变化率导数及其计算(师)
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
变化率的“视觉化”， %越大，曲线y = f(x)在区间［X 1, X 2］上越“陡峭”，反之亦然 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 则fx2― fx1X 2 — X 1知识点二瞬时速度与瞬时变化率 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s = s(t)描述，设 A 为时间改变量，在t o + A t 这段时间内，物体的位移 (即位置)改变量是A s = s(t o ^ At) — s(t 0)，那么位移改变量 A s 与时间改变量A t 的比就是这段时间内物体的平均速度s s t o + A t — s t oV ，即 V = A t = A t1.1.1 变化率问题1.1.2导数的概念［学习目标］1•理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念 .2.掌握函数平均变化率的求法 3掌握导数的概念，会用导 数的定义求简单函数在某点处的导数 . 知识梳理自主学习知识点一函数的平均变化率 1•平均变化率的概念 设函数y = f(x), X 1, X 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f X2 — f X1我们把这个式子称 X 2 — X 1 为函数y = f(x)从X 1到X 2的平均变化率，习惯上用 A x 表示X 2 — X 1，即A x = X 2— X 1，可把A x 看作是相对于X 1的一个 “增量”，可用 X 1+ A x 代替X 2；类似地，A y = f(X 2)— f(X 1).于是，平均变化率可以表示为A y A2•求平均变化率 求函数y = f(x)在［*, x 2］上平均变化率的步骤如下: (1)求自变量的增量 A x = X 2— X 1 ； ⑵求函数值的增量 A y = f(x 2)- f(x 1); ⑶求平均变化率A x X 2 — X 1 A y f X 2 — f X 1 f X 1 + A x — f X 1 A x 思考 (1)如何正确理解 A x , A y? (2)平均变化率的几何意义是什么？ 答案(1) A 是一个整体符号，而不是 △与X 相乘，其值可取正值、负值，但 时0 ；A y 也是一个整体符号，若 A x=X 1 — x 2，贝U A y = f(X 1)— f(X 2)，而不是 A y = f(X 2)— f(X 1), A y 可为正数、负数，亦可取零(2)如图所示: y = f(x)在区间［X 1, X 2］上的平均变化率 “数量化”，曲线陡峭程度是平均 y = f(x)图象上有两点 A(X 1, f(X 1)) , B(X 2, f(X 2)),物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t o 的速度，即t o 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在t o 时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在t o 到t o +A t 这段时间内的平均变化率 s+弓+_在A t T 0时的极限，即v = limA ss t o + A t — s t o 一 一△t = ym o 石 •瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率 .思考(1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？ 答案⑴其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 o 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢 •⑵①区别：平均变化率刻画函数值在区间［X 1, X 2］上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x o 点处变化的快慢；②联系：当A X 趋于o 时，平均变化率A y 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x o 处的瞬时变化率，它是一个固定值 • 知识点三导数的概念函数y = f(x)在x = x o 处的导数一般地，函数y = f(x)在x = xo 处的瞬时变化率是 |im o 多=妁。
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
变化率与导数
导数的概念
一般地, 函数 y＝f(x) 在点x＝x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 + Dx ) f ( x 0 ) Dy lim lim Dx 0 D x Dx 0 Dx
我们称它为函数 y ＝ f (x)在点x＝x0处的导数， 记为 f '(x0)或 y'| x＝x0 ,即
f ( x0 + Dx ) f ( x0 ) Dy f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
Dx 0
曲线在点(x0 , f(x0))处的切线的方程为： y－f (x0) ＝ f '(x0)(x－x0)
例2 求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1,2)处的 切线方程.
解：
y
△y
因此,切线方程为
y－2＝2(x－1),
P △x
即 y ＝ 2x.
O
1
x
【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标；
变化率与导数
平均变化率
我们把式子
f ( x2 ) f ( x1 ) 称为函数 x2 x1
y＝f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x ＝ x2－x1 , △ y ＝ f (x2) －f (x1) ,则
△y f ( x 2 ) f ( x1 ) ＝ △x x 2 x1
平均变化率
例题分析
例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品, 需要对原油进冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: oC) 为 f(x)＝x2－7x＋15 (0≤x≤8). 计算第2h 与低6h时原油温度的瞬时变化 率，并说明它们的意义。
解:
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 计算导数教案 北师大版选修1-1
计算导数教学过程：一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3问题1：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题2：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？二、新授1、基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数)⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺'=由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x xααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =（4）x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '例2：已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
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【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
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所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
课时训练 变化率与导数、导数的运算(北师大版)
A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()．A．－1 B．－2 C．2 D．0答案 B2．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为()．A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．(1,0)解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f (x)中可得P(1,0)．答案 D3．(2012·黄石模拟)已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝()．A．e2B．e C.ln 22D．ln 2解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案 B4．(2011·江西)曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为()．A．1 B．2 C．e D.1 e解析∵y′＝e x，故所求切线斜率k＝e x|x＝0＝e0＝1.答案 A5．(原创题)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n ∈N，则f2 013(x)等于()．A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 解析∵f0(x)＝sin x，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，…∴f n(x)＝f n＋4(x)，故f2 012(x)＝f0(x)＝sin x，∴f2 013(x)＝f′2 012(x)＝cos x.答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·苏州十校联考)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 由已知：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x . 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案 07．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点的切线方程为__________．解析 由y ＝ln x 得，y ′＝1x ，∴y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝ln x 在与x 轴交点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝08．若过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x ，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e 三、解答题(共23分)9．(11分)求下列函数的导数：(1)y ＝x e 1－cos x ；(2)y ＝x cos x －sin x ；(3)y ＝sin x cos x ； (4)y ＝x 2e x ；(5)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(6)y ＝x (1＋|x |)．解 (1)∵y ＝x e 1－cos x，∴y ′＝e 1－cos x＋x e 1－cos x(sin x )＝(1＋x sin x )e 1－cos x.(2)∵y ＝x cos x －sin x ，∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (3)∵y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴y ′＝(12cos 2x )·2＝cos 2x .(4)∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝(2x ＋x 2)e x . (5)∵y ＝1－x x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝－12x －32－12x －12.(6)∵y ＝x ＋x |x |＝⎩⎨⎧x ＋x 2，x ≥0，x －x 2，x ＜0. ∴y ′＝⎩⎨⎧1＋2x ，x ≥0，1－2x ，x ＜0.10．(12分)求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n ，(n ∈N *)； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x ＋1e x －1；(4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x2. (3)∵y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·安徽江南十校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )．A ．－eB ．－1C ．1D ．e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 B2．(2010·江西)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．A ．26B ．29C ．212D ．215 解析 函数f (x )的展开式含x 项的系数为a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝212，故选C. 答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8， x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8， ∴f ′(1)＝2. 答案 24．(2012·吉安模拟)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a 、b 、c 是两两不等的常数)，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋cf ′(c )＝________. 解析 ∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，∴f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )， ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c(c －a )(c －b ) ＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0.答案 0三、解答题(共22分)5．(10分)利用导数证明：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C nn ＝n ·2n －1.(提示：(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n) 证明 (1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n . ∴[(1＋x )n ]′＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋n C n n xn －1， 即n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋n C n n xn －1，令x ＝1， 则C 1n ＋2C 2n ＋…＋n C n n ＝n ·2n －1. 6．(12分)(2012·苏州十校联考)设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.。
导数的求导法则切线计算(教师用)
第10讲 变化率与导数、导数的计算、知 识 梳 理1．基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)．[感悟·提升]1．“过某点”与“在某点”的区别曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．2．导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).考点一 导数的计算【例1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ·cos x ； (2)y ＝x －sin x 2cos x2； (3)y ＝ln (2x ＋1)x.解 (1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x . (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记对内层函数2x ＋1进行求导．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量； ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．【训练1】 (1)(2013·江西卷改编)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.(2)若f (x )＝3－x ＋e 2x ，则f ′(x )＝________. 解析 (1)令e x ＝t ，则x ＝ln t ， ∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x .因此f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，于是f′(1)＝1＋1＝2.(2)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)(3)(教材习题改编)函数y＝x cos x－sin x的导函数是y′＝－x sin x．(√)(4)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．(×)考点二导数的几何意义【例2】(1)(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.(2)设f(x)＝x ln x＋1，若f′(x0)＝2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为____________________．解析 (1)函数y ＝kx ＋ln x 的导函数y ′＝k ＋1x ， 由导数y ′|x ＝1＝0，得k ＋1＝0，则k ＝－1. (2)因为f (x )＝x ln x ＋1， 所以f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1. 因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2， 解得x 0＝e ，所以y 0＝e ＋1.由点斜式得，f (x )在点(e ，e ＋1)处的切线方程为y －(e ＋1)＝2(x －e)，即2x －y －e ＋1＝0.答案 (1)－1 (2)2x －y －e ＋1＝0规律方法 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．第(1)题要能从“切线平行于x 轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________．(2)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )． A ．0 B ．锐角 C ．直角 D ．钝角解析 (1)∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )， ∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)．∵π2>1>π4.而由正余弦函数性质可得cos 1<sin 1. ∴f ′(1)<0，即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0， ∴切线的倾斜角是钝角．答案 (1)4x －y －3＝0 (2)D考点三 导数运算与导数几何意义的应用【例3】 (2013·北京卷)设l 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 审题路线 (1)求f ′(1)――→导数几何意义点斜式求直线l 的方程(2)构建g (x )＝x －1－f (x )――→转化g (x )>0对x >0且x ≠1恒成立――→运用导数研究函数y＝g(x)的性质―→获得结论解(1)设f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2.∴f′(1)＝1－ln 11＝1，即切线l的斜率k＝1.由l过点(1,0)，得l的方程为y＝x－1.(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线l的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋ln xx2.当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，∴g′(x)<0，故g(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，x2－1>0，ln x>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．规律方法(1)准确求切线l的方程是本题求解的关键；第(2)题将曲线与切线l的位置关系转化为函数g(x)＝x－1－f(x)在区间(0，＋∞)上大于0恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．(2)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解.【训练3】(2014·济南质检)设函数f(x)＝a e x＋1a e x＋b(0<a<1)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a和b的值．解(1)f′(x)＝a e x－1a e x＝(a e x－1)(a e x＋1)a e x.令f′(x)＝0，得x＝ln 1 a>0.当0≤x<ln 1a时，f′(x)<0；当x>ln 1a，f′(x)>0.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ln 1a 上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞上递增．从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝2＋b .(2)∵y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线为y ＝32x ， ∴f (2)＝3，且f ′(2)＝32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e 2＋1a e 2＋b ＝3a e 2－1a e 2＝32①②解之得b ＝12且a ＝2e 2.理解导数的概念时，要注意f ′(x 0)，(f (x 0))′与f ′(x )的区别：f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ′(x 0)是f (x )在x ＝x 0处的导数值，是常量但不一定为0，(f (x 0))′是常数一定为0，即(f (x 0))′＝0.易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周【典例】 (2014·杭州质检)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )． A ．1 B.164 C ．1或164D ．1或－164[错解] ∵点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， ∴直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点O . 则k ＝f ′(0)＝2，直线l 的方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，∴x 2＋a －2x ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，选A.[答案] A[错因] (1)片面理解“过点O (0,0)的直线与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切”．这里有两种可能：一是点O 是切点；二是点O 不是切点，但曲线经过点O ，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O (0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻．[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14， ∴所求切线l 的方程为y ＝－14x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[防范措施] (1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P 的切线与在点P 处的切线的差异．(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．【自主体验】函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝12x＋a相切，则a等于()．A．2ln 2 B．ln 2＋1 C．ln 2 D．ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，且y′＝1x，∴＝1x0＝12，则x0＝2，y0＝ln 2.又点(2，ln 2)在直线y＝12x＋a上，∴ln 2＝12×2＋a，∴a＝ln 2－1.对应学生用书P247基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()．A．－1 B．－2 C．2 D．0解析f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2. 答案 B2.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )．A ．2B ．6C ．－2D ．4解析 如图可知，f (5)＝3，f ′(5)＝－1，因此f (5)＋f ′(5)＝2.答案 A3．(2014·济南质检)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )．A ．2B ．－2C ．－12 D.12解析 ∵y ′＝x －1－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－2(3－1)2＝－12，∴－a ＝2，即a ＝－2.答案 B4．已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点横坐标为( )．A ．－2B ．3C ．2或－3D ．2解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝12x －3x ，∴＝12x 0－3x 0＝－12，即x 20＋x 0－6＝0，解得x 0＝2或－3(舍)．答案 D5．(2014·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )．A.13B.12C.23 D ．1解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.二、填空题6．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 17．(2013·南通一调)曲线f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为________．解析 f ′(x )＝f ′(1)e e x －f (0)＋x ⇒f ′(1)＝f ′(1)e e 1－f (0)＋1⇒f (0)＝1.在函数f (x )＝f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2中，令x ＝0，则得f ′(1)＝e.所以f (1)＝e －12，所以f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋f (1)＝e x －12，即y ＝e x －12.答案 y ＝e x －128．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围是________．解析 y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立，∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案 [－2,2]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎨⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0.(2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3，∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，∴g (x )在[1,2]上是减函数．g (x )min ＝g (2)＝92，∴a >92，能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·北京西城质检)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()．A．1 B．3 C．－4 D．－8解析依题意，得P(4,8)，Q(－2,2)．由y＝x22，得y′＝x.∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.①在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.②联立①，②得点A(1，－4)．答案 C2．已知f(x)＝log a x(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C ＝f′(a＋1)，则()．A．A>B>C B．A>C>BC．B>A>C D．C>B>A解析记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝f(a＋1)－f(a) (a＋1)－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝log a x在点M处的切线斜率；C ＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝log a x在点N处的切线斜率．由图象得，A>B>C.答案 A二、填空题3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013(x 1x 2…x 2 012)＝－1.三、解答题4．(2013·福建卷改编)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)当实数a >0时，求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，x >0.令f ′(x )＝0，得x ＝a >0.当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.。
第三章 第一节 变化率与导数、导数的计算
3 1 1 －1 1 1 － 1＋ . ∴y′＝－2x 2－2x 2＝－ x 2 x
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(4)设y＝ln u，则y＝ln(1－2x)是由y＝ln u与u＝1－2x复合而成， 1 所以y′x＝y′u· u′x＝(ln u)′· (1－2x)′＝u· －2 2 (－2)＝ ＝ . 1－2x 2x－1
答案：(1)8
(2)0
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考点 2
导数的几何意义
2
1 【例 2】(1)(2017· 课标卷Ⅰ)曲线 y＝x ＋ 在点(1,2)处的切线方程为________． x 1 3 4 (2)曲线 y＝ x ＋ 过点(2,4)的切线方程为________． 3 3 1 (3)设曲线 y＝e 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝ (x＞0)上点 P 处的切线互相垂直， x
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1 1 解析：(1)令f(x)＝x ＋ ，则f′(x)＝2x－ 2，故f′(1)＝1， x x
2
则切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. (2)y′＝x
2
1 3 4 .设切点为x0，3x0＋3，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x2 0，
1 4 2 3 故切线方程为y－3x0＋3＝x0(x－x0)．
又切线过点(2,4)，
3 整理得x0 －3x2 0＋4＝0，
1 4 2 3 所以4－3x0＋3＝x0(2－x0)，
2 2 所以x3 ＋ x － 4 x 0 0 0＋4＝0，
2 即x0 (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，故(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的计算 课件
(3) cost ;
(4) -sin .
3 ( 5) 4 ; x
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1 ( 6) 3 2 . 3 x
2.选择题
（1）下列各式正确的是（
C）
A.(sin )' cos (为常数） B . cos x )' sin x （ C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
1 x ′ (x)=____。 （8）若f(x)=lnx,则f
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e
(a>0,且a≠1);
课堂小结： （1）基本初等函数公式的求导公式 （2）公式的应用 作业布置： 见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反思：
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（3）若f(x)=sinx,则f
cosx ′(x)=_____;
-sinx ′(x)=_____; （4）若f(x)= cosx,则f xlna(a>0) a x,则f ′(x)=____; （5）若f(x)=a
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x x,则f′ (x)=____; （6）若f(x)=e
1 ′ (x)=_____ a x ln （7）若f(x)=logax,则f
'
记 一
1 公式7 (1oga ) 记 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x 不需推导，但要注意符号的运算.
x '
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公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
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练习
(1)
4 5x
;
(2)
(完整版)变化率与导数及导数的计算
第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。
高中数学第1节 变化率与导数、导数的计算优秀课件
三 理
(2)由已知得 f′(x)＝2f′(1)－1x，令 x＝1 得 f′(1)＝2f′(1)－1，解得 f′(1)＝1，则 f(1)＝2f′(1)
科 数 学 备
＝2. (3)由 f(x)＝(x2－a)ln x，得 f′(x)＝2xln x＋x2－x a.∴f′(1)＝1－a＝－2，解得 a＝3.
课 组
22xx－ ＋11，则 f′(x)＝________.
州 (2)(角度 2)(2020·雅礼中学月考)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)
中 学 高
＋ln
1，则 x
f(1)＝(
)
三 A.－e
B.2
C.－2
D.e
理 科
(3)(角度 1)(2020·天津重点学校联考)已知函数 f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数 f(x)的导
课
组
27
基础知识诊断
考点聚焦突破
达 布置作业：
州
复习资料p278
中
A级：1 ， 4 ， 10题。
学 高
B 级： 15题。
三
预习导数的几何意义！
理 科 数 学 备 课 组
28
基础知识诊断
考点聚焦突破
理 科 数 学 备 课 组
11
基础知识诊断
考点聚焦突破
达
州 2.(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运发动相对于水面的高度
中 学
(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么运发动的速度v＝________ m/s，加速
高 度a＝________ m/s2.
三 解析 理
理 科 数 学 备 课 组
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第16讲 变化率与导数、导数的计算
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第16讲 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝错误!未指定书签。
lim Δx →0ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝错误!未指定书签。
limΔx →0ΔyΔx ＝错误!未指定书签。
lim Δx →f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝错误!未指定书签。
limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos__xf (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．➢考点1 导数的运算[名师点睛]对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值． 1．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数． （1）sin x y e =；（2）32x y x +=+； （3）()ln 23y x =+；（4）()()2221y x x =+-；（5）cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解】（1）因为sin x y e =，则()sin sin sin cos x x y e x e x ''=⋅=；（2）因为32x y x +=+，则()()()()()()223223122x x x x y x x ''++-++'==-++； （3）因为()ln 23y x =+，则()22213233y x x x ''=⋅+=++； （4）因为()()2221y x x =+-，则()()()()''22221221y x x x x =+++-'-()()2222122624x x x x x =-++=-+；（5）因为cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故2sin 22sin 2333y x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导数为()f x '，且()2(e)ln f x xf x +'=，则()e f =（ ）A ．1e-B ．1-C ．1D ．e 【答案】B 【解析】由()2(e)ln f x xf x +'=得1()2(e)f x f x ''=+，当e x =时，1(e)2(e)e f f ''=+，解得()1e ef '=-，所以2()ln e x f x x -=+，2e(e)ln e 1ef -=+=-. 故选：B [举一反三]1．（2021·江苏省阜宁中学高三阶段练习）下列求导运算不正确的是（ ） A ．()22x x '=B ．()sin cos x x '= C ．()33ln 3x x '=D ．()1e ln 3e 3x x '+=+【答案】D 【解析】对于A ：()22x x '=，故选项A 正确； 对于B ：()sin cos x x '=，故选项B 正确； 对于C ：()33ln 3x x '=，故选项C 正确；对于D ：()()()e ln 3e l 0n 3e e x x x x '''=++=+=，故选项D 不正确； 所以求导运算不正确的是选项D ， 故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x ，()g x 满足()()21,f x xg x x +=-且()11f =，则()()11f g ''+=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】取1x =，则有()()110f g +=，即(1)(1)1g f =-=-，又因为()()21,f x xg x x +=-所以()()()2f x g x xg x x ''++=，所以()()1(1)12f g g ''++=，所以()()112(1)213f g g ''+=-=+=.故选：C3．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知实数x 满足()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，0x >，π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()πf 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．π 【答案】C【解析】由()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++两边同时乘x 可得： ()()()22222cos 22sin 22xf x x f x x x x x x x f x ''⎡⎤+=++=⎣⎦，又()222sin 22cos 22sin 22x x x x x x x x +++'=，因此()222sin 2x f x x x x c =++．由π52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即222πππ5sin π444c ⨯=++，可得2πc =， ∴()22πsin 21f x x x =++，∴()22sin 21π2πππf =++=．故选：C ﹒4．（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（ ）A ．(sin )cos x x '=B ．211()x x '=C ．31(log )3ln x x'=D ．1(ln )x x '=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD5．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：（1）y =x （x 2311x x ++）；（2）y =1）1）； （3）y =x tan x ； （4）y =x ﹣sin 2x cos 2x；（5）y =3ln x +ax （a >0，且a ≠1）.【解】解：（1）y =x （x 2311x x++）=x 3+121x +；则函数的导数y ′=3x 232x -.（2）y =1）1）=11=y ′= （3）y =x tan x sin cos x xx =， 则y ′()()()222sin 'cos sin cos 'sin cos cos sin cos cos x x x x x x x x x x x x xx-++==2222sin sin cos cos xcosx xcos x xsin x x x xx cos x+++==；（4）y =x ﹣sin 1cos 222x x x =-sinx ；则y ′=112-cosx.（5）y ′3x=+ax ln a .➢考点2 导数的几何意义1．（2022·广东茂名·模拟预测）曲线()sin 2cos 1f x x x =--在点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为______．【答案】2π0x y --=【解析】()cos 2sin f x x x '=+，则曲线()y f x =在π,02⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率ππcos 2sin 222k =+=，∴切线方程为π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2π0x y --=．故答案为：2π0x y --=．2．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为__________【答案】0y =或440x y ++=【解析】点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，20x )，由f (x )＝x 2可得()'2f x x =，∴切线的斜率()'002k f x x ==.切线方程为()021y x x =+.∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝2001x x +＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. 故答案为：0y =或440x y ++=3．（2022·河南·三模）曲线()30y x m x =+<在点A 处的切线方程为322y x m =+-，则切点A 的坐标为______． 【答案】()1,3-【解析】由233y x '==，得1x =±，因为0x <，所以1x =-， 则切点A 的横坐标为－1，所以()31322m m -+=-+-， 解得4m =，所以A 的坐标为()1,3-． 故答案为：()1,3-.4．（2022·湖南湘潭·三模）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为___________.【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设l 与曲线e 1x y =-相切于点(),e 1aP a -，与曲线ln 1y x =+相切于点(,ln Q b b +1），则1ln e 2e a ab b b a-+==-，整理得()()1e 10aa --=，解得1a =或0a =，当1a =时，l 的方程为e 1y x =-；当0a =时，l 的方程为y x =. 故答案为：e 1y x =-或y x =. [举一反三]1．（2022·山东枣庄·三模）曲线32y x bx c =++在点()1,0M 处的切线与直线20x y --=垂直，则c 的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】设()32f x x bx c =++，则()232f x x bx '=+，直线20x y --=的斜率为1，由题意可得()()1321110f b f b c ⎧=+=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21b c =-⎧⎨=⎩. 故选：C.2．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．3-B ．3C ．5-D ．5 【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=，∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.3．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（ ） A ．0b a >>B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a <-<<D ．1a b a a>>-且0a > 【答案】D 【解析】作出()10y x x x=->的图象，由图可知， 若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，点(),a b 应在曲线外， 设切点为()()000,0>x y x ，所以0001y x x =-，21-'=+y x ，所以切线斜率为0002000111---=+==--x b y b x k x x ax a， 整理得()20020--+=a b x x a ，即方程在00x >上有两个不同的解，所以()()4402020a a b a b a ⎧-->⎪-⎪->⎨-⎪⎪>⎩，100⎧-<⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩a ba ab a ， 所以1a b a a>>-且0a >. 故选：D ．4．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()ln f x x x t =-+，直线1:ln 222l y x =-++，点()()00,P x f x 在函数()y f x =图像上，则以下说法正确的是( )A ．若直线l 是曲线()y f x =的切线，则3t =-B ．若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则3t >-C ．若2t =-，则点P 到直线l 5D ．若2t =-，当点P 到直线l 的距离最短时，02x ＝ 【答案】D【解析】f (x )定义域为(0，＋∞)，()11f x x'=-， 若直线l 是曲线()y f x =的切线，则()1111222f x x x =-⇒-=-⇒='，代入1ln222y x =-++得1ln2y =+，()21ln2ln221ln23f t t ∴=+⇒-+=+⇒=，故A 错误；当t ＝－2时，当在点P 处的切线平行于直线l 时，P 到切线直线l 的最短距离，则()0001111222f x x x =-⇒'-=-⇒=，故D 正确； 此时()2ln24f =-，故P 为()2,ln24-，P 到l ：22ln240x y +--=的距离为=C 错误；设1ln ln 22ln ln 2222xx x t x t x -+=-++⇒=-++，令()ln ln 222x g x x =-++，则()11222x g x x x-'=-=， 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 23g x g ==，又0x →时，()g x ∞→+；x →+∞时，()g x ∞→+， ∴若直线l 与曲线()y f x =无公共点，则t ＜3，故B 错误． 故选：D ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20(0)l x ty t --=≠与函数()(0)xe f x x x=>的图象相切，则切点的横坐标为A．2．2+C ．2D ．1【答案】A【解析】由()(0)xe x x x =>可得()()21x e x f'x x -=，设切点坐标为()(),0m n m >，则()22011m m m tn en m e m m t ⎧⎪--=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2m = A.6．（2022·福建泉州·模拟预测）若直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B【解析】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <， 因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅= 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B【解析】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2xy x x =+-， 对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->， 令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令0g x，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0g x，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，0g x，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.8．（多选）（2022·河北保定·二模）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ） A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n = 【答案】AD【解析】解：设直线3y x m =+与曲线()30y x x =>相切于点()3,a a ，与曲线()260y x nx x =-+->相切于点(),3b b m +，对于函数()30y x x =>，23y x '=，则()2330a a =>，解得1a =，所以313m =+，即2m =-.对于函数()260y x nx x =-+->，2'=-+y x n ，则()230b n b -+=>， 又2632b nb b -+-=-，所以()232632b b b b -++-=-，又0b >， 所以2b =，7n =. 故选：AD9．（2022·重庆·三模）曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为___________. 【答案】22y x =-+【解析】由()1ln 225y x x =+++，2111y x x '=-++，则切线的斜率为12422x y =-=-+=-'． 所以曲线()1ln 225y x x =+++在点1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程为： 1322y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即22y x =-+．因此所求切线的方程为22y x =-+． 故答案为：22y x =-+．10．（2022·浙江·高三专题练习）已如函数()e ,()ln x f x g x x ==.若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y f x =在点()()22,x g x 处的切线平行，则()12x g x +=___________；若(2)()2()1f x h x x g x x=--+，则()h x 的最大值为___________. 【答案】 0 2n 2e l 2-+ 【解析】由已知()e x f x '=，1()g x x'=，所以121e x x =，即12e xx -=，所以112111()ln e0x x x x g x x -=-+==+．2()2ln e 1xh x x x x=--+，定义域为()0,∞+，2222222e (21)e (12(21)(()221)e )x x x x x x x h x x x x x x x ----'=--=--=，令2e ()x p x x =-，则2()12e x p x '=-，0x >时，()0p x '<，所以()p x 在(0,)+∞上递减， 所以0x >时，()(0)1p x p <=-， 所以102x <<时，()0h x '>，()h x 递增，12x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max 11()()1ln 1221222ee ln 2h x h =-=-+=-+． 故答案为：0；2n 2e l 2-+．11．（2022·河北廊坊·模拟预测）设直线12y x b =+是曲线sin (0,)y x x π=∈，的一条切线，则实数b 的值是_________．6π- 【解析】设切点坐标为00(,)x y ，因为cos y x '=，所以有00000sin 121cos 2y x y x b x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩因为(0,)x π∈，所以00,3x y π==00126b y x π=-=.6π- 12．（2022·全国·高三专题练习）曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1【解析】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==， 所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=； 当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意， 综上可得，切点为()0,1. 故答案为：()0,1.13．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设三次函数()32f x ax bx cx d =+++，若曲线()y f x =在点()0,0处的切线与曲线()()g x xf x =在点1,2处的切线重合，则()2g '=______．【答案】32-【解析】由题知：(0)0f =，∴0d =，2()32f x ax bx c '=++()f x 在(0,0)处的切线为0(0)(0)y f x '-=-，即(0)y f x ='，∵()()()g x f x xf x +''=，(1)(1)(1)g f f =+''， ∴()g x 在1,2处的切线方程为：(1)(1)2y g x g =-'+' 又因为两条切线重合，∴(0)(1){(1)20f g g ='-+'='，∴(0)(1)2f g ''==，又∵(1)(1)2g f ==，(1)(1)(1)g f f =+''∴(1)0f '=，∴(0)2{(1)320(1)2f c f a b c f a b c ===++==++'='解得2{22a b c =-==∴()32222f x x x x =-++，2()642f x x x '=-++，∴(2)(2)2(2)32g f f =+=-''. 故答案为：32-.14．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．【答案】2【解析】根据题意，设直线l 与()e 1x f x =-相切于点(,e 1)m m -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +， 对于()e 1x f x =-，其导数为()e x f x '=， 则有()e m k f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()m m y x m +-=-，即e e (1)1m m y x m =+--， 对于()ln 2g x x =+，其导数为1()g x x'=， 则有1()k g n n='=，则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n-+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m n m n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0m m --=， 则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-； 则()f x 与()g x 的公切线条数是2条． 故答案为：2。
变化率与导数及导数的计算
变化率与导数及导数的计算变化率是指其中一物理量在一定时间或空间上的变化幅度。
导数是微积分中用来描述函数变化率的概念。
导数的定义是函数在其中一点的变化率。
在微积分中，导数用于刻画函数曲线上一点的斜率，即曲线在该点的切线的斜率。
导数表示了函数在该点附近的局部变化情况。
若函数y=f(x)，则函数f(x)在x=a的导数表示为f'(a)或dy/dx，_x=a。
导数表示了函数y=f(x)在x=a点附近的变化率。
导数可以通过几何方法、物理方法、以及代数方法进行求解。
一、几何解释法通过对函数对应的图像进行观察，可以直观地看出导数的几何意义。
函数y=f(x)在x=a点的导数f'(a)等于函数曲线在x=a点处的切线的斜率。
二、平均变化率和瞬时变化率平均变化率表示了函数的两个点之间的变化情况。
若函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则函数在该区间上的平均变化率为(f(b)-f(a))/(b-a)。
瞬时变化率表示了函数在其中一点的瞬时变化情况。
当间隔变得非常短小，即b趋近于a时，平均变化率趋近于瞬时变化率，即瞬时变化率等于导数。
三、导数的计算方法1.基本导数公式常见的基本导数公式如下：（1）常数函数的导数为零，即d(c)/dx=0，其中c为常数；（2）x的导数为1，即d(x)/dx=1；（3）可加性，即d(u+v)/dx=du/dx+dv/dx，其中u和v是函数；（4）乘性，即d(uv)/dx=udv/dx+vdu/dx，其中u和v是函数。
2.基本函数的导数（1）幂函数的导数：若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为常数；（2）指数函数的导数：若f(x)=a^x，则f'(x)=a^x * ln(a)，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（3）对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，则f'(x)=1/(x*ln(a))，其中a为常数，ln(a)为a的自然对数；（4）三角函数的导数：若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，其中sec(x)为x的余切。
高中数学第2章变化率与导数5简单复合函数的求导法则课件北师大版选修2_2
• 解 t′x＝析3：，∴原y′x函＝数2t由·3y＝＝6t(23和x－t＝43)．x－4复合而成，y′t＝2t， • 答案： D
• 2．函数y＝sin(2x－1)的导数是( ) • A．cos(2x－1) B．2xsin(2x－1) • C．2cos(2x－1) D．2sin(2x－1) • 解析： y′＝cos(2x－1)·2＝2cos(2x－1)． • 答案： C • 3．函数y＝e2x＋e－x的导数为_____________． • 答案： 2·e2x－e－x
结果
理由
令u＝3x－π6，则y＝cos u.
(3) －3sin3x－π6 y＝yu′·ux′＝－sin u·3x－π6′
＝－3sin u＝－3sin3x－π6
令u＝1＋x2，则y＝ u＝u12，
(4)
x 1＋x2
y′＝yu′·ux′＝12u－12(1＋x2)′
＝x·u－12＝
＝2sin2x＋π3·cos2x＋π3·2x＋π3′
＝2sin4x＋23π.
8分
(3)y′＝xx－1x100′＝x′x－1x100＋xx－1x100′
＝x－1x100＋x·100x－1x99·x－1x′
2．复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的 导 于数__间__的__关__系__为__y_′_yx＝′_u·__u_′__x ___________乘__积__．.即y对x的导数等
y对u的导数与u对x导数的
•
求复合函数的导数要处理好以下环节
• (1)中间变量的选择应是基本函数结构；
2x
πcos ∴f′(π)＝
2π＋100cos 2π－12sin π＋1002
变化率与导数导数的计算
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的 变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的 最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼 茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
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曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度， 例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射 程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频 率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一 点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点 处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐 点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通 过两边取对数，转化为显函数进行求导 。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以 通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。
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例3．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－ x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
即y＝4x－18或y＝4x－14.
【随堂练习巩固】
1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝ x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为()
A．0B．3
C．4D．－
解析：选B∵f(x)＝ x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.
2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3) ′＝ (g(x)≠0)．
【典型例题讲解】
导数的计算
[例1]、求下列函数的导数
解得x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－ ＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x ＋1＝4，解得x0＝±1.
∴ 或
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
解析：由题意知f′(5)＝－1，
f(5)＝－5＋8＝3，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
答案：2
7．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′ x＝1＝3×12－1＝2.
∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
A． B． C． D．
13.已知 ，则 等于（C）
A． B． C． D．
14.曲线 在点 处的切线方程是（D）
A． B． C． D．
15.已知 为实数， ，且 ，则 ____ ___．
课后反思：
＝exlnx＋ex· ＝ex .
(2)∵y＝x3＋1＋ ，∴y′＝3x2－ .
【课后强化练习】
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝()
A．0B．e
C．2eD．e2
解析：选C∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2．曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为()
A．2B．－2
C. D．－
解析：选A依题意得y′＝1＋lnx，y′ x＝e＝1＋ln e＝2，所以－ ×2＝－1，a＝2.
3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()
A．0B．－1
C. D．2
解析：选Cf′(x)＝3x2－2tx－4，
f′(－1)＝3＋2t－4＝0，t＝ .
A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0
C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0
解析：选A∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.
∴f′(－1)＝2－3＝－1.
又f(－1)＝－2＋1＝－1，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.
3．y＝x2cosx的导数是()
A．y′＝2xcosx＋x2sinx
4．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()
A．y＝3x－1B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1
解析：选A依题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为y′|x＝0，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
[探究]1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？
提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．
2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点 ，y0)的切线，两种说法有区别吗？
提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．
2．几种常见函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
∴0＝(3x ＋1)(－x0)＋x ＋x0－16，
整理得，x ＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝ ＝ ，
又∵k＝f′(x0)＝3x ＋1，∴ ＝3x ＋1，
(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
————— ——————————————
导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
————— ——————————————
求函数的导数的方法
(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
拓 扑 教 育 学 科 教 师 讲 义
副校长/组长签字：签字日期：
年 级 ：高二 课 时 数 ：2 姓 名 ：李尚真 科目 ：数学 教师 ： 崔丹丹
课 题
导数及其应用
授课日期及时段
2015年月日：00—：00 a.m
教 学 目 的
1..理解导数的几何意义．
2.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 的导数．
导数的几何意义
1．求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
2．求曲线的切线方程需注意两点
(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
5．(2013·郑州模拟)已知三次函数y＝x3－x2－ax＋b在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，则a＋b＝________.
解析：∵y＝x3－x2－ax＋b，∴y′＝3x2－2x－a.
依题意应有f(0)＝1且f′(0)＝2，
∴ 解得 故a＋b＝－1.答案：－1
6.已知 ，则 等于（C）
A． B． C． D．
B．y′＝2xcosx－x2sinx
C．y＝2xcosx
D．y′＝－x2sinx
解析：选By′＝2xcosx－x2sinx.
4.(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()
A．－9B．－3
C．9D．15
[解答]y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以是切点，而且这样的直线可能有多条．
3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？
7. 的导数是（A）
A． B． C．不存在D．不确定
8. 的导数是（D）
A． B． C． D．
9. 曲线 在 处的导数是 ，则 等于（C）
A． B． C． D．
10.若 ，则 等于（D）
A． B． C． D．
11. 的图像上斜率等于 的点的切线方程是（C）
A． B． 或
C． D．
12.在曲线 上的切线的倾斜角为 的点是（D）
； ； ； ； ；
； ；(8)y＝ ；(9)y＝tanx；(10)y＝3xex－2x＋e.
[自主解答]
(5)
(6)
(7)
(8)y′＝ ′＝ ＝ ＝ .
(9)y′＝ ′＝ ＝ ＝ .
(10)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.