性质5：若bk=kak，则 B( x) xA'( x).
性质6：若bk=ak/(1+k)，则 1x
B( x) x 0 A( x)dx.
例7 已知 A( x) 1 x x2 xn
第3页
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两办法就 不胜其烦了。
设想把骰子出现点数1,2,…,6和t,t2,…,t6相应起来，则 每个骰子也许出现点数与(t+t2+…+t6)中t各次幂一一 相应。
若有两个骰子，则
(t t 2 ... t 6 )(t t 2 ... t 6 ) t 2 2t 3 3t 4 4t 5 5t 6 ....
ak
l
,
k l, 则 B(x)=xlA(x)。 k l,
证: B( x) 0 0 0 bl xl bl1 xl1
a0 xl a1 xl1 xl A( x).
第17页
例4 已知 A x x x2 x3
1! 2! 3!
则 B(x) xm xm1 xm2 1! 2! 3!
[C(n, 0) C(n,1) x C(n, n) xn ] [C (m, 0) C(m,1) x1 C(m, m) x m ]
高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数2.1.2指数函数的图象和性质第1课时指数函数的图象和性质课件必修
12 345
5.函数 y＝12 x2－1 的值域是__(_0_,_2_]__.
解析 ∵x2－1≥－1，∴y＝12 x2－1 ≤12－1＝2，
又y＞0，∴函数值域为(0,2].
课堂小结 1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)， 且f(0)＝1. 2.当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快. 当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度 越快.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[知识链接] 1.ar·as＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r＝ ar·br . 其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 2.在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2 个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得 到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为 y＝2x ， x∈{0,1,2，…}.
3.如果底数 a∈(0,1)，那么，它的倒数
1 a
＞1，y＝ax＝1a－x，
它的图象和 y＝1ax 的图象关于 y轴 对称，可以类似地得到函
数y＝ax(0＜a＜1)的性质：
(1)图象总在 x轴 上方，且图象在y轴上的射影是y轴正半轴 (不
包括原点).由此，函数的值域是R＋； (2)图象恒过点(0,1) ，用式子表示就是 a0＝1 ；
(3)y＝12 x2－2x－3. 解 y＝12 x2－2x－3 的定义域为 R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴12 x2－2x－3 ≤12－4＝16. 又∵12 x2－2x－3 ＞0， 故函数 y＝12 x2－2x－3 的值域为(0,16].
规律方法 对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数_版24样版
g ( x) (1 x x ....)( 1 x x ...)
3 6 4 8
(1 x 2 x 4 ....)( 1 x 5 x10 ...) 1 1 1 1 3 2 4 5 1 x 1 x 1 x 1 x
sfsf
15
2.1母函数
n
r C n , r x n 0
例 从n双互不相同的五指袜子中取出r只，要求没有任何两只是 成对的，共有多少种不同的取法？
r r C n , r 2 x 解：生成函数为: G( x ) (1 2 x)
n
n 0
sfsf
17
2.1母函数
例 某班有甲乙丙三个小组，人数分别为5，6，9。把5本相同的 书分给甲、乙、丙3个小组，再发到个人手上，每人最多发一本。 考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被 认为是不同的分法（每个同学最多一本），而且甲、乙两组最 少1本，甲组最多5本，乙组最多6本，丙组最少2本，最多9本， 问有多少种不同的分配方案？ 解：
5 6 9 4 5 6 9 5 6 9 5 6 9 5 1 1 2 x 1 1 3 1 2 2 2 1 2 x 5 6 9 20 5 6 9 x
sfsf
52
2.3指数型母函数
例、求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数（每个数 字可重复出现），要求1、3、7出现的次数一样多，5和9 出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。
sfsf
53
2.3指数型母函数
指数型母函数的应用
1. 应用背景指数型母函数（exponential generating function）是一个用于描述组合数学中的一类问题的工具。
在实际应用中，指数型母函数常常用于计算和分析离散结构中的各种组合问题，如排列、组合、划分等。
它的应用范围非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、统计学等多个领域。
指数型母函数的应用可以帮助我们解决许多实际问题，例如计算某种组合的总数、计算组合的期望值、计算组合的方差等。
通过建立和操作指数型母函数，我们可以更加方便地进行组合问题的分析和计算，提高问题求解的效率。
2. 应用过程指数型母函数的应用过程通常包括以下几个步骤：步骤一：确定问题的数学模型在应用指数型母函数解决实际问题之前，首先需要确定问题的数学模型。
数学模型是问题的抽象表示，它将实际问题转化为数学符号和公式的形式，方便进行分析和计算。
步骤二：定义指数型母函数在确定数学模型后，接下来需要定义指数型母函数。
指数型母函数是一个形式幂级数，用于表示组合对象的各种性质。
根据问题的不同，指数型母函数的定义也会有所不同。
指数型母函数的一般形式为：G(x)=∑a n∞n=0x n n!其中，a n为组合对象的计数项，n为组合对象的大小。
步骤三：建立关系方程在定义指数型母函数后，接下来需要建立关系方程。
关系方程描述了组合对象之间的关系，可以通过运算和代数运算来表示。
关系方程的建立通常涉及组合对象的组合性质，如排列、组合、划分等。
根据具体问题的不同，关系方程的形式也会有所不同。
步骤四：求解问题在建立关系方程后，接下来需要求解问题。
求解问题的过程通常涉及对关系方程进行求解、计算和分析。
通过对关系方程的求解，可以得到组合对象的计数项、期望值、方差等重要信息。
这些信息可以帮助我们更好地理解和分析问题，为问题的实际应用提供支持。
3. 应用效果指数型母函数的应用可以带来多方面的效果，包括：提高问题求解效率指数型母函数提供了一种统一的框架，可以方便地描述和求解各种组合问题。
指数母函数
指数母函数一、概述指数母函数是组合数学中的一种重要工具，在组合计数、概率论、随机过程等领域有广泛的应用。
它是一种形式为幂级数的母函数，其中每一项的指数和对应着某个组合对象的特性。
二、定义2.1 母函数的基本概念在组合数学中，母函数是用来描述组合对象的一种工具。
对于一个组合对象，我们可以根据其某种特性，将其抽象为一个序列，其中每一项表示该特性出现的次数。
母函数则是用来表示这个序列的生成函数。
2.2 指数母函数的定义指数母函数是一类特殊的母函数。
对于一个序列(a0,a1,a2,…)，其指数母函数定义为：E(z)=∑a i i!∞i=0z i其中，z是一个复数。
三、性质指数母函数具有许多有用的性质，使得它在计算组合对象的计数问题时非常方便和高效。
3.1 复合性指数母函数具有复合性的性质。
设 A (z )=∑a i i!∞i=0z i 和 B (z )=∑bj j!∞j=0z j 是两个指数母函数，它们对应的序列分别为 (a 0,a 1,a 2,…) 和 (b 0,b 1,b 2,…)。
则它们的复合 C (z )=A(B (z )) 的指数母函数为C (z )=∑c k k!∞k=0z k其中 c k 表示序列 (c 0,c 1,c 2,…) 的第 k 项，c k =∑a i i!k i=0bk−i(k−i )!。
3.2 乘法性指数母函数具有乘法性的性质。
设 A (z )=∑a i i!∞i=0z i 和 B (z )=∑bj j!∞j=0z j 是两个指数母函数，它们对应的序列分别为 (a 0,a 1,a 2,…) 和 (b 0,b 1,b 2,…)。
则它们的乘积 C (z )=A (z )⋅B (z ) 的指数母函数为C (z )=∑c k k!∞k=0z k其中 c k 表示序列 (c 0,c 1,c 2,…) 的第 k 项，c k =∑a i i!k i=0bk−i(k−i )!。
四、应用指数母函数在多个领域都有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用。
组合数学第二章081126
1 C (m.1) x C (m.2) x
2
.... C (m.m) x
n m
得：
C(m+n,r )=C(m,0)C(n,r)+C(m,1)C(n,r-1)+…+C(m,r)C(n,0)
第二章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入 同样利用
1 x 1 1/ x
第二章 母函数与递推关系
2.6 指数型母函数 1 问题提出 设有 n 个元素， 其中元素 a1 重复了 n1 次， 元素 a2 重复了 n2 次， …， ... ak 重复了 nk 次，n=n1+n2+ +nk 从中取 r 个排列，求不同的排列数 如果 n1=n2= =nk=1，则是一般的排列问题。 现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复杂。先考虑 n 个 元素的全排列，若 n 个元素没有完全一样的元素，则应有 n!种排列。 若考虑 ni 个元素 ai 的全排列数为 ni! ，则真正不同的排列数为
...
第二章 母函数与递推关系
2.6 指数型母函数 解的分析 先讨论一个具体问题：若有 8 个元素，其中设 a1 重复 3 次，a2 重 复 2 次，a3 重复 3 次。从中取 r 个组合，其组合数为 cr，则序列 c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7 的母函数为
从 x 的系数可知，这 8 个元素中取 4 个组合，其组合数为 10。这 10 个组合可从下面展开式中得到
第二章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入
... 定义：对于序列 a0，a1，a1， ，定义 G x a0 a1 x a2 x ... 为序
2
... 列 a0，a1，a1， 的母函数。
组合数学第二章2指数型母函数
G ( x) (1 x x x )(1 x x )(1 x x x )
2 3 2 2 3
(1 2 x 3 x 2 3x 3 2 x 4 x 5 ) (1 x x 2 x 3 ) 1 3 x 6 x 2 9 x 3 10 x 4 9 x 5 6 x 6 3 x 7 x 8
2.5 指数型母函数---问题提出
设有n个元素，其中元素a1重复了n1次，元 素a2 重复了n2次，…，ak重复了nk次，
n n1 n2 nk
从中取r个排列，求不同的排列数 如果 n1 n2 nk 1，则是一般的排列 问题。
2.5 指数型母函数---问题提出
x x x Ge ( x) (1 ) 1! 2! n1! x x x x x x (1 ) (1 ) 1! 2! n2 ! 1! 2! nk !
2 n2 2 nk
2
n1
2.5 指数型母函数---举例
由此可以看出指数型母函数在解决有重复 元素的排列时的优越性。 例1：求由两个 a ，1个b ，2个c 组成的不 同排列总数。 根据结论(a)，不同的排列总数为
5! n 30 2!2!1!
2.5 指数型母函数---举例
例2 设{a n }是数列，求它的指数生成函数f(x) e 1)a n =P(m,n), n=0,1,2,... 2)a n =1,
n
n=0,1,2,...
3)a n =b , n=0,1,2,...
m xn 解 :1)f e (x) P(m, n) C(m, n)x n (1 x) m n! n 0 n 0
2 2 1 3
组合数学 第二章
2 nm
5
展开 式 的 各 项具 有 形 式 ： x k1 x k2 ⋯ x km = x k1 + k2 +⋯+ km
其中x k1 来自第一个因式，x k2 来自第二个因式， ， ⋯
x km 来 自 第 m 个 因 式 ， 且 0 ≤ k i ≤ n， i = 1 2 ⋯ m . ， ， ， i
2 2 2
这表明有5种取球情况 :
(i) 常数项1表示一个球也不取,方案只有1种;
(ii) x + y + z 表示取1个球的取法,方案有3种,分 别为 红 、 黑 、白 三 种 球 只取 1 个; (iii) x 2 + xy + xz + yz 表示取2个球的取法,方案有
,1个 ,1个 4种,分别为2个红球,1个红球1个黑球,1个红球1个白 ,1个 球,1个黑球1个白球;
这6个组合是：
aaabbbbccc， aaabbbcccc， aaabbccccc， aabbbbcccc， aabbbccccc， abbbbccccc
14
例3 设有 2个红球,1个黑球,1个白球.问 : (1) 共有多少种不同的选取方法 ? 试加以枚举. (2) 若每次从中任取3个,有多少种不同的取法?
}的 例 1 求 数 列 {a n } 的 母 函 数 ， 其 中 a n 是 多 重 集 { ∞ ⋅ e1 , ∞ ⋅ e 2 , ⋯ , ∞ ⋅ e k } k + n − 1 的 n可 重 组 合 数 . n
《组合数学》教案 2章(母函数)及课后习题讲解
第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法新方法：母函数方法。
基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，算。
2.1 母函数（一）母函数（1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数：()x G ＝nn n n n nx C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数：()x G ＝ +++++nx x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。
● 数列{}n a 与母函数一一对应。
{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++n x x x 20＝xx -1 ● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”。
（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r r r x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。
理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。
【例2.1.3】设有6个红球，7个黑球，8个白球，问 （1） 共有多少种不同的选取方法，试加以枚举？ （2） 若每次从中任取3个，有多少种不同的取法？ （解）（1）元素符号化（x ，y ，z ↔红、黑、白球），元素的个数以符号的指数区分。
母函数G (x , y , z ) ＝(1＋x ＋x 2) (1＋y ) (1＋z )＝1＋(x ＋y ＋z )＋(x 2＋xy ＋xz ＋yz )＋(x 2x ＋x 2x ＋xxx )＋( x 2yz )5种情况：① 数字1表示一个球也不取的情况，共有1种方案； ② 取1个球的方案有3种，即红、黑、白三种球只取1个； ③ 取2个球的方案有4种，即2红、1红1黑、1红1白、1黑1白； ④ 取3个球的方案有3种，即2红1黑、2红1白、三色球各一； ⑤ 取4个球的方案有1种，即全取。
组合数学 教学大纲
《组合数学》课程教学大纲课程名称：组合数学英文名称：Combinatorial Mathematics 课程代码: ZS1051001课程类别: 专业选修学分: 3 学时: 48开课单位: 理学院适用专业: 数学与应用数学（师范教育方向）制订人：审核人：审定人:一、课程性质与目的（一）课程的性质组合数学是高等师范院校数学与应用数学专业的专业选修课。
组合数学起源于古代的数学游戏和美学消遣，它以无穷的魅力激发人们的聪明才智和数学兴趣。
组合数学的离散性及其算法与计算机的结合已在现代科学技术中发挥出极为重要的作用。
它的一个重要组成部分——试验设计有着重大的应用价值，它的数学原理就是组合设计。
用组合设计的方法解决实际应用中的试验设计问题在西方发达国家已经得到了广泛的重视，并投入了大量的人力物力进行相关的研究与产品的开发。
所以说，组合数学是一门提高思维分析能力和自我构造算法本领的课程。
（二）课程的目的通过本课程的学习要求学生理解组合数学的基本概念与基本原理，掌握组合理论的基本方法和技巧，提高学生综合应用排列与组合、代数与编码、优化与规划的能力，为深入研究组合数学打好基础。
二、与相关课程的联系与分工本课程是数学与应用数学专业的专业选修课，它以数学分析、高等代数、概率论为基础，培养学生逻辑推理能力，科学计算能力，解决实际问题的能力，对离散问题的分析能力，为编程与编码作准备。
组合数学不仅在计算机软件科学技术中有着重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析，电子工程、数字通讯等诸多领域中也具有广泛而重要的应用。
三、教学内容及要求第一章排列与组合【教学要求】掌握加法法则与乘法法则，会利用排列与组合解决具体的实际问题。
【教学重点】加法法则与乘法法则；一一对应；排列与组合；组合意义的灵活运用；【教学难点】排列的生成算法；允许重复的组合与不相邻的组合；【教学内容】第一节加法法则与乘法法则第二节一一对应第三节排列与组合一、排列与组合的模型二、排列与组合问题的举例第四节圆周排列第五节排列的生成算法一、序数法二、字典序法三、换位法第六节允许重复的组合与不相邻的组合一、允许重复的组合二、不相邻的组合三、线性方程的整数解的个数问题四、组合的生成第七节组合意义的解释第八节应用举例第九节Stirling公式*一、Wallis公式*二、Stirling公式的证明第二章递推关系与母函数【教学要求】会利用递推关系与母函数解决实际问题。
组合数学 第2章习题解答
( a )G
2
= (1 − x )
−4
= ∑ C ( n + 3,3) x n
n=0
∞
2.4 已知母函数 1 − x − 56 x 2，求对应的序列
注意到 1－x-56x2=(1-8x)(1+7x)， 用A/(1-8x)+B/(1+7x)的分子等于3-9x 待定A，B的方程组为： A + B = 3 7 A − 8 B = −9 解出A＝1，B＝2 G(x)=1/(1-8x)+2/(1+7x) 利用基本母函数1/(1-x) an=8n-7n
• 解：G(x)=/Sum{0,n}(anxn) • 参考p61，例2－13，2－14， • 参考p111， 例2－63
2.48有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个， 问从中取出10个球，试问有多少种不同的取法？ 用指数型母函数，可得母函数 x x2 4 x x 2 x3 3 G ( x) = (1 + + ) ⋅ (1 + + + ) 1! 2! 1! 2! 3!
• 用多项式除法，解出a0，a1均为1
1− x + x
2
1 1
1 1 −x x2
2
• P68 x −x • 将(1-x+x2)分解因子，转化为基本母函数.引 用P59，定理2－1. 并参考p56例子2－11. • 这个题目整体都做的不错
2.18（1）课练，用母函数法求 an-6an-1+8an-2=0
注：这个题目中有同学使用的符号 n指代比较 混乱。虽然最后结果对，但过程中未体现出逻 辑的连贯性。 也有同学用积分和求导渐次推理得到正确结论。 十分可贵。不过有的人在最后写有一个 m次方， 令人困惑
Chap2-2Ferrers图像、指数型母函数
2.5 指数型母函数---解的分析
若研究从中取4个的不同排列总数,以 x x 对 应的两个的不同排列为例,其不同排列数为 4! 6 2!2! 即 a1a1a3a3 , a1a3a1a3 , a3a1a3a1 , a1a3a3a1 , a3a3a1a1 , a3a1a1a3 ,
2 2 1 3
六种。同样,1个 a1 3个 a3 的不同排列数为 4! 4 3!
现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复 杂。先考虑 n 个元素的全排列，若 n 个元素没有 完全一样的元素，则应有 n! 种排列。若考虑 ni 个元素 ai 的全排列数为 ni! ， 则真正不同的排列数为
n! n1!n2 ! nk !
2.5 指数型母函数---问题提出
先讨论一个具体问题 : 若有8个元素，其中 a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次，从中取 r个组合，其组合数为cr , 则序列 c0 , c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , c7 的母函数为
2.5 指数型母函数---举例
x x2 x x 2 x3 Ge ( x) ( )(1 x)(1 ) 1! 2! 1! 2! 3! x2 x4 (1 ) 2! 4! 3 2 1 3 2 3 2 ( x x x )(1 x x x 2 2 3 7 4 1 5 x6 x7 x x ) 24 8 48 144
综上可得如下两个结论：
(1) 若元素 a1有n1个，元素a2有n2 个，…… 元素ak有nk个，由此组成的n个元素的排列， 不同的排列总数为
其中
n! n1!n2 ! nk !
n n1 n2 nk
2.5 指数型母函数---解的分析
(2)若元素 a1有n1个，元素a2有n2 个，…… 元素ak有nk个；由此组成的n个元素中取r个 排列，设其不同的排列数为cr 。则序列 c0, c1, c2,…cn的指数型母函数为
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x2 x3 x ) ( x x x x x x x x1 x2 x3
3 3 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3
x x x x x x x ) (x x x x x x
2 2 3 2 1 3 2 2 3 3 3 3 1 3 3 2 3
n k n n
Ae(x),Be(x),Ce(x), 由性质1知 Be(x)=Ae(x) Ce(x)， 而 Ce(x)=e 于是 ex Be(x)=A e(x) 再由性质1立得结论
-x
2.5 指数型母函数---举例
定理1 设多重集S {n1 a1 ,n 2 a 2 ,...,n k a k }，对任意 的非负整数n,令a n为S的n-排列数，设数列{a n } 的指数母函数为f(x), 则 e f(x)=f fnk(x) e n1(x) fn2(x) ... x x 其中 fni(x)=1+x+ ... , i 1,2,...k 2! ni !
2 2 1 3
2 2 2 2 x1 x2 x3 x2 x3 x13 x3 x12 x2 x3 x1 x2 x3 x13 x3
x x )
2 2 1 2
2.5 指数型母函数---解的分析
其中4次方项有
3 2 2 2 2 2 3 x1 x 3 x x x x x x x x x x 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 x3
2.5 指数型母函数－解的分析
为便于计算,利用上述特点,形式地引进函数
x x x x x Ge ( x) (1 )(1 ) 1! 2! 3! 1! 2! 2 3 x x x (1 ) 1! 2! 3!
2
3
2
2.5 指数型母函数---解的分析
7 3 5 4 1 5 G e (x) (1 2x 2x x x x ) 6 12 12 1 2 1 3 (1 x x x ) 2 6 9 2 14 3 35 4 17 5 1 3x x x x x 2 3 12 12 35 6 8 7 1 8 x x x (2 5 2) 72 72 72
2.5 指数型母函数---解的分析
定义： 对于序列 a0 , a1 , a2 , ，函数
a1 a2 2 a3 3 Ge ( x) a0 x x x 1! 2! 3! ak k x k!
称为是序列 a0 , a1 , a2 ,的指数型母函数
2.5 指数型母函数---解的分析
G ( x) (1 x x x )(1 x x )(1 x x x )
2 3 2 2 3
(1 2 x 3 x 2 3x 3 2 x 4 x 5 ) (1 x x 2 x 3 ) 1 3 x 6 x 2 9 x 3 10 x 4 9 x 5 6 x 6 3 x 7 x 8
2.5 指数型母函数---举例
x x2 x x 2 x3 Ge ( x) ( )(1 x)(1 ) 1! 2! 1! 2! 3! 2 4 x x (1 ) 2! 4! 3 2 1 3 2 3 2 ( x x x )(1 x x x 2 2 3 7 4 1 5 x6 x7 x x ) 24 8 48 144
x x x Ge ( x) (1 ) 1! 2! n1! x x x x x x (1 ) (1 ) 1! 2! n2 ! 1! 2! nk !
2 n2 2 nk
2
n1
2.5 指数型母函数---举例
由此可以看出指数型母函数在解决有重复 元素的排列时的优越性。 例1：求由两个 a ，1个b ，2个c 组成的不 同排列总数。 根据结论(a)，不同的排列总数为
2.5 指数型母函数---解的分析
若研究从中取4个的不同排列总数,以 x 2 x 2 对 1 3 应的两个的不同排列为例,其不同排列数为 4! 6 2!2! 即 a1a1a3a3 , a1a3a1a3 , a3a1a3a1 , a1a3a3a1 , a3a3a1a1 , a3a1a1a3 ,
六种。同样,1个 a1 3个 a3 的不同排列数为 4! 4 3!
n k
n =(-1) a k(-1)n-k k 0 k
n n
2.5 指数型母函数---举例
n 记c n k (1) , 则 (-1) bn = a kcn-k k 0 k n 再令bn =(-1) bn , 记{a n },{bn },{c n }的指数母函数为
xn 2)f e (x) 1 ex n! n 0
n x 3)f e (x) b n e bx n! n 0
2.5 指数型母函数---分析
下面简单介绍指数型母函数的性质
性质1 设{a n }{b n }的指数母函数为Ae (x)Be (x), 则 x Ae (x) Be (x) Cn , n! 其中 n Cn a k bn k k 0 k
n n
2.5 指数型母函数---举例
n 例3 设{a n }是一个数列，若bn =(-1) a k k 0 k n k n 则 a n (-1) b k k 0 k n n n n k 证明：令bn =(-1) a k a k(-1)2n-k k 0 k 0 k k
5! n 30 2!2!1!
2.5 指数型母函数---举例
例2 设{a n }是数列，求它的指数生成函数f(x) e 1)a n =P(m,n), n=0,1,2,... 2)a n =1,
n
n=0,1,2,...
3)a n =b , n=0,1,2,...
m xn 解 :1)f e (x) P(m, n) C(m, n)x n (1 x) m n! n 0 n 0
2.5 指数型母函数---举例
例4：由1，2，3，4四个数字组成的五位 数中，要求数1出现次数不超过2次，但不 能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出 现次数可达3次，也可以不出现；4出现次 数为偶数。求满足上述条件的数的个数。 解:设满足上述条件的r位数为ar 序列 a1 , a2 , a10 的指数型母函数为
n m1 m 2 ...m k n
其中求和是对方程 m1 m 2 ...m k n, mi n i ,i 1, 2,..., k n! 的一切非负整数来求解。另一方面， 就是 m1 !m 2 !..m k ! S的n元子集m1 e1 , m 2 e 2 ,..., m k e k 的排列数。如果 对所有满足上述方程式的m1 , m 2 ,...m k 求和，就是S的 所有n元子集的排列数，也就是S的n-排列数。所以， xn f e (x)的展开式中 的系数a n就是多重集S的n-排列数。 n!
2 1 2 2 2 2 2 ( x13 x12 x2 x1 x2 ) ( x13 x2 x12 x2 ) x13 x2 ]
(1 x3 x x )
2 3 3 3
2.5 指数型母函数---解的分析
1 (1 x1 x2 x3 ) ( x x1 x2 x x1 x3
2
2.5 指数型母函数---解的分析
从(2-5-2)式计算结果可以得出：取一个的 排列数为3，取两个的排列数为29/2=9 取3个的排列数为 此等等。把(25-2)式改写成下面形式便一目了然了。
3 9 2 28 3 70 4 170 5 G e (x) 1! x x x x x 1! 2! 3! 4! 5! 350 6 560 7 560 8 x x x (2 5 3) 6! 7! 8!
x x 2x3 x x x3 x x x x
2 1 2 1 2 3 1 3 2 1
2 2
(2 5 1)
(2-5-1)表达了从8个元素(a1,a3各3个,a2 3 2个)中取4个的组合。例如 x1 x3 为一个 a1 ， 2 2 a x1 x3 为两个a1 ，两个 a3 的组 3个 3的组合， 合，以此类推。
2.5 指数型母函数---问题提出
设有n个元素，其中元素a1重复了n1次，元 素a2 重复了n2次，…，ak重复了nk次，
n n1 n2 nk
从中取r个排列，求不同的排列数 如果 n1 n2 nk 1，则是一般的排列 问题。
2.5 指数型母函数---问题提出
2.5 指数型母函数---解的分析
即
a1a3a3a3 , a3a1a3a3 , a3a3a1a3 , a3a3a3a1 , 以此类推。故从(2-5-1)式可得问题的解， 其不同的排列数为 1 1 1 1 1 1 4!( 1!3! 1!3! 2!2! 1!1!2! 2!2! 3!1! 1 1 1 1 ) 2!1!1! 1!2!1! 3!1! 2!2! 4 3 3 4 2!2!3 3!3 2!3! 4!( ) 4! 3! 2!2! 2! 2!2!3! 16 18 36 70
2 ni
证明:考察f(x) 的展开式中xn的项，它一定是下面的 e x m1 x m2 x mk 这种项之和： ... ， m1 ! m2 ! mk !
2.5 指数型母函数---举例
其中m1 +m 2 +..+m k =n, 0 mi n i ,i 1, 2,....k 而这种项又可以写成 x n! x . m1 !m 2 !...m k ! m1 !m 2 !..m k ! n! x 所以在f e (x)的展开式中 的系数是 n! n! an m1 !m 2 !..m k !