高中数学导数恒成立全题集

剖析高考数学中的恒成立问题

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。这三年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分。

解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。一、函数性质法1、二次函数：

①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或0

0a <⎧⎨

∆<⎩）；②.若二次函数2

()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例1已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，

()f x 与()

g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（

)

A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)

D．(－∞，0)

分析：()f x 与()g x 的函数类型，直接受参数m 的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当0m =时，()810f x x =-+>在1

(,)8

-∞上恒成立，而()0g x =在R 上恒成立，显然不满足题意；(如图1)

当0m <时，()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(,0)-∞上恒成立，而()f x 是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。当0m >时，()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞上恒成立，

而()f x 是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数x ，

()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(,0]-∞上恒成立。(如图3)则有24024(4)80

m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩

或402m m -≥解得48m <<或04m <≤，综上可得08m <≤即(0,8)m ∈。故选B。

图3

1

o

x y

()

g x ()

f x 图1

()0

g x =1()81

f x x =-+x

y

0()

f x 1

()g x mx

=x

y

0图2

例2设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

解析：(1)'

2

()396f x x x =-+, 对∀x R ∈,'

()f x m ≥,即2

39(6)0x x m -+-≥在

x R ∈上恒成立,∴8112(6)0m ∆=--≤,得34m ≤-，即m 的最大值为3

4

-。

2、其它函数：

()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立

⇔()f x 的下界大于0）；

()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立

⇔()f x 的上界小于0）.

例3已知函数)0(ln )(4

4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.

（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；

（3）若对任意0>x ，不等式2

2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

分析：22)(c x f -≥恒成立，即2

min ()2f x c ≥-，要解决此题关键是求min ()f x ，0>x 。解：（1）（2）略

（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2

>-≥x c x f 恒成立，只需2

23c c -≥--.即0322

≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c .解得23≥

c 或1-≤c .∴c 的取值范围为),2

3[]1,(+∞--∞ .

例4设函数432

()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．

（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．（节

选）

分析：()1f x ≤，即max ()1f x ≤，[]22a ∈-，

，x ∈[]11-，，要解决此题关键是求max ()f x 。解：（Ⅲ）322

()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++由条件[]22a ∈-，

可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．

因此函数()f x 在[]11

-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意[]22a ∈-，

，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当max ()1f x ≤，即(1)1(1)1f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即min min

(2)(2)b a b a ≤--≤-+⎧⎨

⎩，[]22a ∈-，所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，

．例5设函数3

21()(1)4243

f x x a x ax a =

-+++，其中常数1a >（II ）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。

分析：利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出a 的范围。解：（II ）由（I）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=a a a 2443

4

23++-=；a

f 24)0(=则由题意得⎪⎩

⎪

⎨⎧>>>,0)0(,

0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.

024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得16a <<∴(1,6)a ∈。