初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
专题全等三角形常见辅助线做法及典型例题
全等三角形辅助线做法总结 图中有角平分线;可向两边作垂线.. 也可将图对折看;对称以后关系现..角平分线平行线;等腰三角形来添.. 角平分线加垂线;三线合一试试看..线段垂直平分线;常向两端把线连.. 要证线段倍与半;延长缩短可试验..三角形中两中点;连接则成中位线.. 三角形中有中线;延长中线等中线..一、截长补短法和;差;倍;分截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段;证明剩余的线段与另一段相 等截取----全等----等量代换补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等;再证明延长段与另一短线段相等延长 ----全等----等量代换例如：1;已知;如图;在△ABC 中;∠C ＝2∠B;∠1＝∠2..求证：AB=AC+CD..2;已知：如图;AC ∥BD;AE 和BE 分别平分∠CAB 和∠DBA;CD 过点E ．求证：1AE ⊥BE ； 2AB=AC+BD ．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等或图形不完整时;添加公共边或一其中 一个图形为基础;添加线段构建图形..公共边;公共角;对顶角;延长;平行例如：已知：如图;AC 、BD 相交于O 点;且AB ＝DC;AC ＝BD;求证：∠A ＝∠D..三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC ＝BD;AD ⊥AC 于A ;BC ⊥BD 于B;求证：AD ＝BC四、遇到角平分线;可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线“对折”全等例如：已知;如图;AC 平分∠BAD;CD=CB;AB>AD..求证：∠B+∠ADC=180..五、遇到中线;延长中线;使延长段与原中线等长“旋转”全等 例如：1如图;AD 为 △ABC 的中线;求证：AB ＋AC ＞2AD..三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半2;已知：AB=4;AC=2;D 是BC 中点;AD 是整数;求AD..3;如图;已知：AD 是△ABC 的中线;且CD=AB;AE 是△ABD 的中线;求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线;常作垂直平分线上一点到线段两端的连线可逆 ：遇到两组线段相等;可试着连接垂直平分线上的点 例如：在△ABC 中;∠ACB=90;AC=BC;D 为△ABC 外一点;且AD=BD;DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E;求证：DE=AE+BC..七、遇到等腰三角形;可作底边上的高;或延长加倍法“三线合一”“对折”例如： 如图;ΔABC 是等腰直角三角形;∠BAC=90°;BD 平分∠ABC 交AC 于点D;CE 垂 直于BD;交BD 的延长线于点E..求证：BD=2CE..八、遇到中点为端点的线段时;延长加倍次线段例如：如图2：AD 为△ABC 的中线;且∠1＝∠2;∠3＝∠4;求证：BE ＋CF ＞EF九、过图形上某点;作特定的平行线“平移”“翻转折叠” 例如：如图;ΔABC 中;AB=AC;E 是AB 上一点;F 是AC 延长线上一点;连EF 交BC 于D; 若EB=CF..求证：DE=DF.. AD BCD CB A 110 图OC A EB D。
八年级三角形辅助线作法及答案解析
三角形辅助线作法一.“分角两边作垂线，垂直平分连两端” 例1. 如图，在ABC Rt 中，ACB 90A 30∠=∠=，,BD 平分ABC ∠；若CD 3cm =，求AD 的长度？分析：本题不添辅助线也可以求得AD 的长度，但环节要多，书写的步骤也就较多，浪费时间；若过ABC ∠的平分线AD 的点D 向AB 垂线，根据角平分线的性质可以得出DE CD 3cm ==;在AED Rt 有A 30∠=,所以()AD 2DE 236cm ==⨯=.点评：本题的关键是通过过ABC ∠的平分线AD 的点D 向AB 垂线后，使得DE CD 3cm ==的转换后，使得线段AD 的长度在AED Rt便可轻松求得；真可谓是“分角两边作垂线，线段相等好转换”. 例2.如图所示，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ． 分析：根据题中条件容易求出B C 30∠=∠=；本题从结论出发自然会想到“在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半”这条性质，而这一个“结”，在当我们连结AF 解开了. 略证：连结AF∵AB AC = ,∴B C ∠=∠ ; 又BAC 120∠=,∴B C 120∠+∠= ∴B C 30∠=∠=.∵EF 垂直平分AC ∴FA FC = ∴FAC C 30∠=∠= 又BAC 120∠= ∴BAF 1203090∠=-=∵B 30∠= ∴BF 2AF = ∵FA FC = ∴BF 2CF =点评：本题的关键是通过连结AF ，使得FA FC =的转换后，使得在BAF Rt 中有BF 2AF =，然后进一步证得BF 2CF =；真可谓是“垂直平分两端连，线段相等好转换”.二.“等腰作三线，解答更方便”例. 如图，,AB AE AC AD ==,点B C D E 、、、在同一直线上.求证：BC ED =分析：本题通过证明ABC ≌AED 能证明BC ED =.但本题若作AF BE ⊥更为简捷.略证：过A 作AF BE ⊥，垂足为F .又∵,AB AE AC AD == ∴,BF EF CF DF ==（三线合一）∴BF CF EF DF -=-即BC ED =点评：本题的关键是抓住,AB AE AC AD ==即ABE 和ACD 都是等腰三角形的特点，在等腰三角形的性质中的“三线合一”中的等腰三角形的“底边上的高线与底边上的中线互相重合”，两次推理即可完成推理，这比通过证明三角形全等少了一大半的环节；真是“等腰作三线，解题更方便”. 所谓“作三线” 也就是作等腰三角形底边上的高线或作等腰三角形底边上的中线或作等腰三角形顶角的平分线.三、“图中出现‘T ’字形，连成等腰三角形”例.已知：ABC ∆中，高AD 与BE 相交于点F ,且AD BD =,G I 、分别是 AC BF 、上的点，且AG BI =，H 为IG 的中点. 求证：DH IG ⊥分析：我们学了等腰三角形的“三线合一”后，证明垂直关系又多 了一条途径，本题中的“T ”形（见图中的粗线部分）中，有H 为IG 的中点，若连结DI DG 、，并证明到,根据等腰三角形的“三线合一”的等腰三角形的底边上的中线与底边上的高线互相重合即可证明DH IG ⊥.根据题中的条件能证明DI DG =.略证：连结DI DG 、.∵AD 与BE 是ABC 的BC AC 、的高 ∴AD BC BE AC ⊥⊥、 ∴ADC BEC 90∠=∠=∴EBC C 90DAC C 90∠+∠=∠+∠=， ∴EBC DAC ∠=∠ 于是在BDI 和DAG 中有: AD BD =,EBC DAC ∠=∠,AG BI = ∴BDI ≌DAG ∴DI DG = ∵H 为IG 的中点∴DH IG ⊥(三线合一).点评：本题的关键是在图中出现的“T ”形（见图中的粗线部分）中，有H 为IG 的中点，连结DI DG 、后，非常容易联想到证明DI DG =构成等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一“获得证明.请记住“图中出现‘T ’字形，连成等腰三角形”.四.“线段和差要证好，‘截长补短’不可少”例1.已知：如图，ABC ∆中，,AB AC A 108=∠=,CD 平分BCA ∠交AB 于D .求证：BC CE BD =+分析: 证明线段的和差关系比较抽象，有许多要通过“截长补短”的办法来添辅助线来破题.本题采用截长法，若在BC 上截取CE CA =,连结DE 后易证CDE ≌CDA （SAS ）,所以DEC A 108∠=∠= ∴DEB 180DEC 18010872∠=-∠=-= ∵,AB AC A 108=∠= ∴()1B 180108362∠=-= 在BDE 中，BDE 180B BED 180367272∠=-∠-∠=--= ∴BED BDE ∠=∠ ∴BD BE =.由BC CE BE =+可得BC CE BD =+.例2.如图，已知：ABC ∆中，12A ∠=∠，AD 评分ACB ∠求证：AC BC DE =+分析: 证明线段的和差关系比较抽象，有许多要通过“截长补 短”的办法来添辅助线来破题.本题采用截长法或补短法均可，下面我们采用“补短法”. 延长CB 至E ,使CE CA =,此时由于有CE CB BE =+,所以AC CB BE =+;由题中的条件容易证明ACD ≌ECD （SAS ）,得出E A ∠=∠;∵,12A 1E 2∠=∠∠=∠+∠∴E 2∠=∠ ∴BD BE =E∴AC CB BE =+.点评：在证明一条线段等于另外两条线段的和差，可以在较长的一条线段上截取一条线段等于和差中其中一较短的一线段，称为“截长法”；在较段的一条线段的延长线上截取一条线段和原线段的和等于和差中较长的一条线段，称为“补短法”. “截长补短”法的核心还是通过辅助线构造全等三角形来转换，上面两例就是这样.真是“线段和差要证好，‘截长补短’不可少”.五.“两边之间夹中线，倍长中线全等见”例.已知：ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，AB 3AC 5==，;求AD 的取值范围？分析:在几何图形中，求一条线段的取值范围，我们自然会联想到三角形的三边之间的关系，而本题的已知的AB 3AC 5==，和要求取值范围的线段AD 并非为同一三角形的三边，所以我们要想办法把这三条线段“搬”到同一三角形中；本题若采取倍长中线的办法可以获得解决.如图，若延长AD 至E ,使DE AD =连结BE ;容易证明ACD ≌EBD （SAS ）, ∴BE AC 5==；在ABE 中，有BE AB AE BE AB -<<+,即：2AE 8<<,又AE AD DE 2AD =+=, ∴,22AD 8<<故1AD 4<<.点评：在几何解答题中，要把分散的条件在图中集中起来（也就是“化归”），常常要通过构造全等三角形来变更有些角或线段的位置，倍长中线是比较重要的途径.请记住: “两边之间夹中线，倍长中线全等见”.。
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三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出 来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位 置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题例：已知 D ABC 内任一点，求证：/ BDC >/BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ,•••/ BDC >△ EDC 的外角， •••/ BDC >/ DEC同理：/ DEC >Z BAC •••/ BDC >Z BAC证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F•••/ BDF 是厶ABD 的外角,•••/ BDF >Z BAD 同理/ CDF >Z CAD•••/ BDF +Z CDF >Z BAD +Z CAD 即：/ BDC >Z BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形例：已知，如图， AD ABC 的中线且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4, 求证：BE + CF > EF证明：在 DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，贝U DN 在厶BDE和厶NDE 中，DN = DB/ 1 = / 2ED = ED•••△ BDE ◎△ NDE• BE = NE 同理可证：CF = NF在厶 EFN 中, EN + FN > EF • BE + CF > EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形例：已知，如图， AD ABC 的中线，且/ 1 = / 2, / 3 = / 4,求证：BE + CF >EF 证明：延长 ED 至U M ，使DM = DE ，连结 CM 、FM△ BDE 和厶CDM 中，BD = CD/ 1 = / 5ED = MD•••△ BDE ◎△ CDM• CM = BE又•••/ 1 = / 2, / 3 = / 4/ 1 + / 2 +/ 3 + / 4 = 180°=DCCFC•••/ 3 +Z 2 = 90°即/ EDF = 90/ EDF = 90△ EDF 和厶MDF 中ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF• △ EDF ◎△ MDF• EF = MF•••在△ CMF 中，CF + CM > MFBE + CF > EF（此题也可加倍 FD ，证法同上）4.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形 .例：已知，如图， ADABC 的中线，求证： AB + AC >2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE•/ AD ABC 的中线• BD = CD在厶ACD 和厶EBD 中BD = CD/ 1 = / 2AD = ED• △ ACD EBD •/△ ABE 中有 AB + BE >AE • AB + AC > 2AD5. 截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法 .当已知或求证中涉及到线段 a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法: ① a > b ② a ±3 = c ③ a ±3 = c ±i例：已知，如图，在△ ABC 中，AB > AC ，/ 1 = / 2, P 为AD 上任一点，求证：AB — AC > PB - PC证明：⑴截长法： 在AB 上截取AN = AC ，连结PN在厶APN 和厶APC 中，AN = AC/ 1 = / 2AP = AP• △ APN ◎△ APCME•PC = PN•/△ BPN 中有PB —PC v BN••• PB —PC v AB —AC⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在厶ABP和厶AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP•△ ABP ◎△ AMP•PB = PM又•••在△ PCM 中有CM > PM —PC• AB —AC > PB —PC练习：1.已知，在△ ABC中，/ B = 60o,AD、CE是厶ABC的角平分线,并且它们交于点0求证：AC = AE + CD2•已知，如图，AB // CD / 1 = / 2，/3 = / 4.求证：BC = AB + CD6. 证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)
三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN= DC 在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180oFABC DE D C B A4321NF E DC B A∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BNMA BC D E F12345 12E DC B AP 12N DCB A∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
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三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180oFABC DE D C B A4321NF E DC B A∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BNMABC D E F12345 12E DB AP 12N DCB A∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
全等三角形六种辅助线方法及例题
全等三角形六种辅助线方法及例题全等三角形是初中数学中一个非常重要的概念，掌握全等三角形的判定方法和辅助线方法对于解题至关重要。
本文将介绍全等三角形的六种辅助线方法，并结合例题进行详细讲解。
一、辅助线法1.等角分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点与三角形的另外一个顶点相连，得到一条辅助线。
这条辅助线将三角形分成两个等角的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
2.中线法：将三角形任意两边的中点相连，得到三角形的中线。
相等的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
3.高线法：将三角形内任意一条边的垂线向另外两边引出，得到三角形的高线。
相等的高线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
4.角平分线法：将三角形内角的平分线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线。
相等的角平分线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
5.角平分线中垂线法：将三角形内角的平分线的中垂线相互交点构成的点相连，得到三角形的角平分线中垂线。
相等的角平分线中垂线将三角形分成两个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
6.外心连线法：将三角形外接圆心与三角形三个顶点分别相连，得到三条辅助线。
这三条辅助线相等，将三角形分成三个面积相等的小三角形，从而得到相似或全等三角形。
二、例题解析1.已知△ABC，点D,E分别为BC,AB边上的中点，连接AD，BE相交于点F，求证：△DEF≌△ABC。
解析：由题意可知，△ABC是由两个等腰三角形组成的，因此可使用中线法证明两个三角形的全等。
由于D，E分别是BC,AB边上的中点，因此DE是AC中线，即DE=1/2AC；同理，AE是BC中线，AF=1/2BC。
因此，△ADB和△AEC是等腰三角形，且AD=EC，AB=AB，∠BAC=∠BAC，因此△ADB≌△AEC。
又因为DE是AC中线，BF是AE中线，因此DE=1/2AC，BF=1/2AE。
初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线 （一）、截取构全等例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
例2． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD图1-2DBC图1-4C分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？ （二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。
近而证∠A DC 与∠B 之和为平角。
例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
【强烈推荐】八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面).(优选.)
最新文件---- 仅供参考------已改成word 文本 ------ 方便更改三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BEABC DE D C B A4321NFE DCBA又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中 ED = MD∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD在△ACD 和△EBD 中 BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC MABCDE F1234512ED BAP 12N CB A∴PC = PN∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
初中数学八年级全等三角形辅助线做法大全(中考必备通用)
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF
又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
1、 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，
且∠DCE=45°。求证：DE2=AD2+BE2。
提示：把三角形ACD绕逆时针旋转90
在三角形中，常采用延长中线为原来的2倍，构造全等三角形来解题。
例如图， 是 的边 上的点，且 ， ， 是 的中线。求证： 。
思路分析：要证明“ ”，不妨构造出一条等于 的线段，然后证其等于 。因此，延长 至 ，使 。
解答过程：延长 至点 ，使 ，连接
在 与 中
(S)
，
又
，
在 与 中
(SAS)
又
。
平分 ， 于 ， 于
，
，且 于 ， 于
为 的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。
[举一反三]
2、如图，已知OP平分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180°，
解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。
[举一反三]1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．
2、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，
AB=5，AC=3，（1）则中线AD的取值范围是_________.
4、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。
初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
例2．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。
近而证∠ADC与∠B之和为平角。
例2．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：∠BAC 的平分线也经过点P。
专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题
专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题全等三角形辅助线做法总结：在图中有角平分线时，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
当角平分线平行线时，等腰三角形来添。
而角平分线加垂线时，三线合一试试看。
当线段垂直平分线时，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点连接则成中位线，而三角形中有中线时，延长中线等中线。
一、截长补短法（和，差，倍，分）：截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换）。
补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换）。
例如：1，已知如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD。
2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中一个图形为基础，添加线段）构建图形（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）。
例如：已知如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。
三、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC。
四、遇到角平分线时，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等）例如：已知如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180.五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等）。
例如：1如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。
（三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半）2，已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。
3，如图，已知：AD是△ABC的中线，且CD=AB，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆：遇到两组线段相等，可试着连接垂直平分线上的点）例如：在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC,D为△ABC外一点，且AD=BD,DE⊥AC交AC的延长线于E,求证：DE=AE+BC。
初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题 (优选.)
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也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB +CD 。
例2． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD图1-2DBC图1-4C分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。
(完整版)初二数学辅助线常用做法及例题(含答案)
DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
初中数学三角形辅助线大全(精简、全面)
三角形作辅助线方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ，∵∠BDC 是△EDC 的外角，∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC在△BDE 和△NDE 中，DN = DB ∠1 = ∠2ED = ED ∴△BDE ≌△NDE∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180oFABC DE D C B A4321NF E DC B A∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o△EDF 和△MDF 中 ED = MD ∠FDM = ∠EDFDF = DF ∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD 在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，求证：AB －AC ＞PB －PC证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN在△APN 和△APC 中， AN = AC∠1 = ∠2AP = AP ∴△APN ≌△APC ∴PC = PN ∵△BPN 中有PB －PC ＜BNMABC D E F12345 12E DB AP 12N DCB A∴PB －PC ＜AB －AC⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM ∠1 = ∠2 AP = AP∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM 又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC 的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AE ＋CD2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4. 求证：BC = AB ＋CD6.证明两条线段相等的步骤：①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
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数学专题——三角形中的常用辅助线
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；
（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
例3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。
求证：∠B+∠ADC=180°。
解题后的思考：
①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；
②见中点即联想到中位线。
（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
例4：如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF 交BC于D，若EB=CF。
求证：DE=DF。
例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。
④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。
（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例6：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例
有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF ＞EF。
二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例：：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求
证：BE＋CF＞EF
三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角A
B
C
D
E F
N
1
图
1
234
2
图
A
B
C
D
E F
1
23
4
形。
例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。
四、截长补短法作辅助线。
例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。
求证：AB －AC ＞PB －PC 。
A B
C
D
E
A
B
C
D E
F
4
图
五、延长已知边构造三角形：
例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC A
B
C
D
N
M
P
5
图
1
2
A B
C D
E
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图
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