高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析

《圆锥曲线大题全攻略》系列课程

1.求轨迹方程问题

2.圆锥曲线中的定点问题

3.圆锥曲线中的定值问题

4.圆锥曲线中的最值问题

5.点差法解决中点弦问题

6.常见几何关系的代数化方法

7.圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧

8.圆锥曲线中的三点共线问题

9.巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题

10.抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用

11.圆锥曲线中的双切线题型

圆锥曲线中的求轨迹方程问题

解题技巧

求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：

1. 直译法求轨迹的步骤：

（1）设求轨迹的点为);,(y x P

（2）由已知条件建立关于y x ,的方程；

（3）化简整理。

2. 相关点法求轨迹的步骤：

（1）设求轨迹的点为),(y x P ，相关点为),(O O y x Q ;

（2）根据点的产生过程，找到),(y x 与),(O O y x 的关系，并将O O y x ,用x 和y 表示；

（3）将),(O O y x 代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。

3. 定义法求轨迹方程：

（1）分析几何关系；

（2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。

4. 参数法求轨迹的步骤：

（1）引入参数；

（2）将求轨迹的点),(y x 用参数表示；

（3）消去参数；

（4）研究范围。

【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。

【例2.】已知点P 在椭圆14

22

=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3

1=求动点M 的轨迹方程。

【例3.】已知圆),,(,)(:023622

2B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。

【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆142

2

=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

专题练习

1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得,PB PA 2

1=则实数m 的取值范围为_________________. 2. 已知()Q P ,,24-为圆422=+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值

范围为________________.

3. 抛物线x y C 42

:的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________.

4. 已知定圆,)(:100422=++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________.

5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:4422=+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________.

6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42

=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________.

7. 抛物线y x 42=的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。 8. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与椭圆112

242

2=+y x C :相交于B A ,两点，O 为坐标原点。

（1）若直线l 的方程为,062=-+y x 求OB OA •的值；

（2）若,12-=•OB OA 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

直线过定点问题

解题技巧

证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两 种解法.

【法1】设直线，求解参数，一般的解题步骤为：

(1).设出直线的方程b kx y +=或t my x +=；

(2).通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,找到k 和m b ,和t 的关系，或者解出t b , 的值；

(3) 根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点.

【法2】求两点，猜定点，证向量共线。一般的解题步骤为：

A,的坐标(含参)；

(1).通过题干条件，求出直线上的两个点B

(2).取两个具体的参数值，求出对应的直线AB，并求出它们的交点P，该点即为直线过的定点；

(3)证明PA与PB共线，得出直线AB过定点P。

注：上面的两个解法中，解法2的计算量通常要大一些，故一般首选解法1.当解法1失效或处理起来较为复杂时再考虑解法2.

【例一】已知椭圆()012222>>=+b a b y a x C :的半焦距为c ，离心率为2

1，左顶点A 到直线c

a x 2

=扥距离为6，点Q P ,是椭圆上的两个动点。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线AQ AP ⊥,求证：直线PQ 过定点R ，并求出R 点的坐标。

【例二.】已知一动圆经过点()02,M ,且在y 轴上截得的弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；

（2）过点()01,N 任意作两条互相垂直的直线21l l ,，分别交曲线C 于不同的两点B A ,和E D ,,设线段DE AB ,的中点分别为Q P ,.

①求证：直线PQ 过定点R ，并求出定点R 的坐标；