经济应用数学基础(一)微积分_试题及答案

四、解答题（第 1 题 8 分，第 2 题 10 分，共 18 分） x3 + 4 f ( x) = 2 x 的单调区间与极值。 1．求函数
2．求由曲线 y = x + 1、直线 x = 0 、 x = 1 以及 x 轴围成的平面图形的面积以及这个平面 图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积.
2
高等数学（上）模拟试卷四
sin y
dy + xy = cos x 确定，求 dx .
⎧ x = ln(1 + t 2 ) dy d 2 y ⎨ y = t − arctan t 确定，求 dx , dx 2 . 3.设函数 y = y ( x ) 由方程 ⎩
f ( x) 4.已知 y = f (ln x)e , 且f 可微, 求 dy .
1 a = − , b =1 2 （C ）
2 2 6．当 x → 0 时，函数 e − ( ax + bx + 1) 是比 x 高阶的无穷小，则
1 a = , b =1 2 （A）
（ ）
（ B ） a = 1, b = 1
（ D ） a = −1, b = 1 ）
x = x1 处有 f ′( x1 ) = 0 ，在 x = x2 处不可导， 则（ 7．设函数 f ( x ) 处处连续， ，且在
x tan 2、 ∫
2
xdx
3、
∫
1
0
e x dx
4、
∫
1
−1
x dx 5 − 4x
四、求解下列各题（共 18 分） ：
1、求证：当 x > 0, y > 0, x ≠ y 时，
x ln x + y ln y > ( x + y ) ln
x+ y 2
（本题 8 分）
2、求由 y = x, y = x , 所围成的图形的面积，并求该图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体 的体积。 （本题 10 分）
∫ f ( x )dx = x
2 2
2
+C
，则
∫ xf (1 − x
2 2
2
)dx =
（
）
1 1 − (1 − x 2 ) 2 + C (1 − x 2 ) 2 + C （A） −2(1 − x ) + C （B） 2(1 − x ) + C （C） 2 （D） 2 [ a, b ] f ( x) f ( x) > 0 f ′( x ) > 0
' 2、 y = arcsin 1 − 3 x ， 求y ；
xy dy x =0 3、设函数 y = y ( x) 由方程 e = x − y 所确定，求 ；
x = sin t ⎧ dy ⎨ y = cos t + t sin t 4、已知 ⎩ ，求 dx 。
三、求解下列各题（每题 5 分，共 20 分） x3 ∫ dx 1、 x + 1
f ( x )dx = x 4、已知 ∫
1 x lim(1 − ) 2 x = 5、 x →∞
3
+C
，则 f ( x ) =
；
； ； ；
3 2 6、函数 f ( x ) = x − x + 1 的极大点是
′ 7、设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)……(x − 2006) ，则 f (1) =
一、 填空与选择题（每题 3 分，共 30 分） x 2 1．已知函数 f (e − 1) = x + 1 ， 则 f ( x ) = ___________________. 2 lim(1 − ) x = x 2． x →∞ ______________.
5 3 3．曲线 y = ( x − 2) 的凸区间是 ___________. π sin x cos x ∫−2π2 1 + sin 2 x dx = 4． ______________.
四、证明与解答（第 1 题 8 分，第 2 题 10 分，共 18 分）
2 2 1．求证：当 x > 0 时， 1 + x ln( x + 1 + x ) > 1 + x
（提示：利用函数的单调性） 。
2． 设曲线 y = x ， l 是它过点 (a, a ) 的切线 (0 ≤ a ≤ 2) ， （1） 求切线 l 与直线 x = 0, x = 2
高等数学（上）模拟试卷一
一、 填空题（每空 3 分，共 42 分） 1、函数 y = 4 − x + lg( x − 1) 的定义域是
；
⎧ 2x f ( x) = ⎨ ⎩a + x 2、设函数
x<0 x ≥ 0 在点 x = 0 连续，则 a =
； ；
4 3、曲线 y = x − 5 在（-1，-4）处的切线方程是
⎧ x = cos t dy ⎨ y = sin t − t cos t 4、已知 ⎩ ，求 dx 。
三、
求解下列各题（每题 5 分，共 20 分）
2
∫ 1、 x
x dx +1
4
x sec 2、 ∫
2
xdx
3、
∫
4 0
x+2 dx 2x +1
∫ 4、
3a 0
1 dx a + x2
2
四、
求解下列各题（共 18 分） ： x2 ln(1 + x) > x − 2 1、求证：当 x > 0 时，
2．
x →0
∫
x2
3
0
t 2 dt
ex −1
arctan x dx x (1 + x ) 3.
∫
4.
∫ sin(ln x) dx
三、求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） ⎧ 1 , x≥o ⎪ ⎪ 1+x f ( x) = ⎨ 1 ⎪ 1 , x<0 x f (t )dt ⎪1 + e ⎩ 1. 设 ，求 ∫−1
g ( x) =
f ( x) x
10．设 f ( x) = e
−x
∫ ，则
f (ln x) dx = x
1 ; C （ ）
1 +C （A） x
（B） ln x + C
二、计算题（每题 6 分，共 24 分） ln(1 + x ) + ln(1 − x ) sin 2 x 1． x →0 lim 1 1 lim( − x ) 2． x→ 0 x e − 1
'
； ；
7、设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)……(x − 1000) ，则 f (0) = 8、曲线 y = xe 的拐点是 9、
x
；
x − 2 dx = ； � � � � � � � � � � 10、设 a = i − j − 2 k , b = −2 i + 2 j + λ k ，且 a � b ，则 λ =
2
1 a = ,b = 1 3 （C） （D） 以上均不对
（
）
0 7．设 ， β ( x) = x ,则当 x → 0 时， α ( x) 是 β ( x ) 的 （A） 高阶无穷小 （B） 低阶无穷小 （C） 同阶但不等价无穷小 （D） 等价无穷小
α ( x ) = ∫ sin tdt
（
）
1 ⎧ ⎪ x sin 2 , x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x ⎪ , x =0 ⎩0 8．设函数 ，则函数 f ( x ) 在 x = 0 处
5．向量 b 与 a = 2 i − j + 2 k 平行，且满足 a ⋅ b = 18 ，则 b =______________. ( x − 1)( x − 2)( x − 3) lim =1 b x →∞ ( ax + 1) 6．已知 ，则
→
→
→
→
→
→ →
→
a = 1, b =
（A）
5x
1 3 （B） a = 1, b = 3
（A）
x = x1 及 x = x2 都不是 f ( x ) 的极值点 x = x2 是 f ( x ) 的极值点
3 2
（B）只有
x = x1 是 f ( x ) 的极值点
（C）只有
（D）
x = x1 及 x = x2 都可能是 f ( x ) 的极值点
）
8．函数 y = x + 3ax + 3bx + c 在 x = −1 处取极大值，点 (0,3) 是拐点，则（ （A） a = −1, b = 0, c = 3 （C） a = 3, b = − 1, c = 0 9．设 （B） a = 0, b = −1, c = 3 （D）以上均不对
3．已知
在 x = 0 处连续，则 a = ___________.
4.
∫
1 2 1 − 2
arcsin x 1 − x2
→
3
dx =
______________.
→
5．已知向量
a = {3, −4, 0}
x
，
b = {k , −1,1}
� � a ，若 ⊥ b ，则 k = ______________.
dy xy 2 e + y = cos x 2.设函数 y=y(x)由方程 确定，求 dx .
⎧ x = a (cos t + t sin t ) dy d 2 y ⎨ , . y = a(sin t − t cos t ) 确定，求 dx dx 2 3.设函数 y=y(x)由方程 ⎩
4.已知 y = f (ln x) + tan f ( x), 且f 可微, 求 dy .
3 1− x
，b =
；
lim x
=
f (x)
；
13、设 f ( x ) 可微，则 d ( e
)=
。
二、
计算下列各题（每题 5 分，共 20 分） 1 1 lim( − ) x → 0 ln( x + 1) x 1、
′ 2、 y = arccos 1 − 2 x ，求 y ；
xy dy x =0 3、设函数 y = y ( x) 由方程 e = x + y 所确定，求 ；
x<0 x≥0
在点 x = 0 连续，则 a = ； ；
；
2、设函数
⎧ sin x ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪ a − 2 x ⎩
3
；
3、曲线 y = x − 4 在 (−1, −5) 处的切线方程是 4、已知
∫ f ( x)dx = x
x 3
2
+C
，则 f ( x ) =
1 lim(1 + ) x = 5、 x →∞ ； 3 2 6、函数 f ( x ) = x − x + 1 的极大点是
（本题 8 分）
2、 求由 y = e , y = e, x = 0 所围成的图形的面积， 并求该图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转 体的体积。 （本题 10 分）
x
高等数学（上）模拟试卷二
一、填空题（每空 3 分，共 42 分）
1、函数 y =
4 − x 2 + lg( x − 1) 的定义域是
（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导
9．设函数 f ( x ) 在 ( −∞, ∞) 上连续，且 f (0) = 0 ， f ′(0) 存在，则函数 （A）在 x = 0 处左极限不存在 （B）有跳跃间断点 x = 0 （C）在 x = 0 处右极限不存在 （D）有可去间断点 x = 0
x 8、曲线 y = xe 的拐点是
； ； ；
9、
∫
2
0
x − 1dx
=
� � � � � � � � � � a = i + 3 j − 2 k , b = i − j + λ k 10、设 ，且 a ⊥ b ，则 λ =
11、 x →∞ 12、
x →1
lim(
x2 − ax − b) = 0 x +1 ，则 a =
∫
3
0
； ；
lim(
11、 12、
x →∞
x − ax − b) = 0 x +1 ，则 a =
3 1− x
2
，b =
lim x
x →1
=
f ( x)
；
13、设 f ( x ) 可微，则 d (2
)=
。
二、计算下列各题（每题 5 分，共 20 分） 1 1 lim( − ) x →1 ln x x −1 1、
10 ． 设 函 数
b a
在 区 间
上 满 足
，
， 记
M = ∫ f ( x )dx , N= f (a )(b − a )
（A） M > N （B） N < M
，则（
） （D）以上均不对
（C） N = M
二、计算题（每题 6 分，共 24 分） ⎡ 1 1⎤ lim ⎢ − ⎥ x → 0 ln(1 + x) x⎦ ⎣ 1． lim
ln cos x dx 2 ∫ 3. cos x
4.
∫
x 2 dx
1 − x2
三、求解下列各题（每题 7 分，共 28 分） ⎧ e −2 x , x≤o ⎪ 2 f ( x) = ⎨ x 1 , x >0 ⎪ 2 ∫ f (t )dt ⎩1 + x
1. 设 ，求
−1
2.设函数 y = y ( x ) 由方程 e
高等数学（上）模拟试卷三
一 、填空与选择： （每题 3 分，共 30 分） [ −1, 0) f ( x)
1。已知函数 的定义域为 ， 则 f (ln x ) 的定义域为 ___________________.
2x + 1 x ) = 2． x →∞ 2 x − 1 ______________. ⎧ 1+ x −1 , x≠0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪ a , x =0 ⎩ lim(