第一讲 集合与对应

第一讲集合与对应
一、知识与方法
1.容斥原理；用 表示集合A的元素个数，则
，此结论可以推广到 个集合的情况，即
2.集合的划分：若 ，且 ，则这些子集的全集叫I的一个 -划分。
3.最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
4.抽屉原理：将 个元素放入 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于 个元素，也必有一个抽屉放有不多于 个元素；将无穷多个元素放入 个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
二、典型例题
【从属关系】
1．以某些整数为元素的集合 具有下列性质：① 中的元素有正数，有负数；② 中的元素有奇数,有偶数；③－1 ；④若 ， ∈ ,则 ＋ ∈ 。则0和2与集合 的关系分别是__________.
解：由④若 ， ∈ ,则 ＋ ∈ 可知，若 ∈ ，则
（1）由①可设 ， ∈ ，且 ＞0， ＜0，则－ ＝| | (| |∈ )
（2）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立，
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
由（1）（2）可知， ．
9．设 是一个有限集合，法则 使得X的每一个偶子集E（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 ，且满足条件：（1）存在一个偶子集D，使得 ；（2）对于X的任意两个不相交的偶子集A,B，有
故 ,－ ∈ ,由④,0＝(－ )+ ∈ 。
（2）2 。若2∈ ，则 中的负数全为偶数，不然的话，当－（ ）∈ （ ）时，－1＝（－ ）＋ ∈ ，与③矛盾。于是，由②知 中必有正奇数。设 ，我们取适当正整数 ，使
，则负奇数 。前后矛盾。
2.集合 ，则这两个集合的关系是.
答案：
3.（2003年复旦）定义闭集合S，若 则 .
A6={6,13,20,27,34,41,48}
除去A0中的7个元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除，但是，A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被7整除，因此，所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个，然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多”，必须取A1中的8个，然后可以取A2、A3中各7个元素，因此S中元素最多有1+8+7+7=23个
7.设 ，求证：
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，则
[证明]（1）因为 ，且 ，所以
（2）假设 ，则存在 ，使 ，由于 和 有相同的奇偶性，所以 是奇数或4的倍数，不可能等于 ，假设不成立，所以
（3）设 ，则
（因为 ）。
8．集合 ，求a的取值范围.
9.若 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列 ，若 ，则
（Ⅰ）若x={1,2,3,4}，且f({1,2})为最大值，求f(Φ)的值，并证明f({3,4})≤2013；
（Ⅱ）求证：存在X的子集P和Q，满足
（1） = ，
（2）对P的任何非空偶子集S，有
（3）对Q的任何偶子集T，有
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足 ，且 ？
解：（Ⅰ） ， ， .
（Ⅱ）根据题意可知：对于集合
①若 且 ，则 ；②若 且 ，则 .所以要使 的值最小，2，4，8一定属于集合 ；1，6，10，16是否属于 不影响 的值；集合 不能含有 之外的元素.
所以当 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时， 取到最小值4.
（1）求X的奇子集个数和偶子集的个数；
（2）求X的所有奇子集的元素和的总和。
解：（1）设A是X的奇子集，构造映射
显然，f是将奇子集映为偶子集的映射。且首先f是单射，即对不同的A， 不同，其次，f是满射，即对每一个偶子集B，都有一个A满足 。于是f是一一映射，从而X的奇子集和偶子集的个数相等，都等于 个。
（Ⅲ）因为 ，
所以 .
由定义可知： .
所以对任意元素 ， ，
.
所以 .
所以 .
由 知： .
所以 .
所以 .
所以 ，即 .
因为 ，
所以满足题意的集合对（P，Q）的个数为 .
【集合中的元素个数】
1.设S为集合{1，2，3，……，50}的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元素最多有多少个？
2.求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记 ， ，由容斥原理， ，所以不能被2，3，5整除的数有 个。
3.已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.
解：这10个元素的总和S＜100×10＝1000
（1）证明：三个集合中至少有两个相等。
（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
证明：（1）若 ，则 所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。
否则，设 中的最小正元素为 ，不妨设 ，设 为 中最小的非负元素，不妨设 则 － ∈ 。
若 ＞0,则0≤ － ＜ ，与 的取法矛盾。所以 =0。
A.②③B.①④C.①③D.①②④
4.已知A与B是集合 的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且 。若 时总有 ，则集合 的元素个数最多为（）
A.62B.66C.68D.74
5．设集合 ，若 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 ，则集合 ___________________
6.对于集合 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把集合中的数从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，如 的交替和是9―6+4―2+1=6，而 的交替和就是5。则所有这些交替和的总和为_________.
而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S
根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N，
如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证.
如果M、N中有公共元素，记M∩N＝Q,
考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q
则M'、N'中没有公共元素，且M'、N'的元素之和相等，同时它们都是A的子集.
（2）X的含1的奇子集有 ；不含1的奇子集也有 个，故X的所有奇子集的元素和的总和是 = 。
【集合的运算】
1.已知集合 若 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.
解：点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将 ，变形为
所以，集合B是由四条直线 构成.
当两数之差为1时，两数之和能被其差整除；当两数之差为2时，两数同奇偶，因此两数之和能被其差整除。
三、课后练习
1．二次函数 的值域为 ， 的值域为 ，则集合 的关系是（D）
A B C D
2．集合P={ }，则集合 为（ D）
A. B.
C. D.
3.设集合X是实数R的子集，如果对于点 ，满足：对于任意的 ，都存在 ，使得 ，那么称 为集合X的“聚点”，用Z表示整数集，则在下列数集：① ;② ;③ ;④整数集Z，以上四个集合中，以0为聚点的集合有（）
即M'、N'为所求集合.
命题成立！
4.从1,2，…，2012中挑选一些数，其中没有两数之和能被其差整除，选出的这些数最多有（ A ）个
A 671 B 672 C 673 D 以上都不对
解：所有 型数有 个，且满足任意两数之和能被其差整除（因为其差能被3整除）
若取数超过671个，则由抽屉原理，有两数之差为1或2；
欲使 为正八边形的顶点所构成，只有 这两种情况.
（1）当 时，由于正八形的边长只能为2，显然有
故 .
（2）当 时，设正八形边长为l，则
这时，
综上所述，a的值为
如图Ⅰ－1－1－1中
2．对于集合M，定义函数 对于两个集合M，N，定义集合 .已知 ， .
（Ⅰ）写出 和 的值，并用列举法写出集合 ；
（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求 的最小值；
又因为当 时， ，所以当 时， ．
从而，集合 中元素的个数最多为 ，
即 ．
（III） ，证明如下：
（1）对于 ，根据定义， ， ，且 ，从而 ．
如果 与 是 的不同元素，那么 与 中至少有一个不成立，从而 与 中也至少有一个不成立．
故 与 也是 的不同元素．
可见， 中元素的个数不多于 中元素的个数，即 ，
小结：解决存在性问题有两种方法：直接构造和反证法，本例题两个问分别用到这两种方法.
【有限集的子集】
1.集合 的子集个数是多少？并说明理由。
解： 个子集。理由如下：
方法1：X的k元子集即从n个元素中取k个的组合，共有 个，因此X的子集共有 个。
方法2：X中任意一个元素 ，可以归入某个子集，也可以不归入这个子集，即i有两种归属，n个元素共有 种归属。每一种归属产生X的一个子集。不同的归属产生不同的子集，从而共有 个子集。
任取 ห้องสมุดไป่ตู้0∈ ,故 －0＝ ∈ 。所以 ，同理 。所以 = 。
（2）可能。例如 = ={奇数}， ={偶数}显然满足条件， 和 与 都无公共元素。
8.已知集合 ，其中 ，由 中的元素构成两个相应的集合：
， ．
其中 是有序数对，集合 和 中的元素个数分别为 和 ．
若对于任意的 ，总有 ，则称集合 具有性质 ．
【解】将这50个数按照7的余数划分成7个集合
A0={7,14,21,28,35,42,49}
A1={1,8,15,22,29,36,43,50}
A2={2,9,16,23,30,37,44}
A3={3,10,17,24,31,38,45}
A4={4,11,18,25,32,39,46}
A5={5,12,19,26,33,40,47}
（I）检验集合 与 是否具有性质 并对其中具有性质 的集合，写出相应的集合 和 ；
（II）对任何具有性质 的集合 ，证明： ；
（III）判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
解：（I）集合 不具有性质 ．
集合 具有性质 ，其相应的集合 和 是 ，
．
（II）首先，由 中元素构成的有序数对 共有 个．
由 具有性质 知 ，所以 ；
方法3：对于子集A，令 ，每一个从X到 的映射产生一个子集A，它由影射成1的那些元素组成。不同的映射产生不同的子集，每一个子集都可由这种映射产生。所以子集的个数就是映射的个数。而由于每个元素都有映为0或1两种可能，所以映射的个数为 个。故子集个数也为 个。
2．给定集合 的 个子集： ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 的值。
（1）举一真包含于R的无限闭集合；
（2）求证对任意两个闭集合 ，存在 ，但 .
分析：（1）在常见的几类数集中寻找
（2）存在性问题正面不容易说清楚，可以考虑反证法
解：（1）显然，整数集Z及有理数集Q都符合条件.
(2)用反证法.
若 是两个闭集合,且 ,
则存在
又 ，则 ，或 ，
不妨设 ，则 ，这与 矛盾，故反设不成立，即结论成立.
【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 对，每一对不能同在这 个子集中，因此， ；其次，每一对中必有一个在这 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设 ，则 ，从而可以在 个子集中再添加 ，与已知矛盾，所以 。综上， 。
3.集合 ， ，若A中所有数的和为奇数，则称A为X的奇子集，若A中所有数的和为偶数，则称A为X的偶子集。