八年级数学旋转专题

2012初二年级暑假数学提高作业-----旋转

1. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=90°，E 是DC 的中点.

试判断∠AEB 与∠CBE 的关系并证明。

2. 如图，E 、F 分别为正方形，ABCD 中边AD 、DC 上的点，且∠EBF=45°，

BM ⊥EF 于点M ．求证：BA=BM ．

3. 如图， 已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直

线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）． （1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由； （2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否

请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

（图1） （图2） （图3）

N E D B A M A E

F D B

C

M F E D C B A N

M

E E

B C

A D

4. 已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，

90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于

E 、

F ．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2

DEF CEF ABC S S S +=

△△△．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、

ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A

E C

F B

D

图1

图3

A

D

F

E

C

B

A

D

B

C

E 图2

F

F 图1

A B

C

E H

G （2b ＜a ）

5. 实验与推理如图1，图2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长

线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F 。

⑴如图1，当点E 在AB 边的中点位置时：

①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；

②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；

③请证明你的上述两猜想。 ⑵如图2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系。

6. 在图1—5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形F AE 的斜边AE ＝2b ，且边

AD 和AE 在同一直线上．

操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△F AG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ． 思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△F AG 绕点F 逆时针旋转

90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可

判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形． 实践探究

（1） 正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）

（2） 类

比图1的

剪拼方法，请你就

图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

图3 F A B C

D E 图4

F

A B C D E 图2 F

A B C (E ) D （2b ＝a ） （a ＜2b ＜2a ） （b ＝a ）

F

图5

A

B

C

E

D

（b ＞a ）

联想拓展

i.小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．

ii.当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．